【文档说明】《初升高数学无忧衔接》专题03一元二次方程（解析版）（人教A版2019）【高考】.docx，共(35)页，1.421 MB，由小赞的店铺上传

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专题03一元二次方程1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的

一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元

二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.《初中课程要求》能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理《高中课程要求》熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的

处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa−+=．①因为a≠0，所以，4

a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负

数，而方程①的左边2()2bxa+一定大于或等于零，因此，专题综述课程要求课程要求知识精讲原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的

判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．高中必备知识点2：根与系数的关系（

韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根2142bbacxa−+−=，2242bbacxa−−−=，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa−+−−−−−+=+==−；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaa

aaa−+−−−−−−====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba−，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系

数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，

x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．高中必备知识点1：根的判别式【典型例题】关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑚−1)𝑥+2𝑚−1=0，其根的判别式为16，求𝑚的值．【答案】𝑚1=11，𝑚2=−1．【解

析】典例剖析由题意得，△=[−(𝑚−1)]2−4(2𝑚−1)=16，整理得，𝑚2−10𝑚−11=0，解得：𝑚1=11，𝑚2=−1．【变式训练】已知关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2=0(1)若方程的一个根为3，求𝑚的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式

的值等于1，求𝑚的值．【答案】(1)𝑚=23；即原方程的另一根是1；(2)𝑚=1，𝑚=3．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方

程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac=．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）

（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2

：根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．（2）若

一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时，b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x2﹣6x+8＝0，解得x1

＝2，x2＝4，∴x2＝2x1，∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8

．【变式训练】求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．【答案】6【解析】方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，211220xx−−=，.221=+xx∴()112

122222222262.22xxxxxx=++=++=+=+【能力提升】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．【答案】(1)m≥﹣

34；(2)m的值为3．【解析】(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥﹣34；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝0，∴﹣(2m+3)+m2＝0，解得：m1＝﹣1，m1＝3，由(1

)知m≥﹣34，所以m1＝﹣1应舍去，m的值为3．1．若直线y＝n截抛物线y＝x2+bx+c所得线段AB＝4，且该抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣1B．2C．25D．4【答案】D解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，设A、B的交点的横坐标为x1、x2

，∴x1、x2是方程x2+bx+c＝n的两个根，∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c﹣n，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，对点精练∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴（﹣b）2﹣4（c﹣n）＝16，即b2﹣4c+4n＝16，∴4n＝16，∴n＝4

，故选：D．2．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根【答案】B解：在方程ax2+b

x+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6)＞0，所以

，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于点（0，﹣2）．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a﹣b＜2；④a＜﹣1．其中正确结论

的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C解：如图：0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且图象与y轴相交于点（0，﹣2），可知该抛物线开口向下即a＜0，c＝﹣2，①当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，即4a+2b＜﹣c；∵c＝﹣2，∴4a+2b＜

2，∴2a+b＜1，故结论①错误；②∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴1＜x1+x2＜3，又∵x1+x2＝ba−，∴1＜ba−＜3，∴3a+b＜0，故结论②错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵c＝﹣2，∴a﹣b＜﹣c，即a﹣b＜2，故结论③正确；④∵0＜x1

x2＜2，x1x2＝ca＜2，又∵c＝﹣2，∴a＜﹣1．故结论④正确．故选：C．4．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741B

．600C．465D．300【答案】B解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝12n（n＋1）个点，其中n为正整数

，∴当12n（n＋1）=741时，解得：1-1-77-392n==（舍），2-177382n+==，当12n（n＋1）=600时，解得：-148012n=（舍），当12n（n＋1）=465时，解得：1-1-61-312n==（舍），2-161302

n+==，当12n（n＋1）=300时，解得：1-1-49-252n==（舍），2-149242n+==，故选：B．5．如图，二次函数()20yaxbxca=++的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB则下列结论：①0abc；②0abc++；③240acb−+=；④cOA

OBa=−，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，所以①正确；②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，所

以②错误；③设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，∴212xc=-，∴B（12c−，0）将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中，211042cabcc-+=，∵0c∴240acb−+=所以

③正确；④当y＝0时，ax2+bx+c＝0，方程的两个根为x1，x2，根据根与系数的关系，得12cxxa•=，即1212•OAOBxxaxcx===--所以④正确．故选：C．6．对于函数nmyxx=+，我们定义11nmynxmx−−=+（m，n为常数）

．例如：42yxx=+，则342yxx=+．已知：()322123yxmxmx=+−+，若方程0y=有两个相等的实数根，则m的值为（）A．0B．12C．32D．1【答案】D解：由题意得：()2213223yxmxm=+−+，即()2222yxmxm=+−+，方程()222

20xmxm+−+=有两个相等的实数根，此方程根的判别式()222240mm=−−=，解得1m=，故选：D．7．若关于x的一元二次方程2210kxx−−=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．1kB．1kC．1k−且0kD．1k−且0k【答案】D

解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．故选：D．8．已知1x、2x是关于x的一元二次方程210xbx++=的两个根，且满足101x，212x，则b的取值范围是（）A．64b−−B．62

b−−C．32b−−D．522b−−【答案】D一元二次方程210xbx++=的两个根，所以△=224=40bacb−−，∴2b或2b−，令y=21xbx++，∵10a=，抛物线开口向上，且满足101x，212x，∴0,01,0xyxy==，，∴1020b+

，解得2b−，∴1,0,2,0xyxy==，∴25020bb++，解得522bb−−，∴b的取值范围是522b−−．故选择D．9．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（）A．5个B．6个C．7个

D．8个【答案】B解：∵关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等实数根，∴△＝52﹣4×1×m＞0，解得：m＜254，∵m为正整数，∴m＝1，2，3，4，5，6，∴符合条件的m有6个，故选：B.10．已知1x，2x是一元

二次方程22(21)10xmxm+++−=的两不相等的实数根，且221212170xxxx++−=，则m的值是（）A．53或3−B．3−C．53D．53−【答案】C解：根据题意得△＝222141mm−−(+)()＞0，解得m＞−54，根据

根与系数的关系的12(21)xxm+=−+，2121xxm=−，∵221212170xxxx++−=，∴()21212170xxxx−−+=，∴()()22211170mm−−−+=，整理得234150mm−+=，解得153m=，23m=−，∵m＞−54

，∴m的值为53．故选：C．11．如图①，在矩形ABCD中，ABAD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿ABC→→运动．设点P的运动路程为x，AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为________．【答案】6如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，∵

四边形ABCD是矩形，∴OD=OB，DA⊥AB，AD=BC，∵OM⊥AB，∴OM∥AB，AM=BM，∴OM=12AD，结合图像知，当运动到点B是三角形的面积最大，∴11=622ADAB即AD×AB=24，当点P运动到点C时，面积

为0即AB+BC=10，∴AD+AB=10，∴AB，AD是方程2x10240x−+=的两个根，解得x=4或x=6，∵ABAD，∴AB=6，故答案为：6．12．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝

MN，cos∠AED＝1717，则BN的长为_____．【答案】5或17解：根据题意可分两种情况画图：①如图1，取AD的中点G，连接MG，∴AG＝DG＝12AD＝2，∵点M为正方形ABCD的边BC中点，∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，∴∠MGN＝∠A＝90°，在Rt△ADE和Rt△GMN中，DE

MNADGM==，∴Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝1717GNMN=，∴设GN＝17x，MN＝17x，∵222GNGMMN+=，∴22171

6289xx+=，∴x＝1717，x＝－1717（舍去），∴GN＝1，∴AN＝1，∴BN＝22161ABAN+=+＝17；②如图2，取AD的中点G，同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），∴∠GNM＝∠AED，∴cos∠GMN＝cos∠AED＝1717＝GNMN，∴设GN

＝17x，MN＝17x，∵222GNGMMN+=，∴221716289xx+=，∴x＝1717，x＝－1717（舍去），∴GN＝1，∴AN＝3，∴BN＝22916ANAB+=+＝5，故答案为：5或17．13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在

BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形ABCD面积＝2+3，其中正确的序号是_____．【答案】②③④∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF＝EF＝2，∠EA

F＝60°，∴90ABADBDAEAF====∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正确∵CB＝C

D，∴CB﹣BE＝CD-DF，∴CE＝CF，即②正确；∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF＝22EF＝2设正方形的边长为：x，则BE＝x-2，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，∴()22222xx+−=解

得：x1＝2+62，x2＝262−（舍去），∴BE+DF＝2（x-2）＝2（2+62-2）＝6-2≠2，即①错误；四边形ABCD面积＝x2＝22+62＝23+，即④正确．故答案为：②③④．14．已知二次函数2(2)23ymxmx

m=−++−的图象与x轴有两个交点()()12,0,,0xx，则下列说法在确的有：_____．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点(1,3)−−；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：625m；③当2m且02x剟时，y的最小值为3m−；④当2m，且该函数图象与x轴两交点的横坐

标12xx、满足124310xx−−−，时，m的取值范围为：352194m．【答案】②③④解：①y=（m-2）x2+2mx+m-3=m（x+1）2-2x2-3，当x=-1时，y=-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①错误；②若

该函数图象开口向下，则m-2＜0，且△＞0，△=b2-4ac=20m-24＞0，解得：m＞65，且m＜2，故m的取值范围为：65＜m＜2，故②正确；③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x=0处取得，故y的最小值为：（m-2）×0+2m×0+m-3=m-3，故

③正确；④当m＞2，x=-4时，y=9m-35，x=-3时，y=4m-21，x=0时，y=m-3，当x=-1时，y=-5，当-4＜x1＜-3时，则（9m-35）（4m-21）＜0，解得：352194m；同理-1＜x2＜0时，m＞3，

故m的取值范围为：352194m，故④正确；故答案为：②③④．15．已知625x=−为一元二次方程20xaxb++=的一个根，且a，b为有理数，则a=______，b=______．【答案】2；4−；解：∵625x=−5251=−+()225251=−+()251=−51=−∴20xaxb+

+=∴()()251510ab−+−+=∴62550aab−+−+=∴52560aab−−++=∴()()5260aba−+−+=∵a，b为有理数，∴2a−，6ba−+也为有理数，故当()()5260aba−+−+=时候，只有20a−=，

60ba−+=，∴2a=，4b=−，故答案是：2，4−；16．关于x的方程225sin20xxA−+=有两个相等的实数根，其中A是锐角ABC的一个内角；关于y的方程22104290yymm−+−+=的两个根恰好是ABC的两边长，则ABC的周长是______．【答案】16或1025+∵方程

225sin20xxA−+=有两个相等的实数根，∴2(5sin)4220A−−=，∴sinA=45，sinA=-45（舍去），∵方程22104290yymm−+−+=有两个根，∴22(10)4()4902mm−

+−−≥，∴2(02)m−≤，∵2(2)0m−，∴m-2=0，∴方程有两个相等的实数根，∴121052yy===，当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:∵AB=AC=5，sinA=45，∴BD=ABsinA=455=

4，AD=2254−=3，∴DC=2，∴BC=222224BDCD+=+=25，∴ABC的周长是10+25；当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:∵AB=BC=5，sinA=4

5，∴BE=ABsinA=455=4，AE=2254−=3，∴AE=CE=3，∴AC=6，∴ABC的周长是10+6=16；故答案为：16或10+25．17．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值_____．【答案】8或8211解：当a＝

b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±11，∴a+b＝8±211；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±211．18．已知α、β是方程x2－2x－1＝0的两

个根，则α2＋2β＝_____．【答案】5解：由题意可得：+=2=-1，∴2+24=∴2=42−∵α、β是方程x2－2x－1＝0的两个根∴2210−−=∴()24210−−−=∴α2＋2β=5故答案是：51

9．若ab¹，且2410aa−+=，2410bb−+=，则（1）ab+的值为______；（2）221111ab+++的值为_____．【答案】41（1）∵ab¹，且2410aa−+=，2410bb−+=，∴a，b

是一元二次方程2410xx−+=的两个不相等的实数根，∴a+b=4,故答案为：4；利用根与系数关系定理求解即可；（2）∵2410aa−+=，2410bb−+=，∴214aa+=，214bb+=，∴22111

1ab+++=1111()44ababab++=，∵ab¹，且2410aa−+=，2410bb−+=，∴a，b是一元二次方程2410xx−+=的两个不相等的实数根，∴a+b=4,ab=1，∴221111ab+++=144=1，故答案为：1．20．关于x的一元二次方程x2+（k

﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．【答案】有两个不相等的实数根解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故答案为：

有两个不相等的实数根．21．已知抛物线()24310yaxaxaa=−+−．（1）求抛物线()24310yaxaxaa=−+−的对称轴；（2）过点()0,nP作y轴的垂线，与抛物线()24310yaxaxaa=−+−交于不同的两点M，N（不妨设点M在点N的左侧）．①当1n=−时，求线段M

N的长；②当1n=时，若3MN=，求a的值；③当na=时，若4PMPN+=，直接写出a的取值范围．【答案】（1）2x=；（2）①2；②85a=；③12a或12a−解：（1）抛物线()24310yaxaxaa=−+−的对称轴为(4)22axa−−==；（2）过点()0,nP作y

轴的垂线，与抛物线()24310yaxaxaa=−+−交于不同的两点M，N，设()(),,,MNMxnNxn，①当1n=−时，则Mx、Nx是24311axaxa−+−=−的两个根，∵a≠0，∴4,3MNMNxxxx+==，∴MNM

Nxx=−；()()224MNMNMNxxxxxx=−=+−=2443−=2；②当1n=时，Mx、Nx是24311axaxa−+−=的两个根，∵a≠0，∴324,MNMNaxxxxa−+==，∵3MN=，∴3MNxx−=，即()()2243MNMNMNxxxxxx−=+−=

，∴232449aa−−=，∴解得85a=，经检验85a=是原方程的根，当85a=时，方程24311axaxa−+−=的判别式576025=，符合题意，∴85a=；③当na=时，Mx、Nx是2431axaxaa−+−

=的两个根，∵a≠0，∴4MNxx+=，21MNaxxa−=，∴0，即()()244210aaa−−−，解得0a或12a−，∵4PMPN+=，∴4MNxx+=，若0,0MNxx（M、N

都不在y轴左侧），则4MNMNPMPNxxxx+=+=+=总成立，∴210MNaxxa−=，∴2100aa−＞或2100aa−＜＜，∴12a或0a＜，∵0a或12a−，∴12a或12a−；若0,0MNxx（M在y轴

左侧，N不在y轴左侧），()22214444MNMNMNMNaPMPNxxxxxxxxa−+=+=−+=+−=−=，解得12a=，∴12na==，∴2431axaxaa−+−=变形为21202xx−=，∴10,2M在y轴

上，故舍去；若0,0MNxx（M、N都在y轴左侧），∵()4MNMNMNPMPNxxxxxx+=+=−−=−+=，∴4MNxx+=−，这与Mx、Nx是2431axaxaa−+−=的两个根，4MNxx+=矛盾，这种情况不存在；综上所述，4PMPN+=，则12a或12a

−．22．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P

运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）3AP；（2）是，30°；（3）点Q的坐标为（23+4，0）或（23﹣4，0）或（﹣23，0）或（233，0）解：（1）如图1，作AH⊥OP，则A

P≥AH，∵点P在y＝33x的图象上，∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A（0，2）∴AH＝AO•sin60°＝3∴AP≥3（2）①当点P在第三象限时，如图2，由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P

、O、A四点共圆，∴∠PAQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH

的延长线上时，由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠PAQ＝∠POQ＝30°（3）当△OPQ为等腰三角形时，若点Q在x轴的正半轴上，设OQ＝m（m＞0），则AQ2＝m2+22＝（2P

Q）2，∴PQ2＝244m+，过点Q作QN⊥OP于点N，如图：∵∠POQ＝30°，∴NQ＝12OQ＝12m，3cos302ONOQm==，在Rt△PQN中，2222241142mPNPQNQm+=−=−=

，∴1PN=∴()222331=+3124OPONNPmmm=+=++①OP＝OQ时，则m223=+314mm+解得m＝23±4（负值不符合题意，舍去）∴m＝23+4②当PO＝PQ时，则2243

=+3144mmm++解得：m＝0或m＝﹣23，都不符合题意；③当QO＝QP时，则224=4mm+解得：m＝233（负值不符合题意，舍去）∴m＝233若点Q在x轴的负半轴上，则OQ＝﹣m，同理可得：m＝23﹣4或m＝23−∴综上所述：点Q的坐标为（23+4，0）或（23﹣4，0

）或（﹣23，0）或（233，0）．23．在二次函数的复习课中，关于x的二次函数()14yxmxmm=−−（0m），师生共同探讨得到以下4条结论：（1）这个二次函数与x轴必有2个交点；（2）二次函数的图象向左平移2个单位后经过()1,0−点，

则1m=；（3）当2x时，y随x的增大而减小；（4）当03x时，ayb，则1a=，4b=；请判断上述结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．解：（1）∵()14yxmxmm=−−∴()2414ymxmx=−

++△=()()2222244116168116168141bacmmmmmmmm−=+−=−+−=++=−故14m=时，△=0，方程只有一个根即此时抛物线与x轴只有一个交点，故（1）说法错误；（2）抛物线的解析式为：()14yxmxmm=−−向左平移2个单位后的解析式为()1

224yxmxmm=+−+−，即()122ymxxm=+−−把（-1，0）代入上式中得()101212mm=−+−−−即1031mm=−−，解得01mm==或，由于0m，1m=故此说法

正确；（3）∵()14yxmxmm=−−∴()2414ymxmx=−++，∴二次函数的对称轴：()4112222mbxamm−+=−=−=+又∵0m∴二次函数的对称轴()41122222mbxamm−+=−=−=+且二次函数开口向上∴二次函数在对称轴左边递减，∴当2x，y随x的

增大而减小，此说法正确；（4）∵()14yxmxmm=−−∴()2414ymxmx=−++∴222222411681168181442444mmmmmmymxmmmm++++++=−+−−=−即当122xm=+，2814mym+=−∵03x时，若

10232xm=+，即12m时函数有最小值即2814mym+=−最小值又∵0m∴281014mym+=−最小值故当03x时，ayb，则1a=，4b=这种说法不正确；综上所述：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误．24．已知关于

x的一元二次方程2220(0)xxaaa−−−=．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于12320192020a=，，，，，时，相应得到的一元二次方程的两根分别为1和12,和23,和3，…，2019和2019

2020,和2020，试求12320192020123201920201111111111+++++++++++的值．【答案】（1）见解析；（2）140402

02−解：（1）证明：设方程的两根是1，1，则112+=，211aa=−−，11(2)(2)−−11112()4=−++2224aa=−−−+2aa=−−，0a，20aa−−，即这个方程的一根大于2，一

根小于2；（2）112+=，211(1)aaaa=−−=−+对于1a=，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为1和1，2和2，3和3，，2019和2019，2020和2020，12320192020123201920

201111111111()()+++++++++++11223320192019202020201111111111=++++++++++3320202020112211223320202020

++++=++++222212233420202021=++++−−−−11112()12233420202021=−++++11111112(1)2233420202021=−−+−+−++−12(1)2021=−−14040202=−．25．阅读如下材料，完

成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：()2222223211312xxxxx−+=−+−+=−+．因为()210x−，所以()2122x−+，所以，当1x=时，原式的最小值为2．

材料二：对于实数a，b，若0ab，则110ab．完成问题：（1）求241xx−−的最小值；（2）求22281346xxxx−+−+的最大值；（3）若实数m，n满足2261227mnmn−−+=．求223nm−的最大值．【答

案】（1）-5；（2）52（3）962解：（1）22222414221(2)5xxxxx−−=−+−−=−−，因为()220x−，所以()2255x−−−，所以，当2x=时，原式的最小值为-5．（2）2222228132(46)1

12464646xxxxxxxxxx−+−++==+−+−+−+，当246xx−+取最小值时，原式最大，由（1）可知2246(2)2xxx−+=−+，最小值为2，此时22281346xxxx−+−+的最大值为15222

+=；（3）∵2261227mnmn−−+=，∴2269(1236)0mmnn−+−−+=，22(3)(6)mn−=−，36mn−=−或36mn−=−+，3mn+=或9nm=−，223nm−=2222327(3

)32692()22mmmmm+−=−++=−−+，最大值是272，223nm−的最大值为273622=；或223nm−=22229243(9)3218812()22mmmmm−−=−−+=−++，最大值是2432，223nm−的最大值为2439622=；综上，223nm−的最大值为96226．

已知关于x的方程()222110kxkx−−+=有两个实数根1x、2x．（1）求k的取值范围（2）若1x、2x满足等式121251xxxx+=−，求k的值．【答案】（1）12k且0k；（2）-1．

解：（1）∵关于x的方程()222110kxkx−−+=有两个实数根1x、2x∴()22202140kkk−−−，解得：12k且0k（2）由题意可得：()21221kbaxkx−=−=+，2121cakxx==由（1）可得12k

，∴10k−∴120xx+121251xxxx+=−，121215xxxx+=−∴()22215=1kkk−−解得：13k=（不合题意舍去），21k=−∴k的值为-1．27．已知关于x的一元二次方程240xxa−+=有两个不相等的实数根（1）求a的取值范围；（2）请你给出一个符合条

件的a的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）4a；（2）此题答案不唯一，3a=，11x=，23x=解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为240xxa−+=，∴224(4)41164bacaa=−=−−=−，∵方程有两个不相等的实数根，0．164

0a−，4a；（2）此题答案不唯一．如3a=，∴一元二次方程为2430xx−+=，因式分解得()()130xx−−=，11x=，23x=．∴当3a=时，方程的根为11x=，23x=．28．已知关于x的方程2(1)210kxx−

−+=有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．【答案】（1）k2且1k；（2）121xx==解：（1）∵关于x的方程2(1)210kxx−−+=有两个实数根，∴10k−

且0．2(2)4(1)144(1)84kkk=−−−=−−=−．∴1k且840k−．∴k2且1k．（2）当k取最大整数时，2k=，此时，方程为2210xx−+=，解得121xx==．∴当2k=时，方程的根为121xx==．29．解方程

（1）()2325xx+=+（2）2316xx−=（3）解方程：11222xxx−+=−−【答案】（1）122xx==−；（2）12133x=+，22133x=−；（3）无解解（1）26925xxx++=+移项，合并同类项得：2440xx++=因式分解得：()220x+=所以122x

x==−（2）23610xx−−=3a=，6b=−，1c=−()()2246431480bac−=−−−=所以此方程有两个不相等的实数根，12133x=+，22133x=−（3）11222xxx−+=−

−方程两边乘()2x−得：()1221xx−+−=−去括号得：12410xx−+−+=解一元一次方程得：2x=检验：当2x=时，20x−=所以，2x=是增根，原方程无解．30．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣

6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；（3）如果实数a，b满足b＝5102aa−+−+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b

的值．【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）a＝7，8，9，12；（3）1100解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴()()2602460aaaa−=−−，解得：a≥0且a≠6.（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2a

x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣26aa−，x1x2＝6aa−，∵（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝﹣26aa−+6aa−+1＝66a−为负整数，∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，∴a＝7，

8，9，12.（3）∵b＝510250aa−+−+，∴a＝5，b＝50，∴方程﹣x2+10x+5＝0，∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，∴原式＝x12•x1+10x22+5x2﹣b，＝（10x1+5）•x1+10x22+5x2﹣50，＝10（x12+x22）+5（x1+x2

）﹣50，＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（x1+x2）﹣50，＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，＝1100．