【文档说明】专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用））（解析版）.docx，共(55)页，2.738 MB，由管理员店铺上传

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2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan34+=−，则sincoscos3sin+

=−（）A．3−B．35-C．17−D．15【答案】B【分析】先求出tan的值求解即可.【详解】因为tan34+=−，所以tantantan14tan341tan1tantan4+++===−−−，解得tan2=，所以sincossincosta

n13coscoscos3sincos3sin13tan5coscos+++===−−−−.故选：B.2．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3154，

1bc−=，1cos4A=，则=a（）A．10B．3C．10D．3【答案】C【分析】由已知及三角形面积公式可得6bc=，进而求出b、c，应用余弦定理求a即可.【详解】因为1cos4A=，则15sin4A=，又1

15315sin284ABCSbcAbc===，所以6bc=，又1bc−=，可得3b=，2c=，所以2222cos10abcbcA=+−=，即10a=.故选：C3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan2tan

44xx−=+，则sin2x=（）A．35-B．35C．13−D．13【答案】C【分析】根据题意，利用两角和差的正切公式求出tanx，再根据两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得出答案.【详解】解：因为tan2tan44xx−=+

，所以1tan1tan21tan1tanxxxx−+=+−，解得tan322x=−，2222sincos2tansin2sincostan1xxxxxxx==++，当tan322x=−−时，()223232tan1tan1318123xx−+

==−++，当tan322x=−+时，()223232tan1tan1318123xx−−==−+−，综上所述，1sin23x=−.故选：C.4．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34+=−，则cos2=

（）A．35B．35-C．34−D．34【答案】B【分析】由给定条件求出tan，再利用二倍角的余弦结合齐次式计算作答.【详解】由tan()34+=−，即1tan31tan+=−−，解得tan2

=，所以2222222222cossin1tan123cos2cossincossin1tan125−−−=−====−+++.故选：B二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan2=，则下列结论正确的是（）A．tan()2−=−B．tan()2+=−C．s

in3cos12sin3cos7−=−+D．4sin25=【答案】ACD【分析】对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断.【详解】对于A选项，tan()tan2−=−=−，故A选项正确；对于B选项，tan()tan2+==，故B选项错误；对于C

选项，sin3costan32312sin3cos2tan3437−−−===−+++，故C选项正确；对于D选项，2222sincos2tan44sin22sincossincostan1415=====+++，故D选项

正确.故选：ACD6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin4cos436fxxx=++−，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在,812−上

单调递增C．f（x）在[0,]上有4个零点D．把f（x）的图象向右平移12个单位长度，得到的图象关于直线8x=−对称【答案】ACD【分析】先对函数化简变形得()2cos46fxx=−，然后利用余弦函数的性质逐个分析判

断即可【详解】因为()sin4cos42cos42666fxxxx=+−+−=−，所以A正确；当,812x−时，24,636x−−，函数()2cos46fxx

=−在,812−上先增后减，无单调性，故B不正确；令2cos406x−=，得4,62xkk−=+Z，故,64kxk=+Z，因为[0,]x，所以0,1,2,3k=，故C正确；把()2cos4

6fxx=−的图象向右平移12个单位长度，得到2cos42cos41262yxx=−−=−=2sin4x的图象，当8x=−时．y取得最小值－2，故D正确．故选：ACD三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0

，且1sin23−=，则cos=__________，tan=__________．【答案】1322【分析】利用诱导公式结合1sin23−=可求cosα，根据2,0可知2sin1cos=−，再根据sintancos

=即可求出tanα﹒【详解】11sincos233−==，∵2,0，∴2122sin1cos193=−=−=，22sin3tan221cos3===，故答案为：13；22﹒

8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角的终边过点()4,Aa，且3sin(π)5−=，则tan=___________.【答案】34−【分析】先求得sin,cos，然后求得tan.【详解】33sin(π)sin,sin055−=−==−，由于角的终边过点()4,Aa，所

以在第四象限，所以24cos1sin5=−=，所以sin3tancos4==−.故答案为：34−9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334aaaaaaaa=−.若22cos21sin5−=，()

0,，则tan=___________.【答案】43−【分析】由所给运算法则得到1sincos5+=，再根据平方关系得到方程组，解得sin、cos，从而求出tan；【详解】解：由已知22cos21sin5−=，即()22sin12cos5−−=，化简得1sincos

5+=，联立22sincos1+=，又()0,，解得4sin53cos5==−或3sin54cos5=−=（舍去）.所以sintans43co==−.故答案为：43−10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知

1(0,),sin()cos(2)4−+−=，则3sin22+=_______．【答案】3116【分析】由诱导公式化简得1sincos4+=，平方后计算得15sincos32=−，从而计算出31cossin4−=−，再由诱导公式以及

余弦的二倍角公式代入求解得答案.【详解】1sin()cos(2)sincos4−+−=+=，则()2115sincos12sincossincos3216+=+==−，所以()231cossin12sincos16

−=−=，因为(0,)，所以cos0,sin0，31cossin4−=−，则()()()22331131sin2cos2cossincossincossin24416+=−=−−=−−+==.故答案为：311611．（2022·陕西·二模

（理））角顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线20xy+=上，则sincos44−−=___________.【答案】310−【分析】根据正切的定义，结合诱导公式、二

倍角的正余弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为角终边在直线20xy+=上，所以tan2=-，∴sincos44−−sincos44=−−12sincos244

=−−1sin224=−1sin222=−()21cos2212cos12==−222221cos2cos1cossin2111tan2111423,10=−=−+=−+=−+=−.故答案为：310−12．

（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin5cos=，则2sin2cos+=________.【答案】2429【分析】由题设可得5tan2=，应用倍角正弦公式、平方关系、商数关系，将目标式化为22tan1tan1++，即可求值.【详解】由2sin5cos=，则5tan

2=，所以222222sincoscos2tan124sin2cossincostan129+++===++.故答案为：2429四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC的内角A、B

、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c是三个连续的正整数，且abc，2CA=．(1)求a；(2)将线段AB绕点A顺时针旋转3到AD，求ACD△的面积．【答案】(1)4a=(2)4531578+或4531578−【分析】(1)根据题意和正弦定理可得1cos2(

1)bAb+=−，结合余弦定理可得4cos2(1)bAb+=+，进而列出方程，解方程即可；(2)由(1)和余弦定理可得cosBAC，根据同角三角函数的基本关系求出sinBAC，结合三角形面积公式分两种情况计算即可.(1)abc且abc、、是三个连续

的正整数，∴可得11abcb=−=+，，由正弦定理得1111sinsinsin22sincosbbbbACAAA−+++===，1cos2(1)+=−bAb，又由余弦定理得222(1)(1)4cos2(1)2(1)++

−−+==++bbbbAbbb142(1)2(1)++=−+bbbb，解得54ba==，；(2)由（1）知2225643456cos2564abcBAC+−=====，，，，2237sin1cos144=−=−=BACBAC，将线段AB绕点

A顺时针旋转3到AD时，分两种情况如下:(i)如图1:13sinsin()sincos322CADBACBACBAC=+=+173373324248+=+=173345315756288ACDS++==，(ii)如图23

1cos0423CABCABCAB=，，31sinsin()cossin322CADBACBACBAC=−=−331733724248−=−=，Δ133745315756288ACDS−−==综上所述，ACD△的面积为4

53157453-15788+或.考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin23cos2fxxx=+的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()gx的图象，则函数()gx的一个单调递增区间为（

）A．ππ,44−B．π3π,44C．ππ,36−D．π,02−【答案】A【分析】先对函数()fx解析式化简，然后通过平移变换得到函数()gx解析式，然后求解出函数()gx的单调递减区间，通过对k进行赋值选取合适的单调区间即可.【详解】因为()πs

in23cos22sin(2)3fxxxx=+=+，函数图象向右平移6个单位长度后得到函数()gx，即()ππ2sin2()2sin263gxxx=−+=，函数()gx的单调递增区间为：ππ2π22π(Z)22kxkk−++，解得ππππ(Z)44kxkk−++，当0k=

时，ππ44x−，故选项A正确；当1k=时，3π5π44x，选项B错误；当1k=−时，5π3π44x−−，选项C、选项D错误.故选：A.2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos(0)fxx=+的

最小正周期为π，若将其图象沿x轴向左平移(0)mm个单位长度，所得图象关于直线π3x=对称，则实数m的最小值为（）A．6B．π4C．π3D．2π3【答案】A【分析】先求出2=，利用平移后的解析式关于π3x=对称，求出ππ23km=−，kZ，结合

0m，求出实数m的最小值.【详解】由题意得：2ππ=，所以2=，沿x轴向左平移(0)mm个单位长度，所得解析式为()()1cos2gxxm=++，又()gx关于直线π3x=对称，所以π22π3mk+=，kZ，解得：ππ23km=−，k

Z，又0m，解得：23k，kZ，故当1k=时，m取得最小值，此时ππ26π3m=−=.故选：A3．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0，函数()sin6fxx=−在,63上单调递增，且对任意,84x，都有()0fx，则

的取值范围为（）A．4,23B．4,23C．[1,3]D．(1,3)【答案】A【分析】由题可得21226,Zkkk−++剟，43+16𝑘⩽𝜔⩽143+8𝑘,𝑘∈𝒁，进而可得02„，41433剟，即得.【详解】由𝜋6

⩽𝑥⩽𝜋3，得66636x−−−剟，则22,Z266362kkk−+−−+剟，解得21226,Zkkk−++剟．又,0362T−=，∴06，故0k=，即02„．由𝜋8⩽𝑥⩽𝜋4

，得𝜔𝜋8−𝜋6⩽𝜔𝑥−𝜋6⩽𝜔𝜋4−𝜋6，则0+2𝑘𝜋⩽𝜔𝜋8−𝜋6<𝜔𝜋4−𝜋6⩽𝜋+2𝑘𝜋,𝑘∈𝒁，解得414168,33kkk++Z剟，因为06，故0k=，即43⩽𝜔⩽

143，综上所述，的取值范围为4,23．故选：A.4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin(0)fxx=图象上相邻两条对称轴之间的距离为32，则=（）A．32B．43C．23D．13【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦

函数的性质直接列式计算作答.【详解】函数()sin(0)fxx=的最小正周期2T=，相邻两条对称轴之间的距离为，于是得32=，解得23=，所以23=.故选：C二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos2fxx=的图象向左平移3个单位长度后

得到函数()gx的图象，关于函数()gx，下列选项不正确的是（）．A．最小正周期为B．2()3cos23gxx=+C．()gx是偶函数D．当()12xkk=−Z时()gx取得最大值【答案】CD【分析】根据三角函数平移变换可得()gx，即可判断奇

偶性及最小正周期和取最大值时，x的值【详解】2()3cos2,B33gxfxx=+=+正确,C错误()gx的最小正周期2,A2T==正确当()3gx=时,222()3xkkZ

+=,解得3()xkkZ=−所以当3()xkkZ=−时,()gx取得最大值,D错误故选：CD6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sinfxAx=+（0，0A），若3x=为()fx的一个极值点，且()fx的最小正周期

为，则（）A．3Af=B．6k=−（kZ）C．()fx的图象关于点（712，0）对称D．3fx+为偶函数【答案】BCD【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为3x=是()fx的一个极值点，则3

Af=，所以A错误；因为2T==，则2=，可得()()sin2fxAx=+，令2,32kkZ+=+，解得,6kkZ=−，所以B正确.因为()sin2,6fxAxkkZ=+−，则()77sin2sin1012126fAkAk

=+−=+=，所以C正确；因为()sin2sin2cos23362fxAxkAxkAxk+=++−=++=+，则当k为奇数时，cos23fxAx+=−为偶函数；当k为偶数时，c

os23fxAx+=为偶函数，所以D正确.故选：BCD.7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23cossincos222xxxfx=−，则（）A．函数()fx的最小正周期为4πB

．点2π3,32−是函数()fx图象的一个对称中心C．将函数()fx图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称D．函数()fx在区间π,06−上单调递减【答案】BCD【分析】先将(

)23cossincos222xxxfx=−化简为()3cos()62fxx=++，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.【详解】()21cossin31333cossincos3cossincos()2222222262xxxxxfxxxx+=−=−=−+=++，故

最小正周期为2，A错误；2233()cos()33622f−=−++=，点2π3,32−是一个对称中心，B正确；向左平移5π6个单位长度得到()533cos()cos6622fxxx

=+++=−+，关于y轴对称，C正确；,0,0,666xx−+，()fx单调递减，D正确.故选：BCD.8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos24fxx=

−，先将函数()yfx=的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4个单位长度，得到函数()ygx=的图象.则（）A．()5cos612gxx=−B．()gx的图象关于58x=对称C．()gx的最小正周期为3πD．()gx在

（58，178）上单调递减【答案】BCD【分析】直接利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用余弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论.【详解】函数()cos24fxx

=−，先将函数()yfx=的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到2cos34yx=−的图象，再将所得图象上所有的点向右平移4个单位长度，得到函数()25cos312ygxx==−的图象，故A错误；当58x=时，5

18g=，故B正确；函数的最小正周期为2233=，故C正确；当517(,)88x时，()250,312x−，故函数在该区间上单调递减，故D正确.故选：BCD.9．（2022·辽宁·模拟预测）已

知函数()()sin2fxx=+0,2的图象向左平移3个单位长度得到()gx的图象，()gx的图象关于y轴对称，若()fx的相邻两条对称轴的距离是2，则下列说法正确的是（）A．()co

s2gxx=B．()fx的最小正周期为2C．()fx在0,上的单调增区间是0,3，[2𝜋3,𝜋]D．()fx的图象关于点17,012−中心对称【答案】AD【分析】根据相邻对称轴间距离和正弦型函数奇偶性可求得()fx解析式

；根据三角函数平移变换、正弦型函数最小正周期、单调区间和对称中心的求法依次判断各个选项即可.【详解】()fx的相邻两条对称轴距离为2，()fx最小正周期2222T==，解得：1=；()()sin2fxx=+，()2sin233gxfxx

=+=++，()gx图象关于y轴对称，()232kkZ+=+，解得：()6kkZ=−+，又2，6=−，()sin26fxx=−；对于A，()2sin2sin2cos2362gxxxx=+−=+=

，A正确；对于B，()fx的最小正周期22T==，B错误；对于C，令()222262kxkkZ−+−+，解得：()63kxkkZ−++，()fx的单调递增区间为(),63kkkZ−++

，则()fx在0,上的单调增区间是0,3，5,6，C错误.对于D，()1717sinsin301266f−=−−=−=，()fx图象关于点17,012−中心对称，

D正确.故选：AD.三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2fxx=+的图象经过点(01)A−,，且()fx在,63上单调递增，则的最大整数值为________.【答案】2【分析】先由(0)1f=

−求得6=−，再利用()fx在,63上单调递增解得21226,kkk−++Z剟，确定k的范围即可求得的最大整数值.【详解】因为(0)2sin1,||2f==−，所以6

=−.由𝜋6⩽𝑥⩽𝜋3得，66636x−−−剟，则22,266362kkk−+−−+Z剟，解得21226,kkk−++Z剟.由21226,kkk−++Z得，2,3kkZ.因为0，所以当0k时，不符合条件，故0k=，即02

„.故的最大整数为2.故答案为：2.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos3fxx=−在区间,aa−上单调递增，则实数a的最大值为__________.【答案】3【分析】由x∈,aa−求出3x−的范围A，

根据余弦函数单调性可知A,0−，列出不等式组求解出a的范围即可求其最大值.【详解】x∈,aa−，则,333xaa−−−−，由题可知，,,033aa−−−−，则3303aaa−−−−，则a的最大

值为3.故答案为：3.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos23fxx=−，现将()yfx=的图象向左平移6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y

gx=的图象，则3g=___________.【答案】1【分析】根据图像平移求出g(x)的解析式即可求解.【详解】()2cos23fxx=−的图象向左平移6个单位长度得到2cos22cos2663yfxxx=+=

+−=的图像，2cos2yx=的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到()2cosygxx==的图像，∴2cos133g==.故答案为：1.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数

()fx，①函数()fx的图象关于直线6x=−对称，②当,2x时，函数()fx的取值范围是[2,1]−，则同时满足条件①②的函数()fx的一个解析式为________.【答案】()2sin26fxx=−

（答案不唯一）【分析】根据值域，求得A值，根据x范围，求得周期，进而可得值，根据对称轴，求得值，经检验，即可得答案.【详解】由题意，设()sin()fxAx=+，由()fx的最小值为-2，得A=

2，若,2为半个周期长度，则22T=−=，则22T==，由①，不妨令262−+=−，解得6=−，所以()2sin26fxx=−，经检验，符合①②条件，故答

案为：()2sin26fxx=−（答案不唯一）14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x=和56x=是曲线()()sin0yx=+的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________.【答案】56

（答案不唯一）【分析】根据周期求，再根据函数的对称性求.【详解】由条件可知5632=−=，得2=，当3x=时，232k+=+，kZ，得6k=−+，kZ，当1k=时，56=.故答案为：56（答案不唯一）15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已

知函数()2sin6fxx=+，将函数()yfx=的图象向左平移6个单位，再将得到的图象关于x轴翻折，得到函数()ygx=的图象，则()gx在[0,2]上的单调递增区间为________；【答案】7,66##7,66

【分析】由变换先求出()gx的解析式，在求出其单调递增区间，结合条件可得答案.【详解】函数()2sin6fxx=+的图象向左平移6个单位，可得()2sin3fxx=+再将()2sin3fxx=+的图象关于x轴翻折，可得g()2sin3xx

=−+由322,232kxkkZ+++722,66kxkkZ++当1k=−时，得11566x−−，当1k=时，得131966x当0k=时，得766x，即2sin3y

x=+在7,66上单调递减.所以()gx在[0,2]上单调递增区间为7,66故答案为：7,6616．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3

sincosfxxx=−，给出下列四个结论：①()fx的最小正周期为；②()fx的值域为1,3−；③()fx在,22−上单调递增；④()fx在,−上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】讨论x的

范围去掉绝对值可得到()fx，结合图象逐项分析可得答案.【详解】当()2,2,2+xkkkZ时，()3sincos3sincos2sin6=−=−=−fxxxxxx，当()22,2，

++xkkkZ时，()3sincos3sincos2sin6=−=+=+fxxxxxx，当()322,2，++xkkkZ时，()3sincos3sincos2sin6

=−=−+=−−fxxxxxx，当()3222,2，++xkkkZ时，()3sincos3sincos2sin6=−=−−=−+fxxxxxx，所以()2sin2,2622sin2262()32sin226232sin22262，，，，，，

，−++++=−−++−+++xxkkxxkkfxkZxxkkxxkk，()fx的图象如下所以()fx的最小

正周期为，①正确；()fx的值域为1,3−，②正确；()fx在,22−上有增有减，③错误；()fx在,−上有4个零点，④正确.故答案为：①②④.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()223cossinsincos12fxxxxx

=+++−．(1)求()fx的最小正周期及()yfx=图象的对称轴方程；(2)求()fx在5,66上的最值．【答案】(1)最小正周期；对称轴方程为122kx=+，kZ(2)()min23fx=−−，()max0fx=【分析】（1）先对函数化简变形，再利用周期公

式可求出周期，由232xk+=+可求出对称轴方程，（2）由5,66x，得22,233x+，然后利用正弦函数的性质可求出函数的最值(1)因为()223sin2sincos3cos23

sin22sin233fxxxxxxx=−+=−+=+−所以()fx最小正周期22T==令232xk+=+，kZ，解得：122kx=+，kZ所以()fx对称轴方程为122kx=+，

kZ(2)因为5,66x，所以22,233x+，令3232x+=，解得712x=所以()fx在7,612上单调递减，在75,126上单调递增所以()m

in72312fxf==−−，()max22sin303fx=−=．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,π，()5sin6−=，tan1t

an4=−，则+=（）A．5π6B．πC．7π6D．11π6【答案】C【分析】先利用三角函数的符号确定角、、+的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于sincos

和cossin的方程组，再利用两角和的正弦公式求出()1sin2+=−，进而结合角+的范围进行求解.【详解】因为(),0,π，tan10tan4=−，所以ππ0,π22或ππ0,π22；若ππ0,π22，则π0−−，此时

()sin0−（舍）；若ππ0,π22，则0π−，此时()sin0−（符合题意），所以ππ0,π22，即π3π,22+；因为()5sin6−=且tan

1tan4=−，所以5sincoscossin6−=且sincos1cossin4=−，解得1sincos6=，2cossin3=−，则()1sin2+=−，所以7π6+=.故选：C.2．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos23sin23x

x+=，则x的值可以是（）A．0B．6C．4D．3【答案】C【分析】对原式变形得3sin262x+=，然后逐个代入验证即可【详解】解：因为cos23sin22sin236xxx+=+=，所以3

sin262x+=，对于A，若0x=，则13sin20622+=，所以A不正确，对于B，若6x=，则3sin2sin16622+==，所以B不正确，对于C，若4x=，则3sin2cos466

2+==，所以C正确，对于D，若3x=，则513sin2sin36622+==，所以D不正确，故选：C3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2，10co

s10=−，则πtan4−=（）A．2B．12C．12−D．2−【答案】A【分析】先求得tan，然后根据两角差的正切公式求得正确答案.【详解】依题意π,π2，10cos10=−，所以2310sinsin1cos,tan310cos=−==

=−，所以πtantanπtan1314tan2π41tan131tantan4−−−−−====+−+.故选：A4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sincos3++=，则sin2=（）A．79B．59C．49D．29【答案

】B【分析】利用诱导公式、同角三角函数的平方关系结合二倍角的正弦公式可求得sin2的值.【详解】由已知可得cossi23n−=，等式两边平方得412sincos1sin29−=−=，解得5sin29=.故

选：B.5．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin5=，π,π2，则πtan24+的值为（）A．247B．247−C．3117D．3117−【答案】D【分析】先求得cos,tan,tan2，由此求得πta

n24+.【详解】因为4sin5=，π,π2，所以23cos1sin5=−−=−，sintans43co==−，则22422tan243tan21tan7413−===−−−，24π1t

an2tanπ3174tan2π244171tan2tan1147+++===−−−．故选：D二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的

任意一点(,)Pxy，它与原点的距离是r.我们规定：比值rx、ry、xy分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作sec、csc、cot，把secyx=、cscyx=、cotyx=分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是()A．cossec2+B．secyx=的定义域

为,xxkkZC．2cot1cot22cot−=D．22(seccos)(cscsin)9+++【答案】CD【分析】根据题意，将正割函数、余割函数、余切函数转化为余弦函数、正弦函数、正切函数研究即可.【详解】∵1cossecc

oscos+=+，∴当cos0时，cossec0+，故A错误；1seccosyxx==，故其定义域为,2xxkk+Z∣，故B错误；2221111tancot1tancot21tan22tan2cot2tan−−−=

===，故C正确；22(seccos)(cscsin)+++2211cossincossin=+++2222112cossin2cossin=+++++2215sincos=+245sin2=+，∵

cosα≠0，sinα≠0，∴(2sin20,1，)2459,sin2++，故D正确.故选：CD.7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin3cos0fxxx=+，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（）A．()fx是

偶函数B．()fx在π7π,33单调递减C．()fx的图象关于点()π,0对称D．()fx的图象关于直线5π3x=−对称【答案】BD【分析】化简()fx解析式，根据已知条件求得，根据三角函数的奇偶性、单调性、对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】()π2sin3fxx

=+，由于()fx图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，所以2π2π12π,4π,4π,22TTT======，所以()1π2sin23fxx=+，()()1π2sin23fxxfx−=−+，所以()fx不是偶函数，A选项错误.π7ππ7πππ3π,,

336262232xxx+，所以()fx在π7π,33上递减，所以B选项正确.()πππ2sin123f=+=，所以C选项错误.5π5πππ2sin2sin23632f−=−+=−=−，所以D选项正确

.故选：BD8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin2cos20fxxx=+的零点构成一个公差为2的等差数列，把()fx的图象沿x轴向右平移3个单位得到函数()gx的图象，则（）A．()gx在,42上单调递增B．,04是()gx的一个对称

中心C．()gx是奇函数D．()gx在区间2,63上的值域为0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为2的等差数列，即可得到函数的最小正周

期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到()gx的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为()()3sin2cos20fxxx=+，所以()31sin2cos22sin2226fx

xxx=+=+，因为函数()()3sin2cos20fxxx=+的零点依次构成一个公差为2的等差数列，12222=，1=，所以()2sin2

6fxx=+，把函数()fx的图象沿x轴向右平移3个单位，得到2sin22cos236()2sin22gxxxx=−=−=−+，即()2cos2gxx=−，所以()gx为偶函数，故C错误；对于A：当,42x时

2,2x，因为cosyx=在,2上单调递减，所以()gx在,42上单调递增，故A正确；对于B：2cos22cos0442g=−=−=，故,04是()gx的一个对称

中心，故B正确；对于D：因为2,63x，所以42,33x，所以1cos21,2x−，所以()1,2gx−，故D错误；故选：AB三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sinπ2α43−=

，则sin2=___________.【答案】59【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系【详解】2sinsin443−=−−=所以2sin43−=−所以2225sin2cos2cos212

sin1224439=−=−=−−=−−=故答案为：5910．（2022·山东青岛·一模）已知0,2，若tan

24+=，则sin=______．【答案】1010【分析】根据两角和的正切函数公式，求得1tan3=，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由tan24+=，可得tan121t

an+=−，解得1tan3=，即sin1cos3=，即cos3sin=，又由22sincos1+=，所以21sin10=，因为0,2，所以1010sin=.故答案为：101

0.11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sincosfxxx=+（0）在ππ,48−上单调递增，则的一个取值为________．【答案】1，答案不唯一【分析】化简()fx的表达式，结合()fx在

区间ππ,48−的单调性求得的一个取值.【详解】()π2sin4fxx=+，当1=时，()π2sin4fxx=+，πππ3π,,0,4848xx−+，所以()fx在ππ,48

−上单调递增，符合题意.故答案为：1，答案不唯一12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且()226cab=−+，若ABC的面积为332，则

sinsinAB的取值范围为______.【答案】30,4【分析】由三角形面积可得sin33abC=，由已知条件结合余弦定理可得3cosabCab−=，然后由正余弦的平方和为1，可求得6ab=，从而可求得1cos

2C=，则可得3C=，203A，则利用三角函数恒等变换公式可得11sinsinsin2264ABA=−+，再利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】∵133sin22ABCSabC==，∴sin33abC=，∵()226cab=−+，由余弦定理可得2223cos2a

bcabCabab+−−==，∴2222333sincos1abCCabab−+=+=，解得6ab=，∴1cos2C=，∵0C，∴3C=，203A.所以()13sinsinsinsins

insinsinsincos322ABAACAAAAA=+=+=+2131cos23sin211sinsincossin22244264AAAAAA−=+=+=−+，∵203A，∴72666A−−，∴1

sin2126A−−.因此，113sinsinsin20,2644ABA=−+.故答案为：30,413．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos2+=，则tan2=________．【答案】43【分

析】利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得tan2=-，再利用二倍角的正切公式求得结果．【详解】由cos()2cos2+=，可得sin2cos-=，即tan2=-，所以22tan4tan21tan3==−，故答案为：43．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在AB

C中，点D在AB上，CD平分ACB，已知2DB=，3DC=，60BDC=(1)求BC的长；(2)求sinA的值.【答案】(1)7(2)2114【分析】（1）利用余弦定理求出BC；（2）先用正弦定理求出21sin7DCB=，利用同角三角函数平方关系求出27co

s7DCB=，再用正弦的差角公式求出答案.(1)依题意，由余弦定理得：2222cosBCDBDCDBDCBDC=+−1491272=+−=，解得：7BC=(2)依题意，由正弦定理得：sinsinBCDBBDCDCB=，所以32sin212sin77DB

BDCDCBBC===.因为DBDC，所以DCB为锐角，所以2327cos1sin177DCBDCB=−=−=.因为BDCADCA=+，所以ABDCDCABDCDCB=−=−，所以()sinsin

60sin60coscos60sinADCBDCBDCB=−=−32712121272714=−=.15．（2022·重庆·二模）在△𝐴𝐵𝐶中，角,,ABC的对边分别,,abc，ππ1cossinsinsin632CAC

A+−−=.(1)求B；(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为4，面积为33，求b.【答案】(1)π3(2)32【分析】（1）利用πππ()632AA+=−+、πACB+=−和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长

公式得到关于,,abc的方程组进行求解.(1)解：因为ππ1cossinsinsin632CACA+−−=，所以πππ1cossinsinsin3232CACA−+−−=，即ππ1coscossinsin323CACA−−−

=，所以π1cos23AC+−=，因为πABC++=，所以πACB+=−,所以2π1os3c2B−=又0πB，故333π2π2πB−−，所以2π3π3B−=，

即π3B=；(2)解：由余弦定理，得2221cos22acbBac+−==，即222acacb+−=，又4abc++=，所以()222[4]acacac+−=−+，即()22()3[4]acacac+−=−+整

理得()3168acac+=+，由面积为1π3sin233ac=，即43ac=，所以52ac+=，32b=.16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22,22,sin,2bcAac===．(1)求a的值；(2)求cos()c

osABC−+的值．【答案】(1)25(2)55【分析】（1）根据acb且2sin2A=，求出34A=，再根据余弦定理可求出a；（2）根据正弦定理求出sinB、sinC，进而求出cosB、cosC，再根据两角差的余弦公式可求出结果.(1)因为2s

in2A=，且A为三角形内角，所以34A=或4A=，又acb，所以34A=，所以2222cosabcbcA=+−2482222()202=+−−=，所以25a=.(2)由（1）知3425,aA==，则4BC+=，得0,044BC，得225223sins

insin4BC==，解得510sin,sin510CB==，则225cos1sin5CC=−=，2310cos1sin10BB=−=，则322cos()coscossin422ABBBB−=−=−+2310210210210=−+55=−，故525

5cos()cos555ABC−+=−+=．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p不等式()lg110xx−+的解集为1|0xx，命题:q在ABC中，AB是22coscos242

4AB++成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是()A．()pqB．pqC．()pqD．()()pq【答案】A【分析】根据对数的运算性质计算p中不等式即可判断p命题真假；利用三角恒等变换公

式化简22coscos2424AB++，结合正弦定理和三角形性质可判断命题q的真假，从而可逐项判断真假.【详解】∵()()()1lg111000111xxxxxxx−+−+−

，∴命题p为真命题，p为假命题；在ABC中，若22coscos2424AB++，则1cos1cos2222AB＋＋＋＋，即sinsinAB−−，即sinsinAB，设角A和B的

对边分别为a和b，则根据正弦定理可知，ab，又根据三角形大边对大角的性质可知，AB，故q命题为假命题，q为真命题；∴()pq为真命题，pq为假命题，()pq为假命题，()()pq为假命题.故选：A.2．（2022·陕西·西

安中学模拟预测（文））△𝐴𝐵𝐶的内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知222,coscos2bcabcbCcB+−=+=，则△𝐴𝐵𝐶的面积的最大值（）A．1B．3C．2D．23【答案】B【分析】利用余弦定理求出3A=和

2a=，利用面积公式和基本不等式求出ABC的面积的最大值.【详解】在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理，222bcabc+−=可化为2221cos222bcabcAbcbc+−===.因为()0,A,所以3A=.由余弦定理，coscos2bCcB+=可化为：222

222222abcacbbcabac+−+−+=，解得：2a=（a=0舍去）.因为222bcabc+−=，所以2222abcbcbcbcbc=+−−=，即4bc（当且仅当2bc==时取等号）.所以△𝐴𝐵𝐶的

面积113sin43222SbcA==.故选：B二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a=，()()cos2coscosaCBAabc−=−，则以下四个命题中正确的是（）A．2bc=B．△𝐴𝐵

𝐶面积的取值范围为40,3C．已知M是边BC的中点，则MAMB的取值范围为1,33D．当2AC=时，ABC的周长为223+【答案】ABD【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的

中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则()1,0B−，()1,0C，设(),Amn，求出点A的轨迹方程，从而可判断BC；由2AC=，可得π3BC=−，结合正弦定理及2bc=，可得sin32sinCC=，从而可求出cosC，从而可求出,CB，求出,bc，即可判断D.【

详解】解：对于A选项，∵()()cos2coscosaCBAabc−=−，2a=，∴()()cos2coscos2aCBAbc−=−，∴()sincoscossin2sincoscossinACACABAB+=+，即()()sin2sinACAB+=+，所以sin2sinBC=，∴2bc=，故选项

A正确；对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则()1,0B−，()1,0C，设(),Amn，因为2bc=，所以()()2222121mnmn−+=++，化简得2251639mn++=

，所以点A在以5,03−为圆心，43为半径的圆上运动，（B、C除外）所以点A到BC边的最大距离为43，所以ABC面积的最大值为1442233=，∴ABC面积的取值范围为40,3，故选项B正确；对于C选项，因为点

A在以5,03−为圆心，43为半径的圆上运动，设(),Amn，则54543333−−−+m，即133−−m，又(),MAmn=，()1,0MB=−，所以1,33MAMBm=−，故选项C错误；对于D选项，由2AC=，可得π3BC=−，由A

选项，得2bc=，由正弦定理得sinsinbcBC=，即()2sinπ3sinccCC=−，所以sin32sinCC=，化简得2sincos22cossin2sinCCCCC+=，因为sin0C，所以化简得23cos4C=，因为2bc=，所以BC，所以3cos2C=，则1sin2

C=，所以sin2sin1BC==，所以π2B=，π6C=，π3A=，ABC为直角三角形，所以233c=，433b=，所以ABC的周长为223+，所以选项D正确.故选：ABD．三、填空题4．（2022·吉

林长春·模拟预测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2ACabc=−，则A=___________.【答案】3【分析】由正弦定理的边化角公式结合和角公式得出A.【详解】由正弦定理可知，coscossin2sinsinACABC=−，整理得sincosco

ssin2sincosACACBA+=即sin()2sincosACBA+=，sin2sincosBBA=因为sin0B，(0,)A所以1cos2A=，3A=故答案为：35．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2

sinsin12coscosACAC=+，3sinacB+=，则b的最小值为_______.【答案】334【分析】利用三角恒等变换求得B，结合余弦定理以及基本不等式求得b的最小值.【详解】因为2sinsin12c

oscosACAC=+，整理可得1cos()2AC+=−，因为πABC++=，所以1cos2B=，又因为0πB，所以π3B=.由余弦定理可得2222()3bacacacac=+−=+−，又因为333s

in2acB+==，所以2227272781273344241616acbac+=−−=−=，所以b的最小值为334，当且仅当334ac==时等号成立.故答案为：3346．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsi

n4sinsinbCcBaBC+=，2228bca+−=，则ABC的面积是__________．【答案】233【分析】先用正弦定理对sinsin4sinsinbCcBaBC+=进行边化角，进而求出A，然后通过余弦定理

和三角形面积公式求得答案.【详解】因为sinsin4sinsinbCcBaBC+=，所以由正弦定理可得sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC+=，由0,0BC，则1sin2A=，而三角形ABC为锐角三角形，所以

3cos62AA==.由余弦定理，2223838cos22223bcaAbcbcbc+−====，所以118123sin22233ABCSbcA===.故答案为：233.7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内

接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：3，AC=4，则△ABD面积的最大值为________．【答案】33【分析】先通过正弦定理得到::1:1:3CDBCBD

=，再结合托勒密定理求出43ADAB+=，最后由面积公式及基本不等式即可求出最大值.【详解】如图，可知180BADBCD+=，由诱导公式知sinsinBADBCD=，又sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BAD=1：1：3，故sin∠CBD：sin∠BDC：sin∠BCD

=1：1：3，在△BCD中，由正弦定理得::1:1:3CDBCBD=，故120,60BCDBAD==，设,,3CDkBCkBDk===，则由托勒密定理可知CBADCDABACBD+=，即34kADkABk+=，即43ADAB+=，又13si

n24ABDSABADDABABAD==233342ADAB+=，当且仅当ABAD=时取等号.故△ABD面积的最大值为33.故答案为：33.四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2cos2

cosabBC−=，且2c=．(1)求角C；(2)若D为AB中点，求CD的最大值．【答案】(1)3C=(2)3maxCD=【分析】（1）将式子化成(2)coscosabCcB−=，再用正弦定理边化角得到(2sinsin)co

ssincosABCCB−=，化简整理即可求解；（2）先得到2CDCACB=+，再转化成224||()CDCACB=+，然后代入边长利用基本不等式求最值即可.(1)因为2cos2cosabBC−=，即(2)cos2cosabCB−=，又因为2c=，故(2)cos2coscosabCBcB−==

，由正弦定理，有(2sinsin)cossincosABCCB−=即2sincossincossincossin()sinACBCCBBCA=+=+=，因为sin0A，所以12cos1cos2CC==，因为()0,C，故3C

=．(2)因为D为AB中点，所以2CDCACB=+，于是22224||()CDCACBabab=+=++，又因为2224cabab==+−2242ababab+=+，所以4ab．故2224||4212CDababab=++=+，当且仅当2ab==时成

立，故||3CD，所以3maxCD=．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，23B=，且()sinsinsincos21ABCC++=(1)求证53ac=；(2)若ABC的面积为153，

求c.【答案】(1)证明见解析；(2)10.【分析】（1）对()sinsinsincos21ABCC++=进行化简可得2abc+=，再由余弦定理即可得到答案.（2）由（1）35ac=，再利用面积为153，即可求出答案.(1)证明：()s

insinsincos21ABCC++=()2sinsinsin12sin1ABCC++−=()2sinsinsin2sinABCC+=sin0Csinsin2sinABC+=，即2abc+=由余弦定理得222cos2acbBac

+−=，即222122acbac+−−=2221(2)22accaac+−−−=整理可得53ac=.(2)由（1）知35ac=，故ABC的面积为21133sin1532252ABCSacBc===得2100c=，解得10c=或10c=−（舍）故10c=.10

．（2022·山西临汾·二模（文））ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4cos5C=，sinsin2sinACB+=.(1)求ba；(2)求cosB的值.【答案】(1)45(2)35【分析】（1）

由正弦定理得2acb+=，则2cba=−，结合余弦定理即可求出答案；（2）由（1）可知,bc都可以用a来表示，代入余弦定理即可求出答案.(1)由sinsin2sinACB+=和正弦定理得2acb+=，所以2cba=−，由4cos5C=，得222425abcab+−=，代入可得222(2)4

25abbaab+−−=，解得45ba=.(2)由（1）得45ba=，所以325cbaa=−=.所以2222222291618532525cos32256525aaaacbBaacaaa+−+−====.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，D为AC的中点，若2cos2bCac=+．(1)求BÐ；(2)若6ac+=，求BD的最小值．【答案】(1)23B=(2)32【分析】（1）由2cos2bCac=+，利用正弦定理化简得到2cossinsin0BCC+=求解；（2）根据D为AC的中点，得到

1()2BDBABC=+，然后平方结合基本不等式求解.(1)解：由2cos2bCac=+，利用正弦定理可得：2sincos2sinsinBCAC=+，2cossinsin0BCC+=，∵sin0C，∴1cos2B=−，∴23B

=；(2)由D为AC的中点，∴1()2BDBABC=+，∴22242BDBABCBABC=++，2222cos()3=++=+−caacBacac，又∵2acac+，∴2()4acac+，∴2214()94BDac+=，∴3||2BD，当且仅当3ac==时，||BD取最

小值32．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式

得3sincossincossincos2++，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sincossincos2+，同理22sincossincos2+，22sinc

ossincos2+，故3sincossincossincos2++，故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6=，3=，4=，则116161sincos,sincos,s

incos424242===，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则coscoscos,sinsinsin，由排列不等式可得：sincossincossincossincossincossincos

++++，而()13sincossincossincossinsin222++=++，故sincos,sincos,sincos不可能均大于12.取6=，3=，4=，则116161sincos,sincos,sincos424242

===，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.2．（2021·全国·高考真题（理））2020年

12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,,ABC满足45ACB=，60ABC

=．由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC−约为（31.732）（）A．346B．373C．446D．473【答案】B【分析】通过做辅

助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''AB，进而得到答案．【详解】过C作'CHBB⊥，过B作'BDAA⊥，故()''''''100100AACCAABBBHAABBAD−=−−=−+=+，由题，易知ADB△为等腰直角三角形，所以ADDB=

．所以''100''100AACCDBAB−=+=+．因为15BCH=，所以100''tan15CHCB==在'''ABC中，由正弦定理得：''''100100sin45sin75tan15cos15sin15ABCB===，而62sin15sin(4530)sin4

5cos30cos45sin304−=−=−=，所以210042''100(31)27362AB==+−，所以''''100373AACCAB−=+．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AACC−的长度通过作辅助线的方式转化

为''100AB+．3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22【答案】A【分析】解不等式()2

2262kxkkZ−−+，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+，对于函数()7sin6fxx=−，由()22262kxkkZ

−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，则20,,233−，2,,233−，A选项满足条件，B不满足条件

；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233−且358,,233，358,2,233

，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sinyAωxφ=+形式，再求()sinyAωxφ=+的单调区间，只需把x+看作一个整体代入sinyx=的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．4．（202

1·全国·高考真题）若tan2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式

，代入tan2=−即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos+++==+++()2222sinsincostantan422sincos1tan145

++−====+++．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2=−，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．（2020·山东·高考真题）在ABC中，内角A，B，C的对边分

别是a，b，c，若222sinabcabC+=+，且sincos+aBC2sincos2cBAb=，则tanA等于（）A．3B．13−C．3或13−D．-3或13【答案】A【分析】利用余弦定理求出tan2C=，并进一步判断4C，由正弦定理可得

22sin()sin22ACB+==，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】222sincostan222abcCCCab+−===，4C，2sinsinsinabcRABC===，2sinsincossinsincossin2ABCCBAB

+=，22sin()sin22ACB+==，4B=，tan1B=，tantantantan()31tantanBCABCBC+=−+=−=−，故选：A.6．（2020·山东·高考真题）已知直线sincos:yxl=+

的图像如图所示，则角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin0、cos0，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin0，cos0，则角是第四象限

角，故选：D.7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4yx=+的图象，只需要sinyx=将的图象（）A．向上平移4个单位B．向左平移4个单位C．向下平移4个单位D．向右平移4个单位【答案

】B【分析】根据“左+右-”的平移规律判断选项.【详解】根据平移规律可知，sinyx=只需向左平移4个单位得到sin4yx=+.故选：B8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin03fxx=−的最小正周期为，则它的一条对

称轴是（）A．12x=−B．0x=C．6x=D．23x=【答案】A【分析】由2T=，可得2=，所以()4sin23fxx=−，令2()32xkkZ−=+，得51()122xkkZ=+，从而可得到本题答案.【详解】由题，得222T===

，所以()4sin23fxx=−，令2()32xkkZ−=+，得51()122xkkZ=+，所以()fx的对称轴为51()122xkkZ=+，当1k=−时，12x=−，所以函数()fx的一条对称轴为12

x=−.故选：A9．（2021·北京·高考真题）函数()coscos2fxxx=−是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为98D．偶函数，且最大值为98【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的

性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()coscos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx=−=−++=−−+，所以

当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点()1cos,sinP，()2cos,sinP−，()()()3cos,sinP

++，()1,0A，则（）A．12OPOP=B．12APAP=C．312OAOPOPOP=D．123OAOPOPOP=【答案】AC【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，

应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP=，2(cos,sin)OP=−，所以221||cossin1OP=+=，222||(cos)(sin)1OP=

+−=，故12||||OPOP=，正确；B：1(cos1,sin)AP=−，2(cos1,sin)AP=−−，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP=−+=−++=−==

，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP=−+=，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP=+++=+，12cosc

ossin(sin)cos()OPOP=+−=+，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP=+=，23coscos()(sin)sin()OPOP=++−+()()()cosβαβcosα2β

=++=+，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x+）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(

2)6x−【答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,不妨令2=,当2

536212x+==时，1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx

=++=++=+=−.而5cos2cos(2)66xx+=−−故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难

的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最

低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos,sin)A关于y轴对称点为(cos(),sin())66B

++，写出的一个取值为___．【答案】512（满足5,12kkZ=+即可）【分析】根据,AB在单位圆上，可得,6+关于y轴对称，得出2,6kkZ++=+求解.【详解】(cos

,sin)A与cos,sin66B++关于y轴对称，即,6+关于y轴对称，2,6kkZ++=+，则5,12kkZ=+，当0k=时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kk

Z=+即可）.13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22−，若sin0.8=，则=______rad.【答案】53π180【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】因为sin0.8=，ππ,22−，所以453πarcsin53

rad5180===，故答案为：53π180.14．（2021·湖南·高考真题）已知tan3=−，且为第四象限角，则cos=____________【答案】12【分析】首先求的值，再求cos.【详解】tan3=−，且为

第四象限角，2,3kkZ=−+，1cos2=.故答案为：1215．（2021·江苏·高考真题）已知5cos213+=，且,22−，则()tan9−的值是_________.【答案】512−【

分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.【详解】55cossin21313+==−，因为,22−，所以,02−，所以212cos1sin13=−=，所以sinθ5tan

θcosθ12==-，所以()5tan9tan12−==−.故答案为：512−.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC中，2coscbB=，23C=．（1）求BÐ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选

择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：2cb=；条件②：ABC的周长为423+；条件③：ABC的面积为334；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存

在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B==，23C=，0

,3B，220,3B，23B=，解得6B=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB===，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦

定理可得2sin6abRR===，22sin33cRR==，则周长23423abcRR++=+=+，解得2R=，则2,23ac==，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222312231cos

76+−=；若选择③：由（1）可得6A=，即ab=，则211333sin2224ABCSabCa===，解得3a=，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos332234

22aabb+−=++=.17．（2021·全国·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba=+，2ca=+.．（1）若2sin3sinCA=，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【

答案】（1）1574；（2）存在，且2a=.【分析】（1）由正弦定理可得出23ca=，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合

三角形三边关系可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA=，则()2223caa=+=，则4a=，故5b=，6c=，2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC=−=，因此，1137157sin452284ABC

SabC===△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，解得13a−，则0<

<3a，由三角形三边关系可得12aaa+++，可得1a，aZ，故2a=.18．（2021·全国·高考真题）记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.【

答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【详解】（1）设

ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR==，因为sinsinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即BDbac=．又因为2bac=，所以BDb=．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2A

DDC=，如图，在ABC中，222cos2abcCab+−=，①在BCD△中，222()3cos23babbaC+−=．②由①②得2222223()3babcab+−=+−，整理得22211203abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，解得3ca=或

32ca=，当22,33ccabac===时，222()733cos=622cccABCcc+−=（舍去）．当2233,22ccabac===时，22233()722cos31222ccABCccc+−==．所以7cos12A

BC=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC=，则23ABDABCSS=△△，即21221sinsin2332bacADABBC=，而2bac=，即sinsinADBABC=，故有ADBABC=，从而ABDC=．由2bac=，即bcab=，即CAB

ACBBD=，即ACBABD∽，故ADABABAC=，即23bccb=，又2bac=，所以23ca=，则2227cos212cabABCac+−==．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC==，再由2ADDC=得21,33

ADbCDb==．在ADB△中，由正弦定理得sinsinADBDABDA=．又ABDC=，所以s3sinn2iCbAb=，化简得2sinsin3CA=．在ABC中，由正弦定理知23ca=，又由2ba

c=，所以2223ba=．在ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca+−−+===．故7cos12ABC=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作

DEAB∥，交BC于点E，则DECABC△∽△．由2ADDC=，得2,,333caaDEECBE===．在BED中，2222()()33cos2323BEDacbac−=+．在ABC中222cos2aaBCcAb

c+−=．因为coscosABCBED=−，所以2222222()()3322233acbacbacac+−+−=−，整理得22261130abc−+=．又因为2bac=，所以2261130a

acc−+=，即3ca=或32ac=．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2ADDC=，所以2ADDC=uuuruuur．以向量,BABC为基底，有2133BDBCBA=+．所以222441999BDBCBABCBA=++，即222441cos999baccABCa=+

+，又因为2bac=，所以22944cosacaacABCc=++．③由余弦定理得2222cosbacacABC=+−，所以222cosacacacABC=+−④联立③④，得2261130aacc−+=．所以32ac=或13ac=．下同解法1．[方法六]：建

系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0DAC−．由（1）知，3BDbAC===，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动

．设()(),33Bxyx−，则229xy+=．⑤由2bac=知，2BABCAC=，即2222(2)(1)9xyxy++−+=．⑥联立⑤⑥解得74x=−或732x=（舍去），29516y=，代入⑥式得36||,||

6,32aBCcBAb=====，由余弦定理得2227cos212acbABCac+−==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是

三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法

，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2yAx

A=+在一个周期内的图象时，列表如下：x6−12371256x+02322sin()Ax+030-30根据表中数据，求：（1）实数A，，的值；（2）该函数在区间35,44上的最大值和最小值

.【答案】（1）3A=，2=，3=；（2）最大值是3，最小值是32−.【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A，，的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin23yx=+，根据题意得到11172636x+，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max

3y=，则3A=，因为566T=−−=，2T=，所以2=，解得2=，即3sin(2)yx=+，因为函数图象过点,312，则33sin212=+，即πsin

φ16骣琪+=琪桫，所以262k+=+，kZ，解得23k=+，kZ，又因为2，所以3=.（2）由（1）可知3sin23yx=+.因为3544x，所以11172636

x+，因此，当11236x+=时，即34x=时，32y=−，当5232x+=时，即1312x=时，3y=.所以该函数在区间35,44上的最大值是3，最小值是32−.