【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第七章第五节　垂直关系含答案【高考】.doc，共(9)页，373.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五节垂直关系授课提示：对应学生用书第135页[基础梳理]1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，bαa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的

角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(2)范围：0，π2．3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂

直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α-2-1．判定定理的理解若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．a∥b，a⊥α⇒b⊥α.2．性质定理性质定理2如果两个平面互

相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内α⊥β，P∈β，PQ⊥α⇒PQβ性质定理3如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ[四基自测]1．(基础点：面面垂直性质)下列命题中不正确的是()A．如果平面α

⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A

2．(基础点：线面垂直性质)已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交答案：C3．(基础点：面面垂直的判定)一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是______

__．答案：垂直4．(易错点：空间垂直关系的转化与认识)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．-3-答案：4授课提示：对应学生用书第136页考点一线面垂直的判定与性质挖掘线面垂直的

判定与应用/自主练透[例](1)(2020·河南商丘模拟)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．[解析]由

PA⊥平面ABC，BC平面ABC，可得PA⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，又AF平面PAC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC

∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC，又PB平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF

∩AE＝A，所以AE不与平面PBC垂直，故④错误．综上可知正确命题的序号为①②③.[答案]①②③(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.[证明]①在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.∵AE平面PAC，∴CD⊥AE.-4-②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中

点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平

面PAD，∵PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.(3)如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．①求证：SD⊥平面ABC；②若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明]①如图所示，取AB

的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面

ABC.②∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由①可知，SD⊥平面ABC，又BD平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.[破题技法]证明直线与平面垂直的常用方法-5-(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．(2)利用“两平

行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线．考点二平面与平面垂直的判定与性质[例](1)(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，

点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[解析]如图，取

CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2

＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF且MG＝12EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝322＋22＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.-6-连接

BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，∴BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.[答案]B(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边

AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．[解析]如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE

＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝（3）2－12＝2.[答案]2[破题技法]应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证

明该直线与另一个平面垂直．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)求作空

间点向平面引垂线(段)或者求几何体的高，就利用面面垂直的性质．考点三空间垂直关系的探索与转化挖掘1探索条件(开放性问题)/自主练透[例1](1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边

都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)[解析]如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，-7-∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即

有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC等)(2)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于

底面ABCD，若G为AD的中点．①求证：BG⊥平面PAD；②求证：AD⊥PB；③若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．[解析]①证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD

，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD.②证明：如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由①知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB平面PG

B，所以AD⊥PB.③当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，PB平面PGB，GB平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥

平面PGB.因为BG⊥平面PAD，PG平面PAD，所以BG⊥PG.-8-又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD.又PG平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.挖掘2探索结论(创新问题)/自主练透[例2](1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a

，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体

是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.[解析]由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面A

CD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确，综上，正确命题的序号为①②③④.[答案]①②③④(2)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点

P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．[解析]分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，过点M作平面α，使α∥平面AEFD，则平面α与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的

周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋5.-9-[答案]2＋5[破题技法]探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直．(2)矩形的相邻边垂直

．(3)直径所对的圆周角的两边垂直．(4)菱形的对角线垂直．(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．