【文档说明】《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十二讲 直角三角形（解析版）.doc，共(35)页，1.535 MB，由管理员店铺上传

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1第十二讲直角三角形2.6直角三角形【学习目标】1．认识直角三角形,学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形两个锐角互余的性质,会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形

.3.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.4.领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．【基础知识】一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一

个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.二、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点：

直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.三、直角三角形判定两个角互余的三角形是直角

三角形.在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．2∵∠2+∠B+∠A+∠1=1

80°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【考点剖析】例1．如图，在RtABCV中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，图中等于60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】由

已知条件可得AD=DB=CD，所以可得到=6030ADCABDCB===，，故可得出等于60的角有多少个．【详解】QRtABCV，9030CB==，，D是AB的中点，AD=DB=CD，=6030ADCA

BDCB===，，ADCV是等边三角形，QDEBC⊥，60CDEBDE==60BDECDEAACDADC=====．故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，关键是根据斜边中线定理得到线段的等量关系，进而得到角的等量

关系．例2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（）A．61°B．39°C．29°D．19°【答案】C【解析】3根据直角三角形的性质解答即可.【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，∠B=90°-61°=29°，故选：C.【点睛】本题考查

直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.例3．如图，在ABCV中，90ACB=，CD是AB边上的高，如果50A=，则DCB=（）．A．50B．45C．40D．25【答案】A【解析】根据直角

三角形的性质得出∠B=40°，再利用CD是AB边上的高和直角三角形的性质解答即可．【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=50°，故选A．【点睛】此题考查直角三角形的性

质，关键是根据直角三角形中两锐角互余分析．例4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（）4A．6B．9C．3D．8【答案】A【解析】因为ED垂直平分BC，所以∠EDB=90°，EB=EC.因为∠B=30°，∠EDB=90°，所以BE=2D

E=6.所以CE=BE=6.故选A.例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足()A．0°＜∠B＜15°B．∠B=15°C．15°＜∠B＜30°D．∠B=30°【答案】D【解析】过点D作DE⊥A

B，根据角平分线的性质，求证ED=CD，再利用BD：DC=2：l，求证出21BDED=，即可．【详解】过点D作DE⊥AB．∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴ED=CD．∵BD：D

C=2：l，DE⊥AB，∴21BDED=，∴∠B=30°．故选D．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和角平分线的性质等知识点，此题的关键是作好辅助线，求证出21BDED=，此题难度不大，属于基础题．例6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6cm，则AB

＝________cm．5【答案】12【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴AB=2CD=12，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关

键．例7．等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．【答案】120°【解析】根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形的性质可求得等腰三角形的底角的度数，根据三角形内角和定理即可求得其顶角的度数．【详解】如图：△ABC中，BD=DC，

∴∠ADB=90°，∵在Rt△ABD中，AD=12AB，∴∠B=30°，∵AB=AC，∴∠C=30°，∴∠BAC=120°．6故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用

．例8．如图，在ABC△中，90ACB=，60ABC=，BD平分ABC，P点是BD的中点，若9AC=，则CP的长为______．【答案】3【解析】由题意推出BD＝AD，然后在Rt△BCD中，CP＝12BD，即可推出CP的长度．

【详解】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，CD＝12BD＝12AD，∵AC＝9，∴AD＝BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝12BD＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查角平分线

的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD＝AD，求出BD的长度．7例9．如图，ABC△中，90BAC=，30B=，ADBC⊥于D，CE是ACB的平分线，且交AD

于P点.如果2AP=，则AB的长为______.【答案】6【解析】根据题意易证△AEP为等边三角形，则AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性质求得EC的长，然后在等腰三角形BCE中得到BE的长，进而得到AB的长.【详解】∵90BA

C=，30B=，∴∠ACB=60°，∵CE是ACB的平分线，∴∠ECA=∠ECB=30°，在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°，∵ADBC⊥，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴△AEP为等边三角形，∴AE=AP=2，∴EC=2AE=4，∵∠B=∠BCE=30°，∴BE=C

E=4，∴AB=BE+AE=4+2=6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【过关检测】8一、单选题1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．

55°C．60°D．70°【答案】D【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义求解即可得答案.【详解】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°-55°=35°，∵BD平分

∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°，故选D．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．2．△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为高，若BD＝2cm，则AD等于（）A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

.【答案】C【分析】在Rt△CDB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得CB的长，再在Rt△ACB中，利用含30度角的直角三角形的性质求得AB的长，即可求得AD的长【详解】如图，9∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4(cm)

，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8(cm)，∴AD=AB-BD=6(cm)，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．3．在Rt△ABC中，CD是斜边AB

上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长是（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【详解】试题分析：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠

DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），∵AD=2cm，在Rt△ACD中，AC=2AD=4c

m，在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．∴AB的长度是8cm故选C．考点：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等点评：解答本题的关键是掌握好含30度角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半．104．如图，在RtABCV中，，3AC=，4BC=，O是AB的

中点，则OC的长是（）.A．3B．3C．2.5D．3【答案】C【详解】试题分析：222211113452.52222OCABACBC==+=+==考点：直角三角形斜边上的中线为斜边的一半、勾股定理点评：此题属于基础题，掌握以下方法即

可解答．通过勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求出OC5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AC＝6cm，AB＝8cm．则△ADE的周长为（）A．16cmB．14cmC．12cmD．10cm【答案】【详解】略6．已知等边ABCV的边长为3，点E在

直线AB上，点D在直线CB上，且EDEC=，若6AE=，则CD的长为（）A．6B．9C．3或6D．3或9【答案】D【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EFCD⊥于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EFCD⊥于F，根据等边三角形的

性质求出BE长和60ABC=，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【详解】解：点E在直线AB上，6AE=，点E位置有两种情况：11①E在线段AB的延长线上时，过E点作EFCD⊥于F，ABCQ是等边三

角形，ABC的边长为3，6AE=，633BE=−=，60ABC=，60EBF=，30BEF=，1322BFBE==，39322CF=+=，EDEC=Q，CFDF=，9292CD==；②如

图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EFCD⊥于F，ABCQ是等边三角形，ABC的边长为3，6AE=，639BE=+=，60ABC=，60EBF=，30BEF=，1922BFAE==，93322CF=−=，EDEC=

Q，CFDF=，3232CD==；12即9C=或3，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．7．如图，ABC的三个内角比为1：1：2，且2BDAD=，则∠CBD是（）A．

5°B．10°C．15°D．45°【答案】C【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．【详解】∵ABC

的三个内角比为1：1：2，∴∠A=180°2112++=90°，∴∠ABC=45°，在Rt△ABD中，2BDAD=，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°．13故选：C．【点睛】本题考

查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．

75+B．10C．425+D．12【答案】B【详解】本题考查直角三角形斜边上的中线与斜边的关系和等腰三角形的特性．因为AE平分∠BAC交BC于点E，所以BE=4,又因为点D为AB的中点，所以DE=BD=3,故△BDE的周长是3+3+4

=10，B选项正确．9．如图，在RtABC△中，90ACB=，CDAB⊥于点D，3ACDBCD=，E是斜边AB的中点，则ECD等于().A．22.5B．30°C．36D．45【答案】D【解析】【分

析】根据题意先求出∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B=67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE=CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案.【详解】∵3ACDBCD=，90A

CB=，∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，14∵CDAB⊥，∴∠B=90°﹣∠BCD=90°﹣22.5°=67.5°，又∵E是斜边AB的中点，∴BE=CE，∴∠BCE=∠B=67.5°，∴=ECDBCEBC

D=−∠∠67.5°﹣22.5°=45°.故选D.【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.10．如图，在四边形ABCD中，90BCDBAD==，AC、BD相交于点E，点G、H分别是AC、BD的中点，若80BEC=，那么GH

E等于().A．5B．10C．20D．30°【答案】B【分析】如图，连接AH，CH，根据直角三角形斜边上的中线性质可得AH=12BD，CH=12BD，即AH=CH，再根据垂直平分线的逆定理可得

GH是AC的垂直平分线，得到△GEH为直角三角形，然后根据直角三角形两个锐角互余即可得解.【详解】如图，连接AH，CH，15∵90BCDBAD==，H是BD的中点，∴AH=12BD，CH=12BD，∴AH=CH，∵G是AC的中点，∴GH是AC的垂直平分线，∴∠HGE=90°，∵∠GEH=

80BEC=，∴∠GHE=90°﹣∠GEH=90°﹣80°=10°.故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线性质，垂直平分线的逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.11．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF

=5，BC=8，则△EFM的周长是（）A．21B．18C．13D．15【答案】C【解析】【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=12BC，所以△EFM的周长便不难求出．【详解】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM

=12BC=4，在Rt△BCF中，FM=12BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，故选C．【点睛】16本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC=4，BC=3，则AG的长为()A．710B．34C．45D．1【答案】A【分析】连接CF，先证明△ACF为直角三角形，再由△ABC中等面积

法求出CF，进而求出AF；再证明△DEF为直角三角形，且G为DE的中点，最后AG=AF-GF即可求解.【详解】解：连接CF，如下图所示：∵M是AC的中点，∴MC=MA∵M是旋转中心，C绕M点旋转后的落点为F∴MC=MF∴∠

MCF=∠MFC，∴MA=MC=MF∴∠MFA=∠A17在△ACF中，由内角和定理知：∠A+∠MFA+∠ACF+∠CFM=180°故2∠AFM+2∠CFM=180°∴∠AFC=90°∴△ACF为直角三角形，CF⊥AB由△ABC等面积法知：1212=ACBCABCF

，且AB=5代入数据解得CF=125∴22221216==4()=55−−AFACCF∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B①L又DF⊥EF，∴∠AFD+∠AFE=90°∵∠AFD+∠MFC=90°∴∠AFE=∠MFC=∠ACF②L由①、②知：∠B

=∠AFE又由旋转知：∠B=∠E∴∠AFE=∠E，即GF=GE由旋转知：∠A=∠D又∠A=∠AFM∴∠D=∠AFM，∴GF=GD故GF=GE=GD∴G为Rt△DEF斜边DE上的中点∴115===222GFDEAB∴1657=.5210

=−−=AGAFGF故答案为：A.【点睛】18本题考查了旋转的性质、直角三角形的判定方法、直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题的关键是能连接CF并计算出CF的长.二、填空题13．在Rt△ABC中，90C=，40AB−=，那么A=______

__，B=___．【答案】65°25°【分析】根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．【详解】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A-∠B=40°，∴2∠A=130°，∴∠A=65°，∴∠B=90°-65°=25°．故答案为：65°，25°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互

余的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．14．若直角三角形的两个锐角的比是2：7，则这个直角三角形的较大的锐角是___________度．【答案】70【分析】根据“直角三角形两锐角互余”进行计算求解即可．【详解】∵直角三角形中的两个锐角互余，∴较大的锐角=90°÷(2+7)

×7=70°．故答案为：70．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，明确直角三角形角的性质是解题的关键．15．如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=1

2BD，且DE=1.5cm，19则AC等于________.【答案】4.5【解析】∵∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，∴DE=CD=1.5，又∵DE=12BD，∴BD=3.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD=3.∴AC=4.5，故答案为4.5.16．如图，

△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝_____，BE＝_____．【答案】4cm2cm【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得BD＝12BC，根据∠B＝60°，可得∠BDE＝30°，根据3

0°角的性质可求得BE的长．【详解】∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD＝12BC，∵AB＝8cm，∴BD＝4cm，20∵等边三角形各内角为60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝12BD＝12×4cm＝2cm．故答案为：4cm，2cm．【点睛】本题考查了等边三角形三线合

一的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据30°角的性质求BE的长是解题的关键．17．如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D。下列结论

：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ。其中正确的是________(填序号)。【答案】①③④【解析】【分析】①作辅助线，证明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP与AB不垂直，可以得

∠Q不一定为30°；③根据等腰三角线三线合一得：EF=AF，由全等得：DF=FC，两式相加可得结论；④根据30°角所对的直角边是斜边一半可得结论．【详解】①过P作PF∥BQ，交AC于F，21∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=60°

，∵PF∥BQ，∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∵，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴PD=DQ；所

以①结论正确；②由①得：△PFD≌△QCD，∴∠DPF=∠Q，∵△APF等边三角形，∴∠APF=60°，∵QP与AB不一定垂直，∴∠Q不一定为30°，所以②结论不正确；③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴EF=AF，∵△PFD≌△QCD，∴DF=DC，∴

DF=FC，∴DE=EF+DF=AF+FC=AC，所以③结论正确；④在Rt△AEP中，∠A=60°，22∴∠APE=30°，∴AE=AP，∴AE=CQ，所以④结论正确；所以本题结论正确的有：①③④；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了等边三角

形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30°角的性质，作辅助线构建全等三角形是本题的关键．18．如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B=30°，斜梁AC=4m，为增大向阳面的面积，将立柱AD增高并改变位置后变为EF，使屋顶结构外框由△ABC变为△EBC（

点E在BA的延长线上）如图2所示，且立柱EF⊥BC，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为________m．【答案】2【解析】利用∠B=30°，由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得2E

F=BE=6m，再利用垂直平分线的性质进而得出AB=AC=4m，即可得出AE=EB﹣AB=6﹣4=2（m）．故答案为：2．19．如图，等边△ABC中，AE=CD，EF⊥BD，若FG=，则EF等于_______.【答案】3【解析】分析：只要证明△AEC≌△C

DB（SAS），推出∠EGB=60°即可解决问题．23详解：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，在△AEC和△CDB中，AEADAACBACCB===，∴△AEC≌△CDB(SAS)，∴∠ACE=∠CBD，∵∠ACE+∠EC

B=60°，∴∠CBD+∠ECB=60°，∵∠EGB为△GBC的外角，∴∠EGB=60°，∴在Rt△EFP中，∠GEF=30°，则EF=3FG=3，故答案为：3.点睛：本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判

定与性质是解题的关键.20．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在BC上，BF=CF.BC=8cm，DE=3cm.则△DEF的周长为___________cm.【答案】11【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半可得EF=12BC，DF=12BC，从而得到EF=DF，再根据等腰三角形的定义求解即可．【详解】∵BD、CE分别是边AC、AB上的高，BF=CF，24∴EF=12BC，DF=12BC，∵BC=8cm，∴E

F=DF=4cm，∵DE=3cm,∴△DEF的周长=4+4+3=11cm．故答案为11.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，熟记性质是解题的关键．21．如图，已知OP平分AOB，60AOB=o，

2CP=，//CPOA，PDOA⊥于点D，PEOB⊥于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是________．【答案】3【解析】∵OP平分AOB，AOB60o=，∴AOPCOP30==o，∵C

P//OA，∴AOPCPO=，∴COPCPO=，∴OCCP2==，∵PCEAOB60==o，PEOB⊥，∴CPE30=o，∴1CECP12==，∴22PECPCE3=−=，25∴OP2PE23==，∵PDOA⊥，点M是OP

的中点，∴1DMOP32==．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的性质与判定、含30o直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.22．如图，已30M

ON=，点1A，2A，3A，L在射线ON上，点1B，2B，3B，…在射线OM上，112ABA，223ABA，334ABA，…均为等边三角形，若1OA＝2，则1nnnABA+的边长为_____．【答案】2n【分

析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出112233////ABABAB，以及22122ABBA=，得出331244ABBA==，441288ABBA==，551216ABBA=进而得出答案．【详解】解：如图，Q△112ABA是等边三角形，1121AB

AB=，341260===，2120=，30MON=Q，11801203030=−−=，26又360=Q，5180603090=−−=，130MON==Q，1112OAAB==，21112ABAB==，Q△223ABA、△334ABA是等边

三角形，111060==，1360=，2322ABAB=41260==Q，112233////ABABAB，1223//BABA，16730===，5890==，2221232ABABBA==，3

3232BABA=，331248ABBA==，同理：44128ABBA==42，55125162ABBA==，以此类推，△1nnnABA+的边长为2n，故答案为：2n．【点睛】此题主要考查了等边三角形的

性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出33124ABBA=，44128ABBA=，551216ABBA=进而发现规律是解题关键．三、解答题23．已知：如图在△ABC中，AD⊥BC，1B=，求证△ABC是直角三角形．27【答案】证明见解析【分析】可以

通过角之间的转化推出∠BAC为直角即可．【详解】∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠1=∠B，∴∠1+∠BAD=∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余以及直角三角形的判定，正确得到∠BAC=90°是解题的关键．24．如图，已知：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：DE=12DF．【答案】答案见解析【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利

用三角形中位线定理推出F点是线段AC28的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB=∠BAC=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．【详解】∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=30°，∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，

∵DF∥AB，且D是BC的中点，∴F点是线段AC的中点，∴DF=12AC，取AB的中点G，连接DG，∴DG是△ABC的中位线，∴DG=12AC=DF，∠DGB=∠BAC=30°，∵DE⊥AB，∴∠GED=90°，在Rt△DEG中，∠DGE=30°，∴DE=12DG=12D

F．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB=∠BAC=30°是解题的关键．25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝9

0°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）求证：CD//EF；（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．29【答案】（1）见解析；（2）25°【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；（2）

根据直角三角形的性质求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，结合图形求出∠DCE，根据平行线的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴

∠ACE＝45°，∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，∵CD∥EF，∴∠FEC＝∠DCE＝25°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．26．如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分

别是BH、AC的中点，∠ABC=45°，GD=5cm，求DF的长度．30【答案】5cm【分析】根据斜边上的中线等于斜边一半的性质即可证明DG=BG，DF=AF，可得∠GDB=∠FDA，进而可以求证△BDG≌

△ADF，即可求得DG=DF，即可解题．【详解】∵G、F分别是BH和AC的中点，AD⊥CD，∴DG=12BH=BG，DF=12AC=AF，∴∠GBD=∠GDB，∠FAD=∠FDA，∵∠C=∠C，AD⊥CD，CE⊥BE，∴∠CBE=∠CAD，∴∠GDB=∠FDA，∵∠

ABC=45°，AD⊥BD，∴BD=AD，在△BGD和△AFD中，GBDFADBDADGDBFDA===，∴△BGD≌△AFD，（ASA）∴DG=DF．∵GD=5cm，∴DF=5cm．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角

形斜边上的中线等于斜边一半的性质，本题中求证△BGD≌△AFD是解题的关键．27．在ABC△中，BD、CF分别是高，M为BC的中点，N为DF的中点，求证：MNDF⊥．【答案】详见解析31【分析】连接MD、MF，根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝MF＝12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【详解】连接MD、MF，∵BD、DF分别是高，M为BC的中点，∴12MDMFBC==．∵N为DF的中点，∴MNDF⊥．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．28．如图，已知90ABCADC==，M、N分别是AC、BD的中点．（1）求证：MNBD⊥；（2）

在边AD上能否找到一点P，使得PBPD=？请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接BM、DM，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝12AC，DM＝12AC，根据等腰三角形的

三线合一得到答案；32（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可．【详解】（1）连接BM、DM，∵90ABCADC==，M是AC的中点，∴12BMAC=，12DMAC=，∴BMDM=，又N为BD的中点，∴MNBD⊥．（2）

能找到∵N为BD的中点，MNBD⊥∴MN垂直平分线段BD∴延长NM交AD与点P根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等可知，PBPD=．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌

握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．29．已知等边ABCV的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同

时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为331cm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．①当2t=时，求AQP的度数．②当t为何值时PBQ△是直角三角形？（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQPC=，请判断AP、CQ和AC之间

的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①30°；②43t=或83；（2）ACAPCQ=+，见解析.【分析】(1)利用等边三角形的判定，性质，互余原理计算即可；(2)利用分类思想，分两种情形求解；(3)过点

Q作AC的平行线，利用全等三角形，等边三角形的性质计算即可.【详解】（1）①根据题意得2APPBBQCQ====，∵ABCV是等边三角形，∴AQBC⊥，60B=，∴90AQB=，BPQV是等边三角形，∴60B

OP=，∴906030AQPAQBBQP=−=−=；（2）由题意知APBQt==，4PBt=−，当90PQB=时，∵60B=，∴2PBBQ=，得：42tt−=，解得43t=；当90BPQ=时，34∵60B=，∴2BQBP=，得()24tt=−，解

得83t=；∴当43t=秒或83t=秒时，PBQ△为直角三角形；（2）ACAPCQ=+，理由如下：如图所示，过点Q作//QFAC，交AB于F，则BQF△是等边三角形，∴BQQF=，60BQFBFQ==，∵ABCV为等边三角形，∴BCAC=，60BACBFO==，∴120OFPP

AC==．∵PQPC=，∴QCPPQC=，∵PQCBBPQ=+，QCPACBACP=+，BACB=，∴BPQACP=，在PQF△和CPAV中，∵BPQACPQFPPACPQPC===∴()PQFCPAAAS

≌△△，∴APQF=，∴APBQ=，∴BQCQBCAC+==，35∴APCQAC+=．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形，数学分类思想，直角三角形的性质，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键.