【文档说明】山东省青岛市黄岛区2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(27)页，2.293 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度第一学期期中学业水平检测高三数学试题本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时

：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0|2Axcosxx=，集合2|BxRxx=.则AB=（）A.0,3πB.0,3C.0,3D.()0,1【答案】B【解

析】【分析】根据余弦函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合(0,]3A=，[0,1]B=，再结合并集的运算，即可求解.【详解】由12cosx，可得22,33kxkkZ−++，因为0πx，可得03x，即集

合(0,]3A=，又由2xx，即2(1)0xxxx−=−，解得01x，即[0,1]B=，所以AB=0,3.故选：B.2.已知数列na各项均大于1，*nN，“31nnaa+=”是“数列lgna成等比数列”的（）A.充

要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】从充分条件和必要条件两方面推导，【详解】解：31nnaa+=，又1na，所以31lglg3lgnnnaaa+==，则数列lgna为等比数列；因为1na，所以l

g0na，若数列lgna为等比数列，则公比q为正数且1lglgnnaqa+=，则有1qnnaa+=成立，0q，不能推出3q=.所以31nnaa+=是数列lgna为等比数列的充分不必要条件.故选：D.3.已知角终边经过点()2,Pa，若6=−，

则a=（）A.6B.63C.63−D.6−【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.【详解】由题意，角终边经过点()2,Pa，可得22OPa=+，又由6=−，根据三角函数的定义，可得

22cos()62a−=+且0a，解得63a=−.故选：C.4.已知向量()()1,2,2,1ABBD==−，(),1,BCttR=，若//,ADCD，则实数t的值为（）A.8B.6C.4D.43【答案】A【解析】【分析】由题意，求得()3,1AD=，(

)2,2CDt=−−，根据//ADCD，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量()()1,2,2,1ABBD==−，(),1,BCttR=，可得()3,1ADABBD=+=，()2,2CDBDBCt

=+=−−，因为//ADCD，所以3(2)1(2)t−=−，解得8t=.故选：A.5.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若//,//,aba则//bB.若,//,a⊥则a⊥C.若,,a⊥⊥则//aD.若,,,

abab⊥⊥⊥则⊥【答案】D【解析】若,,aba则b或//b，A错误；若,,a⊥则a与平面可能平行可能相交，也可能在平面内，B错误；若,a⊥⊥，则a或a，C错误；若,,,abab⊥⊥⊥则a⊥，D正确，选D.6.已知函数(),0,,0.lnxxfx

kxx=，若0xR使得()()00fxfx−=成立，则实数k的取值范围是（）A.(,1−B.1,e−C.)1,−+D.1,e−+【答案】D【解析】【分析】由已知建立方程，反解出k，将问题转化为求函数值域问题，然后利用

函数的性质求出最值即可求解.【详解】由题意可得：存在实数00x，使得()()00fxfx−=成立，假设00x，则00x−，所以有00lnkxx−=，则00lnxkx=−，令()lnxhxx=−，则()2ln1xhxx−=，令()0hx，即ln1x，解得xe，令()0

hx，即ln1x，解得0xe，则()hx在()0,e上单调递减，在(),e+上单调递增，所以()()()ln1minehxhxheee==−=−，所以1ke−，故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本

题的关键.7.已知函数()()2sin3cos,0,2fxxxx=+，则()fx的单调递增区间是（）A.06,B.0,4C.0,3D.0,2【答案】A【

解析】【分析】根据三角恒等变换公式化简()fx，结合x的范围，可得选项.【详解】因为()()2sin3cos,0,2fxxxx=+，所以()()222sin3cossin23sincos+3cosfxxxxxx

x+==+23sin22cos+13sin2cos2+22sin2+26xxxxx=+=+=+，因为0,2x，所以72+,666x，所以由2+662x，解

得06x，所以()fx的单调递增区间是06,，故选：A.8.定义在[0,)+上的函数()fx满足：当02x„时，3()31fxxx=−+−；当2x…时，()3(2)fxfx=−.记函数()fx的极大值点从小到大依次记为12,,,,naaa，并记相应的极大

值为12,,,,nbbb，则11221818ababab+++的值为（）A.191831+B.181831+C.171731+D.181731+【答案】D【解析】【分析】利用导数求得)0,2x时函数的极值点和极值，再结合递推关系，求得数列nnab的通项

公式，利用错位相减法即可求得其前18项和.【详解】2()333(1)(1)fxxxx=−+=−+−，由题当02x时，易知3()31fxxx=−+−的极大值点为1，极大值为1，当2x时，()3(2)fxfx=−

，则极大值点形成首项为1，公差为2的等差数列，极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故21nan=−，13nnb−=，故1(21)3nnnabn−=−.设0121711221818133353353S

ababab=+++=++++①，设12171831333333353S=++++②，两式相减得()121718212333353S−=++++−()17181831312353234313−=+−=−−−，∴181731S=+，故选：D.【

点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和极值，涉及错位相减法求数列的前n项和，属综合中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在ABC中，2,1ABA

C==，2,ABACAP+=则（）A.0PBPCB.0PBPC+=C.1122PBABAC=−D.34APBP=−【答案】BCD【解析】【分析】由2ABACAP+=可得0PBPC+=，B正确；由0P

BPC+=可得PBPC20PC=−，A不正确；根据向量减法的三角形法则以及0PBPC+=可得C正确，由2ABACAP+=和1122PBABAC=−可得D正确.【详解】因为2,ABACAP+=所以0ABAPACAP−+−=，所以0PBPC+=，故B正确；

所以PBPC=−，所以PBPC20PC=−，故A不正确；因为111222ABACCB−=11()()22PBPCPBPBPB=−=+=，故C正确；APBP=1()2ABAC+1()2ABAC−

−221()4ABAC=−−13(41)44=−−=−，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用向量的线性运算和数量积的运算律求解是解题关键.10.已知函数()()sin(0,0,0)fxAxA

=+的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A，下列结论正确的是（）A.=B.3=C.将()fx图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()hx图象；再将()hx图象向

右平移16个单位长度，得到函数2sin6yx=+的图象D.()yfx=的图象关于1x=对称【答案】BC【解析】【分析】根据已知条件求出函数解析式，可判断AB，然后由三角函数图象变换判断C，由正弦函数的性质判断D．【详解】由已知24=

，2=，A错；2A=，2sin()223+=，23k=+，kZ，又0，∴3=．B正确；∴()2sin23fxx=+，将()fx图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得()2sin()3hxx=+，再将()hx

图象向右平移16个单位长度，得图象的解析式为2sin()2sin()636yxx=−+=+，C正确；大()fx中，令1x=，5,2362xkkZ+=+，D错．故选：BC．【点睛】易错点睛：本题考查由三角函数的性质求三角函数的解析式，考查三角函数的图象与性质

，图象变换．掌握“五点法”是解题关键．在图象平移变换时要注意x的系数不是1时，需加括号得解析式，否则会出错．11.在三棱柱111ABCABC−中，EFG、、分别为线段111ABABAA、、的中点，下列说法正确的是（）A.平面1//ACF平面1BCE

B.直线//FG平面1BCEC.直线CG与BF异面D.直线CF与平面CGE相交【答案】AC【解析】【分析】在三棱柱111ABCABC−中，得到11//,//BEAFCECF，结合面面平行的判定，可判定A是正确的；由1111//,//FGABABBEB=，得到FG与1

BE相交，可判定B错误；由//EGBF，得到//BF平面CEG，进而可判定C正确；由线面平行的判定定理，可得判定D错误.【详解】对于A中，在三棱柱111ABCABC−中，EFG、、分别为线段111ABABAA、、的中点

，所以11//,//BEAFCECF，因为11,BECEEAFCFF==，所以平面1//ACF平面1BCE，所以A是正确的；对于B中，因为,FG分别是线段111,ABAA的中点，所以1111//,//FGABABBEB=，所以FG与1BE相交，所以直线FG与平面1BCE相交，所以B错误；对于C中，

因为,EG分别为线段1,ABAA的中点，所以//EGBF，因为EG平面,CEGBG平面CEG，所以//BF平面CEG，因为EGCGG=，所以CG与BF是异面直线，所以C正确；对于D中，因为1//CECF,CE平面CGE

，1CFË平面CGE，所以直线1//CF平面CGE，所以D错误.故选：AC.【点睛】解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、对

于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.12.已知()fx是定义在R上的奇函数，且()()11fxfx

+=−，当01x时，(),fxx=关于函数()()()gxfxfx=+，下列说法正确的是（）A.()gx为偶函数B.()gx在()1,2上单调递增C.()gx不是周期函数D.()gx的最大值为2【答案】

ACD【解析】【分析】利用奇偶性的定义可判断A选项的正误；求出函数()gx在区间()1,2上的解析式，判断出函数()gx在()1,2上的单调性，可判断B选项的正误；作出函数()gx的图象，可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，由

于函数()fx是定义在R上的奇函数，则()()fxfx−=−，所以，函数()()()gxfxfx=+的定义域为R，且()()()()()()()()gxfxfxfxfxfxfxgx−=−+−=−+=+=，所以，函数()gx为偶函数，A选项正确；对于B选项，由题意可得(

)()2fxfx=−，当12x时，021x−，则()()22fxfxx=−=−，此时()()()222242gxfxfxxxxxx=+=−+−=−+−=−，此时，函数()gx在()1,2上单调递减，B选项

错误；对于C选项，由已知可得()()()()224fxfxfxfx=−=−−=−，所以，函数()fx是以4为周期的周期函数，作出函数()fx的图象如下图所示：当0x时，()()()()()gxfxfxfx

fx=+=+，()()()()()444gxfxfxfxfx+=+++=+，当0,2x时，()0fx，则()()2gxfx=；当2,4x时，()0fx，则()()()()()0gxfxfxfxfx=+=−+=.所以，当0x时，()()()2,4420,4244fxkxkgxkNk

xk+=++，又由于函数()gx为偶函数，作出函数()gx的图象如下图所示：由图象可知，函数()gx不是周期函数，C选项正确；对于D选项，由函数()gx的图象可知，函数()gx的最大值为2，D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性、奇偶性、最值以

及周期性的判断，推导出函数()fx的基本性质，并由此作出函数()gx的图象是解题的关键.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设z＝11i+＋i(i为虚数单位)，则|z|＝______

__.【答案】22【解析】【分析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.【详解】1111111(1)(1)2222iziiiiiiii−=+=+=−+=+++−,22112()()222z=+=.故答案为：22【点睛】本题考

查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.14.已知22034sin=，，则sincos−=_____________________.【答案】33−【解析】【分析】结合二倍角的正弦公式和同

角三角函数的基本关系，由()2sincossincos−=−−即可求出正确答案.【详解】解：因为04，所以0sincos−，所以()23121sin23sincossincossincos−=−−=−−=−−=−，故答案为:33−.15.已知2log6a=

，5log15b=，2c−=，则,,abc的大小关系为__________(用“”连接).【答案】cba【解析】【分析】借助对数函数和指数函数的单调性寻求中间量，借助中间量比较大小关系.【详解】解：由2222log4log6log83==得23a，由5551

log5log15log252==得12b，由0112()()122−==得1c，所以cba.故答案为：cba.【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya=的单调性；（2

）指数相同，底数不同，如1ax和2ax利用幂函数ayx=单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如1logax和2logax利用指数函数logax单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判

定．16.在四面体PABC−中，PA⊥底面,1ABCPA=，ABCPBCPACPAB、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3,则（1）该四面体外接球的表面积为__________________；（2）该四面体体积的

最大值为_____________________.【答案】(1).9(2).23【解析】【分析】(1)利用分割补形法把四面体放置在长方体模型中，即可求得四面体外接球的半径，则表面积可求；(2)求出AC的长度，再由基本不等式求得ABBC的最大值，则四面体体积的最大值可求

.【详解】（1）利用长方体模型，所以该四面体外接球半径2222113222RPAABBCPC=++==，所以该四面体外接球的表面积为22344()92R==，（2）22222318ACPCPA=−=−=，22282ACABBCABBC==+得4ABBC，当且仅当2ABBC

==时等号成立，所以111124133263PABCABCVSPAABBCPA−===，所以该四面体体积的最大值为23.故答案为：9，23.【点睛】方法点睛：求解外接球的相关问题时，关键在于求出外接球的球心和半径，可以用“分割补形

法”，“垂面法”等方法确定球心的位置.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.17.在①()sinsin2BCaACb++=，②2221coscoscossinsinABCBC+=++两个条件中任选一个

，补充到下面问题中，并解答.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知_.（1）求A；（2）已知函数()(),1cos40,24fxxAx=−，求()fx的最小值.【答案】选择见解析；（1）3A

=；（2）()min14fx=−.【解析】【分析】（1）若选择①，先由诱导公式变形，然后正弦定理化边为角后可求得A；若选择②，由平方关系化余弦为正弦，然后由正弦定理化角为边，再用余弦定理求得A；（2）求出43x−的范围后，结合余弦函数的性质可得最小值．

【详解】解：（1）若选择①，因为()sinsin2BCaACb++=所以sinsin22AaBb=−即sincos2AaBb=由正弦定理得：sinsinsincos2AABB=.由于B为ABC的内角，所以sin0B所以sincos2AA=，即

2sincoscos222AA=由于A为ABC的内角，cos02A，所以1sin22A=又因为(0,)A，所以26A=，3A=，若选择②，因为2221coscoscossinsinABCBC+=++所以222sinsinsinsinsinBCABC+

−=.由正弦定理得：222bcabc+−=在ABC中，由余弦定理知：2221cos22bcaAbc+−==所以3A=（2）由（1）知：()1cos43)2(fxx=−因为0,4x所以24,333x−−所以1cos4123πx−−所

以当2433x−=即4x=时，()min144fxf=−=．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，在出现边角关系求角时，常常利用正弦定理化边为角，然后利用三角函数的恒等变换公式变形求角，或者利用正弦定理化角为边后用余弦定理求得角．18.如图，在半圆柱W中，ABCD、分

别为该半圆柱的上、下底面直径，EF、分别为半圆弧,ABCD上的点，ADBCEF、、均为该半圆柱的母线，2ABAD==.（1）证明：平面DEF⊥平面CEF；（2）设02CDF=，若二面角ECDF−−

的余弦值为55，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4=.【解析】【分析】（1）根据圆柱的结构特征，得到DFCF⊥，进而证得CF⊥平面DEF，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面DEF⊥平面CEF；（2）以F坐标原点，分别以F

DFCFE、、为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz−，分别求得平面CDE和平面CDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，求得()221sin=，即可求解.【详解】（1）由题意知，EF为半圆柱的母线，所以EF⊥平面CDF，又因为CD为直径，所以DFCF⊥，又由DFEFF=

，所以CF⊥平面DEF，因为CF平面CEF，所以平面DEF⊥平面CEF（2）以F坐标原点，分别以FDFCFE、、为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz−，所以()(),2,0,00,2,0DcosCsin，()0,0,2E设平面CDE的法向量()1,,nxyz=因为()(

)1,,2,2,00nCDxyzcossin=+−=，()()1,,0,2,20nCExyzsin=−−=可得220220cosxsinysinyz−=−+=，取1y=，解得,xtanzsin==所以平面CDE的法向

量()1,1,ntansin=取平面CDF的法向量()20,0,1n=uur可得121255nnnn=，所以22551sinsintan=++，所以()221sincos=，即()221sin=，所以21sin=或21sin=−(舍

)，解得4=.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且

垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.19.已知正项数列na的前n项和为2*111,1,,nnnnSaSSanN++=+=.（1）求na的通项公式；（2）若数列nb满足：1122222...22nnnnababab

ab+++++=−，求数列221lognnab+的前n项和nT.【答案】（1）nan=；（2）()()31142122nn−−++.【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−求得{}na的递推关

系，并得出11nnaa+−=，同时验证211aa−=后确定{}na是等差数列，得通项公式；（2）用与（1）类似方法得出nb．然后用裂项相消法求得和nT．【详解】解：()1由题知：22111(,2)nn

nnnnSSaSSan++−+=+=两式相减得：2211nnnnaaaa+++=−；所以()22110nnnnaaaa++−−+=，所以()11()10nnnnaaaa++−−+=；因为0,*nanN，所以11(2)nnaan+−=*又因为1222S

Sa+=，所以22122aaa+=，因为11a=，解得：22a=（21a=−舍去），所以211aa−=适合*式所以na是以1为首项，1为公差的等差数列.所以()111nann=+−=()2由()1得：123

223...22nnnbbbnb+++++=−①；所以()12311123...1222()nnnbbbnbn−−+++++−=−②①−②得：2()2nnnnbn=，所以(2)12nnbn=又由①式得，112b=适合上式所以*1()2nnbnN=

所以()2211111log222nnabnnnn+==−++所以11111111111232435112nTnnnn=−+−+−++++−−++()()31142122nn=−−++【点睛】本题考查求等差数列、等比数列的通项公式，裂项相消法

求和．在由1nnnSSa−−=求解时要注意2n，需对1n=进行检验．另外数列求和的常用方法：设数列{}na是等差数列，{}nb是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}

nnab的前n项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}nnkaa+（k为常数，0na）的前n项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}nnpaqb+用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足mnmaaA−+

=（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和．20.已知关于x的函数()lnln,0fxaxxaa=−.（1）讨论()fx的极值点；（2）若()0fx恒成立，求a的值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）ae=.【

解析】【分析】（1）求出导函数()fx，由导数确定单调性得极值点．（2）在（1）的基础上，01a时不合题意，1a时，极大值为0lnafa，得ln1aae，然后设()lnagaa=，利用导数证明1()gae，从而得ae=．【详解】解：（1）由题知：()lnafx

ax=−若01,a则()'ln0afxax=−所以()fx在(0,)+上单调递增，所以()fx无极值点.若1,a则()'ln0afxax=−=，解得lnaxa=.所以，当0,lnaxa时，(

)'0fx，()fx在0,lnaa上单调递增；当,lnaxa+时，()0fx，()fx在,lnaa+上单调递减；所以，当1a时，()fx存在唯一极大值点l

naxa=.（2）若1a=，由（1）知：()lnfxx=，不满足题意若01a，由（1）知：()fx在(0,)+上单调递增，且()1ln0fa=−所以01a时，也不合题意.若1a，由（1）知：()1lnln1n

lnlnnllafeaaaaxfaaa=−=−所以ln1aae令()()2ln1ln,'aagagaaa−==所以，当()0,ae时，()'0ga，()ga在()0,

e上单调递增；当(,)ae+时，()'0ga，()ga在(,)e+上单调递减；所以()()1gagee=；即ln1aae所以ln1aae=，ae=综上，若()0,fx则ae=．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值点，研究不等式恒成立问题，对不等式()0fx，可由导数求

出()fx的最大值max()fx，由max()0fx得出a的范围，本题还需对不等式max()0fx进行变形，再引入新函数，由新函数的性质得出a的取值．21.如图1，在平面四边形ABDC中，2,1,5,90ABACCDA====，15cosBCD=，（1）求sinD；（2）将BCD△沿

BC折起，形成如图2所示的三棱锥,2DABCAD−=.①三棱锥DABC−中，证明：点D在平面ABC上的正投影为点A；②三棱锥DABC−中，点,,EFG分别为线段,,ABBCAC的中点，设平面DEF与平面DAC的交线为l，Q为l上的点.求DE与

平面QFG所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）155sinD=；（2）①证明见解析；②250,5.【解析】【分析】（1）先求出BC的长，再在BCD△中，求出cosBCD，再由正弦定理即可求解；（2）①根据,,ABADBD的长度判断AD

AB⊥，再根据1,2,5ACADCD===判断222,CDACADADAC=+⊥，从而易证AD⊥平面ABC，则点D在平面ABC上的正投影为点A；②以A为坐标原点，分别以ABACAD、、为,,xyz轴建立空间直角坐标系A

xyz−，求出平面QFG的一个法向量，讨论DE与平面QFG的法向量的夹角的范围即可.【详解】解：（1）在RtABC中：225BCABAC=+=在BCD△中由余弦定理：5BCCD==，222125BCCDBDc

osBCDBCCD+−==所以22BD=，2261cos5sinBCDBCD=−=在BCD△中，由正弦定理：BCBDsinDsinBCD=，所以155sinD=；(2)①在DAB中，因为2,2,22ABADBD==

=，所以222,BDABADADAB=+⊥，在DAC△中，因为1,2,5ACADCD===，所以222,CDACADADAC=+⊥，又因为ABACA=，所以AD⊥平面ABC，所以点D在平面ABC上的正投影为点A；②因为//,EFACEF平面DAC，AC平面

DAC，所以//EF平面DAC，平面DEF与平面DAC的交线为l，所以//lEF，//lAC.以A为坐标原点，以ABACAD、、分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Axyz−，所以()()0,0,0,0,0,2AD，()111,0

,0,1,,0,0,,022EFG，设()0,,2Qt，()10,,21,,0211,,22tFQt−=−−=，()10,,20,,0210,,22GtQt−=−=，设平面QFG的法向量(),,nxyz=，因为()1

,,1,,202nFQxyzt=−−=，()1,,0,,202nGQxyzt=−=，所以12021202xtyztyz−+−+=−+=，取2y=，解得10,2xzt==−，所以，

平面QFG的一个法向量为10,2,2nt−=，因为()1,0,2DE=−，设DE与平面QFG所成角为，所以2121542tDEnsinDEnt−==−+，若12t=，则sin0=，若12t，则225125455112sint=+−，所以DE

与平面QFG所成角的正弦值的取值范围为250,5.【点睛】方法点睛：平面几何问题一般用正余弦定理，结合三角函数和三角恒等变换即可解决；立体几何中求线面角的正弦的取值范围，方法之一是建立空间直角坐标系，转化为直线的方向向量与平面的法向量夹角即可解决.22.已知函数()lns

inxfxaxeax−=+，0a.（1）若0x=恰为()fx的极小值点.①证明：112a；②求()fx在区间(),−上的零点个数；（2）若1a=，()1111111233fxxxxxxxxxnn=−+−−+−

+，又由泰勒级数知：()()()2246*1cos12!4!6!2!nnxxxxxnNn−=−+−+++，证明：22222111112

36n+++++=【答案】（1）①证明见解析；②2个；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①由已知条件得出()0ln0faa=+=，构造函数()()ln0gxxxx=+，可知a为函数()g

x的零点，分析函数()gx的单调性，利用零点存在定理可证得结论成立；②利用导数分析函数()fx在区间(),0−、()0,上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（2）由()()()2246*1cos12!4!6!2!nnxxxxx

nNn−=−+−+++求导变形后得出()()121351sin1!3!5!21!nnxxxxxn−−−=−++++−，结合已知条件得出()()121241sin13!5!21!nnxxxxxn−−−=−++

++−，对比系数可得结论成立.【详解】（1）①由题意得：()()ln1cosxfxaxeax−=−+，因为0x=为函数()fx的极值点，所以，()0ln0faa=+=，令()()ln0gxxxx=+，则()110gxx=+，()gx在(0,)+上单调递增.因为

()110g=，111lnln02222eg=+=，所以()lngxxx=+在1,22上有唯一的零点a，所以112a；②由①知：lnaa=−，()()sinxfxaxxe−=−，()()cos1xfxaxxe−=−−，（i）

当(),0x−时，由0a，1cos1x−，11x−，1xe−，得()0fx，所以()fx在(),0−上单调递减，()()00fxf=，所以()fx在区间(),0−上不存在零点；（ii）当()0,x时，设()()cos1xhxxxe−=−−，则()()2sinx

hxxex−=−−.（a）若0,2x，令()()2sinxmxxex−=−−，则()()3cos0xmxxex−=−−，所以()mx在0,2上单调递减，因为()020m=，2210

22πππme−=−−，所以存在0,2a，满足()0ma=，当()0,xa时，()()0mxhx=，()hx在()0,a上单调递增；当,2xa时，()()0

mxhx=，()hx在,2a上单调递减；（b）若,22x，令()()2xxxe−=−，,22x，则()()30xxxe−=−，所以()x在区间,2

2上单调递减，所以()21222πππφxφee−=−，又因为()1sinsin2sin2sin62x=−=，所以()()2sin0xhxxex−=−−，()hx在,22上单调递减；（c）若()2,x

，则()()2sin0xhxxex−=−−，()hx在()2,上单调递减.由（a）（b）（c）得，()hx在()0,a上单调递增，()hx在(),a单调递减，因为()()00hah=，()()11

0he−=−−，所以存在(),a使得()0h=，所以，当()0,x时，()()0fxhx=，()fx在()0,上单调递增，()()00fxf=，当(),x时，()()0fxhx=，()fx在(),上单调递减，因为()()0

0ff=，()0f，所以()fx在区间(),上有且只有一个零点.综上，()fx在区间(),−上的零点个数为2个；（2）因为2222222222s14i1n113xxxxxxn

=−−−−，（*）对()()22461cos12!4!6!2!nnxxxxxn−=−+−+++，两边求导得：()()21351sin1!3!5!21!nnxxxxxn−−−=−+−+++−，()()121351sin

1!3!5!21!nnxxxxxn−−−=−++++−，所以()()122241sin13!5!21!nnxxxxxn−−−=−++++−，（**）比较（*）（**）式中2x的系数，得222221111113!123n−=−+++++所以22222

11111236n+++++=.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论

思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.