【文档说明】《精准解析》人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 单元测试（解析版）.doc，共(15)页，3.740 MB，由管理员店铺上传

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1第17章勾股定理一、选择题1.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.5、6、7B.10、8、4C.7、24、25D.9、15、17【答案】C【解析】【详解】A.∵52+62≠72，∴5、6、7不能构成直角

三角形；B.∵42+82≠102，∴10、8、4不能构成直角三角形；C.∵72+242=252，∴7、24、25能构成直角三角形；D.∵52+62≠72，∴9、15、17不能构成直角三角形；故选C.点睛：本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三遍的平方，那么这个三角形是直角三角

形，即a,b,c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2.△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A.14B.4C.14或4D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角

形，都需要先求出BD,CD的长度，在锐角三角形中，利用BCBDCD=+求解；在钝角三角形中，利用BCCDBD=−求解.【详解】（1）若△ABC是锐角三角形，在RtABD△中，∵13,12ABAD==由勾股定理得222213125BDABAD=−=−

=2在RtACD△中，∵15,12ACAD==由勾股定理得222215129CDACAD=−=−=∴5914BCBDCD=+=+=（2）若△ABC是钝角三角形，在RtABD△中，∵13,12ABAD==由勾股定理得222213125BDABAD=−=−=在RtA

CD△中，∵15,12ACAD==由勾股定理得222215129CDACAD=−=−=∴954BCCDBD=−=−=综上所述，BC的长为14或4故选：C.【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.3.下列四组数中，其

中有一组与其他三组规律不同，这一组是（）A.3，4，5B.6，8，10C.5，12，13D.4，5，7【答案】D【解析】【详解】A.∵32+42=52，∴3，4，5能构成直角三角形；B.∵62+82=102，∴6，8，10能构成直角三角形；C

.∵52+122=132，∴5，12，13能构成直角三角形；D.∵42+52≠72，∴4，5，7不能构成直角三角形；3∴D组与其他三组规律不同，故选D.4.在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（）A.32B.42C.32或42D.以上都不对

【答案】C【解析】【详解】试题分析：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD=222215129ACCD−=−=，BD=222213125BCCD−=−=，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=

14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．故选C．考点：勾股定理．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上

的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】4【详解】试题分析：设CH＝x，因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3，由折叠知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：222(9)3xx−=+，解得：x

＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理6.如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的ABCV是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．【详解】

∵正方形小方格边长为1∴2222313AC=+=，2226452AB=+=，2228165BC=+=，∵在△ABC中AB2+AC2=52+13=65，BC2=65∴AB2+AC2=BC2∴网格中的△ABC是直角三角形．故选A．【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆定理：

已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．7.给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，12，13；③6，7，8；④3m，4m，5m（m＞0）.其中能组成直角三角形的有（）A.①②B.②④C.②③D.③④【答案】B【解析】【详解】解：①；②；③；④，

所以能组成直角三角形的有②④，故选B．8.一架25米长的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙底端7米．如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯脚将水平滑动（）5A.9米B.15米C.5米D.8米【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端

滑动的距离．【详解】梯子顶端距离墙角的距离为22257−=24m，24-4=20m，梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为222520−=15m，15m-7m=8m，即梯角水平滑动8m，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，注意梯子的长度是不变的.9

.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A.3，4，5B.2，3，4C.3，4，5D.6，8，12【答案】C【解析】【详解】A.∵(3)2+(4)2≠(5)2，∴3，4，5，不能构成直角三角形；B.∵22+3

2≠42，∴2，3，4，不能构成直角三角形；C.∵32+42=52，∴3，4，5，能构成直角三角形；D.∵62+82≠122，∴6，8，12，不能构成直角三角形；故选C.10.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2

＋AC2＋BC2的值为()A.8B.4C.6D.无法计算【答案】A【解析】【详解】利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC

=2，则AB的长为（）A.3B.6C.62D.6【答案】B【解析】【详解】∵∠ACB=90°，AC=2，BC=2，∴AB=()2222226ACBC+=+=.故选B.12.已知三角形的三边长为a、b、c，如果2(5)12130abc−+−+−=，则△ABC是

（）A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可．【详解】解

：∵（a-5）2+|b-12|+13c−=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴a2+b2=c2，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题

的关键．二、填空题13.如图，Rt△ABC的周长为（5+35）cm，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25cm2，则△ABC的面积是________cm2．【答案】57【解析】【详解】如图，a2

=c2+b2=25，则a=5．又∵Rt△ABC的周长为(5+35)cm，∴a+b+c=5+35，∴b+c=35（cm）．∴△ABC的面积=12bc=12[（c+b）2-（c2+b2）]÷2=12[（35）2-25]÷2=5（cm2）．故答案是：5．点睛：

本题考查了勾股定理和完全平方公式的应用．解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积是解答本题的关键．14.观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，

c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝_____，b＝_____，c＝_____．【答案】2n，

n2﹣1，n2+1．【解析】【分析】由n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5；n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42

+1=17…得出a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1，满足勾股数．【详解】解：∵当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10

n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…∴勾股数a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．故答案为2n，n2﹣1，n2+1．考点：勾股数．15.一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，

∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为________米（答案可保留根号）8【答案】（4+42）【解析】【详解】由题意得，在△ACB中，∠C=90°，∵∠ABC=45°，∴∠A=45°，∴

∠ABC=∠A，∴AC=BC．∵BC=4，∴AC=4，由AC2+BC2=AB2得，AB=22224442+=+=ACBC，所以此树在未折断之前的高度为（4+42）米．故答案是：（4+42）．16.平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是_____．【答案

】13【解析】【分析】依题意得OP=2，OQ=3，在直角三角形OPQ中，由勾股定理得PQ=2223+=13．【详解】解：在直角坐标系中设原点为O，三角形OPQ为直角三角形，则OP=2，OQ=3，∴PQ=2

22313+=．故答案填：13．17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH9都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___【答案】6【解析】【

分析】由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，，由直角三角形可得222AHHBAB+=，列出方程即可解决问题【详解】由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG，Q四边形EFGH是正方形，2HGEF==，在RtABHV中设AHx=，则2H

Bx=+，222AHHBAB+=，即222(2)10++=xx，解得：126,8xx==−（舍去），6AH=，故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键．18.如图

，O为矩形ABCD内的一点，满足OD=OC，若O点到边AB的距离为d，到边DC的距离为3d，且OB=2d，求该矩形对角线的长________【答案】27d10【解析】【详解】∵OD=OC，∴O在CD的垂直平分线线上，∠ODC=∠OCD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠AD

C=∠BCD=90°，∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，即∠ADO=∠BCO，在△ADO和△BCO中，ADBCADOBCOODOC===,∴△ADO≌△BCO（SAS），∴OA=OB，∴O在AB的垂直平分线上，过O作MN

⊥AB与N交CD于M，如图所示：则AN=BN，NM⊥CD，OM=3d，ON=d，∴BC=MN=3d+d=4d，BN=22OBON−=()2223ddd−=，∴AB=AN+BN=23d，∴AC=()()2222234ABBCdd+=+=27d,故答案为27d．1

9.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分

别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．【答案】（1）11，60，61；（2）212n−和212n+【解析】11【详解】（1）∵112+602=612，∴11，60，61是一组勾股数；故答案为11，60，

61.（2）∵3、4、5是一组勾股数组，23142−=，23152+=；5、12、13是一组勾股数组，251122−=，251132+=；7、24、25是一组勾股数组，271242−=，271252+=；……∴n，212n−，212n+是一组勾股数组.∵2242422212121244−−++

++=+=nnnnnnn,224212124+++=nnn,222221122−++=nnn.∴n,212n−，212n+是一组勾股数组.点睛：本题考查了勾股定理的应用，数字类的探索与规律，由所

给例子得到n，221122nn−+，是一组勾股数组并能根据勾股定理进行验证是解题的关键.20.四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，则VBDC为______三角形．【答案】直角．【解析】【详解】试题分析：如图，连接BD．1

2∵AD=3，AB=4，∠BAD=90°，∴BD=22ABAD+=5，∵BC=12，CD=13，∴BD2+BC2=52+122=169，CD2=132，∴∠DBC=90°，即△BDC为直角三角形．考点：1．勾股定理的逆定理；

2．勾股定理．21.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=______.【答案】2【解析】【详解】根据勾股定理进行逐一计算即可．解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC

=22ACBC+=2；AD=22ACCD+=3；AE=22ADDE+=2．故选D．“点睛”本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．三、解答题22.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，已

知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，求BD的长．【答案】BD＝9.13【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再根据勾股定理求出BD的长即可．【详解】在△ACD中，AD2＋CD2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，∴AD2＋CD

2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，∴BD＝9.【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边

长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．23.如图，在四边形ABCD中，已知AB=4cm，BC=3cm，AD=12cm，DC=13cm，∠B=90°，则四边形ABC

D的面积为______．【答案】36cm2【解析】【详解】考点：勾股定理的逆定理．分析：连接AC，先根据直角三角形的性质得到AC边的长度，再根据三角形ACD中的三边关系可判定△ACD是Rt△，把四边形分成两个直角三角形即可求得面积．解：连接AC，∵∠B=90°

∴AC2=AB2+BC2=16+9=25∵AD2=144，DC2=169∴AC2+AD2=DC2∴CA⊥AD∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×12×5=36（cm2）．24.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2

c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【答案】等腰直角三角形【解析】14【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【详解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b

4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等

腰三角形或等腰直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．25.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30

nmile（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案】(1)PQ=24,PR=18;(2)“海天”号沿西北方向（或北偏西45°）航行．【解析】【详解】（1）根据路程=速度×时间分别

求出PQ、PR的长；（2）再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解.解：（1）PQ的长度16×1.5=24nmile，PR的长度12×1.5=18nmile；（2）∵RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向（或北偏

西45°）航行．“点睛”此题考查了勾股定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关15键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大.