【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第五单元 三角函数B卷含解析.docx，共(29)页，1.700 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-02d733c586267e03a73b554a836f5418.html

以下为本文档部分文字说明：

12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第五单元三角函数B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）函数(

)sincos33xxfx=+的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和22．（2021·全国高考真题（理））把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得

到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212xx−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+3．（2021·北京高考真题）函数()coscos2fxxx=−，试判断函数的奇偶性

及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为984．（2021·全国高考真题）若tan2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．655．（2021·全国高考真

题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）2A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,226．（2021·全国高三模拟（理）

）已知函数()2cos()(0,0)fxx=+的图象关于原点对称，且在区间2,23−上是减函数，若函数()fx在0,上的图象与直线2y=−有且仅有一个交点，则的最大值为（）A．

43B．34C．23D．127．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数

()fx在,2−的大致图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A．()lncos||fxxx=−B．()lnsin||fxxx=−C．()lncos||fxxx=+D．()lnsin||fxxx=+8．（2021·天津市南开区高三模拟）函数()()2sin

(0,0)fxx=+的图象如图，把函数()fx的图象上所有的点向右平移6个单位长度，可得到函数()ygx=的图象，下列结论中：①3=；②函数()gx的最小正周期为；③函数()gx在

区间,312−上单调递增；④函数()gx关于点,03−中心对称其中正确结论的个数是（）．3A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2020·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x+）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(2)6x−10．（2021·重庆高

三模拟）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴

心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（）(参考数据：2cos483)A．23

sin30dt=−+，其中2sin3=，且0,24B．23sin30dt=+−，其中2sin3=，且0,2C．当38t时，盛水筒P

再次进入水中D．当22t时，盛水筒P到达最高点11．（2021·重庆一中高三模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水

面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为()sinAtKd++=（0A，0，22−）．则以下说法正确的有（）A．2K=B．20=C．6=D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为40s

312．（2021·重庆高三三模）定义在实数集R的函数()()cos(0,0,0)fxAxA=+的图象的一个最高点为,312−，与之相邻的一个对称中心为,06，将()fx的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象，则（）A．()fx的振

幅为3.B．()fx的频率为C．()gx的单调递增区间为5,1212−5D．()gx在0,2上只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·北京高考真题）若点(cos,sin)P与点(cos(),sin())66Q

++关于y轴对称，写出一个符合题意的=___．14．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠O

DC=35，//BHDG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．15．（2021·陕西西安市高三模拟（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知()tan

tan2tantancoscosABABBA+=+，则cosC的最小值为_______．16．（2021·全国高三模拟（理））已知函数2ππ()sin23sin36212xfxx=+++−在[0,]m上恰有

10个零点，则m的取值范围是________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·浙江高考真题）设函数()sincos(R)fxxxx=+.

（1）求函数22yfx=+的最小正周期；（2）求函数()4yfxfx=−在0,2上的最大值.618．（2021·重庆高三模拟）已知函数()()()22sincos323cosfxxxxxR=++−.（1）求()

fx的单调递增区间；（2）若ABC的外接圆的直径为23，且锐角A满足()13fA=+，求ABC面积的最大值.19．（2021·上海高三三模）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C､

D分别落在直线BC下方点M､N处，FN交边BC于点P)再沿直线PE剪裁，若设EFP=.（1）试用表示PF的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.7

20．（2021·重庆高三模拟）如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝42km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分

别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，△

AOB面积S为最小，政府投资最低？21．（2021·浙江高三模拟）已知函数()()π2sin13,2fxx=+−的图象经过点()0,1A−，π,34B．8（1）求()fx的解析式；（2）将

函数()yfx=的图象向左平移02π个单位长度得到函数()ygx=的图象，若()gx为奇函数，且()10π,0,132f−=，求cos2的值．22．已知(0,)3且满足：43sinsi

n()35++=.(1)求cos(2)3+的值；(2)已知函数()sincos()cossin()66fxxx=+++，若方程()fxa=在区间[0,]2内有两个不同的解，求实数a的取值范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高考真题）函数()sincos33xxfx=+的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2【答案】C【解析】由题，()2

sin34xfx=+，所以()fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．92．（2021·全国高考真题（理））把函数()yfx=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单

位长度，得到函数sin4yx=−的图像，则()fx=（）A．7sin212xx−B．sin212x+C．7sin212x−D．sin212x+【答案】B【解析】解法一：函数()yfx=图象上所有点的横坐标缩短到原

来的12倍，纵坐标不变，得到(2)yfx=的图象，再把所得曲线向右平移3个单位长度，应当得到23yfx=−的图象，根据已知得到了函数sin4yx=−的图象，所以2sin34fxx−=−

，令23tx=−,则,234212ttxx=+−=+,所以()sin212tft=+,所以()sin212xfx=+；解法二：由已知的函数sin4yx=−逆向变换，第一步：向左平移3个单位长度，得到sinsin3412y

xx=+−=+的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin212xy=+的图象，即为()yfx=的图象，所以()sin212xfx=+

.10故选：B.3．（2021·北京高考真题）函数()coscos2fxxx=−，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为98【答案】D【解析】由题意，()()()()co

scos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxxx=−=−++=−−+，所以当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.4．（2021·全国高考真题）若t

an2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．65【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos+++

==+++()2222sinsincostantan422sincos1tan145++−====+++．故选：C．5．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是

（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,2211【答案】A【解析】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+

，对于函数()7sin6fxx=−，由()22262kxkkZ−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，

则20,,233−，2,,233−，A选项满足条件，B不满足条件；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33

，32,,233−且358,,233，358,2,233，CD选项均不满足条件.故选：A.6．（2021·全国高三模拟（理））已知函数()2cos()(0,0)fxx=+

的图象关于原点对称，且在区间2,23−上是减函数，若函数()fx在0,上的图象与直线2y=−有且仅有一个交点，则的最大值为（）A．43B．34C．23D．12【答案】B【解析

】()2cos()(0,0)fxx=+的图象关于原点对称，2=，即()2cos()2sin2fxxx=+=−，因为()fx区间2,23−上是减函数，所以2sinyx=在2,23−是增函

数，12令22,22kxkkZ−+，解得22,22kkxkZ−+，又2,23−是2sinyx=含原点的增区间，所以令0k=，则22x−，所以22232

−−…„，又0，则解得304„，()fx在0,上的图象与直线2y=−有且仅有一个交点，即()fx在0,上仅有一个最小值，所以2sinyx=在0,仅有一个最大值，由正弦函数的性质，令2,2xkkZ=+，即2,2kxk

Z=+，所以有02剟，解得12…，综上可得1324剟，即的最大值为34.故选：B.7．（2021·浙江温州市·温州中学高三模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习

和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数()fx在,2−的大致图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A．()lncos||fxxx=−B．()lnsin||fxxx=−C．()lncos||fxxx=+D．()lnsin||fxxx=+13【答

案】B【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.设题干中函数图象与x轴交点的横坐标分别为12,xx，且120xx，且12xx.对于B，令()||

lnsin0fxxx=−=，即ln||sinxx=，作出lnyx=和sinyx=的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln||sinyxx=−的图象与x轴交点的横坐标满足120xx，且12xx，符合题意；对D，令()||lnsin0fxxx=+=，即ln||sinxx=−，作出

lnyx=和sinyx=−的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln||sinyxx=+的图象与x轴交点的横坐标满足120xx，且12xx，故D不符合题意.故选：B.148．（2021·天津市南开区

高三模拟）函数()()2sin(0,0)fxx=+的图象如图，把函数()fx的图象上所有的点向右平移6个单位长度，可得到函数()ygx=的图象，下列结论中：①3=；②函数()gx的最小正周期为；③函数()gx在区间,312−

上单调递增；④函数()gx关于点,03−中心对称其中正确结论的个数是（）．A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：由图可知：1112113124TT，112111

29，即18241111，又()02sin3f==，0，由图可知：23=，又11112sin21212f=+=，112,122kkZ+=+，且113,2122

，15113,3122+，故1k=，当23=时，1111126=，解得：2=，满足条件，()22sin23fxx=+，故()22sin22sin2633gxxx

=−+=+，对①，由上述可知①错误；对②，()2sin23gxx=+，()gx的最小正周期为2=2，故②正确；对③，令222,232kxkkZ−++，即5,1212kxkkZ−+

，令0k=，此时单调递增区间为5,1212−，且5,,3121212−−，故③正确；对④，2sin230333g−=−+=−，,03

−不是对称中心，故④错误；故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（20

20·海南高考真题）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）16A．πsin(3x+）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(2)6x−【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T=−=，则222

T===，所以不选A,当2536212x+==时，1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin2362

63yxkxxx=++=++=+=−.而5cos2cos(2)66xx+=−−故选：BC.10．（2021·重庆高三模拟）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其

经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，简车的轴心距离水面的高度为2米，设简车上的某个盛水筒P到

水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面为初始时刻，经过1秒后，下列命题正确的是（）(参考数据：2cos483)A．23sin30dt=−+，其中2sin3=，且0,217B．23sin30dt=+−

，其中2sin3=，且0,2C．当38t时，盛水筒P再次进入水中D．当22t时，盛水筒P到达最高点【答案】BD【解析】由题意知，如上图，若O为筒车的轴心的位置，AC为水面，P为筒车经过t

秒后的位置，筒车的角速度26030==/s，令2sinsin3OACq?=且0,2，∴sinsin()30tOBPOPpq=-=，故sin()30tOBOPpq=?，而2dOB=-

，∴23sin()23sin()3030ttdppqq=--=+-，故A错误，B正确；当38t时，381804830p=??，且5sin483，5cos3=，∴523sin(48)23(sin48cos

cos48sin)3dqqq=-?=-??，故盛水筒P没有进入水中，C错误；当22t时，22904230p=??，且cos2sin42483=，即42，∴23cos(42)23cos05dq=+?=+?，故盛水筒P到达最高点，D正确.故选：BD11．（2021·重庆一中高三模拟）筒车是我

国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单18位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位

：s）之间的关系为()sinAtKd++=（0A，0，22−）．则以下说法正确的有（）A．2K=B．20=C．6=D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为40s3【答案】ABD【解析】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，6040

1.5T==，则24020==，故B正确；振幅A为筒车的半径，即4224422AK++−===，，故A正确；由题意，t=0时，d=0，042sin=+，即12sin=−，22−，∴6=−，故C错误；4sin2206dt=−+，由d=6，得64sin2si

n1206206tt=−+−=，，22062tkkZ−=+，，得40403tkkZ=+，．∴当k=0时，t取最小值为()403s，故D正确．故选：ABD．12．（2021·

重庆高三三模）定义在实数集R的函数19()()cos(0,0,0)fxAxA=+的图象的一个最高点为,312−，与之相邻的一个对称中心为,06，将()fx的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象，则（）A．()fx的振幅为3.B

．()fx的频率为C．()gx的单调递增区间为5,1212−D．()gx在0,2上只有一个零点【答案】AD【解析】由题意，可得()46124T=−−=，所以T=，可得22wT==，所以()3cos(2)fxx=+，所以

函数()fx的振幅为3，故A正确；函数()fx的频率为11122T==，故B错误；因为()3cos[2()]31212f−=−+=，所以2,6kkZ−=，因为0，所以6π=，即()3cos(

2)6fxx=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666gxxx=−+=−，令222,6kxkkZ−+−，可得5,1212kxkkZ−++，所以()gx的单调递增区间为5[,],1212kkkZ−++，而选项C只是其中一个单调递增区

间，故C错误；由2,,62xkkZ−=+，解得,3xkkZ=+，所以函数()gx在0,2上只有一个零点.故选：AD20三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·北京高考真题）若点(cos,sin)P与点(cos(),sin())

66Q++关于y轴对称，写出一个符合题意的=___．【答案】512（满足5,12kkZ=+即可）【解析】(cos,sin)P与cos,sin66Q++关于y轴对称，即,6+关于y轴

对称，2,6kkZ++=+，则5,12kkZ=+，当0k=时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ=+即可）.14．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮

廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，//BHDG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2

．【答案】542+【解析】设==OBOAr，由题意7AMAN==，12EF=，所以5NF=，21因为5AP=,所以45AGP=，因为//BHDG，所以45AHO=，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAA

G⊥，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr=−，272DQr=−，因为3tan5OQODCDQ==，所以3252212522rr−=−，解得22r=；等腰直角OAH△的面积为11222242S==；扇形AOB的

面积()221322324S==，所以阴影部分的面积为1215422SS+−=+.故答案为：542+.15．（2021·陕西西安市高三模拟（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知()tantan2tantancoscosABABBA+=+，则cosC的最小值

为_______．【答案】12【解析】解：由题意可知，sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB+=+，22化简得()2sinsinsinABAB+=+，所以2sinsinsinCAB=+．根据正弦定理：

sinsinsinabcABC==，可得2cab=+①．222cos2abcCab+−=，由①可得()2214cab=+，所以22333131311442cos228484442ababababCabbaba+−==+−−=−=，当abba=时，等号成立．所以co

sC的最小值为12．故答案为：12．16．（2021·全国高三模拟（理））已知函数2ππ()sin23sin36212xfxx=+++−在[0,]m上恰有10个零点，则m的取值范围是________________．【答案】55π61π

,66【解析】∵()2ππππsin23sin3sin31cos3621266xfxxxx=+++−=++−+−π2sin6x=−

，∴π()02sin06fxx=−=，∵()fx在[0,]m上恰有10个零点，∴πsin06x−=在[0,]m上恰有10个解，∴π9π10π6m−„，解得55π61π66m„，23故答案为：

55π61π,66．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·浙江高考真题）设函数()sincos(R)fxxxx=+.（1）求函数22yfx=+的最小正周期；（2）求函数()4yfxfx

=−在0,2上的最大值.【答案】（1）；（2）212+.【解析】（1）由辅助角公式得()sincos2sin4fxxxx=+=+，则2223332sin2sin1cos

21sin22442yfxxxxx=+=+=+=−+=−，所以该函数的最小正周期22T==;（2）由题意，()2sin2sin2sinsin

444yfxfxxxxx=−=+=+2222sinsincos2sin2sincos22xxxxxx=+=+1cos2222222sin2sin2cos2sin22222242xxxxx−=+=−+=−+

，由0,2x可得32,444x−−，所以当242x−=即38x=时，函数取最大值212+.18．（2021·重庆高三模拟）已知函数()()()22sincos323cosfxxxxxR=+

+−.24（1）求()fx的单调递增区间；（2）若ABC的外接圆的直径为23，且锐角A满足()13fA=+，求ABC面积的最大值.【答案】（1）5,1212kk−++，kZ；（2）最大值为934.【解析】解：（1）()1cos21sin2323sin2

3cos212sin2123xfxxxxx+=++−=−+=−+，令222232kxk−+−+，解得单调递增区间为5,1212kk−++，kZ；（2）()2sin21313fAA=−+=+，解得3A=

.又令外接圆半径为R，则223R=，所以3R=.所以()()()()12sin2sin12sinsin12coscos2bcRBRCBCBCBC===−−+，又因为23BC+=，所以216cos2932bcB

=−+(当且仅当3B=)所以139sin3244ABCSbcAbc==△，所以面积最大值为934.19．（2021·上海民办南模中学高三三模）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行

剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C､D分别落在直线BC下方点M､N处，FN交边BC于点P)再沿直线PE剪裁，若设EFP=.25（1

）试用表示PF的长，并求出的取值范围；（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.【答案】（1）20sin22PF=；（2）当2EFP=时，沿直线PE剪裁，四边形MNPE面积最大，最大值为2623m

−，理由见解析.【解析】（1）因为EFP=，且翻折的对称性可知EFD=,又根据//ADBC,所以FEP=，则PFPE=,故2FPE=−,又因为//NFME，所以2FPEPEM==−，又2MN=,所以22sin(2)sin2PF

==−，又点C､D分别落在直线BC下方点M､N处，所以02，所以20sin22PF=；（2）由（1）知，20sin22PF=，则23sin2PN=

−，222(1cos2)33tan(2)sin2tan2sin2MNMEPN+=+=−−=−−24cos2cos332sincossin=−=−，所以四边形MNPE面积为42cos26sin2S+=−，令242co

s2sin22cos244sin(2)4sin2ttt+=−=+−=，所以224[4,4]tt−++，解得23t（舍负），26当且仅当3=时，四边形MNPE面积有最大值2623m−.20．（2021·重庆高三模拟）如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且O

H＝42km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB

与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？【答案】（1）()222sincos1,0,sincos2S+−=；（2）4=.【解析】解

：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则()4,4H，在RtABO中，设ABl=，又OAB=，故cos,sinOAlOBl==，所以直线AB的方程为1cossinxyll+=，即sincossincos0xyl+−=，因为直线AB与圆H相切，所以H到直线AB的距离

等于半径2，即27224sin4cossincos2sincosl+−=+①，又点H在直线AB的上方，故4sin4cossincos0l+−，所以①式可化简为4sin4cossincos2l+−=，即()4sincos2sincosl

+−=，故()()4sincos24sincos2,sincosOAOB+−+−==,所以△AOB的面积为S12OAOB=()()4sincos24sincos212sincos+−

+−=()222sincos1,0,sincos2+−=;即S关于θ的函数解析式为()222sincos1,0,sincos2S+−=；（2）令()2sincos1t=+−，0,2

，则(22sin11,2214t=+−−，且223sincos8tt+−=，所以(222216,1,221322318tSttttt==−+−−++，令1221,17mt+=，分母2223214132

1333mmmtt−++=−++=−−+，其中221173+，所以2217m+=时，分母部分最大，面积最小，此时221t=−，即4=.所以4=时△AOB面积S为最小，政府投资最低.21．（2021·浙江高三模拟）已知函数()()π2s

in13,2fxx=+−的图象经过点()0,1A−，π,34B．（1）求()fx的解析式；28（2）将函数()yfx=的图象向左平移02π个单位长度得到函

数()ygx=的图象，若()gx为奇函数，且()10π,0,132f−=，求cos2的值．【答案】（1）()π2sin26fxx=−；（2）125326−．【解析】解：（1）因为点A在函数()yfx=的图象上，

所以1sin2=−，又π2=，所以π6=−．因为点B在函数()yfx=的图象上，所以ππ3sin462−=，则πππ2π463k−=+，Zk或ππ2π2π463k−=+，Zk，则28k=+，Zk或1083

k=+，Zk．又13−，所以2=，因此()π2sin26fxx=−．（2）由（1）及三角函数图象的平移变换法则得()π2sin226gxx=+−，因为()gx为奇函数，所以π2π6k−=，Zk，则ππ122k=+，Zk，因为π02，所

以π12=，从而()ππ102sin222sin26313f−=−−=−=，则π5sin2313−=．因为π0,2，所以ππ2π2333−−，又π51π0sin2sin31326−==，所以ππ023

6−，因此π12cos2313−=，从而ππ121531253cos2cos23313213226−=−+=−=．22．已知(0,)3且满足：43sinsin()35++=.29(1)求cos(2)3+的值；(2)已知函数()

sincos()cossin()66fxxx=+++，若方程()fxa=在区间[0,]2内有两个不同的解，求实数a的取值范围.【答案】(1)725−；(2)4[,1)5.【解析】(1)由43sinsin35++=得，33434sinco

ssin()22565+=+=，则2247cos2cos2()12sin()12()366525+=+=−+=−=−；(2)因(0,)3，令(,)662=+，则3cos()65+=，()sincoscossins

in()fxxxx=+=+，02x时，2x++，2x+=，即2x=−时，()m1axfx=，02x−，()fx是递增的，函数值从4sin5=增到1，22x−，()fx是递减的，函数值从1减到3sin()cos25+==，方程()fxa=

在区间[0,]2内有两个不同的解，即()fx图象与直线y=a的两个不同的公共点，则451a，所以实数a的取值范围是4[,1)5.