【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练17 导数与函数的单调性.docx，共(9)页，39.584 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十七导数与函数的单调性(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确

的是()A.f(b)>f(c)>f(a)B.f(b)>f(c)=f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(e)>f(d)>f(c)【解析】选D.由题意可知,当x∈[c,e]时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,所以

f(e)>f(d)>f(c).2.(5分)(2023·广安模拟)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是()A.y=sinxB.y=xexC.y=x3-xD.y=lnx-x【解析】选B.对于A,y=sinx是正弦函数,在(0,+∞)上不是单调函数,不符合题意;对于B,y=xe

x,其导数y'=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y'>0恒成立,则其在(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于C,y=x3-x,其导数y'=3x2-1,在区间(0,√33)上,y'<0,函数单调递

减,不符合题意;对于D,y=lnx-x,其导数y'=1𝑥-1,在区间(1,+∞)上,y'<0,函数单调递减,不符合题意.3.(5分)已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(2,18)B.[2,18]C.(-∞,2]∪[

18,+∞)D.[2,18)【解析】选A.因为f'(x)=2x-𝑎𝑥(x>0),f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内不是单调函数,所以f'(x)在(1,3)内存在变号零点,即a=2x2在(1,3)内有解,所以2<a<18.4.(5分)(2023·辽宁实验中学

模拟)已知a∈R,则“a≤2”是“f(x)=lnx+x2-ax在(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为f(x)=lnx+x2-ax在(0,+∞

)上单调递增,则f'(x)=1𝑥+2x-a≥0对任意的x>0恒成立,即a≤2x+1𝑥,当x>0时,由基本不等式可得2x+1𝑥≥2√2𝑥·1𝑥=2√2,当且仅当x=√22时,等号成立,所以a≤2√2.因为{a|a≤2}⫋{a|a≤2√2}

,因此“a≤2”是“f(x)=lnx+x2-ax在(0,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.(5分)(多选题)若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是()A.-3B.-

1C.0D.2【解析】选BD.依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故{𝑎≠0,𝛥=36+12𝑎>0,解得a>-3且a≠0.6.(5分)(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)=(x-1𝑥)lnx,且a=f(23),b=f(45),c=f(

e-12),则()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】选B.由f(x)=(x-1𝑥)lnx,得f'(x)=(1+1𝑥2)lnx+(1-1𝑥2),当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因为c=f(1√e),0<1√e<23<45<1,所以

f(1√e)>f(23)>f(45),故c>a>b.7.(5分)已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cosx,则f(x)的单调递增区间为__________.【解析】f'(x)=1-2sinx,x∈(0,π).令f'(x)=0,得x=π

6或x=5π6,当0<x<π6或5π6<x<π时,f'(x)>0,当π6<x<5π6时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,π6)和(5π6,π)上单调递增,在(π6,5π6)上单调递减.答案:(0,π6

),(5π6,π)8.(5分)(2023·丽水模拟)已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3,1),则m+n的值为__________.【解析】f'(x)=x2+2mx+n,由f(x)的单调递减区间是(-3,1

),得f'(x)<0的解集为(-3,1),则-3,1是f'(x)=0的解,所以-2m=-3+1=-2,n=1×(-3)=-3,可得m=1,n=-3,故m+n=-2.答案:-29.(10分)已知函数f(x)=aex

-x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)试讨论函数f(x)的单调性.【解析】(1)因为a=1,所以f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1,所以f'(1)=e-1,f(1)=e-1,所以曲线y=f(x

)在点(1,f(1))处的切线方程是y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.(2)因为f(x)=aex-x,a∈R,x∈R,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)=aex-1<0,则f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f'(x)=

0,得x=-lna,当x<-lna时,f'(x)<0,当x>-lna时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递

增.【能力提升练】10.(5分)(多选题)(2023·衡水质检)下列不等式成立的是()A.2ln32<32ln2B.√2ln√3<√3ln√2C.5ln4<4ln5D.π>elnπ【解析】选AD.设f(x)=ln𝑥𝑥(x>0),则f'(x)=1-ln𝑥𝑥2,所

以当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因为32<2<e,所以f(32)<f(2),即2ln32<32ln2,A正确;因为√2<√3<e,所以f(√2)<f(√3),即√2ln√3>√3ln

√2,B不正确;因为e<4<5,所以f(4)>f(5),即5ln4>4ln5,C不正确;因为e<π,所以f(e)>f(π),即π>elnπ,D正确.11.(5分)已知函数f(x)=ex-e-x+12sinπ2x+1,实数a,b满足不等式f(3a+b)+f(a-1)<2

,则下列不等式成立的是()A.2a+b<-1B.2a+b>-1C.4a+b<1D.4a+b>1【解析】选C.设g(x)=ex-e-x+12sinπ2x,则g(x)=f(x)-1,f(3a+b)+f(a-1)<2,即g(3a+b)+g(

a-1)<0,因为g(-x)=e-x-ex-12sinπ2x=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,因为g'(x)=ex+e-x+π4cosπ2x≥2√e𝑥·e-𝑥+π4cosπ2x=2+π4co

sπ2x>0,所以g(x)是增函数,因为g(3a+b)+g(a-1)<0,所以g(3a+b)<-g(a-1)=g(1-a),则3a+b<1-a,即4a+b<1.12.(5分)(2023·大理模拟)已知奇函数f(x)的定义域为

R,且𝑓'(𝑥)𝑥2-1>0,则f(x)的单调递减区间为____________;满足以上条件的一个函数是__________.【解析】由𝑓'(𝑥)𝑥2-1>0,可得{𝑓'(𝑥)>0,𝑥2-1>0或{𝑓'(𝑥)<0,𝑥2-1<0,所以当x<-1或x

>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为(-1,1),所以满足条件的一个函数可以为f(x)=13x3-x.答案:(-1,1)f(x)=13x3-x(答案不唯一)13.(5分)(2023·黔江模拟)函数f(x)=x

2-axlnx在(2e,2)上不单调,则实数a的取值范围是__________.【解析】f'(x)=2x-a(lnx+1),若函数f(x)=x2-axlnx在(2e,2)上不单调,则方程f'(x)=0在(2e,2)上

有根,即方程a=2𝑥ln𝑥+1在(2e,2)上有根且方程的根是函数f'(x)的变号零点,令g(x)=2𝑥ln𝑥+1,则g'(x)=2ln𝑥(ln𝑥+1)2,当x∈(2e,1)时,g'(x)<0,g(x)

单调递减;当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,又g(1)=2,g(2e)=4eln2,g(2)=4ln2+1,由g(2)-g(2e)=4ln2+1-4eln2>0,得g(x)∈[2,4ln2+1),故a∈(2,4ln2+1).答

案:(2,4ln2+1)14.(10分)已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+2𝑥在[1,+∞)上单调,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意,知函数f(x)的定义域为(

0,+∞),当a=-2时,f'(x)=2x-2𝑥=2(𝑥+1)(𝑥-1)𝑥,由f'(x)<0得0<x<1,故函数f(x)的单调递减区间是(0,1).(2)由题意,得g'(x)=2x+𝑎𝑥-2𝑥2,因为函数g(x)在[1,+∞)上单调,当g(x)在[1,+∞)上单

调递增时,则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥2𝑥-2x2在[1,+∞)上恒成立.设φ(x)=2𝑥-2x2,因为φ(x)在[1,+∞)上单调递减,所以在[1,+∞)上,φ(x)max=φ(1)=0,所以a≥0;当g(x)在[1,+∞)

上单调递减时,则g'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,易知其不可能成立.综上,实数a的取值范围为[0,+∞).15.(10分)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)

若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·(f'(x)+𝑚2)在区间(t,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=𝑎

(1-𝑥)𝑥,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);当a=0时,f(x)为常函数,

无单调区间.(2)由(1)及题意得f'(2)=-𝑎2=1,即a=-2,所以f(x)=-2lnx+2x-3,f'(x)=2𝑥-2𝑥(x>0).所以g(x)=x3+(𝑚2+2)x2-2x,所以g'(x)=3x2+(m+4)x-2.因为g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,

即g'(x)在区间(t,3)上有变号零点.由于g'(0)=-2,所以{𝑔'(𝑡)<0,𝑔'(3)>0,当g'(t)<0时,即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立,由于g'(0)<0,故只要g'(1)<0且g'(2)<0,即m<-5且m<-9

,即m<-9,又g'(3)>0,即m>-373,所以-373<m<-9.即实数m的取值范围是(-373,-9)【素养创新练】16.(5分)(多选题)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有𝑥1𝑓(𝑥1)-𝑥2𝑓(�

�2)𝑥1-𝑥2>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是()A.f(x)=exB.f(x)=x2C.f(x)=lnxD.f(x)=sinx【解析】选ACD.依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.对于A,g(x)=xe

x,g'(x)=(x+1)ex,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”;对于B,g(x)=x3在R上单调递增,故B中函数为“F函数”;对于C,g(x)=xlnx,g'(x)

=1+lnx,x>0,当x∈(0,1e)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1e)上单调递减,故C中函数不是“F函数”;对于D,g(x)=xsinx,g'(x)=sinx+xcosx,当x∈(-π2,0)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-π2,0)上单调递减,

故D中函数不是“F函数”.17.(5分)若x1·2𝑥1=x2·log2x2=2025,则x1x2的值为__________.【解析】因为x1·2𝑥1=x2·log2x2=2025,所以2𝑥1log22𝑥1=x2·log2x2=2025,则2𝑥1>1,x1>0,x2>

1,设f(x)=xlog2x(x>1),则f'(x)=log2x+1ln2>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以2𝑥1=x2,所以x1x2=x1·2𝑥1=2025.答案:2025