【文档说明】【精准解析】北京市通州区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(17)页，1.507 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年北京市通州区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.复数2i的共轭复数是（）A.2iB.2iC.2iD.2i【答案】A【解析】【分析】利用共轭复数的定义直接得到.【详解】根据共

轭复数的定义可得复数2i的共轭复数是2i.故选A.【点睛】本题考查共轭复数的定义，属基础题.2.在下列各组向量中，互相垂直的是（）A.1(1,2)e，2(2,1)eB.1(0,1)e，2(1,2)eC

.1(3,5)e，2(6,10)eD.1(2,3)e，21(2e，3)4【答案】A【解析】【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．【详解】若两个向量1e、2e垂直，则120ee，对于选项A，12·12210

ee，满足条件；对于选项B，12·011(2)2ee，不满足条件；对于选项C，12·3651068ee，不满足条件；对于选项D，121313·2(3)()244ee，不满

足条件；故选：A【点睛】本题主要垂直向量的数量积关系、向量数量积的坐标表示，属于基础题．3.在ABC中，60B，2bac，则cosA（）A.0B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】由余弦定理且60B得222

bacac，再由2bac，得22acacac，得ac，得60ABC，可求cosA的值．【详解】由余弦定理得：222222cosbacacBacac，又2bac，22acacac∴，2()0ac，ac

，60ABC，1cos2A．故选：B．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率

是（）A.16B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】基本事件总数336nA，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数1112112CCC，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．【详解】甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把

钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，基本事件总数336nA，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数1112112CCC，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率2163mpn．故选：

B．【点睛】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）A4B.40C.250D.400【答案】

D【解析】【分析】直接利用频率的定义求解即可．【详解】一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，该组的频数为：10000.4400．故选：D．【点睛】本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．6.若样本数据1x，2x，，10x标准差为8，则数据121x，221

x，，1021x的标准差为（）A.8B.16C.32D.64【答案】B【解析】【详解】【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解．【解答】解：由方差的性质可知，2()()DaxbaDx，因为样本数据1x，2x，，10x标准差为8

，即方差为64，则数据121x，221x，，1021x的方差为4，4256，即标准差为16故选：B．【点评】本题主要考查了方差性质，2()()DaxbaDx的的简单应用，属于基础试题．7.用6根火柴最多可以组成（）A.2个等边三角形B.3等边三角形C.4个等边三角形D.

5个等边三角形【答案】C【解析】【分析】用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥．【详解】要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，这时最多可以搭4个一样的三角形．图形如下：故选：C．【点睛】本题考查三棱锥，本题要打破思维定势，不要只从平面去考虑，要考虑到立体图形的拼组，属于基础题

．8.已知直线a平面，直线b平面，则“直线m”是“ma，且mb”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可．【详解】直线a平面，直线b平面，则“直

线m”能推出“ma，且mb”，是充分条件，反之“ma，且mb”，直线m与平面不一定垂直，不是必要条件，故选：A【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定以及充分必要条件，属于基础题．9.关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：①一个平面内

的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】

根据面面垂直的定义，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理判断每个命题的真假即可．【详解】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，从而判断命题①不正确；如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，从而判断命题②正确；如果两个平面垂直，当其中一个平面内的

一条直线平行于两个平面的交线时，这条直线与另一个平面平行，所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，正确的命题个数为2．故选：C【点睛

】本题考查了面面垂直、线面垂直和线线垂直的定义，面面垂直的性质定理，考查了推理能力，属于基础题．10.如图，在正方体111ABCDABCD中，点E，F分别是棱11CD，11AD上的动点．给出下面四个命题：①若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；②若直线AF与直线CE相交

，则交点一定在直线1DD上；③若直线AF与直线CE相交，则直线1DD与平面ACE所成角的正切值最大为22；④直线AF与直线CE所成角的最大值是3．其中，所有正确命题的序号是（）A.①④B.②④C.①②④D.②③④【答案】D【解析】【分析】利用平面的性质，以及直线与平面所成角，

判断选项的正误即可．【详解】在正方体111ABCDABCD中，点E，F分别是棱11CD，11AD上的动点．①如果点E在1C，F在1A时，直线AF与直线CE平行，可得直线AF与直线CE共面，但直线AF与直线CE不相交，①不正确；②因为空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，

要么相交与一点，因为直线AF与直线CE相交，所以则交点一定在直线1DD上，所以②正确；③若直线AF与直线CE相交，则直线1DD与平面ACE所成角的正切值最大值，应该是E，F与1D重合，此时直线1DD与平面ACE所成角的正切值最大为112

22BDDD，所以③正确；④直线AF与直线CE所成角的最大值就是E，F与1D重合时取得，夹角是3，所以④正确；故选：D．【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的直线与直线的位置关系的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，判断能力．二、填空题：本大题

共5小题，每小题5分，共25分．11.在空间中，若直线a与b无公共点，则直线,ab的位置关系是________；【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】a与b无公共点，a与b可能平行，可能异面．【点睛】本题考查两直线的位置关

系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题．12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．【答案】13【解析】【分析】取BC中点E，连结AE、ED，可得AED是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【详解】如图，三棱锥ABCD的棱长都相等，取

BC中点E，连结AE、ED，三棱锥ABCD各棱长均相等，即ABC、DBC△均为等边三角形，AEBC，EDBC，AED是二面角ABCD的平面角，设棱长2AB，则22213AEED，3341cos3233AED．

即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是13．故答案为：13．【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，熟练掌握正四面体的性质、二面角的定义、余弦定理的应用是解答此题的关键，属于中档题．13.已知23名男生的平均身高是170.6cm

，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为__cm．【答案】165.2【解析】【分析】由已知数据利用平均数的定义直接求解即可．【详解】由题意可知23170.6160.627165.

250(cm).故答案为：165.2【点睛】本题主要考查了一组数据的平均分的求解，属于基础题．14.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是__，第75百分位数是__．【答案】(1).5

(2).7【解析】【分析】先把样本数据从小到大排列，由1050%5，得到该组数据的第50百分位数是第5个数与第6个数的平均数；由10757.5，得到第75百分位数第8个数．【详解】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，

3，4，6，6，7，8，9，1050%5，该组数据的第50百分位数是4652，1075%7.5，第75百分位数是7．故答案为：5；7．【点睛】本题考查第50百分位数和第75百分位数的求法，考査百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.为了考察某校

各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为__．【答案】4，6，7，8，10【解析】【分析】由已知结合平均数及方差公式，分析数据特点即

可求解．【详解】设5个数据分别为a，b，c，d，e，由题意可得，35abcde，22222(7)(7)(7)(7)(7)20abcde，由于5个数的平方和为20，则必为011992

0，由73x可得10x或4，由71x可得8x或6，故样本数据为4，6，7，8，10．故答案为：4，6，7，8，10【点睛】本题主要考查了平均数及方差公式在实际问题中的应用，属于基础题

．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知(2,0)a，||1b．（1）若a与b同向，求b；（2）若a与b的夹角为120，求ab．【答案】（1）(1,0)b；（2）33(,)22ab或33(,)22ab．【解析】【分析】（1）先设(

,)bxy，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．【详解】解：（1）设(,)bxy，由题意可得，存在实数0，使得ba，即(x，)(2y，0)(2

，0)，所以2x，0y，由||1b可得241，即12或12（舍)，所以(1,0)b，（2）设(,)bxy，所以1·cos12021()12abab，又因为·2,0,2abxy

x，故21x即12x，因为||1b，所以221xy，故32y，当32y，12x时，33(,)22ab，当32y，12x时，33(,)22ab．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应

用，属于中档试题．17.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知13a，15c．（Ⅰ）1sin2C能否成立？请说明理由；（Ⅱ）若3A，求b．【答案】（Ⅰ）不成立，理由见解析；（

Ⅱ）8．【解析】【分析】（Ⅰ）利用反证法，结合三角形的性质即可判断；（Ⅱ）根据余弦定理即可求出．【详解】（Ⅰ）1sin2C不成立，理由如下：1sin2C，6C，ac，AC，2B，这与ABC为锐角三角

形矛盾；（Ⅱ）因为3A，由余弦定理可得2222cosabcbcA，211692252152bb，整理可得215560bb，解得8b或7b，当7b时，22222213715cos022137abcCab，C为钝角，与题意不符合，8b．【点睛】本

题主要考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查化归与转化等思想方法，属于常考题．18.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20

，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组0,20和20,40内的人数；（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．【答案】（Ⅰ）0.0100x；

（Ⅱ）分别为2人和3人；（Ⅲ）平均数为56，中位数为1703，众数为50．【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出x．（Ⅱ）由频率分布直方图的性质能求出得分落在0,20内的人数和得分落在20,40内的人数．（Ⅲ）由频率分布直方图的性质得能估计所

有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数．【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：(0.00500.00750.01250.0150)201x，解得0.0100x；（Ⅱ）由频率分布直方图能求出：得分落在0,20内的人数为：200.0050202

，得分落在20,40内的人数为：200.0075203；（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数为：0.005020100.007520300.015020500.012520700.0100209056，设所有的参赛选手得分的中位数为a，则0.0050200

.0075200.0150(40)0.5a，解得1703a，则所有参赛选手得分的众数估计值为：4060502．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、中位数和众数的求法，考查运算求解能力，考查识图能力，属于常考题．19.某校

高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟

）学生编号12345跳绳个数179181170177183踢毽个数8276797380（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？

【答案】（Ⅰ）高一、高二各有196、140人；（Ⅱ）35；（Ⅲ）高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用抽样关系式的应用求出结果．（Ⅱ）计算每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的人数，然后利用古典概型的应用求出结果．（Ⅲ）平均值和方差的公式

直接计算，然后进行比较，可得结果．【详解】（Ⅰ）高一年级的学生人数为733619612．高二年级的学生人数为533614012．（Ⅱ）设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75”为事件A，由表中的数据可知：高二年级选出的5名学生中每分钟

跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人，所以从5人中任选一人，事件A发生的概率为35，由此估计从高二年级的学生中任选一人，事件A发生的概率为35．（Ⅲ）由表中的数据可以估计：高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为1(179181170177183)1785

．高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为22222211[(179178)(181178)(170178)(177178)(183178)]205s．高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为1(8276797380)785

．高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为22222221[(8278)(7678)(7978)(7318)(8078)]105s，由于2212ss，所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定．【点睛】本题考查的知识要点：概率

的应用，平均数和方差公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，1,2EFAEDE.(Ⅰ)求证：CDABFE平面∥；(Ⅱ)求证：平面ABFE⊥平面

CDEF；(Ⅲ)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）存在点N符合题意【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进

而AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．【详解】证明：(Ⅰ)在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以ABC

D.因为CD平面ABFE,AB平面ABFE，所以CD平面ABFE.(Ⅱ)因为2AEDE,2AD，所以222AEDEAD，所以90AED，即AEDE.因为四边形ABCD是正方形，所以ABAD.因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面

ABCDAD，,ABABCD平面所以AB⊥平面ADE.因为DEADE平面,所以AB⊥DE.因为,ABAEA所以DE⊥平面.ABFE因为DECDEF平面，所以平面ABFE⊥平面CDEF.(Ⅲ)在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE.证明如下：

取CD的中点N，连接FN.由（Ⅰ）知,CDABFE平面,,CDCDEFABFECDEFEF又平面平面平面,所以CDEF.因为11,1,2EFNDCD所以EFDN.所以四边形EDNF是平行四边

形.所以FNDE.由(Ⅱ)知，DE⊥平面ABFE，所以FNABFE平面.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．21

.在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点1A．（Ⅰ）若点E，F分别是AB，BC的中点（如图），①求证：1ADEF；②求

三棱锥1AEDF的体积；（Ⅱ）设BEx，BFy，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点1A？【答案】（Ⅰ）①证明见解析；②13；（Ⅱ）当x，y满足84(02,02)4yxyx„，或0xy时，A，C两点才能重合于点1A．【解析】【分析】（Ⅰ）①运用线面垂直的判

定和性质，先证1AD平面1AEF，即可得证；②判断1FAE为直角三角形，求得面积，再判断1AD为棱锥的高，运用棱锥的体积公式，计算可得所求值；（Ⅱ）分别讨论：（1）当E，F不是端点，即02x，02y时，A

，C两点重合于1A，1A，E，F有且只有共线和不共线两种情况．分别讨论，可得x，y的关系式；（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，可得0xy．【详解】解：（Ⅰ）①证明：由题意可得11ADAF，11ADAE，又1AF平面

1AEF，1AE平面1AEF，111AFAEA，所以1AD平面1AEF，因为EF平面1AEF，所以1ADEF；②由已知可得111AEAF，2EF，22211AEAFEF，所以190FAE，所以△1FAE的面积为111122

S，由1AD平面1AEF，又12AD，所以三棱锥1AEDF的体积11111·23323VSAD；（Ⅱ）（1）当E，F不是端点，即02x，02y时，A，C两点重合于1A，1A，E，F有且只有共线和不共线两种情况．若点1A，E，F共线，

则AECFEF；若1A，E，F不共线，则AECFEF，且AECFEF，由AECFEF，可得22(2)(2)(02,02)xyxyxy，从而0xy，这在取值范围内恒成立．所以只需考虑AEC

FEF，可得22(2)(2)(02,02)xyxyxy…，即224()xyxy…，两边平方可得222168()()xyxyxy…，即168()20xyxy…，即(4)4(2)yxx

…，即4(2)8444xyxx„．（2）当E，F中有一个与B重合时，另一个也与B重合，此时0xy，而根据题意，E不能与A重合，F也不能与C重合．综上可得，当x，y满足84(02,02)4yxyx„，或0xy时，A，C两点才能重合于点1A．【点睛】本题考查空间线

线、线面的位置关系和棱锥的体积的求法，考查运算能力和推理能力、分类讨论思想，属于中档题．