【文档说明】【3】2023高考数学基础强化专题训练（三）（参考答案）.doc，共(32)页，3.822 MB，由小赞的店铺上传

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2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案12023高考数学基础强化专题训练（三）解析几何直线与圆1.（多选题）已知直线l的一个方向向量为31(,)62u=−，且l经过点()1,2−，则下列结论中正确的是（）A.l的倾斜角等于120°B.l与x轴的交点坐标为23(,0)3C.

l与直线32yx=+垂直D.l与直线32yx=−+平行【答案】AD【解析】【分析】由给定条件求出直线l的斜率，并求出其方程，再逐一分析各选项的条件即可判断作答.【详解】因直线l的一个方向向量为31(,)62u=−，则直线l的斜率

12336k==−−，于是得直线l的倾斜角为120°，A正确；直线l的方程：23(1)yx+=−−，当0y=时，2313x=−，即直线l与x轴交于点23(1,0)3−，B不正确；直线32yx=+的斜率为3，显然3(3)1−−，即l与直线32

yx=+不垂直，C不正确；直线32yx=−+的斜率为3−，它与x轴的交点坐标为23(,0)3，于是得l与直线32yx=−+平行，D正确.故选：AD2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案22.已知ABC顶点坐标分别是()0,5A，()1,2B−，()7,4C−．（1）求

过点C且与直线AB平行的直线方程，（2）若点()21,25Dmm−+，当实数m取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围．【答案】（1）745yx=−−；（2）30,,24．【解析】【分析】（1）由两直线平行的斜率相等和

直线的点斜式求解即可；（2）由斜率公式结合二次函数的性质求解即可【详解】（1）由已知可得AB的斜率为()52701−−=−−，所以与直线AB平行的直线的斜率也为7−，从而所求直线的方程为()477yx−=−+，即7

45yx=−−；（2）可得直线AD的斜率为222552110mmmm−+−=−−−，所以直线AD倾斜角的取值范围为30,,24．3.（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)ABa−，若直线AB关于ya=对称的直线与圆22(3)

(2)1xy+++=有公共点，则a的取值范围是________．【答案】13,32【解析】【分析】首先求出点A关于ya=对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A

−关于ya=对称的点的坐标为()2,23Aa−−，()0,Ba在直线ya=上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa−=+−，即()3220axya−+−=；圆()()22:321Cxy+++=，圆心()3,2C−−，半径1r=，2023

高考数学基础强化专题训练（三）参考答案3依题意圆心到直线l的距离()()223342132aada−−−−=−+，即()()2225532aa−−+，解得1332a，即13,32a；故答案为：13,324.（2022·全国

·高考真题）写出与圆221xy+=和22(3)(4)16xy−+−=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy+=的

圆心为()0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy−+−=的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk=，所以34lk=−，设方

程为3(0)4yxtt=−+O到l的距离||19116td==+，解得54t=，所以l的方程为3544yx=−+，当切线为m时，设直线方程为0kxyp++=，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk=+++=+，解得7

242524kp=−=，7252424yx=−当切线为n时，易知切线方程为1x=−，故答案为：3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案45.（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线210xy

+−=上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为______________．【答案】22(1)(1)5xy−++=【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详

解】解：∵点M在直线210xy+−=上，∴设点M为(,12)−aa，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴2222(3)(12)(2)−+−=+−=aaaaR，2226944

15−++−+=aaaaa，解得1a=，∴(1,1)M−，5R=，M的方程为22(1)(1)5xy−++=.故答案为：22(1)(1)5xy−++=2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案5圆锥曲线基础知识椭圆的基本量1.如图(1)，过椭圆

的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2.如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，

最小值为________．4.设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．1.2b2a2.b2·tanθ23.a＋ca－c4.－b2a2直线与椭圆1.直线与圆锥曲线的

位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线____

____；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1.(1)①相交②相切③相离2.

1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|双曲线的基本量运算1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2.如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF22023高考数学基础

强化专题训练（三）参考答案6的面积为________．3.焦点到渐近线的距离为________．4.设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为________．1.2b2a2.b2tanθ23.b4.b2a2

抛物线设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)AF＝p1－cosα，BF＝p1＋cosα，弦长AB＝x1＋x2＋

p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1FA＋1FB＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0

)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，则OP·OQ＝a2.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，

B2的连线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－b2a2.3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2.4.过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的直线

交抛物线于A，B两点，则直线AB过定点(2p，0).2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案7典型例题1.已知,AA分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右顶点，,BF分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上，满

足,,22PFAAABOPFA⊥=−∥.（1）求C的方程；（2）过点F作直线l（与x轴不重合）交C于,MN两点，设直线,AMAN的斜率分别为12,kk，求证：12kk为定值.【答案】（1）22142xy+=（2）证明见

解析，定值为322−【解析】【分析】（1）根据PFAA⊥可设()0,Pcy−，根据ABOP∥，利用,ABOP斜率相等且()0,Pcy−在椭圆上列式可得椭圆基本量的关系，再根据22FA=−求解基本量即可；（2）由题意设l：2xty=−，联立直线与椭圆的方程，得出

韦达定理，再表达出12kk，结合韦达定理求解即可.【小问1详解】因为PFAA⊥，故可设()0,Pcy−，因为ABOP∥，故ABOPkk∥，即0ybac−=−，解得0bcya=.又,bcaPc−

在椭圆C上，故2222221bccaab+=，解得2222222acab==−，故22abc==.又22FA=−，故()2122FAacc=−=−=−，故2c=，2,2ab==.故C的方程为22

142xy+=.【小问2详解】2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案8因为椭圆方程为22142xy+=，故()()2,0,2,0FA−，当l斜率为0时,AM或,AN重合，不满足题意，故可设l：2xty=−.联立221422xyxty+==−可得()2222220tyty+−−=

，设()()1122,,,MxyNxy，则121222222,22tyyyytt+==−++.故()()1212121212222222kyyyyxxtytky==−−−−−−()()()122212122222yytyytyy=−++++()()2212121212222yyttyyyy=

++−++()()()222212222222ttt=+++−+()13222322==−−+故定值为322−2.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案93.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的离心率22e=;上顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆22:1Oxy+=相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与圆O相切的直线l与椭圆相交于,MN两点,Q为弦MN的中点,O为坐标原点.求||||OQMN的取值范围.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案104.（20

22·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过()30,2,,12AB−−两点．(1)求E的方程；(2)设过点()1,2P−的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴

的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH=．证明：直线HN过定点．2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案11【答案】(1)22143yx+=(2)(0,2)−【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

(1)解：设椭圆E的方程为221mxny+=，过()30,2,,12AB−−，则41914nmn=+=，解得13m=，14n=，所以椭圆E的方程为：22143yx+=.(2)3(0,2),(,1)2AB−−，所以2:23+=AByx，①若过点(1,2)P−的直线斜率不存在

，直线1x=.代入22134xy+=，可得26(1,)3M，26(1,)3N−，代入AB方程223yx=−，可得26(63,)3T+，由MTTH=得到26(265,)3H+.求得HN方程：26(2)23yx=−−，过点(0,2)−.②若过点(1

,2)P−的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy−−+=.联立22(2)0,134kxykxy−−+=+=得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk+−+++=，

可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk++=++=+，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk−++=++−=+，且1221224(*)34kxyxyk−+=+联立1,223yyyx==−可得

111113(3,),(36,).2yTyHyxy++−2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案12可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx−−=−+−−，将(0,2)−，代入整

理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy+−+++−−=，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk+++−−−+−−=显然成立，综上，可得直线HN过定点

(0,2).−函数与导数1.函数()cos222xxxfx−=−的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案13【解析】【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断B；通过判断()fx在(0,)4上的符号可判断D；通过判断

()fx在(0,)+上的零点个数可判断AC.【详解】由题意可知，()fx的定义域为(,0)(0,)−+，因为cos2()22xxxfx−=−，所以cos(2)cos2()()2222xxxxxxfxfx−

−−−===−−−，故()fx为奇函数，从而()fx的图像关于原点对称，故B错误；当(0,)4x时，220xx−−且cos20x，此时()cos2022xxxfx−=−，故D错误；因为cos2yx=在(0,

)+上有无数个零点，所以()cos222xxxfx−=−在(0,)+上也有无数个零点，故A错误，C正确.故选：C.2.已知12,xx分别是函数()e2xfxx=+−和()ln2gxxx=+−的零点，则（）A.122xx+=B.12eln2xx+=C.12

2exxD.22123xx+【答案】ABD【解析】【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点A和B关于点C对称，根据()1,1C可判断A、B选项；结合基本不等式可以判断C选项；利用特殊值的思路得

到1x的范围即可判断D选项.【详解】因为1x，2x分别是函数()e2xfxx=+−，()ln2gxxx=+−的零点，所以11e2xx=−，22ln2xx=−，那么1x，2x可以看做函数exy=和lnyx=与函数2yx=−图像交点的横坐标，2

023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案14如图所示，点A，C，B分别为函数exy=，yx=，lnyx=的图像与函数2yx=−图像的交点，所以()1,1C，因为函数exy=和lnyx=互为反函数，所以函数

图像关于yx=的图像对称，2yx=−的图像也关于yx=的图像对称，所以点()11,exAx和()22,lnBxx关于点()1,1C对称，122xx+=，12ln2xx+=e，故AB正确；因为2121212xxxx

+=，12xx，所以121xx，而12e，故C错；当13x=时，函数exy=对应的函数值为3e，函数2yx=−对应的函数值为53，因为()335125327=e，所以353e，所以1x的范围为1,13

，那么2221211262442,9xxxx+=−+，而2639，所以22123xx+，故D正确.故选：ABD.3.已知函数32()3fxxx=−,若过点(2,)Pt可以作出三条直线与曲线()fx相切,则t的取值范围是A.(2,1)−−B.(3,2)−−C.(4,3)−

−D.(5,4)−−2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案154.5.已知函数()fx是定义域为R的奇函数，当0x时，()()2fxfx−，且()30f=，则不等式()0fx的解集为___________.【答案】()()3,

03−+，【解析】【分析】利用奇函数的性质得到()()fxfx−=，再根据不等式构造函数()()2xfxhx=e，分析函数()()2xfxhx=e在0x时的单调性，根据单调性、奇偶性和()30f=解不

等式即可.【详解】因为()fx为奇函数，定义域为R，所以2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案16()()()()()()fxfxfxfxfxfx−=−−−=−=−，()00f=，又因为0x时，()()2fxfx−，所以()()2fxfx，构造函数

()()2xfxhx=e，所以()()()22xfxfxhx−=e，所以当0x时，()0hx，()hx在()0,+上单调递增，又因为()30f=，所以()30h=，()hx在()3,+上大于零，在()0,3

上小于零，又因为2e0x，所以当0x时，()fx在()3,+上大于零，在()0,3上小于零，因为()fx为奇函数，所以当0x时，()fx在(),3−−上小于零，在()3,0−上大于零，综上所述：()0fx的解

集为()()3,03,−+.故答案为：()()3,03,−+.【点睛】常见的函数构造形式：①()()axgxfx=e，()()()axgxafxfx=+e；②()()axfxgx=e，()()()axfxafxgx−=e.6.设函数()lnfxxx=，()1xgx

x=+.（1）若直线12yxb=+是曲线()fx的一条切线，求b的值；（2）证明：①当01x时，()()()112gxfxxx−；②0x，()()2e−gxfx.（e是自然对数的底数，e2.718）【答案】（1）12

e−−（2）①证明见解析②证明见解析【解析】【分析】(1)首先利用导函数的几何意义求出切点，再将切点代入切线即可求出b；(2)①将原不等式化简为1()2ln0hxxxx=−+，然后利用导函数求()hx在(0,1)上的最2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案17大值大于0

即可；②结合①中条件，利用放缩法只需证明2112122exxx−++，然后利用隐零点证明不等式在(0,1)上恒成立即可，最后结合()fx和()gx的单调性即可证明原不等式在[1,)+上恒成立.【小问1详解】由()lnfxxx=，则'()ln1fxx=+，设12yx

b=+在()fx上的切点为000(,ln)xxx，从而1'20001()ln1e2fxxx−=+==，故12yxb=+在()fx上的切点为11221(e,e)2−−−，将11221(e,e)2−−−代入12yxb=+得，111

22211eee22bb−−−−=+=−，故b的值为12e−−.【小问2详解】①当01x时，()()()1112ln02gxfxxxxxx−−+，不妨令1()2lnhxxxx=−+，则2'2221(1)()10xhxxxx−

=−−=−，故()hx在(0,1)上单调递减，从而对(0,1)x，都有()(1)0hxh=，故当01x时，()()()112gxfxxx−.②(i)由①知，当01x时，()()()112gxfxxx−，从而21ln(1)

2xxx−，故()()211122xgxfxxx−−++，欲证()()2e−gxfx，只需证2112()122exxxx=−++，2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案18则2'2211

(1)()(1)(1)xxxxxx−+=−=++，令2()1(1)xxx=−+，则'2()(1)2(1)0xxxx=−+−+，从而()x在(0,1)上单调递减，因为22111119()1(1)1(1)10eeee24e=−+−+=−，219191966139111

040404064000=−+=−，由零点存在的基本定理可知，0119,e40x，使得2000()1(1)0xxx=−+=，从而20000(1)1xxxx=++

，结合()x在(0,1)上单调递减可知，'0()00xxx；'0()01xxx，故()x在0(0,)x上单调递增，在0(),1x上单调递减，从而222320max000000001111

11()()(1)1222222xxxxxxxxxx==−+=+−+=+++，故32max1911912()()()0.72402402ex++，即当01x时，()()2e−gxfx；(ii)由'1()l

n10efxxx=+−，从而()fx在1[,)e−+上单调递增，故当1x时，()(1)0fxf=，又因为()1111xgxxx==−++在(0,)+上单调递增，故当1ex时，()()e2()11e1exxgxfxfxxx−=−+++，当e

x时，()(e)efxf=，此时()()121e<01egxfxx−−−+，综上所述，0x，()()2e−gxfx.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案197.已知函数1()e,xfxxa−=−R.(1)求函数()fx的单调性;(2)若函数()()lngxxfxax=

−有两个零点,求实数a的取值范围.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案20三角函数1.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18表示，即512sin182−=.记2sin18m=，

则()21cos362sin144m+=−（）A.2−B.2−C.2D.51−【答案】C【解析】【分析】将2sin18m=代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.【详解】2sin18m=Q，()21cos362sin

144m+−()222cos184sin182sin36=−2cos182cos36sin36=2sin722sin72==故选:C.明确“化归也是推理”的思想文/刘蒋巍在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为

杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。【例题】在ΔABC中，A＝2C，求证

：b/3＜a—c＜b/2．分析条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案21论与条件统一起来，转化为sinB/3<sinA—sinC<sinB

/2，进一步将角统一起来，由A＝2C，B＝π—（A＋C）＝π—3C，结论进一步转化为关于单变元C的不等式sin3C/3<sin2C—sinC<sin3C/2，将之再简单化为两个更为具体的不等式，即sin3C/3＜sin2C—sinC，且s

in2C—sinC＜sin3C/2.从而，问题就化归为如下两个表现形式上较统一的问题：（1）在ΔABC中，A＝2C，求证sin3C＜3sin2C—3sinC．（2）在ΔABC中，A＝2C，求证2sin2C—2sinC＜sin3C．对于问题（1），继续将结论统

一为关于同角C的同名三角函数的不等式：sin3C<3sin2C—3sinC，等价于3sinC—4sin3C<6sinCcosC—3sinC等价于—4(sinC)^2—6cosC+6<0等价于2（cosC）^2—3cosC+1<0等价于(2cosC—1)(cosC—1)<0等价于2cosC—

1>0等价于cosC>1/2.问题（1）随之就化归为：在ΔABC中，A＝2C，求证cosC＞1/2．这是一个很简单的问题．同样可证问题（2）．分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题

解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是

实现三角式的和谐统一，等等。类似的，2022全国1卷第18题。（2022·新高考Ⅰ卷T18）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=++．（2）求222abc+的最小值．分析条件是角的关系，

结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案22论与条件统一起来，转化为以222222sinsinsinabABcC++=，进一步将角统一起来。由cossin21sin1cos2ABAB=++化成()cossinABB+=，即：πsinc

ossin2BCC=−=−，得π2CB=+，即有π22AB=−，进一步转化为关于单变元B的代数式222cos21coscosBBB+−，从而，问题就化归为如下表现形式上较统一的问题：【问题3】在ΔABC中，求222cos21coscosBBB+−的最小值.对于问题3，继续将其统一为

关于同角B的同名三角函数式：()22222cos11coscosBBB−+−等价于“求2224cos5cosBB+−的最小值“问题3随之就化归为：在ΔABC中，求2224cos5cosBB+−的最小值．这是一个很简单的问题．数列1.（多选

题）在公比为q等比数列na中，nS为其前n项和，若11a=，5227aa=，则下列说法正确的是（）A.3q=B.数列23nnS−是等差数列C.数列3nna−是等比数列D.数列lg3nna−是等比数列【答案】ABC【解析】【分析】根

据给定条件求出数列na的通项公式及前n项和nS，再逐一分析各选项判断作2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案23答.【详解】因q为等比数列na的公比，又5227aa=，则41127qqaa=，而0q，解得3q=，A正确；前n项和1(13)31132nnnS−−==

−，则231nnS−=−，数列23nnS−是等差数列，B正确；又13−=nna，则1133233nnnnna−−=−=−−，有11333nnnnaa++−=−，数列3nna−是等比数列，C正确；因13−=nna，则lg313nnnan=

−−−，显然1113lg3l133gnnnnnnaann+++−−−=−−不是常数，数列lg3nna−不是等比数列，D不正确.故选：ABC2.已知数列na是递增的等比数列，且22a=，11a−，2a，3a成等差数列，数列nb满足()11221

21nnnabababn+++=−+．（1）求数列na的通项公式；（2）求证：数列nb是等差数列．【答案】（1）12nna-=；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)根据给定条件列式求出等比数列na的公比q即可；(2)由给定等式结合(1)

的结论求出数列nb的通公式即可得解.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，其中1q，则通项公式为22nnaaq−=，因11a−，2a，3a成等差数列，则132(1)2aaa−+=，即2124qq−+=，解得2q

=，从而12nna-=，所以数列na的通项公式是12nna-=；2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案24（2）因()1122121nnnabababn+++=−+，即()11222121nnnbbbn−+++=−+，当2n时，()2112122221n

nnbbbn−−−+++=−+，于是得()()1112121[221]2nnnnnbnnn−−−=−+−−+=，则有nbn=，当1n=时，11b=满足上式，因此数列nb的通项公式是nbn=，显然对正整数n恒有：11nnbb+−=，所以数列

nb是等差数列.3.在数列na中，112a=，()*132nnnaana+=+N．（1）求证：11na+等比数列；（2）已知数列nb，满足()312nnnnnba−=．①若数列nb的前n项和nT，可以表示成22nnT=−，求♠处的代数式；②若不等式()12nn

nnT−+对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）①2n+；②31,2−．【解析】【分析】(1)把给定递推公式取倒数，再利用等比数列定义判断即得；(2)①求

出nb，再借助错位相减法求出nT即可得解；②由①可得()11122nn−−−对一切正整数n恒成立，再分奇偶讨论并利用数列单调性即可计算作答.【详解】（1）在数列na中，112a=，因*nN时，

132nnnaaa+=+，于是得132132nnnnaaaa++==+，即11113(1)nnaa++=+，而1113a+=，所以，数列1{1}na+是以3为首项，3为公比的等比数列；2023高考数学基础强化专题训练（

三）参考答案25（2）由（1）知：113nna+=，即131nna=−，于是得2nnnb=，①231232222nnnT=++++，则234111231222222nnnnnT+−=+++++，两式相减得2311111(1)11111222112222

222212nnnnnnnnnT+++−+=+++++−=−=−−，则222nnnT+=−，因22nnT=−，所以♠处的代数式为2n+；②由①知11222nnnnT−+=−，于是得不等式()11122nn−−−对一切正整数n恒成立，显然数列11{2}2n−−是递增数列，当n为偶数时，1322

2−=，当n为奇数时，211−−=，即1−，则312−，所以实数的取值范围为3(1,)2−.4.斐波那契数列na：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·

斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式11515225nnna+−=−，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21nnnaa

a++=+，记该数列na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（）A.10711Sa=B.2021201920182aaa=+C.202120202019SSS=+D.201920201Sa=−【答案】AB【解析】【分析】选项A

分别求出710Sa，可判断，选项B由21nnnaaa++=+，得()112nnnaaan+−=+，2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案26相加得2na+12nnaa−=+可判断,选项C，由202112342021Saaaaa=+++++，202012Saa

=+++2020a，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122nnnnSaaaaaaaaaaaa+++=−+−+−+−++−=−可判断.【详解】因为10143S=，711143a=，所以10711Sa=，则A正

确；由21nnnaaa++=+，得()112nnnaaan+−=+，相加得2na+12nnaa−=+，所以2021201920182aaa=+，所以B正确；因为202112342021Saaaaa=+++++，202012Saa=+++2020a，两式

错位相减可得202120201220192019101SSaaaS−=+++++=+，所以2021202020191SSS=++，所以C错误；因为()()()()()123324354652122nnnnnSaaaaaaaa

aaaaaaaa+++=++++=−+−+−+−++−=−21na+=−，所以201920211Sa=−，所以D错误.故选：AB.立体几何1.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11AACC⊥底面ABC，侧面11AACC是菱形，1

60AAC=，90ACB=，2ACBC==.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案27（1）若D为1AC的中点，求证：1ADAB⊥；（2）求二面角11AACB−−的正弦值.【答案】（1）见解析（2）277【解析】【分析】(1)结合已知条件和平面几何关

系知1ADAC⊥，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知BCAD⊥，最后利用线面垂直判定和性质即可证明；(2)取11AC的中点E，然后利用面面垂直性质证明CE⊥底面ABC，再建立空间直角坐标系，分别求出平面1AAC和平

面11ACB的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.【小问1详解】∵侧面11AACC是菱形，∴1AAAC=，∵D为1AC的中点，∴1ADAC⊥，∵侧面11AACC⊥底面ABC，侧面11AACC底面ABCAC=，90ACB=，BC底面ABC，∴BC⊥侧面11AAC

C，∵AD侧面11AACC，∴BCAD⊥，∵1ACBCC=，∴AD⊥平面1ABC，∵1AB平面1ABC，∴1ADAB⊥.【小问2详解】取11AC中点E，连接CE，从而11CEAC⊥，又由11ACAC，则CEAC⊥，∵

侧面11AACC⊥底面ABC，侧面11AACC底面ABCAC=，∴CE⊥底面ABC，以C为坐标原点，以CA，CB，CE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图：2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案28由已知条件和上图可知，(0,0,0)C，(2,0,0)A，1(1,0,3)A，1(1

,2,3)B−，由题意可知，(0,2,0)CB→=为平面1AAC的一个法向量，不妨设111(,,)nxyz→=平面11ACB的一个法向量，因为1(1,0,3)CA→=，1(1,2,3)CB→=−，从而11111113000230xzCAnCBnxyz+==

=−++=，令13z=，则13x=−，13y=−，即(3,3,3)n→=−−，设二面角11AACB−−为，由图可知为钝角，从而||21cos|cos,|7||||CBnCBnCBn→→→→→→=−=−=−，即27sin7=，故二面角11AACB−−的正弦

值为277.2.如图4所示,在四棱锥PABCD−中,//,,224,,ABCDABBCABBCCDPBPDO⊥====为BD的中点,平面PBD⊥平面ABCD.(1)证明:AD⊥平面PBD;(2)若PAPC⊥,求平面PAD与平面PBC所

成夹角的余弦值.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案292023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案303.2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案31概率某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制

（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲

每局获胜的概率为12.（1）在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.【答案】（1）见解析（2）3332048【解析】【分析】(1)结合已知条件，X可能取值为0，1，2，3，

然后分析每种积分X对应的输赢情况，然后利用二项分布和独立事件的概率乘法求解即可；(2)结合(1)中结论，分析积分之和为5时三场比赛的积分情况，然后利用独立事件的概率乘法求解即可.【小问1详解】由题意可知，X可能取值为0，1，2，3，

当X0=时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，则312311115(0)(1)C(1)(1)222216PX==−+−−=，当1X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，则22241113(1)C()(1)(1)222

16PX==−−=；当2X=时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，则22241113(2)C()(1)22216PX==−=，当3X=时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，则322311115(3)()C()(1)

222216PX==+−=，故X的概率分布列如下：2023高考数学基础强化专题训练（三）参考答案32X0123P516316316516【小问2详解】设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A，则甲的三场比赛积分分别为1、

1、3或者0、2、3或者1、2、2，故33335535333333()3A31616161616161616162048PA=++=，故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为3332048.