【文档说明】浙江省金华市东阳市2021届高三下学期5月模拟考试数学试题含答案.docx，共(21)页，1.146 MB，由小赞的店铺上传

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东阳市2021年5月高三模拟考试数学试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按

照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．参考公式：如果事件A，B互斥那么()()()PABPAPB+=+如果事件A，B相互独立那么P（A

B）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn−=−=台体的体积公式()112213

VSSSSh=++其中12,SS分别表示台体的上、下底面积，h表示为台体的高柱体的体积公式VSh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13VSh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24SR=球的

体积公式343VR=其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合{11}Axx=−∣，

{(2)0}Bxxx=−∣，则AB=（）A．{10}xx−∣B．{12}xx∣C．{01}xx∣D．{12}xx−∣2．已知i为虚数单位，若复数12zi=+，则||z=（）A.1B．

5C.5D．553．若实数x，y满足约束条件22121xyxyxy+−，则32zxy=+的最大值是（）A.5B.4C．72D．544．“m<3”是“方程22123xymm+=+−表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分

也不必要条件5．某多面体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．则该多面体的体积为（）A．83B.8C．163D．2036．已知点P在曲线431xye=+上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围

是（）A．0,3B．,32C．2,23D．2,37．函数()ln||sinfxxx=+在[,]−上的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知A，B，C是椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=上不同

的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为3,22ab，直线AB的斜率为33−，则椭圆Γ的离心率为（）A．13B．223C．23D．739．已知实数0,0xy，且1xy+=，则224xxy++的最小值为（）A．85B.2C．512−D．512+

10．已知数列na满足：()()()221112nnnnaanNaa++++=，则下列选项正确的是（）A．01na时，1nnaa+B．1na时，1nnaa+C．114a=时，111318nnana++++D．14a=时，11122nnana+++

+非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．在等比数列na中，若141,64aa=−=，则q=，4S=．12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:2lyx=−+与圆2220xyx+−=相交于A，B两点，则直线l的倾斜角为，弦A

B的长度为13．在2220xyx+−=的展开式中，所有项的系数和等于，含4x的项的系数是．14．有4个同学一起坐上公交车后，分别在后面三个不同车站中的某个车站下车，且每个车站至少有一人下车，用表示在第

二个车站下车的人数，则(2)P==，()E=．15．矩形ABCD中，AB=1，AD=3，现将△ABD绕BD旋转至ΔABD的位置，当三棱锥ABCD−的体积最大时，直线AB和直线CD所成角的余弦值为．16．在锐角△ABC中，3,1ABAC==，D点在线段BC上，且BD=2DC，

6CAD=，则△ABC的面积为．17．如图，在△ABC中，BDDEEC==，2AFFB=，2AMMD=，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC=．三、解答题：本大

题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（满分14分）已知函数()2sin(3)||2fxx=+的图像与y轴的交点坐标为（0，1）（1）求的值；（2）将f(x)图像向左平移6个单位，再把其图象上每一个点的横坐

标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，求函数2()()2()hxfxgx=+的最大值．19．（满分15分）如图，已知三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，PB=BC=23，6PC=，Q为棱PC上的一点，且2PQQC=．（1）求证：BC⊥AQ；

（2）若2AQ=，求直线AB和平面PAC所成角的正弦值．20．（满分15分）若数列na的前n项和为nS，()14,2(1)nnananSnN==+．（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nb满足68nbn=−，

其前n项和为nT，若(1)nnnST−对任意nN恒成立，求实数的取值范围．21．（满分15分）如图，已知抛物线24yx=，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A、C和B、D两点，且A，D在第一象限，直线AB与x轴的交点

E在原点O和P点之间．（1）若P为抛物线的焦点，且||3AP=，求点A的坐标；（2）若P为动点，且△CDP的面积是△ABP面积的3倍，求||||OPOE的值．22．（满分15分）已知函数()ln(,0)mxfxm

Raxa=+．（1）若f(x)的最小值为2，求ma的值；（2）若m=1，a>e，实数0x为函数f(x)大于1的零点，求证：①00112xax+−②0012lnln(ln)xaax+−东阳市2021年5月高三模拟考试1．设全集U=R，集合{11}Axx=−∣，{(2)0}Bxx

x=−∣，则AB=（）A．{10}xx−∣B．{12}xx∣C．{01}xx∣D．{12}xx−∣{11}{02}{01}ABxxxxxx=−=∣∣∣，故选C．2．已知i为虚数单位，若复数12zi=+，则||z=（）A.1B．5C.5D．551555(

2)22(2)(2)iziziii−====−++−，||5z=，故选B．3．若实数x，y满足约束条件22121xyxyxy+−，则32zxy=+的最大值是（）A.5B.4C．72D．54如图所示，由线性规划知，当目标函数经过A点时，即当x=1，y，=1时，z=3x+2y最

小值为5，故选A．4．“m<3”是“方程22123xymm+=+−表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件当m<3时，若m<-2，则得不到22123xymm+=+−为双曲线，为不充分；

当22123xymm+=+−为双曲线时，则(2)(3)023mmm+−−，为必要性；故选B．5．某多面体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等

腰直角三角形．则该多面体的体积为（）A．83B.8C．163D．203依题可知111162222222323V=+=，故选C．6．已知点P在曲线431xye=+上，为曲线在点P处的切线的

倾斜角，则的取值范围是（）A．0,3B．,32C．2,23D．2,3tan=()24343[3,0)112xxxxeyeee−−==−++

+，故选：D；7．函数()ln||sinfxxx=+在[,]−上的图象大致为（）A．B．C．D．由题意知：函数为奇+偶型，所以是非奇非偶函数，排除A和B，令()()120fxfx==，且12[,0],[0,]xx−

，因为(1)sin10f=，所以2[0,1]x，又lnsinln1ln022222fe−=+−=−=，()lnsinln0f−=+=，所以1,2x−−

，故选：D；8．已知A，B，C是椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为3,22ab，直线AB的斜率为33−，则椭圆Γ的离心率为（）A．13B．223C．23D．73解；1：（椭圆垂径定理）由于2

22231333OCABbbbbkkaaaa=−−=−=，所以223e=，选B．解2：（设点处理）设(cos,sin),(cos,sin)AabBab，则满足3coscos021sinsin02aaabbb++=++=，故可得3

coscos21sinsin2+=−+=−，故1cos()2−=−，找到其中一组解5632==，所以3sinsin32coscos332ABbbkaa

−===−−−，可得13ba=，所以223e=，选B．9．已知实数0,0xy，且1xy+=，则224xxy++的最小值为（）A．85B.2C．512−D．512+解析：设2yy=，则12yx+=，如图，作O关于直线12yx+=的对称点84,55M

所以228||||||||||5xxyPHPOPHPMMN++=+=+=10．已知数列na满足：()()()221112nnnnaanNaa++++=，则下列选项正确的是（）A．01na时，1nnaa+B．1na时，1

nnaa+C．114a=时，111318nnana++++D．14a=时，11122nnana++++解：对于A选项，由于01na，则()()()22211121nnnnnnaaaaaa+++++=，由于函数22(1)211()2(01)xxxfxxxxxx+++===++为单调

递减函数，而上式即为()()1nnfafa+，从而1nnaa+，故A错误．对于B选项，由于11,1nnaa+，且()()1nnfafa+，22(1)211()2xxxfxxxxx+++===++在(1,)+上单调递增，从而1nnaa+，故B错误对于CD选项，

由于()()221111121132nnnnnnnnnaaaaaaaaa++++++=+=+++，则当10a可得0na，从而11112nnnnaaaa+++++，故1111112nnaanaa+++++故当14a=

时，11122nnana++++，故D正确．综合上述，选D．11．在等比数列na中，若141,64aa=−=，则q=，4S=．解：3341644aaqqq==−==−，4411(4)511(4)S−−−==−−，故填：-4，5112．在平面直角坐标系xOy中

，已知直线:2lyx=−+与圆2220xyx+−=相交于A，B两点，则直线l的倾斜角为，弦AB的长度为解：tan1135k==−=；|12|222d−==，22222||22122ABrd=−=−=，故填：135，213．在2220xyx+−=的展开式

中，所有项的系数和等于，含4x的项的系数是．解：令x=1代入得：565444444456(11)(12)2133;(2)245axCxCxx++−=+==+−=，故填：33；24514．有4个同学一起坐上公交车后，分别

在后面三个不同车站中的某个车站下车，且每个车站至少有一人下车，用表示在第二个车站下车的人数，则(2)P==，()E=．解：224223431(2)3CAPCA===，214()12333E=+=．15．矩形ABCD中，AB=

1，AD=3，现将△ABD绕BD旋转至ΔABD的位置，当三棱锥ABCD−的体积最大时，直线AB和直线CD所成角的余弦值为．解：如图∠A'BA即为所求角，当三棱锥ABCD−的体积最大时，AO⊥平面AB

CD，因为AB=1，AD=3，所以32AOAO==，故62AA=，又1ABAB==，所以在ABA中由余弦定理得1cos4ABA=．16．在锐角△ABC中，3,1ABAC==，D点在线段BC上，且BD=2DC，6CAD=，则△ABC的面积为．解：由题意可知Δ1s

in301212sin2AACDABDACADSSABADDAB==，代入解得3sin3=，且6cos3=，163363sinsin(30)23236CAB+=+=+=Δ116323sin32264ABC

SABACBAC++===，故填234+．17．如图，在△ABC中，BDDEEC==，2AFFB=，2AMMD=，直线FM交AE于点G，直线MC交AE于点N，若△MNG是边长为1的等边三角形，则MAMC=．解：设2133AGAEACAB==+，而1122,3993

AMADACABAFAB==+=，所以1499FMAMAFACAB=−=−，212333FGAGAFACAB=−=+−，因为FMFG，所以1124293393−=−

，得29=，所以29AGAE=．同理12ANAE=，所以45AGGN=．1112213699918MNANAMACABACABACAB=−=+−+=−，82499MCACAMACABMN=−=−=，45MAMGGAMGNG=+=+所以416

824425555MAMCMGNGMNMNMGMNNG=+=+=−=．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（满分14分）已知函数()2sin(3)||2fxx=+的图像与y轴的交点坐标为（0，1

）（1）求的值；（2）将f(x)图像向左平移6个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，求函数2()()2()hxfxgx=+的最大值．解：（1）由题意得：(0)2sin1f==，∵||2∴6=．（2）由（1）

可知，()2sin36fxx=+，∴13()2sin32cos26626xgxx=++=+．∴23()2sin324cos626xhxx=+++3sin33cos3423sin343

xxx=−++=−−+．综上，()hx的最大值为423+．19．（满分15分）如图，已知三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，PB=BC=23，6PC=，Q为棱PC上的一点，且2PQQC=．（1）求证：BC⊥AQ；（2）若2AQ=，求直线AB和平面PAC所成角的正弦值

．（1）∵2PQQC=，∴4,2PQQC==由余弦定理可知，1236123cos22236PCB+−==，∴6PCB=取BC中点O，连,AOQO，则由ABAC=可知BCAO⊥∵33423212QO=+−=，∴222QOOCQC+

=，∴BCQO⊥综上，BC⊥面AQO，又∵AQ面AQO，∴BCAQ⊥（2）由2AQ=可知，222AOQOAQ+=，∴AOQO⊥，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OQ为z轴建系，则(0,1,0),(3

,0,0),(23,0,3),(3,0,0)ABPC−−∴(23,1,3)AP=−−，(3,1,0)AC=−，(3,1,0)AB=−−设平面PAC的一个法向量为(,,)nxyz=则00nAPnAC==，∴233030xyzxy−−+=

−=，可取3,1,13n=∴21sin|cos,|7ABn==综上，所求直线AB和平面PAC所成角的正弦值为21720．（满分15分）若数列na的前n项和为nS，()14,2(1)nnananSnN==+．（1）求数列na

的通项公式；（2）已知数列nb满足68nbn=−，其前n项和为nT，若(1)nnnST−对任意nN恒成立，求实数的取值范围．（1）解：因为2(1)nnnanS=+，所以21nnnaSn=+，当2n…，时1122(1)1nnnnnnanaaSS

nn−−−=−=−+，所以121nnaann−=+，所以数列1nan+为等比数列，首项为122a=，公比为2，所以2(1)21nnnnaann==++；（2）解：因为68nbn=−，所以(268)(3

5)2nnnTnn−+−==−，因122(1)1nnnnnnSanTn+==−+…恒成立，所以12(1)(35)nnn+−−…恒成立，当n为偶数时，12(35)nn+−…恒成立，所以1

min235nn+−„，设1235nncn+=−，由于3112222(921)3135(31)(35)nnnnnnccnnnn++++−−=−=+−+−，所以42cc，当4n…时，2nncc+，所以4327c

=„，当n为奇数时，12(53)nn+−…，若n=1，则有2„，若3n…，则有1max253nn+−…，令1253nndn+=−，由于122(219)0(31)(35)nnnnddn

n++−−=+−，所以34d=−…，综上，42−剟．21．（满分15分）如图，已知抛物线24yx=，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A、C和B、D两点，且A，D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和

P点之间．（1）若P为抛物线的焦点，且||3AP=，求点A的坐标；（2）若P为动点，且△CDP的面积是△ABP面积的3倍，求||||OPOE的值．（1）解设A（x，y），则||13APx=+=，所以x=2，所以28y

=．因为点A在第一象限，所以22y=，所以点A的坐标为(2,22)．（2）解设()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy，(,0),(,0)EePm，由于ΔΔΔΔ||||,||

||APDAPDAPBCPDSSPDAPSPBSPC==，且ΔΔ3CPDAPBSS=，所以||3||||||PDAPPBPC=，所以4123yyyy−=−，所以34123yyyy=．假设有过点（n，0）的直线:lxtyn=+交抛物线24yx=于M，N两点，联立消去x的

2440ytyn−−=，则有4MNyyt+=，4MNyyn=−，（*）由（*）式可知134yym=−，244yym=−，124yye=−．所以22341212441641234mmmmyyeyyyyee=−−=−=−=−=，所以3me=，所以

||3||OPmOEe==．解2：设有过点（n，0）的直线:lxtyn=+交抛物线24yx=于M，N两点，联立消去x的2440ytyn−−=，则有4MNyyt+=，4MNyyn=−，（*）由（*）式可知134yym=−，244yym=−，124yye=−．所

以2341244164mmmyyyye=−−=−，由（*）式可知：直线CD与x轴的交点坐标为2,0me．所以21Δ12111()4114()()222PBmeyeeSmeyymeyyy−+=−−=−

+=．222211Δ43211()4114222CPDmmeyemymmmSmyymeeeye−+=−−=−+=∣．因为ΔΔ3CPDAPBSS=，所以22211211()4()4322mmeyemeyeeyy−+−

+=，化简得：所以3me=．所以||3||OPmOEe==．22．（满分15分）已知函数()ln(,0)mxfxmRaxa=+．（1）若f(x)的最小值为2，求ma的值；（2）若m=1，a>e，实数0x为函数f(x)大于1的零点，求证：①00112xax+−②0012lnln(ln)x

aax+−解：（1）2()(0)xmfxxx−=当0m时，()0fx，()fx单调递增，没有最小值；当0m时，()fx在（0，m）上单调递减，在(,)m+上单调递增∴min()()1ln2mfxfma==+=，∴mea=．（2）①1,mae=时，1()l

nxfxxa=+，由（1）可知f(x)在（0，1）上单调递减，在(1,)+单调递增，∴min()(1)1lnfxfa==−，由于1()0faa=，∴存在0(1,)xa，使得()0001ln0xfxxa=+=，也即010001lnlnlnxaxxex=+=

，也即010xaxe=．要证00112xax+−，只需证()0100001112xxexx++设01(0,1)tx=，则只需证11112tett++，即证211(01)2tettt++．取21()1(01)2tgtettt=−−−，则()

1tgtet=−−，∴()10tgte=−，∴()gt在（0，1）上单调递增∴()(0)0gtg=，∴()gt在（0，1）上单调递增，∴()(0)0gtg=．∴01t时，2112tett

++成立，综上，00112xax+−成立．②证1：ae，∴ln1a，∴2lnln(ln)2lnaaa−，∴只需证1012lnxax+，即证0000112lnxxxx++，即证()000012ln01xxxx+−，取1()2ln(1)hxxxxx=+−，∴22(

1)()0xhxx−=，∴()hx在(1,)+上单调递减，()(1)0hxh=，∴0012lnxax+成立，综上，0012lnln(ln)xaax+−成立．证2：要证1012lnln(ln)xaax+−，即证0000001112lnlnlnxxx

xxx++−+，即证00000112lnlnln0xxxxx+−−+，即证00000011lnlnlnlnxxxxxx+−+−，取()lnhttt=−，即证()0001ln

hxhxx+，1()thtt−=，∴1t时，()0ht，()ht单调递增取1()ln(1)mxxxx=+，21()xmxx−=，∴1x时，()0,()mxmx单调递增，∴()(1)1mxm=，()0001lnhx

hxx+等价于()00001ln1xxxx+取1()lnkxxxx=+−，∴221()0xxkxx−+−=，∴()kx在(1,)+上单调递减，∴01x时0001lnxxx+成立，综上，0012lnln(ln)xaax

+−成立．