【文档说明】河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题 含解析.docx，共(11)页，645.200 KB，由小赞的店铺上传

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郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合243Axyxx==−+−，()3log11Bxx=−．则AB=（）A．13xxB．34xxC．

13xxD．34xx2．已知i是虚数单位，若复数z的实部为1，4zz=，则复数z的虚部为（）A．3−或3B．15−或15C．1−或1D．15i−或15i3．双曲线22221xyab−=（0a，0b

）的离心率为2，则其渐近线方程为（）A．0xy=B．30xy=C．30xy=D．20xy=4．欧拉函数()()*nnN的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（也称互质）的正整数的个数，例如()11=．()42=，()96=．则（

）A．数列()n单调B．()()56C．数列()2n是等比数列D．()()()623=+5．若实数x，y满足约束条件210,50,xyxy−++−则zxy=+的（）A．最大值为4B．最小值为4C．最大值为5D．最小值为56．设等差数列

na的前n项和为nS，12a=，879SSS，则公差d的取值范围是（）A．24,715−−B．21,74−−C．41,154−−D．2,07−7．记函数()()sin04fxx=+的最小正周期为T．若2T

，且()yfx=的图象的一条对称轴为6x=，关于该函数有下列四个说法：①23；②02f=；③()fx在,66−上单调递增；④为了得到()singxx=的图象

，只需将()fx的图象向右平移4个单位长度．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．48．河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四

棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为1:4，高为2，体积为563，则该“方斗”的侧面积为（）A．24B．12C．245D．1259．记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角4C=，sin

sin44bAaBc+−+=，则角B=（）A．8B．6C．58D．310．在如图所示的实验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹

子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记()02CMBNaa==．则下列结论错误．．的是（）A．该模型外接球的半径为32B．当12a=时，MN的长度最小C．异面直线AC与BF所成的角为60°D．MN∥平面BCE11．已知直线l与抛物线

()220ypxp=交于A，B两点，O为坐标原点，OAOB⊥，OHAB⊥交AB于点H，点H的坐标为()2,2，则p的值为（）A．32B．2C．52D．312．已知函数()fx定义域为R，()1fx+为偶函数，()2fx+为奇

函数，且满足()()122ff+=，则()20231kfk==（）A．2023−B．0C．2D．2023二、填空题（每题5分，满分20分．）13．522xx−的展开式中x的系数是______．14．已知四边形ABCD是边长为2的正方形，若3

BCDE=，且F为BC的中点，则EAEF=______．15．经过点()1,1P以及圆2240xy+−=与2244120xyxy+−+−=交点的圆的方程为______．16．已知函数()22xxfxeeax−=−−，若()fx有两

个不同的极值点1x，2x，且210ln2xx−，则a的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分．17．（12分）已知数

列()*nanN满足1221122222nnnaaan−+++=−+．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若cosnnban=，求数列nb前2n项和2nT．18．（12分）如图，正四棱锥PABCD−的底面边长和高均为2，E，F分别为PD，PB的中点．（

Ⅰ）若点M是线段PC上的点，且13PMPC=，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的结论；（Ⅱ）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．19．（12分）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法

决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：

第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方

势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．（Ⅰ）设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；（Ⅱ）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙

队进了4个球并刚好胜出的概率．20．（12分）已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，且过点()2,1P．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设不过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为D，记直线l，PB，P

D的斜率分别为k，1k，2k，若1212kk=，证明直线l的斜率k为定值．21．（12分）已知函数()sincosfxxxx=+，,x−．（Ⅰ）求()fx的单调区间与最值；（Ⅱ）若存在00,x，使得不等式()()2001fx

ax+成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1,cos3sin,cosxy==（为参

数，2k+），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos13+=．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()2,0P，若直线l与曲线C交于A，B两点，求11PAPB−的值

．23．（10分）已知()223fxxx=++−．（Ⅰ）求不等式()5fx的解集；（Ⅱ）若()fx的最小值为m，正实数a，b，c满足abcm++=，求证11192abbcacm+++++．2023年高中毕业年级第一次质量预测理科数学评分参考一、选择题题号123456789

101112答案CACCDABDCBBB二、填空题13．80;−14．40;915．2220;xyxy++−−=16．(4,5).三、解答题17．（1）由题意122112.2222nnnaaan−+++=−+（2分）当1n=时，10a=；（3分）当2n时，-1122-1213

,2222nnnaaan−+++=−+两式相减得1221112(3)12222nnnnnann−−−=−+−−+=−，（4分）所以22nna=−，当1n=时也成立．（6分）（2）根据题意，得22,cos(22)cos22,nnnnnnbannn−==−=−为奇数为偶数

（7分）所以2123212...nnnTbbbbb−=+++++123212(222...22)(222...22)nn−=−+−+−++−+−−+（9分）123212222...22nn−=−+−+−+22[1(2)]1(2)n−−−=−−242

.3n−=（12分）18．（1）连接AC、BD交于O，以O为坐标原点，OA、OB、OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系．(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0)ABPCD−−，22(0,,0),

(0,,1),22EF−22(2,,1),(2,,1),22AEAF=−−=−（2分）又13PMPC=，得144(2,40,),333AMAPPC=+=−（分）(22,0,2),AEAF+=−所以2233AMAEAF=+，A、M

、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．（6分）（2）(0,2,2)PB=−，设平面AEF的法向量(,,)nxyz=，由0,0nAEnAF==得，(1,0,2)n=，（8分）所以222cos,363PBn−==−，所以直线PB

与平面AEF所成角的正弦值为23．（12分）19．（1）由题意知，1(5,)2XB，X可能的取值为0，1，2，3，4，5，（2分）511(0)()232PX===，15515(1)()232PXC===，25511

05(2)()23216PXC====，3551105(3)()23216PXC====，45515(4)()232PXC===，511(5)().2243PX===（分）所以X的分布列为X012345P13253251651653213215()5

22EX==．（6分）（2）设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A，由题意知，甲乙两队比分为1：4或2：4，设“甲乙两队比分为1：4”为事件1A，“甲乙两队比分为2：4”为事件2A，若甲乙两队比分为1：4，则乙射

进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，134131121()()()22327PAC==（8分）若甲乙两队比分为2：4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，24424122()()(),2327PAC==（9分）所以12121()

()()27279PAPAPA=+=+=．（10分）即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出的概率为19．（12分）20．（1）由题设得222224111,2ababa−+==，解得226,3ab==．（3分）所以C

的方程为22163xy+=．（5分）（2）设直线l的方程为ykxm=+，代入22163xy+=得()222124260kxkmxm+++−=．（6分）于是2121222426,1212kmmxxxxkk−+=−=++．（7分）设1122(,),(,)AxyBxy，则11(,)

Dxy−−，2111211111112222PAPDyyykkxxx−+−===−−+−，又1212kk=，所以2PAkk=−．（8分）即0PAPBkk+=．121211022yyxx−−+=−−，即1221(1)(2)(1)(2

)0yxyx−−+−−=，1221(1)(2)(1)(2)0kxmxkxmx+−−++−−=，12122(12)()4(1)0kxxmkxxm+−−+−−=，将2121222426,1212kmmxxx

xkk−+=−=++代入整理得22310kkmkm−++−=，即(1)(21)0kkm−−+=，（10分）当210,12kmmk−+==−，直线ykxm=+过点(2,1)P，舍去，所以1k=．（12分）21．(1)()sincossincosfxxxxxxx=+−

=，所以在(,)2−−，(0,)2上，()0fx，()fx单调递增，（2分）在(2−，0)，(2，)上，()0fx，()fx单调递减，（3分）所以()fx单调递增区间为(,)2−−，(0,)2，单调递减区间为(2−，0)，(2，)．（5分）（2）设2()sinco

s(1),[0,],Fxxxxaxx=+−+()cos2(cos2),Fxxxaxxxa=−=−（6分）当21a−，即12a−时，()0Fx，()Fx在[0,]上单调递增，（7分）2max

()()1(1)0FxFa==−−+，211a−+，所以12a−成立；当21a，即12a时，()0Fx，()Fx在[0,]上单调递减，max()(0)10FxFa==−，1a，所以112a；（8分）当1122a−时，00(0,),c

os2xxa=，当0(0,),cos2,()0xxxaFx，()Fx单调递增，当0(,),cos2,()0xxxaFx，()Fx单调递减，（9分）22max00000000001()()si

ncos(+1)=sincoscos(+1)2FxFxxxxaxxxxxx==+−+−，2000001=sincoscos22xxxxx+−，令21()=sincoscos,(0,)22xxxxxxx+−，21()

=sinsin022xxxx+，所以1()(0)2x=，0()0Fx成立．综上，a的取值范围为(,1]−．（12分）22．（1）曲线C的参数方程为1,cos()23sin,cosxky=+=为参数，，所以222221sin,cos3cosyx

==，所以221.3yx−=即曲线C的普通方程为2231yx−=．（3分）直线l的极坐标方程为πcos13+=，则n13ππcoscossin3si−=，转换为直角坐标方程为320xy−−=．（5分）（2）直线l过点(2,0)P，直线l的参数方程为

32,21,2xtyt=+=（t为参数）令点A，B对应的参数分别为1t，2t，由32212xtyt=+=代入2231yx−=，得226390tt++=，则1233tt+=−，1

292tt=，（8分）故1212121212||||||111123.||||||||||||3ttttPAPBtttttt+++=+===（10分）23．（1）①当1x−时，41353xx−

−，解得413x−−；②当13x−时，550xx+，解得10x−；③当3x时，3152xx−，无解，综上：不等式的解集为403xx−．（5分）（2）因为()2131311304fxxxxxxxx=++−=++−+++−++=，当且仅当1x=

−时等号成立．所以4m=，即4abcm++==，()()()11111118abbccaabbccaabbcca++=+++++++++++++3188bcabbccaabcaabbccabccaab++++++=+++++++++++

+319222888bcabbccaabcaabbccabccaab+++++++++=++++++，当且仅当abbcca+=+=+，即43abc===时，等号成立．（10分）获得

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