【文档说明】天津市部分区2023届高三二模数学试题含解析.docx，共(21)页，2.475 MB，由小赞的店铺上传

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天津市部分区2023年高三质量调查试卷（二）数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集

1,2,3,4,5,6U=，集合1,3,5,2,3,4AB==，则()UBA=ð（）A.3B.2,4C.2,3,4D.0,1,3【答案】B【解析】【分析】由集合的运算求解.【详解】()2,4,62,4

2,3,4UAB==ð.故选：B2.设xR，则“||1x”是“31x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可.【详解】当||1x时，即11x−，32

331(1)(1)0101xxxxxx−=−++−，因此由||1x能推出31x，当31x时，显然当2x=−时成立，但是||1x不成立，因此由31x不一定能推出||1x，所以“||1x”是“31x”的充分不必要条

件，故选：A3.函数()()2ln1fxxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据奇偶性，排除A,B,再取1x=，即可求解.【详解】解：函数()fx的定义域为R,又()()()()22ln

1ln1fxxxxxfx−=−−+=−+=−，故函数()fx为奇函数，排除A,B.又(1)ln20f=，故排除D，选C.故选：C.4.已知2823,log9xy==，则2xy+=（）A.3B.5C.22log3

D.32【答案】A【解析】【分析】根据指对运算化简2log3x=，再根据对数运算法则计算2xy+的值.【详解】223log3xx==，28log9y=222228822log3loglog3log8399xy+=+===.故选：A.5.设113431log4,,33abc−

===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.c<a<bC.b<c<aD.cba【答案】C【解析】【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.【详解】由题意得33log4log31a==，11133413,33bc−−===，由于

3xy=为(,)−+上的单调增函数，故11133413313bc−−===，故b<c<a，故选：C6.红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.敦敦和融融在步行街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃

.如图，该红薯可近似看作三个部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径是为R、高为2R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若敦敦准备从中间部分的A处将红薯切成两块，则两块红薯体积差的绝对值为（）A.31π3RB.32π3RC.35π6RD.3πR【答案】A【

解析】【分析】由球和圆柱，圆锥的体积公式求解即可.【详解】由题意可知，两块红薯体积差绝对值为322214πππ(π)233RRRRRRR+−+3332πππ333RRR=−=.故选：A.的7.若函数()()π2sin06fxx=+在区间ππ,66−

上具有单调性，则的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由x的范围确定π6x+的范围，分别讨论()fx单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得的范围，进而确定最大值.【详解】当ππ,66x−

时，πππππ,66666x+−++；若()fx在ππ,66−上单调递增，则()πππ2π662πππ2π662kkk−+−+++Z，解得：()412212kkk−+Z，又0，若不等式组有解，则41202120k

k−+解得：1163k−，0k=，则02；若()fx在ππ,66−上单调递减，则()πππ2π662ππ3π2π662kkk−++++Z，解得：212812kk−−+，又0，若不等式组有解，则212

08120kk−−+，解得：2136k−−，与kZ矛盾，()fx\在ππ,66−上单调递减不成立；综上所述：(0,2，则的最大值为2.故选：B.8.已知双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为

2，抛物线24yx=的焦点为F，过F过直线l交抛物线于,AB两点，若l与双曲线的一条渐近线平行，则AB=（）A.16B.83C.8D.163【答案】D【解析】【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，结合韦达

定理和焦点弦公式，即可求解.【详解】解：由题意得2212cbeaa==+=，故双曲线的渐近线方程为3byxxa==，又l与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线l的斜率为3，又()1,0F，故l的直线方程为：33yx=−，联立直线方程和抛物线方程得：231030xx−+=，所以103ABxx+=

，所以1016233ABABxxp=++=+=.故选：D.9.设函数()πsin2fxx=，()1exgx−−=.当2023,2025x−时，()fx与()gx的图象所有交点的横坐标之和为（）A.4051B.4049C.2025D.202

3【答案】B【解析】【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.【详解】函数()πsin2fxx=的最小正周期为2，直线1x=为其一条对称轴，()111e,1ee,1xxxxgxx−

+−−−==，其图象关于直线1x=对称，故可作出函数函数()πsin2fxx=，()1exgx−−=得图象如图：由图像可知，在直线1x=的右侧，(1,2025]包含()fx的1012个周期，

()fx在(1,3],(3,5],,(2023,2025]每个周期内和()gx的图象都有2个交点，则共有2024个交点，根据对称性可知，在直线1x=的左侧，()fx和()gx的图象也有2024个交点，且在直线1x=的两侧的

交点是关于直线1x=两两对称的，故这4048个交点的横坐标之和为202424048=，而1x=也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故()fx与()gx的图象所有交点的横坐标之和为404814049+=，故选：B【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如

周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.i是虚数单位，复数3i2i+=−_______________.【答案】1i+##i1+【解析】【分析】根据复数的除法运

算即可求得答案.【详解】复数3i(3i)(2i)55i1i2i55++++===+−，故答案为：1i+11.在1022xx+的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）【答案】1

80【解析】【分析】根据二项展开式通项，令2r=即可求得常数项.【详解】1022xx+展开式通项为：()1051021101022C2CrrrrrrrTxxx−−+==，令10502r−=，

解得：2r=，223102C445180T===，即常数项为180.故答案为：180.12.经过点()()()0,0,0,4,3,3的圆的方程为___________.【答案】22240xyxy+−−=【解析】

【分析】设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=，代入点坐标，待定系数求解即可.【详解】设圆的一般方程为，代入点()()()0,0,0,4,3,3可得：0164018330FEFDEF=++=+++=，解得024FDE==−=−故圆

的一般方程为：22240xyxy+−−=故答案为：22240xyxy+−−=13.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，

如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数X的期望是_____________.【答案】①.0.84##2125②.4.2##215【解析】【分析】由独立事件的乘法公式得出甲第一轮通过

的概率，再由X服从二项分布得出甲5个轮次通过的次数X的期望.详解】=iA“第i次投中”，1,2i=，则甲第一轮通过的概率为12121()1()()10.40.40.84PPAAPAPA=−=−=−=.X

的可能取值为0,1,2,3,4,5，X服从二项分布~(5,0.84)XB，则甲5个轮次通过的次数X的期望是()50.844.2EX==.故答案为：0.84；4.2.14.已知实数x、y满足224473xxyy++=，则22xy+的最小值为________.【答案】38##0.375【解

析】【分析】由已知可得出2244xyxy+，再结合基本不等式可求得22xy+的最小值.【【详解】因为()2224420xyxyxy+−=−，即2244xyxy+，所以，()2222222234744748xyxyx

yxyxy=+++++=+，所以，2238xy+，当且仅当30203010xy==或30203010xy=−=−时，等号成立，故22xy+的最小值为38.故答案为：38.15.在ABC中，32AB=，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则

A=________；若6AC=，则函数()()11R32fxxABACxABACx=−+−的最小值为_______________.【答案】①.π4##45②.13【解析】【分析】根据投影向量的定义求出cosA，即可求出A，以点A为原点，建立平面直角坐标系，在AC上取

,DE，使得11,23ADACAEAC==，在AB上取点P使得APxAB=，求出点E关于直线AC的对称点F的坐标，再结合图象即可得解.【详解】由向量AB在向量AC上的投影向量为cosACABAAC，得向量AB在向量AC上的投影向量的模为cos3ABA=，所以2cos2A=，又因角A为锐角，所以

π4A=，如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,3,3,6,0ABC，在AC上取,DE，使得11,23ADACAEAC==，则()()2,0,3,0ED，在AB上取点P使得APxA

B=，则()1132fxxABACxABACEPDP=−+−=+，直线AC的方程为yx=，设点()2,0E关于直线AC的对称点(),Fab，则12222baba=−−+=，解得02ab==，所以()0,2F，则13EPDPFPDPDF+=+=，当且仅当,,D

PF三点共线时取等号，所以()()11R32fxxABACxABACx=−+−的最小值为13.故答案为：13.【点睛】关键点点睛：以点A为原点，建立平面直角坐标系，在AC上取,DE，使得11,23AD

ACAEAC==，在AB上取点P使得APxAB=，求出点E关于直线AC对称点F的坐标，则()fxEPDPFPDPDF=+=+是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2c=，3cos4C=，2sinsincAbC=.（1）求b的值；（2）求sinA的值；（3）求πsin23A+的值.【答案】（1）2b=（2）

14sin8A=的（3）2πs5793in233A+=+【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2ba=，利用余弦定理可求得a的值，进而可求得b的值；（2）分析可知角C为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，再利用正弦定理可求得si

nA的值；（3）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式可求得πsin23A+的值.【小问1详解】解：由正弦定理sinsinacAC=及2sinsincAbC=可得2bcac=，则2ba=，由余弦定理22222232cos54224cababCaaa=+−=−==，可得1

a=，故22ba==.【小问2详解】解：因为0πC，3cos4C=，则2237sin1cos144CC=−=−=，由正弦定理sinsinacAC=可得71sin144sin82aCAc===.【小问3

详解】解：由（1）可知ab，则AB，故A为锐角，所以，221452cos1sin188AA=−=−=，所以，145257sin22sincos28816AAA===，22529cos22cos121816AA=

−=−=，所以，πππ571935793sin2sin2coscos2sin33316216232AAA++=+=+=.17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面AB

CD，DEBF∥，2ADDE==，12BF=.（1）求证：ACEF⊥；（2）求直线EC与平面ACF所成角的正弦值；（3）在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23，若存在，求出点G到平面ACF的距离，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）56（3）2【解

析】【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直.(2)求出平面ACF的法向量，以及EC的坐标，即可求解.(3)假设线段DE上存在一点()0,0,Gh，再根据条件求出h，再利用向量的投影即可求出点G到平面ACF的距离.【小问1

详解】依题意，以D为原点，分别以,，DADCDE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得()0,0,0D,()2,0,0A,()2,2,0B,()0,2,0C,()0,0,2E,12,2,2F.依题意，()2,2,0AC=

−,32,2,2=−EF,从而222200=−++=ACEF,所以⊥ACEF，即ACEF⊥【小问2详解】依题意，()2,2,0AC=−,10,2,2=AF,设(),,nx

yz=为平面ACF的法向量，则2201202xyyz−+=+=，不妨设1.x=可得()1,1,4n=−r，因为()0,2,2EC=−,设直线EC与平面ACF所成角为，则105sincos,62232===ECn，所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为56.【小

问3详解】假设线段DE上存在一点()0,0,Gh，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23，则()2,2,=−−BGh.依题意()2,0,0AD=−则，242cos,382==+BGADh，解得1h=.所有存在点()0,0,1G满足条件，所以可得

()2,0,1=−AG,由（2）可知平面ACF的一个法向量为()1,1,4n=−r，所以点G到平面ACF的距离为()()2,0,11,1,4232−−==AGnn18.已知椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为

12，且3AF=.（1）求椭圆的方程；（2）过点A作斜率为()0kk的直线与椭圆交于另一点B，C是y轴上一点，且满足FCAB⊥，若直线BC的斜率为310k−，求直线AB的方程.【答案】（1）22143xy+=（2）32333yx=−+或15152yx=−+【解析】

【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、c的值，求出这两个量的值，可求得b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）求出点B、C的坐标，根据310BCkk=−可得出关于k的方程，结合0k可求得k的值，进而可

得出直线AB的方程.【小问1详解】解：由题意可得123caca=+=，解得2a=，1c=，所以，223bac=−=，所以，椭圆的方程为22143xy+=.小问2详解】【解：设直线AB的方程为()2ykx=−，设点()00,Bxy，联立()2223412ykxxy=−+=可得

()2222431616120kxkxk+−+−=，则2x=为方程()2222431616120kxkxk+−+−=的一根，所以，2021612243kxk−=+，可得2028643kxk−=+，则2022861224343

kkykkk−=−=−++，即点2228612,4343kkBkk−−++，由FCAB⊥，得1FCkk=−，所以，直线FC的方程为()11yxk=−+，在直线FC的方程中，令0x=可得1yk=−，即点10,Ck−

，所以，222121343861043BCkkkkkkk−++==−−+，即421249150kk−+=，解得213k=或2154k=，因为0k，解得33k=−或152k=−，所以，直线AB的方程为32333yx=−+或15152yx=−+.19.已知n

a为等差数列，数列nb满足()12nnbbn+=N，且114ab+=，24b=，35a=.（1）求na和nb的通项公式；（2）若,,nnnnancanb=为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和；（3

）设na的前n项和为nS，证明：()111724niiinbS=N.【答案】（1）3122nna=+，2nnb=（2）23323224nnnn+++−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）

分析可知nb为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列nb的通项公式；（2）求出数列nc的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列nc的前2n项和；（3）先证明柯西不等式()()()222222212121122nn

nnssstttststst+++++++++，求出nS，然后利用柯西不等式可证得结论成立.【小问1详解】解：由()12nnbbn+=N及24b=可知，数列nb是以2为公比的等比数列，所以，2122bb==，故1222nnnb−==，设等差数

列na的公差为d，由111312425abaaad+=+==+=，可得12a=，32d=，所以，()33121222nnan=+−=+.【小问2详解】解：131,2231,2nnnncnn++=+为奇数为偶数，设数列nc的前n项和为nT，()()21221321

242nnnnTccccccccc−=+++=+++++++，记1321nnAccc−=+++，242nnBccc=+++，所以，()()213212313253122nnnnnnAcccn−+−+=+++=+++−==，2

423572171319612222nnnnBccc++=+++=++++，①5721231713656142222nnnnnB++−+=++++，②①−②可得15721232331137666617611

6414822228214nnnnnnnB−+++−++=++++−=+−−117116196984424824nnnnn++++=+−−=−，所以，323224nnnB+=−，因此，223323224nnnnnnnTAB+++=+=−.【小问3详解】

证明：先证明柯西不等式()()()222222212121122nnnnssstttststst+++++++++，构造函数()()()()()2221122nnfxsxtsxtsxtn=−+−++−N，显然()0fx且()()(

)()2222222121122122nnnnfxsssxstststxttt=+++−+++++++，所以，()()()222222211221212440nnnnstststsssttt=+++−++++++，即()()()222222212

121122nnnnssstttststst+++++++++，当且仅当(),1,2,,ijjiststijn=时，等号成立，本题中，由（1）可得()21312352224nnnnnaannS++++===，所以，2111352nnnbSn

n−=+，且()211111353131nnnnnn=−+++，所以，211111111111113532231313niiinnn=−+−++−=−+++，221111

111114144111244434314nnnini−−=−=++++==−−，所以，22211111171114424352339nnniiiiiiiibS−====

+，但23522nnnnnSb+=不恒为常数，所以等号不成立，则()11217324niiinbS=N.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中n

a是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于nnab+结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa+结构，其中na是等差数列，公差为()0dd，则111111nnnnaadaa++=−，利用裂项相消法求和.20.已知,Rab

，函数()sinlnfxxaxbx=++.（1）当0,1ab==−时，求()fx的单调区间；（2）当1,02ab=−时，设()fx的导函数为()fx，若()0fx¢>恒成立，求证：存在0x，使得()01fx−；（3）设01,0ab，若存在()12,0,xx+，使得()()(

)1212fxfxxx=，证明：1221bxxa−++.【答案】（1）()fx的递增区间为()1,+，递减区间()0,1.（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当0,1ab==−时，求得()1xfxx−=，结合导数的符号，即可求解；（2）当1,02ab=−时，求得()1

1cos2bfxxx=−+，根据题意11cos02bxx−+恒成立，取30ebx−=，得到()01fx−，即可求解；（3）设12xx，得到212121()(sinsin)(lnln)xxaxxbxx−+=−−，转化为2211ln(1)()xbaxxx−+−，设()1ln21xhxxx−

=−+，求得()()22(1)01xhxxx−=+，根据()()10hxh=，得到1ln21xxx−+，进而得到212121ln4xxxxxx−+，进而证得结论.【小问1详解】解：由函数()sinlnfxxaxbx=++，可得其定义域

为()0,+，当0,1ab==−时，可得()lnfxxx=−，则()111xfxxx−=−=，当()0,1x时，可得()0fx，()fx单调递减；当()1,x+时，可得()0fx¢>，()fx单调递增，所以函数()fx的单

调递增区间为()1,+，单调递减区间()0,1.【小问2详解】解：当1,02ab=−时，可得()1sinln2fxxxbx=−+，则()11cos2bfxxx=−+，因为()0fx¢>恒成立，即11cos02bxx−+恒成立，令()11cos,

02bhxxxx=−+，若0b，则0bx，存在2bx=−，使得1()1cos()0222bbh−=−−−，即()0fx，不符合题意，所以0b，取30ebx−=，则001x，可得()3333

301esinelneesine312bbbbbfxab−−−−−=++=−−−，即存在0x，使得()01fx−.【小问3详解】解：由函数()sinlnfxxaxbx=++，可得()1cosbfxaxx=++，设12xx，因为()()12fxfx=，可

得111222sinlnsinlnxaxbxxaxbx++=++则212121()(sinsin)(lnln)xxaxxbxx−+=−−又由sinyxx=−，可得1cos0yx=−，所以函数sinyxx=−为单调递增函数，所以2211sinsinxxxx−−，即21

21sinsinxxxx−−，所以2121(lnln)(1)()bxxaxx−−+−，即2211ln(1)()xbaxxx−+−，设()1ln21xhxxx−=−+，可得()()()22214(1)011xhxxxxx−=−=++，所以当1x时，()()10hxh

=，即1ln21xxx−+，所以1ln21xxx−+，即1ln41xxx−+，所以21212122111ln441xxxxxxxxxx−−=++，代入可得：()21212121214(1)()(1)()

()xxbaxxaxxxxxx−−+−=+−++，则2214()1bxxa−++，所以1221bxxa−++.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函

数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新

函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com