【文档说明】专题1-10 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（原卷版） .docx，共(8)页，1.007 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-10数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题题型一求和后放缩题型二放缩通项再裂项相消求和题型三放缩成等比数列题型四根式的放缩题型五跳过第一项再放缩求和题型六利用重要不等式放缩题型七通过糖水不等式进行放缩题型八放缩后错位相减求和题型九数列恒成

立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等

比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：必须记例如：nnnnn)1(11)1(12−+或者12112−+

++nnnnn等2.一个重要的指数恒等式：n次方差公式123221()().nnnnnnnababaabababb−−−−−−=−+++++这样的话，可得：1)(−−−nnnababa，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式分子分母同加常数：()()0

,0,0,0bbmbbmbamabmaamaam++++常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型（1）()()21111211=−−−nnnnnn；（2）()2111111=−++nnnnn；（3）222144

1124412121==−−−+nnnnn；（4）()()()11!111112!!!11+===−−−−rrnrrnTCrnrnrnrrrrr；二、根式型（5）()()1222121==−−++−+nnnnnnnn；（7）

()122211==−+++++nnnnnnn；11111121nnnnnnnnn+−==−−+++−（8）()()()()32111111111111+−−==+−−−+−+nnnnnnnnnnnnn()()111111121111211++−=−=−

+−−−+−+nnnnnnnnnnn()112211−−+nnn；（9）()()()32212221111==−+−−+−+nnnnnnnnnnnnn()()()2122211−−−==−−−nnnnnnn；三、指数型（10）()()()()()()

()1211222211212121212122212121−−−===−−−−−−−−−−nnnnnnnnnnnnn()2n；（11）()1111111312231++++++−nnnn；（12）()()01211122221111111===−−+

+−+++−nnnnnCCCnnnn；（13）()()()111121122121212121−−−=−−−−−−nnnnnnn．（14）21211112()2()+−+++−−==−nnnnnnnnn

．题型一求和后放缩1．已知143nna−=，设33log4nnab=，nT为数列12nnbb+的前n项和.证明：12nT2．已知21nan=−为，证明：122311111132nnaaaaaa++++．3．已知112nna

−=，设4nnnba=，记12nnTbbb=+++，证明：1nT.4．已知数列na中，113a=，11nnnnaaaa−−=−()2,Nnn，数列nb满足1nnba=()Nn.(1)求数列

nb的通项公式；(2)设数列1nnb的前n项和为nT，证明3142nTn−+.题型二放缩通项再裂项相消求和5．已知1nan=+，若数列21na的前n项和为nT，求证：23nT.6．已知数列na前n项积为nT，且1

nnan=+，设22212nnSTTT=+++，求证：112nnSa+−．7．设++=ana211.2,131++anaa求证：.2na8．已知21nan=−，设1nnnbaS=，数列nb的前n项和为nT，求证：32nT9．已知()*12nnanNn+=+，记

12nnTaaa=L，*nN，22212nnSTTT=++．证明：当*nN时，11243nnSa+−．10．已知11223nnna++=−，若2nnnbaa=−，nS为nb的前n项和，证明：1215nS．11．已知数列22nnan=，设nnnca=，求证：

121724nccc+++12．已知21nan=−，na的前n项和为nS，0nb，2121nnbS+=+，数列nb的前n项和为nT，证明：1nTn+.【详解】2nSn=，则21(1)nSn+=+，2221(1)nbn=++.22223(1)nn

nbn++=+，则2231nnnbn++=+.∴()()()()()()222231232211111211121nnnnnnbnnnnnnn++−+++−=−===+++++++++2111(1)1nnn

−++.∴121111nnTbbbnnn=++++−++题型三放缩成等比数列13．（2014全国2卷）已知312nna−=，证明：1231112naaa++…+.14．已知1332nna++=，证明：123111113naaaa++

++15．已知23nna=，记22(2)nnnaba=−*nN，求证：121nbbb+++．【解析】当1n=时，1314b=；当2n…时，12221243333(2)(232)(31)(31)(33)(31)(31)nnnnnnnnnnnn

naba−−====−−−−−−−1111()23131nn−=−−−，所以121122311111111113111()()()()1231312313123131423131nnnnbbbb−++++−+−++−=+−−−−−−−

−−．16．记31nna=−，证明：121111naaa+++．17．已知4nnan=，数列1nnbna=−，证明：1211149nbbb+++.18．已知数列13nna−=，12nnb−=，求证：对任意的nN且2n，有223311132nnababa

b+++−−−19．已知32nnnb=−，求证：对任意的*nN，1132niib=．题型四根式的放缩20．的整数部分是（）A．3B．4C．5D．62023届·广东省综合素质测试（光大联考）21．已知正项数列na的前n项和为nS，且满足221nnnaaS=−.(1)证明：数列

2nS是等差数列；(2)设数列1nS的前n项和为nT，证明：10018T111112345699100++++++++22．已知数列61nan=−的前n项和nS，设数列nb的前n项和nT，且满足nnnbS=，求证：2323nTn

+23．（2021浙江卷）已知数列na满足()111,N1nnnaaana+==+.记数列na的前n项和为nS，则（）A．100332SB．10034SC．100942SD．100952S题型五跳过第一项再放

缩求和24．已知2,1,2nnann==…，设数列21nnabn=+，证明：1221nbbbn+++−„．25．已知数列{}nb满足11b=且1nnbbn+=，求证：123111121nnbb

bb++++−…．26．已知nan=，若21nnca−=，数列1nc的前n项和为nT，证明：21211nnnaTa+−−.27．已知2nnb=，证明：()212591niiibb=−．题型六利用重要不等式放缩28．设.)1

(3221++++=nnSn求证.2)1(2)1(2++nSnnn题型七通过糖水不等式进行放缩29．求证.12)1211()511)(311)(11(+−++++nn题型八放缩后错位相减求和

2024届·广州·仲元中学校考30．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，(1)求和的通项公式：(2)记，证明：题型九数列恒成立问题31．已知等差数列na的前n项和记为nS（*nN），满足235326aaS+=+,数列nS为单调递减数列，求1a的取值范围.3

2．已知数列na满足：11a=，12nnaa+=.设()232nnbnna=−−，若对于任意的Nn，nb恒成立，则实数的取值范围为33．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤2na+12”为真，则实数λ的最大值为.34

．数列na满足()()211231222113nnaaaannn−++++=+−L，若对任意0，所有的正整数n都有22nka−+成立，则实数k的取值范围是.35．已知23nann=+，若2nna

对于任意*nN恒成立，则实数的取值范围是．36．设nS是数列na的前n项和，1332nnnSa+=−，若不等式22nnnak+对任意Nn+恒成立，则k的最小值为（）A．13B．16C．19D．13637．已知数列na的前n项和为nS，满足：()*122nnnaaan++=+N，

且3a，7a为方程218650xx−+=的两根，且73aa.若对于任意*nN，不等式()()2241nnnaa−−恒成立，则实数的取值范围为.na64.nb14b=3248.bb−=nan

b*21,Nnnncbnb=+()*112222Nnkkkkkancca+=−38．已知12nna−=，21nbn=+，设数列4nnbna−前n项和nT，求使得不等式1361122nnnT

+−+成立的n的最小值.39．已知数列na中，11a=，满足()*1221Nnnaann+=+−.（1）求数列na的通项公式；（2）设nS为数列na的前n项和，若不等式240nnS++对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围.