【文档说明】高中数学人教版必修1教案：2.1.1指数与指数幂的运算 （系列二）含答案【高考】.doc，共(8)页，126.000 KB，由小赞的店铺上传

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12.1.1指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程

与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难

点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围

内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题回顾初中时的整数指数幂及运算性质.0,1(0)naaaaaaa==,老师提问，学生回答.学习新知前的简单200无意义1(0)nnaaa−=;

()mnmnmnmnaaaaa+==(),()nmmnnnnaaabab==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a＞0①1051025255()aaaa==

=②884242()aaaa===③1212343444()aaaa===④5105102525()aaaa===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323

(0)aaa==12(0)bbb==5544(0)ccc==即：*(0,,1)mnmnaaanNn=老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方

数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结

论．教师巡视指导．让学生经历从“特3*(0,,)mnmnaaamnN=正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmnaamnNa−=规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分

数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nmmmmaaaaa=殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经

历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．深化概念由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsrsaaaarsQ+=（2）()(0,,)rSrsaaar

sQ=（3）()(0,0,)rrrababQbrQ=若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57——P58.让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．4即：2的

不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)

所以，25是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：32的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理

数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)rsrsaaaarRsR+=()(0,,)rsrsaaarRsR=()(0,)rrrababarR=5应用举例例题例1（P5

6，例2）求值238；1225−；51()2−；3416()81−.例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）3.aa；322aa；3aa.分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：117333222

.aaaaaa+===；232223aaaa=28233aa+==；31442133332()aaaaaaa====.课堂练习：P59练习第1，2，3，4题补充练习：1.计算：142121(2)()248nnn++−的结果；2.若3103,384,aa==1310733[

()]naaa−求的值.学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：①223338(2)=2323224===；②1122225(5)−−=12()121555−−===；③5151()(2)2−−−=1(5)232−−==；④334()44162()()813−−

=3227()38−==.例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：1332.aaaa=17322aa+==；232223aaaa=28233aa+==；31433aaaaa==421332()aa==.练习答案：1.解：原式=4421262222nnn+

−−−=92=512；通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．62.解：原式=1373[(128)]n−=332n−.归纳总结1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指

数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.先让学生独自回忆，然后师生共同总结．巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．课后作业作业：2.1第二课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1计算（1）.)01.0(4122

5325.02120−+−−（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(−−−+−+；【解析】（1）原式1122141149100=+−11111.61015=+−=（2）原式=232212323414])

21[(])87[()3()1.0(−−−+−+=3121)31()87(31.0−−−+−+=73142778910=+−+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为7简的目的.

例2化简下列各式：（1）313315383327−−−−aaaaaa；（2）33323323134)21(248aabaabbbaa−++−.【解析】（1）原式=321233153832327−

−−−aaaaaa=323732−aaa=312213732)()(−aaa=326732326732−−−=aaaaa=613221aa=+−；（2）原式=313131313231313231224)8(aaba

ababbaa−++−3131313132313132323131323131312424)42)(2(abaababbbaabaa−++++−=aaaa==313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是

：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂

的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.如8)2(])2[()2(2162166==−=−.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.8