【文档说明】上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，847.766 KB，由小赞的店铺上传

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上海市南洋模范中学2021-2022学年高一下开学考数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，则A∪B=_________.【答案】(2,3)−【解析】【分析】直接利用并集

的运算求解.【详解】因为集合A={x|-2<x<1}，B={x|-1<x<3}，所以A∪B={x|-2<x<3}，故答案为：(2,3)−2.函数1()lg1xfxx−=+的定义域是__________

_【答案】（-1，1）【解析】【分析】解不等式101xx−+即得函数的定义域.【详解】由题得101xx−+，所以10,(1)(1)0,111xxxxx−−+−+.所以函数的定义域为（-1，1）.故答案为：（-1，1）【点睛】本题主要考查函数定义域的

求法，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.化简πsin(5π)cos()cos(8π)23πsin()sin(4π)2−−−=−−−__．【答案】sin【解析】【分析】依据诱导公式对

原式进行化简计算.【详解】πsin(5π)cos()cos(8π)(sin)sincos2sin3πcos(sin)sin()sin(4π)2−−−−==−−−−．故答案为：sin.4.设()sin(π)cos(π)fxa

xbx=+++，其中,,,0ab，若(2021)1f=−，则(2022)f=__．【答案】1【解析】【分析】直接代入(2021)f，(2022)f结合诱导公式即可得到答案.【详解】(2021)sin(2021π)cos(2021π)sincos1=+++=−−=−fabab

，即sincos1+=ab，则(2022)sin(2022π)cos(2022π)sincos1=+++=+=fabab．故答案为：1.5若8sinsin52=，则cos=__．【答案】1

或725【解析】【分析】运用倍角公式计算.【详解】由题意8sinsin22sincossin22252===，所以sin02=或4cos25=，所以2cos12sin12=−=或2

7cos2cos1225=−=；故答案为：1或725.6.若不等式21|21||2|22xxaa−++++对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____．【答案】[﹣1，]【解析】【详解】因为131,21212{3,22

31,2xxyxxxxxx+=−++=−+−−−−，所以52y，因此2215122101222aaaaa+++−−点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论

思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交.汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．7.设a为实数，函数()(),02,01gxxfxaxx=++是奇函数，则()gx=

__．【答案】221x−−−【解析】【分析】根据()00f=可求a，再由0x时()()gxfx=−−可求解.【详解】因为()fx是奇函数，所以()020fa=+=，所以2a=−.当0x时，220,()()2211xgxfxxx−

−=−−=−+=−−−+−．故答案为:221x−−−.8.已知函数2log,02()25(),239xxxfxx=+，若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________.【答案】5,19【解析】【分析】作出函数f(x

)，的图象，将函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，转化为y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点求解.【详解】函数2log,02()25(),239xxxfxx=+的图象如图所示：若函数g

(x)=f(x)-k有两个不同的零点，等价于y=f(x)，y=k的图象又两个不同的交点，由图知：519k故答案为：5,19【点睛】方法点睛：由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利

用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．9.对任意实数2211,(0),||xyyxxxyxyyy−+−++++的最小值为____．【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即

可，另外要特别注意等号成立的条件。【详解】因22221122yyyy+=，当且仅当221yy=，即1y=时，等号成立，所以2222221112xxyxyxyyyy−+++−+=+，当且仅当()2201xxyy−+且1y=，即1x−或1x且1y=时，等号成

立，因为当0y时，1122yyyy+=，当且仅当1yy=，即1y=时，等号成立，当0y时，()11122yyyyyy+=−−+−−=−−−，当且仅当1yy−=−，即1y=−时，等号成立，为所以12yy+，所以111||2xxyxyx

yyyy−+++−+=+，当且仅当()01xxyy−+且1y=，即1x−或1x且1y=时，等号成立，综上：2211||4xxxyxyyy−+−++++，当且仅当1x−或1x且1y=时，等号

成立，所以所求最小值为4．故答案为：4.10.将22πtancot1,2kk++Z写成一个关于tan的一元二次式和一个关于cot的一元二次式的乘积，则可表示为__．【答案】()()2

2tantan1cotcot1++−+【解析】【分析】222tancot1(tancot)1++=+−，根据平方差公式及tancot1=即可求解.【详解】222tancot1(tancot)1(tancot1)(tancot1

)++=+−=+++−()()2211tan1cot1tantan1cotcot1tancot=+++−=++−+．故答案为:()()22tantan1cotcot1++−+.11.设

函数()fx满足()22221xfxaxa=−+−，且()fx在21222,2aaa−−+上的值域为1,0−，则实数a的取值范围为______.【答案】3535,12,22−+【解析】【分析】

利用换元法，可得()2221gxxaxa=−+−，然后采用等价转换的方法，可得()gx在21,22aaa−−+的值域为1,0−，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】由()22221xfxaxa=−+−令22,logxtxt==，所

以()()2222log2log1fttata=−+−则令()2221gxxaxa=−+−由()fx在21222,2aaa−−+上的值域为1,0−等价为()gx在21,22aaa−−+的值域为1,0−()gx的对称轴为xa=，且()()1,10gaga=−−=所以()()2

2122222aaaaaa−+−+−+可得3512a−或3522a+所以3535,12,22a−+故答案为：3535,12,22−+【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在

于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.12.设曲线C与函数23()(0)12fxxxm=的图像关于直线3yx=对称，若曲线C仍然为某函数的图像，则实数m的取值范围为____________【答案】(0,2【解析】【分析】设l是23()(0)12fxxxm=在点23(,)12Mm

m处的切线，进而根据题意得直线l关于3yx=对称后的直线方程必为xa=，曲线C才能是某函数的图像，进而得l的方程为233:()312lyxmm=−+，再联立方程即可得2m=，进而得答案.【详解】解：设l是23()(0)12fxxxm=在点23(,)12Mmm处切线，的因为曲线

C与函数23()(0)12fxxxm=的图像关于直线3yx=对称，所以直线l关于3yx=对称后的直线方程必为xa=，曲线C才能是某函数的图像，如图所示直线3yx=与xa=的角为6，所以l的倾斜角为6，所以l的方程为233:

()312lyxmm=−+故联立方程得2233()312312yxmmyx=−+=，即22440xxmm−+−=，所以2Δ161640mm=−+=，解得2m=所以m的取值范围为(0,2]故答案为：(0,2.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）1

3.若ach−，bch−，则下列不等式一定成立的是A.2abh−B.2abh−C.abh−D.abh−【答案】A【解析】【分析】由()()abacbc−=−−−，然后利用绝对值三角不等式可得出正确选项.【详解】由绝对值三角不

等式可得()()2abacbcacbchhh−=−−−−+−+=，故选A.【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，解题的关键就是将所求代数式利用已知的代数式加以表示，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.“()ππ6xkk=+Z”是“1

sin2x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】解方程1sin2x=，根据充分条件和必要条件的定义可得出结论.【详解】由1sin2x=可得π2π6xk=+或()5π2π6xkk=+Z，因为“()ππ6xk

k=+Z”“π2π6xk=+或()5π2π6xkk=+Z”，“()ππ6xkk=+Z”“π2π6xk=+或()5π2π6xkk=+Z”因此，“()ππ6xkk=+Z”是“1sin2x=”

的既不充分也不必要条件.故选：D.15.扇子文化在中国源远流长.如图所示的扇面的外环弧长为60cm，内环弧长为15cm，径长（外环半径与内环半径之差）28cm，则该扇面的面积为（）A.1050cm2B.840cm2C.630cm2D.210cm2【答案】A【解析】【分析】首先，由条件

可知1228rr−=，再列出关于弧长的公式，利用扇形面积求解.【详解】设外环圆的半径为1r，内环圆的半径为2r，圆心角为，则1228rr−=，160r=，215r=，则()1275rr+=，所以该扇面的面积()()()2212121211175281050222Srrrrrr=−=

+−==（cm2）.故选：A16.已知5cos3sincos()A−=+，则（）A.34,tan5A==−B.334,tan5A==−C.334,tan5A==D.34,tan5A==【答案】C【解析】【分析】运用辅助角公式计

算.【详解】22535cos3sincossin344533−=−+，所以53cos,sin3434==，334,tan5A==；故选：C．三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）17.设是第三象限角，问是否存在实数m，使

得sin、cos是关于x的方程286210xmxm+++=的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.【答案】不存在，理由见解析【解析】【分析】由是第三象限角，得出sin0，cos0，列出韦达定理，结

合()2sincos12sincos+=+以及0进行求解，可得出满足条件的实数m不存在，进而得出结论.【详解】倘若存在实数m满足条件，由题设得，()23632210mm=−+，①由是第三象限角，得出sin0，cos0，3sincos04m

+=−，②，21sincos08m+=，③又22sincos1+=，()2sincos2sincos1+−=.把②③代入上式得23212148mm+−−=，即298200mm−−=，解得12m

=，2109m=−.12m=不满足条件①，舍去；2109m=−不满足条件③，舍去.故满足题意的实数m不存在.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求参数，在涉及sincos的相关计算时，一般利用平方关系()2sincos12sincos=来计算，考

查计算能力，属于中等题.18.已知1cos7=，()13cos14−=，且02.（1）求tan2的值；（2）求.【答案】（1）8347−；（2）3.【解析】【分析】（1）先根据1cos7=，且02，求出43sin7=，则可求tan，再求tan2；

（2）先根据13cos()14−=，02−，求出sin()−，再根据coscos[()]=−−coscos()sinsin()=−+−求解即可.【详解】（1）∵1cos7=且02，∴243sin1cos7=−=，∴sintan43cos

a==，∴22tan183ttn247anaa−==−；（2）∵02，∴02−，又∵13cos()14−=，∴233sin()1cos()14−=−−=，cosco

s[()]coscos()sinsin()=−−=−+−13433317142+==，所以3=.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察

非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角

的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.19.已知函数22()log(23)fxxax=−−+；（1）当1a=−时，求该函数的定义域和值域；（2）如果()1fx在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）定义域(1,3)−，值域

(,2]−；（2）43a−．【解析】【分析】（1）代入a的值，结合对数函数的性质，解不等式，求出函数的定义域，根据函数的单调性求出函数的值域即可；（2）问题转化为1()22xax−„在[2，3]上恒成立，令1()22xhxx=−，([2,3])x，根据函数的单调

性求出a的范围即可．【详解】（1）当1a=−时，22()log(23)fxxx=−++，令2230xx−++，解得13x−，所以函数()fx的定义域为(1,3)−，令2223(1)4txxx=−++=−−

+，则04t„，所以22()()loglog42fxgtt===„，因此函数()fx的值域为(−，2]；（2）如果()1fx…在区间[2，3]上恒成立，即2232xax−−+…在[2，3]上恒成立，即1()22xax−„在[2，3]上恒成立

，令1()22xhxx=−，([2,3])x，显然()hx在[2，3]递减，()minhxh=（3）43=−，故43a−„．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数

形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx或()max0fx恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.20.已知函数()yfx=，[,]xab的图像为曲

线C，两端点(,())Aafa、(,())Bbfb，点00(,)Mxy为线段AB上一点，其中01abx+=+，0()()1fafby+=+，0，点P、Q均在曲线C上，且点P的横坐标等于0x，点Q的纵坐标为0y.（1）设()sinfxx=，2[0,]3x，3=，求点P、

Q的坐标；（2）设1()fxx=，1[,2]2x，求MPQ的面积的最大值及相应的值；（3）设2()2fxxx=−+，[,]xab，求证：点P始终在M点的上方.【答案】（1）(,1)2P，3333(arcsin,)88Q；（2）max81()800M

PQS=，1=；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意可得20,3ab==,再计算对应的横纵坐标即可.(2)根据题意求得MPQ的面积表达式,再利用基本不等式求解即可.(3)根据凸函数的性质可得.【详解】(1)设2()sin,0,,33fx

xx==则20,3ab==,0x=203313++2=,02sin03sin333138y+==+,sin12=,33sin8x=,33arcsin8x=,所以(,1)2P,3333(arcsin,)88Q.(2)当1()fxx

=,1[,2]2x时,01,2,2abx===1221++,0y=1221++,故001MPyx=−,001MQxy=−,所以000000001111112222RtMPQSMPMQyxxyxyxy==−−

=+−.因为200211179922125224441111121161222xy++++===++=+++++++.当且仅当1=时取等号.令0

0251,16txy=,1122RtMPQStt=+−.因为1122ytt=+−在251,16上为增函数,故当2516t=时,y取最大值1251681221625800+−=.此时1=(3)设2()2fxxx=−+,

[,]xab,因为()fx为[,]xab上的凸函数,所以根据凸函数的性质得00()fxy,故点P始终在M点的上方.【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,同时也考查了基本不等式与函数的运用.需要根据题意列出对应的关系式,再化简运用

即可.属于难题.21.已知实数abcd,,,不全为0，给定函数2()fxbxcxd=++，32()gxaxbxcxd=+++．记方程()0fx=的解集为A，方程(())0gfx=的解集为B，若满足AB

=，则称(),()fxgx为一对“太极函数”．问：（1）当1acd===，0b=时，验证(),()fxgx是否为一对“太极函救”；（2）若(),()fxgx为一对“太极函数”，求d的值；（3）已知(),()fxgx为一对“太极函数”，若1a=，0c，方程()0fx=存在正根m，求c的取值范

围（用含有m的代数式表示）．【答案】（1）不是一对“太极函救”（2）0d=（3）(0,2]m时，216(0,)4cm−，(2,)m+时，2(0,4)cm．【解析】【分析】（1）根据新定义检验；（2）利用新

定义计算求解；（3）设2ctxcxm=−+，由新定义得关于t的方程20cttcm−+=无实根，记2()chtttcm=−+，由二次函数性质求得t的范围，由min()0ht可得c的范围．【小问1详解】若(),()fxgx是否为一对“太极函救”，由(

)10fxx=+=，得=1x−，所以((1))(0)1gfg−==，=1x−不是(())gfx的零点，所以(),()fxgx不是一对太极函救；【小问2详解】设r为方程的一个根，即()0fr=，由题设(

())0gfr=，所以(0)(())0ggfrd===；【小问3详解】因0d=，由1a=，()0fm=得cbm=−，所以22()cfxbxcxxcxm=+=−+，2(())()[()()]cgfxfxfxfxcm=−+，由()0fx=得0x=或m，易得(())0gfx=，据题意，

(())gfx的零点均为()fx的零点，为故2()()0cfxfxcm−+=无实数根，设2ctxcxm=−+，则20cttcm−+=无实根，记2()chtttcm=−+0c时，2()244cmmcmctxm=−−+，2222()()24ccchtttctcmmm=−+=−+−，42mccm，

即02m时，222min()()04164mcmcchthc==−+，解得21604cm−，42mccm，即2m时，2min2()()024cchthcmm==−，204cm．综上，

(0,2]m时，216(0,)4cm−，(2,)m+时，2(0,4)cm．【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第（3）小问范围问题，解题关键是引入变量2ctxcxm=−+，利用新定义确定关于t的方程20cttcm−+=

无实根，记2()chtttcm=−+，只要min()0ht即可得结论．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com