【文档说明】福建省福州市福建师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.825 MB，由小赞的店铺上传

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福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试卷高一数学·必修1、4一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.方程3log3xx的解为0x，若0(,1),xnnnN，则n（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】令

3log3fxxx，∵311320,22log20ff,33log310f.∴函数fx在区间2,3上有零点．∴2n．选C．2.如图，若OAa，OBb，OCc，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式

成立的是（）A.2136cbaB.4133cbaC.4133cbaD.2136cba【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】13cOCOBBCOBAB141333OBOBOAOBOA4133ba.故选C.【点

睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.有一组试验数据如图所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（）A.21xyB.21yxC.22logyxD.3yx【答案】B【解析】【分析】将x的数据代入依次验证各

模型对应的y值，排除偏差较大的选项即可得到结果.【详解】当2.01x时，2.01213y，22.0113y，22log2.012y，32.018y当3x时，3217y，2318y，22log34y，332

7y可知,CD模型偏差较大，可排除,CD；当4.01x时，4.012115y，24.01115y当5.1x时，5.12131y，25.1124y可知A模型偏差较B模型偏差大，

可排除A，选择B故选：B【点睛】本题考查根据数据选择函数模型，关键是能够通过验证得到拟合度最高的模型，属于基础题.4.已知,ab是不共线的向量，2,2,,AABababRC，若,,ABC三点共线，则,满足（）A.2B.1C.4D.4

【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的共线定理即可求解．【详解】由,,ABC三点共线，则AB、AC共线，所以存在不为零的实数m，使得ABmAC即2(2),,abmabR，又因为,ab是不共线的向量，所

以22mm，消m解得4故选D【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题．5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，径

四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（）A.8平方步B.6平方步C.4平方步D.16平方步【答案】A【解析】【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，∴由题意可得：S122×8＝8（平方步

），故选A．【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知12tan，则2cossincos的值为（）A.65B.35C.35D.65【答案】A【解析】【分析】观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的

代换“，整式除以22sincos，再进行化简．【详解】解：22222cos1cossincostan1sincostansincos，将12tan，代入得，原式65．故选：A．【

点睛】本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．7.2011年12月,某人的工资纳税额是245元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为()注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500(

起征点)后的余额.A.7000元B.7500元C.6600元D.5950元【答案】A【解析】【分析】根据不超过1500部分的纳税总额可确定月收入必超过5000元；利用比例关系可计算出月收入超过5000的额度，进而得到所求月收入.【详解】

15003%45245该人的月收入必超过150035005000元2454510%2000该人月收入为500020007000元故选：A【点睛】本题考查根据给定模型解决实际问题，关键是明确所给的数据表实际体现了分段函数的特点，采用分段的方式依次求解即可.

8.若2()4sin23fxx在,12上的值域为[2,4]，则的值是（）A.0B.12C.6D.4【答案】D【解析】【分析】由fx值域可确定21sin2,132x；利用x的范围可确定223x的范围，

结合值域和正弦函数图象可确定223的值，进而求得结果.【详解】当,12x时，222,2323x24sin23fxx的值域为2,421

sin2,132x27236，解得：4故选：D【点睛】本题考查根据正弦型函数的值域求解参数值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，利用正弦函数的图象得到角的整体对应的值.9.

函数tansintansinyxxxx在区间（2，32）内的图象是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan,tansin{2sin,

tansinxxxxxx分段画出函数图象如D图示，故选D．10.O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若()(2)0OBOCOBOCOA，则ABC是（）A.以AB为底面的等腰三角形B.以BC为底面的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D

.以BC为斜边的直角三角形【答案】B【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知2()()OBOCOAOBOAOCOAABACOBOCCB，所以(2)OB

OCOA()0OBOC可知为故有||ABAC，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c，然后分析得到形状，

注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．11.若函数()2sin()fxx在区间[,]54上存在最小值2,则非零实数的取值范围是（）A.(,2]B.[6,)C.5(,2][,)2D.15(,][6,)2【答案】C【解析】【分析

】先根据x的范围求出x的范围,根据函数()fx在区间[,]54上存在最小值2,然后对大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数的取值范围.【详解】函数()2sin()fxx在区间[,]54①当0时,,54x

函数()2sin()fxx在区间[,]54上存在最小值252可得:52②当0时,,45x函数()2sin()fxx在区间[,]54上存在最小值242可得:2综上所述

,非零实数的取值范围是:5(,2],2.故选:C.【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()yAx图像性质,数学结合.12.已知M是函数2112sin2xfxex

在3,5x上的所有零点之和，则M的值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】因为212112sin2cos2xxfxexex，所以(2)fxfx

，因为10f，所以函数零点有偶数个，两两关于1x对称.当[1,5]x时，2(1)(0,1]xye，且单调递减；2cosπ[2,2]yx，且在[1,5]上有两个周期，因此当[1,5]x时，2(1

)xye与2cosπyx有4个不同的交点；从而所有零点之和为428，选C.点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分

析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量a、b的夹角为60，1a，2b，若(2)()abxab，则实数x的值为___________.【答案】3【解析】【详解】由题意可得：12cos601ab，且221,4ab，则：2222

12abxabxaxabb，据此有：(21)80xx，解得：3x.14.设函数cos06fxx，若4fxf对任意的实数x都成立，则的最小值为__________．【答案】23【解析】【分析】根据题

意fx取最大值4f，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为4fxf对任意的实数x都成立，所以fx取最大值4f，所以22π()8()463kkZkkZ

，，因为0，所以当0k时，取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)yAxBA的性质（1）maxmin=+yAByAB，.（2）周期2π.T（3）由π()xkkZ求对称轴，最大值对应自变量满足

2π()xkkZ，最小值对应自变量满足+2()xkkZ，（4）由22()22kxkkZ求增区间；由322()22kxkkZ求减区间.15.如图，已知ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若3,

5ABAC，则APAQABAC的值为.【答案】-16【解析】【详解】试题分析：22APAQABACAQABACAQABACABACABAPCQ

2292516.ABAC考点：向量数量积16.函数()sinfxx（0）的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为1A，2A，3A，，nA，，在点列{}nA中存在三个不同的点kA、lA、pA，使得△klpA

AA是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数记为n，则6________.【答案】112【解析】【分析】由2xk可求得nA的横坐标，进而得到nA的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A，2nA，41nA为顶

点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n的通项公式，代入6n即可得到结果.【详解】由2xk，kZ得：212kx，kZ1,12A，23,12A，35,12A

，47,12A，……若123AAA为等腰直角三角形，则212232,2,240AAAA解得：2，即12同理若147AAA为等腰直角三角形，则14470AAAA232同理若1611AAA为等腰直角三

角形，则166110AAAA352以此类推，可得：212nn6112故答案为：112【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直

角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.按要求完成下列各题（1）已知51sin123，求sin12的值；（2）解不等

式：tan23x．【答案】（1）223；（2）,6262kkxxkZ【解析】【分析】（1）利用诱导公式可知5sincos1212，根据同角三角函数关系可求得结果；（2）将不等

式变为3tan23x，结合正切函数图象可确定2x的范围，进而求得解集.【详解】（1）51sinsincos122121232122sin1cossin1121293

（2）由tan23x得：3tan23x233kxk，kZ6262kkx，kZ不等式的解集为,6262kkxxkZ

【点睛】本题考查三角函数值的求解、根据三角函数值域求解自变量的取值范围的问题，涉及到诱导公式和同角三角函数关系的应用；本题中求解三角不等式的关键是能够结合正切函数图象确定角整体所处的范围.18.已知a，

b，c是同一平面内的三个向量，其中1,2ar.（1）若25cr，且//carr，求c的坐标；（2）若1,1br，a与aλb的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）()2,4c=r或

2,4（2）5,00,3【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a与aλb不能共线.【详解】解：（1）因为1,2ar，且//carr，

则(,2)carr，又25cr，所以22(2)20，即2，故()2,4c=r或2,4；（2）由1,1br，则1,2aλbλλ，由()1(1)2(2)0aaλbλλ，解得53，又a与aλb不共线，则1(2)

2(1)，解得0，故a与aλb的夹角为锐角时，实数的取值范围为：5,00,3.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.19.函数10,06

fxAsinxA的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2.(Ⅰ)求函数fx的解析式和当0,x时fx的单调减区间；(Ⅱ)fx的图象向右平行移动12个长度

单位,再向下平移1个长度单位,得到gx的图象,用“五点法”作出gx在0,内的大致图象.【答案】(Ⅰ)2216sinx，5,36；(Ⅱ)图象见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由函数10,06fxAsinxA的最大

值为3,可求得A的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为2可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，k取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到gx的解析式，列表、描点、作图即可得结果

.【详解】(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2,∴最小正周期T=π,∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-6)+1令2+2kπ≤2x−6≤32+2kπ,kZ,即3+kπ≤x≤56+kπ,kZ,∵x

[0,π],∴f(x)的单调减区间为[3,56].(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-12)-1=2sin(2x-3),列表得：描点连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析

式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数sin()yAx的单调区间的求法：(1)代换法：①若0,0A,把x看作是一个整体，由22kx322kkZ求得函数的减区间，2222kxk

求得增区间；②若0,0A,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与

上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式ft；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式gt；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的

西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天.）【答案】（1）300,02002300,200300ttfttt；21150100,0300200gttt

；（2）从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【解析】【分析】（1）根据函数图象可知ft为分段函数，每一段均为依次函数；gt为二次函数；由函数图象所过点即可求得函数解析式；（2）令htftgt，得到函数解

析式，纯收益最大即为ht最大；分别在0200t和200300t两种情况下，结合二次函数性质确定最大值点和最大值，综合可得最终结论.【详解】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为300,02002300,200300ttftt

t由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为21150100,0300200gttt（2）设t时刻的纯收益为ht，则htftgt即2211175,020020022171025,20030020022ttthtttt

当0200t时，配方得到2150100200htt当50t时，ht取得区间0,200上的最大值为50100h；当200300t时，配方整理得到：21350100200htt当300t

时，ht取得区间200,300上的最大值为30087.5h综上所述，ht在区间0,300上的最大值为100，此时50t即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式、利用函数模型求解实际问题，涉及到二次函数最值的求解问题；

关键是能够准确的构造出函数模型，利用函数的思想来解决问题.21.如图，M为ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交,ABAC两边于点,PQ，设,APxABAQyAC，请求出xy、的关系式，并记()yfx（1）求函数()yfx的表达式；（2）设APQ的面积为1S，ABC的面积为

2S，且12SkS，求实数k的取值范围．（参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．）【答案】（1）()41xyfxx，1(1)3x；（2）11[,]43k【解析】【分析】（1）利用,ABAC表示AM可知1144AM

ABAC；由,,PQM三点共线可知1AMAPAQ，由此得到1AMxAByAC，从而构造方程消掉变量即可得到所求函数表达式；（2）设21S，则1Sxy，由（1）中结论可表示为关于x的函数；利用12SkS，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数

t的范围，结合对号函数单调性可确定最值，进而得到所求范围.【详解】（1）DQ为BC的中点，M为AD的中点111111222244AMADABACABAC又,,PQM三点共线1

1AMAPAQxAByAC，故14114xy，消去得：11144xy当Q与C重合时，1y，此时13x41xyfxx113x（2）设ABC的面积为21S则APQ

的面积2141xSxyx113x令41tx，则1,33t2111116216tSttt1211216SktSt，1,33t当1t时，m

in14k；当13t或3时，max13k11,43k【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题；涉及到平面向量基本定理的应用、对号函数的性质的应用等知识；易错点是在求解函数解析式时，忽略自变

量的范围限制，造成求解错误.22.定义在R上的函数sin0,0,02fxAxA，若已知其在0,7x内只取到一个最大值和一个最小值，且当x时函数取得最大值为3；当6x，函

数取得最小值为3．（1）求出此函数的解析式；（2）若将函数fx的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数gx，再将函数gx的图像向左平移000个单位得到函数hx，已知函数()lg()gxyehx的最大值为e

，求满足条件的0的最小值；（3）是否存在实数m，满足不等式22sin23sin4AmmAm？若存在，求出m的范围（或值），若不存在，请说明理由．【答案】（1）133sin510fxx

；（2）10；（3）存在，1,22m【解析】【分析】（1）利用最大值和最小值确定A和T，进而得到；利用3f可求得的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到,gxhx，由xye与函数lgyx的单调

性可知只有当1gx，1hx同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k，根据00得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函数单调性可得到22234mmm，解不等式即可求得结果.【详解】（1）

max3fxf，min63fxf3A，22610T153sin35f252k，kZ解得：3210k，kZ

，又02310133sin510fxx（2）由题意知：13sin510gxx，0131sin5105hxx函数xye与函数lgyx均为单调增函数，且11gx，01hx当且仅

当13sin1510gxx与0131sin15105hxx同时取得才有函数的最大值为e由13sin1510gxx得：1321025xk，kZ又0131sin1

5105hxx01cos15010k，kZ又000的最小值为10（3）m满足2223040mmm，解得：12m2223144mmm20232mm

同理2042m15，310232323,10510mm，23234,10510m由（1）知函数在4,上递增若有22sin23sin4AmmAm只需要：22234m

mm，即12m成立即可存在1,22m，使22sin23sin4AmmAm成立【点睛】本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数

性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.