【文档说明】2021人教B版数学必修第三册课时分层作业：8.1.2　向量数量积的运算律 .docx，共(8)页，124.164 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(十五)向量数量积的运算律(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量|a|＝2，|b|＝3，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为()A．－3B．3C．－3D．3C[向量|a|＝2，|b|＝3，且向量a与b的

夹角为150°，则a·b＝|a||b|cos150°＝2×3×－32＝－3.故选C．]2．在△ABC中，∠BAC＝π3，AB＝2，AC＝3，CM→＝2MB→，则AM→·BC→＝()A．－113B．－43C．43D．113C[因为AM→＝AC→＋

CM→＝AC→＋23CB→＝AC→＋23(AB→－AC→)＝13AC→＋23AB→，所以AM→·BC→＝13AC→＋23AB→·(AC→－AB→)＝13×32－23×22＋13AB→·AC→＝13＋13×2×3cosπ3＝43.]3．已知向量|a|＝1，|b|＝6，a

·(b－a)＝2，则a与b的夹角为()A．π6B．π4C．π3D．π2C[因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cosθ＝a·b|a||b|＝12，因为θ∈[0,π]，所以θ＝π3

.]4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝()A．2B．23C．6D．12D[因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12.]

5．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是()A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C．|a|－|b|<|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)

＝9|a|2－4|b|2ACD[根据向量数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线

，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确．故选ACD．]二、填空题6．已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC中点，则|AD→|

＝________.2[因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2×3×cosπ6＋4)＝4，则|AD→|＝2.]7．如图，在等腰直角三角形AOB中

，OA＝OB＝1，AB→＝4AC→，则OC→·(OB→－OA→)＝________.－12[由已知得|AB→|＝2，|AC→|＝24，则OC→·(OB→－OA→)＝(OA→＋AC→)·AB→＝OA→·AB→＋AC→·AB→＝1×2cos3π4＋24×2＝－12.]8．已知向

量|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC→＝mOA→＋nOB→(m,n∈R)，则mn＝________.3[|OA→|＝1，|OB→|＝3，OA→·OB→＝0，所以OA⊥OB，所以|AB→|＝2＝2|OA→|，所

以∠OBC＝30°，又因为∠AOC＝30°，所以OC→⊥AB→，故(mOA→＋nOB→)·(OB→－OA→)＝0，从而－mOA→2＋nOB→2＝0，所以3n－m＝0，即m＝3n，所以mn＝3.]三、解答题9．已知向量|a|＝1，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为π3，求|a＋2

b|；(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．[解](1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×2×cosπ3＋4×4＝1＋4＋16＝21，所以|a＋2b|＝21.(2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，所以6a2－3a·

b＋2a·b－b2＝3，所以6a2－a·b－b2＝3，所以6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3，所以cos〈a，b〉＝－12.因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝2π3.10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异

于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°.[解]设圆心为O，连接OC，则|CO→|＝12|AB→|，CO→＝12(CA→＋CB→)，所以|CO→|2＝14|AB→|2，CO→2＝14(CA→＋CB→)2，得|AB→|2＝(CA→＋CB→)2，即(CB→－C

A→)2＝(CA→＋CB→)2，得CB→2＋CA→2－2CB→·CA→＝CB→2＋CA→2＋2CA→·CB→，所以4CB→·CA→＝0，CB→·CA→＝0，所以CB→⊥CA→，即∠ACB＝90°.11．设单位向量e1，e2的夹角为2π3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e

2，则b在a上投影的数量为()A．－332B．－3C．3D．332A[因为单位向量e1，e2的夹角为2π3，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得e1·e2＝1×1×cos2π3＝－12，|a|＝(e1＋2e2)2＝e21＋4e22＋4e1·e2＝3，a·b＝(e1＋2e2

)·(2e1－3e2)＝2e21－6e22＋e1·e2＝－92，因此b在a上投影的数量为a·b|a|＝－923＝－332，故选A．]12．(多选题)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝a·b，

当a，b不共线时，|a－b|，当a，b共线时，(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是()A．a*b＝b*aB．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)C．(a＋b)*c＝a*c＋b*cD．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋

1.AD[当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B是错误的；当a＋b与

c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|

a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D是正确的．综上，结论一定正确的是AD.]13．(一题两空)已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面内一点，满足|OA→|＝|OB→|＝

|OC→|，则AO→在AB→方向上的投影的数量为________，AO→·BC→＝________.3－10[因为|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，所以点O为△ABC的外心，设∠OAB＝θ，可得∠OBA＝θ，所以AO→在AB→方向上的投

影的数量为|AO→|cosθ，BO→在AB→方向上的投影的数量为|BO→|cosθ.由题意可知|AO→|cosθ＋|BO→|cosθ＝|AB→|＝6.又因为|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，所以|AO→|cosθ＝3，即AO→在AB→方

向上的投影的数量为3.所以AO→·AB→＝|AO→||AB→|cosθ＝3|AB→|＝18，AO→·AC→＝8，所以AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→＝8－18＝－10.]14．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满

足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．2[因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝2，又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(

a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos〈a＋b，c〉，所以|c|＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝2cos〈a＋b，c〉≤2，故|c|的最大值为2.]15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数

t的取值范围．[解]当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则2t＝λ，7＝λt，λ<0，所以λ＝－14，t＝－142，由向量2te1＋7e2与e1＋t

e2的夹角θ为钝角，得cosθ＝(2te1＋7e2)·(e1＋te2)|2te1＋7e2||e1＋te2|<0，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0.解得－7<t<－12.所以所求实数t的取值范围是－

7，－142∪－142，－12.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com