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【文档说明】天津市部分区2022-2023学年高一下学期期中数学试题含解析.docx，共(14)页，2.250 MB，由小赞的店铺上传
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天津市部分区2022～2023学年度第二学期期中练习高一数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时10分钟．第Ⅰ卷参考公式：·圆柱的体积公式VSh=，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．·圆锥的体积公式13VSh=，其中S表示圆锥的底面
面积，h表示圆锥的高．·棱锥的体积公式13VSh=，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．·球的表面积公式24πSR=，其中R表示球的半径．一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．1.已知向量()2,2a=，()1,1b=−，则ab−=（）A.()3,0B.()3,1C.()1,3D.()1,2-【答案】C【解析】【分析】直接利用向量减法坐标公式计算即可.【详解】(
)()21,211,3ab−=−+=故选：C2.已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（）A.πB.2πC.4πD.12π【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，球直径为正方体的体对角线，求出求半径，代入球的表面积公式即可求解.【详解】设该球的半径为R，由题意
可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，则222222223R=++=，所以3R=，的则该球的表面积24π12πSR==，故选：D.3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若1a=，2b=，7c=，则C=（）A.120B.90C.60D.45【答
案】A【解析】【分析】根据余弦定理即可求得答案.【详解】由余弦定理可得2221471cos22122+−+−===−abcCab，由于0180C，故120C=，故选：A4.已知点()2,0P，()1,1Q，向量(),2EF=，若0PQEF=，则实数的值为（）A.12B.12
−C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量坐标表示及向量数量积的坐标表示即得.【详解】由()2,0P，()1,1Q，可得()1,1PQ=−，又(),2EF=，所以20PQEF=−+=，所以2=．
故选：C．5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若1a=，2b=，π4B=，则A=（）A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【答案】A【解析】【分析】由已知及正弦定理可求sinA，利
用大边对大角可知π4AB<=，从而得出结果．【详解】∵π1,2,4abB===，∴由正弦定理可得：sin1sin2aBAb==，ab，π4AB\<=，π6A=.故选：A．6.已知向量()1,2a=−，()1,1b=，则a在b上的投影向量为（）A.22B.()1,2-C.22,22
D.11,22【答案】D【解析】【分析】求出ab以及||b，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量()1,2a=−，()1,1b=，故121,||2abb=−+==，则a在b上的投影向量为1111(1,1)(,22||||22abb
bb==），故选：D7.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且1AB=，3AC=，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（）A.πB.
2πC.7π3D.10π3【答案】C【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径1r=，由1,3ABAC==，则2BC=，故该陀螺的体积221π7πππ2π333VBCrABr=+=+=.故选
：C.8已知向量(),1am=，()4,bm=，若a与b方向相反，则ab+=（）A.221017mm++B.5C.25D.5【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求得m的值，再根据向量模的坐标计算，可得答案.【详解】由题意向量
(),1am=，()4,bm=，a与b方向相反，则240m−=且0m，故2m=−，所以()2,1a=−，()4,2b=−，所以22(2,1),2(1)5abab+=−+=+−=，故选：B9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
ABC的面积为S，24ab+=，()()sinsinsin6cabcABCS+−++=，32CACDCB=−，则CD的最小值为（）A.2B.223C.3D.233【答案】D【解析】【分析】由()()sinsinsin6cabcAB
CS+−++=及面积公式与正弦定理求得C，由24ab+=得2ab，由32CDCACB=+平方结合二次函数求CD的最小值.【详解】1sin2SbcA=，()(sinsinsin)3sincabcABCbcA+−++=，由正弦定理得()()
3abcabcab+−++=，22()3abcab+−=，222abcab+−=，.2221cos22abcCab+−==，(0,π)C，π3C=.2422abab+=，2ab，当且仅当22ab==时取等号.32CDCA
CB=+，222944CDCACBCACB=++22π44cos3baba=++2242baab=++2(2)2baab=+−16212ab=−.233CD.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共
6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．10.i是虚数单位，复数2i1i−=+______．【答案】13i22−【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】复数2i(2i)(1i)13i13i1i(1i)(1i)222−−−−===−++
−，故答案为：13i22−.11.直线l上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______．【答案】l【解析】【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案.【详解】由题意直线l上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内，故用符号表示为l，故答案为：l
12.若()1,1A、()2,1B−、(),Cab三点共线，则2ab+=______．【答案】3【解析】【分析】分析可知//ABACuuuruuur，利用平面向量共线的坐标表示可求得2ab+的值.【详解】因为
()1,1A、()2,1B−、(),Cab三点共线，则//ABACuuuruuur，且()1,2AB=−，()1,1ACab=−−，所以，()121ba−=−−，整理可得23ab+=.故答案为：3.13.在长方体1111ABCDABCD−中，2AB=，1AD=，
13AA=，则异面直线11AC与1AD所成角的余弦值为______．【答案】210##1210【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线11AC与1AD所成角的余弦值.【详解】
如图，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A、()10,0,3D、()11,0,3A、()10,2,3C，则()11,0,3AD=−，()111,2,0AC=−，11111111111012cos0
,5ADADADACACAC===，因此，异面直线11AC与1AD所成角的余弦值为210.故答案为：210.14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222abcab+−=，则C=______，若2c=，则ABC外接圆的半径为______．【答案】①.π3②
.233【解析】【分析】根据余弦定理求出角C；利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.【详解】因为222abcab+−=，在ABC中，由余弦定理可得，2221cos22abcCab+−==，因为(0,π)C，所以π3C=；若2c=，
设ABC外接圆的半径为R，在ABC中，由正弦定理可得，22sin32cRC==，解得233R=，故答案为：π3；233.15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，13AEAC=，则DEBE=______；若F为线段BD上的动点，则FEFB的最小值为_____
_．【答案】①.49−②.18−【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得,DEBE的坐标，根据数量积的坐标运算，求得DEBE；设(,),01DFDB=
=−，表示出FEFB的表达式，结合二次函数性质求得FEFB的最小值.【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(1,),(0,0),00(),,,11(1)ABDC，∴(1,1)AC=，
∵E是对角线AC上一点，且111(3,3)3AEAC==，可得)1(3,13E，∴2(1,)33DE=−，1(,)332BE=−，∴2214()()333391DEBE=−+−=−；因为点F为线段BD（含端点）上的动点，则设(,),01DFDB==−,故(,1)F−，所以1
2=(,)33FE−−，=(1,1)FB−−，故221231(,)(1,1)2312()3348FEFB=−−−−=−+=−−，由于01≤≤，所以34=时，2312)48−−（取到最小值18−，即FEFB的最小值为18−，故答案为：49−
；18−三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知向量a，b满足2a=，3b=，a与b的夹角为2π3．（1）求ab+的值；（2）若()()2abkab+⊥−，求实数k的值．【答案】（1）7（2）35【解析】【分析】（1）将ab+平方求模长；（2）根
据垂直关系的向量表示求解.【小问1详解】2πcos,6cos33ababab===−，22224697abaabb+=++=−+=，7ab+=.【小问2详解】由()()2abkab+⊥−得()()()()2222283290abkabkakabbkk+−=+−−=−−−=，解得
：35k=.17.如图，三棱锥SABC−的底面ABC的侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，SDCD⊥．（1）证明：BC∥平面SDE；（2）求三棱锥SABC−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据线面平行的
判定定理即可证明结论；（2）证明SD⊥平面ABC，求得SD的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案.【小问1详解】因为,DE分别是,ABAC的中点，所以DEBC∥，因为BC平面SDE，DE平面SDE，所以BC∥平面SDE；小问2详
解】因为SAB△是等边三角形，D是AB的中点，所以SDAB⊥，因为SDCD⊥，又,,ABCDDABCD=平面ABC，所以SD⊥平面ABC，因为底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，所以2sin603SD
==，32234ABCS==，所以1133133SABCABCVSSD−===.18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知33a=+，62c=+，2π3A=．（1）求C的值；（2）求b
值．【答案】（1）π4C=（2）2b=【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出sinC的值，分析可知C为锐角，即可求得角C的值；（2）求出sinB的值，利用正弦定理可求得b的值.【小问1详解】解：在ABC中，3
3a=+，62c=+，2π3A=，由正弦定理sinsinacAC=可得()()3231sin22sin2331cACa+===+，因2π3A=，则C为锐角，故π4C=.【小问2详解】【的为解：由（1）可知，2πππππ3412BAC=−−=−−=，所以，πππππππ32126
2sinsinsinsincoscossin1234343422224B−==−=−=−=，由正弦定理sinsinabAB=可得()()3362sin42sin32aBbA+−===.19.如图，在长方形1111ABCDABCD−中，
2AB=，11ADAA==．（1）求证：11BCBD⊥；（2）求直线1AB与平面11ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见详解（2）1010【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得到11DC⊥平面11BCCB，进而得到1BC⊥平面11ABCD
，利用线面垂直的性质进而得证；（2）记1BC交1BC于点O，连接AO，得到1BAO为1AB与平面11ABCD所成的角，在直角三角形中进行求解即可.【小问1详解】在长方体1111ABCDABCD−中，111DCCC⊥,1111DCBC⊥,1111CCBCC=，1
11,CCBC平面11BCCB，11DC⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，111BCDC⊥，又11ADAA==，可得11BCBC⊥,1111BCCDC=，111,BCCD平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD.1BD平面11ABCD，11BCBD⊥.【小
问2详解】记1BC交1BC于点O，连接AO，由（1）得1BC⊥平面11ABCD，所以AO为斜线1AB在平面11ABCD上的射影，1BAO为1AB与平面11ABCD所成的角.在长方体1111ABCDABCD−中，2AB=,11ADAA==，在1RtBAO中，15AB=，1
11222BOBC==，11110sin10BOBAOAB==.直线1AB与平面11ABCD所成角的正弦值为1010.20.在ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c．向量()3,mab=，()sin,cosnAB=，且mn∥．（1）求
B的值；（2）若2a=，7b=，求ABC的面积【答案】（1）π3B=（2）332【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得3cossin0aBbA−=，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案；（2）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式
即可求得答案.【小问1详解】因为(3,)mab=，(sin,cos)nAB=，且//mn，所以3cossin0aBbA−=，由正弦定理，得3sincossinsin0ABBA−=，又(0,π),sin0
AA，3cossin0BB−=，从而tan3B=，因为0πB，所以π3B=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，而2a=,7b=,π3B=，得2742cc=+−，即2230cc−−=，因为0c，所以3c=，获得更多资源
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