【文档说明】福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题 含解析.docx，共(38)页，3.683 MB，由小赞的店铺上传

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2023届宁德市普通高中毕业班五月份质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合|31Mxx=−，260Nxxx=

−−Z∣，则MN=（）A.{21}xx−∣B.2,1,0,1−−C.{32}xx−∣D.1,0,1−【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合N，再根据交集定义计算可得.【详解

】由260xx−−可得()()320xx−+，解得23x−，所以260231,0,1,2Nxxxxx=−−=−=−ZZ∣∣，又|31Mxx=−，所以1,0,1MN=

−.故选：D2.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：第x天123456高度()cmy14791113经这位同学的研究，发现第x天幼苗的高度()cmy的经验回归方程为4ˆˆ2.yxa=+，据此预测第

10天这棵幼苗的高度大约为（）A.19cmB.21cmC.23cmD.25cm的【答案】C【解析】【分析】先根据回归直线经过样本点的中心(,)xy建立方程，求出ˆa的值，再将10x=代入经验回归方程，即可得到答案．【详解】由已知得：1234563.5

6x+++++==，147911137.56y+++++==，因为经验回归方程为4ˆˆ2.yxa=+，所以ˆ7.52.43.5a=+，解得ˆ0.9a=−，当10x=时，ˆ2.4100.923.1y=−=，所以预测第10天

这棵幼苗的高度大约为23cm．故选：C.3.使xy成立的一个充分不必要条件是（）A.1133xyB.12xyxy−+−C.2ln2lnxyD.1(0xyaa−，且1)a【答案】B【解析】【分析】利用指数函数

，对数函数的性质，结合特值法可判断ACD；利用作差法及特值法，结合充分条件与必要条件的概念可判断B.【详解】1111333333yxxyxy，故A错误；当12xyxy−+−时，120xyxy−+−−，得(

)()2210xyxyxy−−−+−，即()210xyxy−−−，显然()210xy−−，则0xy−，即xy，故12xyxy−+−是xy的充分条件；当2,1xy==时，12xyxy−+=−，故12xyxy−+−是xy的不

必要条件，故B正确；当2,1xy=−=时，2ln2lnxy成立，但xy，故C错误；当01a时，由01xyaa−=，得0xy−，即xy，故D错误.故选：B.4.已知抛物线2:4Cxy=的焦点为F，P为抛物线上一个动点，()1,3

A−，则PAPF+的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．【详解】由题意可知抛物线24xy=的焦点坐标为(0,1)F，准线l的方程为1y=−，过P作PQl⊥于Q，由抛物线定义可知PFPQ=，所以PF

PAPQPA+=+，则当,,APQ共线时||||PQPA+取得最小值，所以PFPA+最小值为3(1)4−−=．故选：B．5.在平面直角坐标系xOy中，点P为圆22:1Oxy+=上的任一点，()()2,0,1,1AB−.若OPOA

OB=+，则2+的最大值为（）A.3B.2C.5D.6【答案】C【解析】【分析】通过圆三角换元，利用向量的加减运算及向量相等的条件，转化为三角函数的最值问题即得结果.【详解】由已知可设(cos,sin)P，则(cos,sin)O

P=，又(2,)OAOB+=−，因为OPOAOB=+，所以2cossin−==,即sincos2sin+==,的所以22sincos5sin()+=+=+,其中1tan2=，当sin()1+=时，2+有最大值为5.故

选：C.6.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,XY，且()()221122,,,XNYN，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A

.Y的数据较X更集中B.()()PXcPYcC.甲种茶青每500克的红茶产量超过2的概率大于12D.()()1PXcPYc+=【答案】D【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A，Y的密度曲线

更尖锐，即数据更集中，正确；对于B，因为c与2之间的与密度曲线围成的面积1S1,c＞与密度曲线围成的面积2S，()()()()1211,,22PYcSPXcSPXcPYc=+=+＜＜＜＜＜，正确；对于C，21＜，甲种茶青每500克超过2

的概率()212PPX=＞＞，正确；对于D，由B知：()()()()211211,,1122PXcSPYcSPXcPYcSS=−=++=+−＞＜＞＜，错误；故选：D.7.已知()()330,sinsin,3ln

sinlnsin,3sinsin2abc=−=−=−，则（）A.b<c<aB.cbaC.c<a<bD.abc【答案】A【解析】【分析】由02可得到0sins

in1，利用作差法得到()33sin3sinsin3sinac−=−−−，3(sinlnsin)3(sinlnsin)cb−=−−−，构造3()3fxxx=−，()3(ln),gxxx=−分别求出(),fx()gx在(0,1)x上的单

调性，即可求解.【详解】因为02，所以0sinsin1，又()33sin3sinsin3sinac−=−−−，令3()3fxxx=−，(0,1)x，则()3(1)(1)0fx

xx=+−，所以()fx在(0,1)单调递减，所以(sin)(sin)ff，所以0ac−，即ac；又3(sinlnsin)3(sinlnsin)cb−=−−−，令()3(ln),(0

,1)gxxxx=−，则3(1)()0xgxx−=，所以()gx在(0,1)单调递减，所以(sin)(sin)gg，所以0cb−，即>cb，综上，b<c<a.故选：A.8.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学

著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体

；BDHF､､､对应四个三棱柱，ACIG､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.36【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用四棱锥、三棱柱的体积公式结合给定数据建立关系式，求出长方体的体积

作答.【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，三棱柱的高为b，依题意，四棱锥的体积2113ah=，即23ah=，三棱柱的体积132ahb=，即有6abh=，因此2ba=，于是长方体的体积22412Vbhah==

=，所以该正四棱台的体积为1241228++=.故选：B【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分.9.若()623601236(1)1(1)(1)(1)xaaxaxaxax−=+++++++++，则（）A.064a=B.0246365aaaa+++=C.512a=D.123456234566aaaaaa+++++=−【

答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法，令=1x−，可判断A；令0x=，2x=−，计算求解可判断B；由()66(1)12xx−=+−，利用二项展开式的通项求解可判断C；两边求导，令0x=，可判断D.【详解】令=1x−，则60

(11)a−−=，即064a=，故A正确；令0x=，则46012365(01)1aaaaaaa++=++++−=，令2x=−，则46012536(21)729aaaaaaa−−+=−++−−=，则024617

293652aaaa++++==，故B正确；()66(1)12xx−=+−，则616C(1)(2)kkkkTx−+=+−，令1k=，则1156C(2)12a=−=−，故C错误；由()623601236(1)1(1)(1)(1)xaax

axaxax−=+++++++++两边求导，得56212356(1)2(1)3(1)6(1)xaaxaxax−=+++++++，令0x=，则15523466234566(01)aaaaaa++++=−=−+，故D正确.故选：ABD.1

0.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，其产量比2:3.从两个车间中各随机抽取了10个样品进行测量，其数据（单位：mm）如下：甲车间：9.410.19.810.210.010.110.29.610.39.8乙车间：10.39.29.610.010.3

9.810.49.410.210.3规定数据在()9.5,10.5之内的产品为合格品.若将频率作为概率，则以下结论正确的是（）A.甲车间样本数据的第40百分位数为9.8B.从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差C.从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率为0.84D

.从两个车间生产的产品任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.4【答案】BC【解析】【分析】根据百分位数计算规则判断A，计算出极差即可判断B，根据全概率公式计算C，根据条件概率公式计算D.【详解】对于A：甲车间样本数据从小到

大排列为：9.4、9.6、9.8、9.8、10.0、10.1、10.1、10.2、10.2、10.3，又1040%4=，所以第40百分位数为第四、五两数的平均数即为9.8109.92+=，故A错误；为对于B：甲车间的极差为10

.39.40.9−=，乙车间的极差为10.49.21.2−=，故B正确；对于C：从样本数据可知甲车间合格品的概率1910P=，乙车间合格品的概率284105P==，甲、乙两车间产量比为2:3，若从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率2934210.845105525

P=+==，故C正确；对于D：由C可知取到不合格品的概率3110.840.16PP=−=−=，所以若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率429115100.164P−==，故D错误；故选：BC11.在正方体1111ABCDABCD−中，2,,,ABPQM=分别为

11,,BCCCBB的中点，则以下结论正确的是（）A.直线1AM与平面APQ平行B.直线1DD与直线AQ垂直C.平面APQ截正方体所得的截面面积为94D.四面体11ADPQ的体积为26【答案】ACD【解析】【分析】由题意1PQAD∥，则1,,

,PQAD四点共面，可证得11ADQM为平行四边形，则11AMDQ∥，从而1AM面APQ，即可判断A；分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，计算1DDAQ即可判断B；1APQD为等腰梯

形，计算面积即可判断C；求出平面1DPQ的法向量，利用向量法求得1A到平面1DPQ的距离，进而求四面体11ADPQ的体积，即可判断D.【详解】∵,PQ分别为1,BCCC的中点，∴1PQBC∥,又11ADBC∥,∴1PQAD

∥，∴1,,,PQAD四点共面，∵1111,MQBCMQBC=∥,11111111,,ADBCADBC=∥,∴1111,ADMQADMQ=∥，∴11ADQM为平行四边形，∴11AMDQ∥，又1AMË面APQ，1DQ面APQ，∴1AM

面APQ，故A正确；分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图，则1122(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,),(2,0,2),(,2,0)22DDAQAP，12(0,0,2),(2,2,

)2DDAQ==−,∴120(2)022102DDAQ=−++=，则直线1DD与直线AQ垂直，故B错误；1APQD为等腰梯形，且1110,1,22PAQDPQDA====,如图，过点P作1PNDA⊥于N，则2221

0213422PNPAAN−=−=−=,则等腰梯形1APQD的面积为139(12)224+=，即平面APQ截正方体所得的截面面积为94，故C正确；111222(,0,),(0,2,),(2,0,0)222PQDQAD=−=−=−，设平面1DPQ的

法向量为(,,)nxyz=，则1220222202nPQxznDQyz=−+==−=，令2z=，则2,1xy==，(2,1,2)n=，所以1A到平面1DPQ的距离为11223nADdn==，又11324DPQSPQPN==△,所以，四面体11ADPQ的体积

为111322233436DPQSd==△，故D正确.故选：ACD.12.已知函数()fx的图象关于直线1x=对称.当1x时，()()()ln1efxxaxx=−+−，则以下结论正确的是（）A.当1x时，()()()e2ln221fxxxaxa=−+−−+−+B.若1a

=，则()0fx的解集为()2e,e−C.若()fx恰有四个零点，则a的取值范围是()0,1D.若对(),0xfxR，则2ea=【答案】AD【解析】【分析】利用对称性定义和区间转化可求对称区间解析式，对1x

和1x两个区间分别求解()0fx不等式解集，可得()0fx的解集，把零点问题利用分离参数法转化为两个图象交点个数问题，即可求出a的取值范围，对恒成立问题用分离参数法，求出相应函数的最值，即可求出a的取值范围.

【详解】对于选项A，因为当1x时，()()()ln1efxxaxx=−+−，当1x时，21x−，所以()()2[ln(2)(21]2e)fxxxxa−=−−+−−−，即()()()2e2ln221fxxxaxa−=−+−−+−+，因

为函数()fx的图象关于直线1x=对称，所以()()()(2)e2ln221fxfxxxaxa=−=−+−−+−+，所以当1x时，()()()e2ln221fxxxaxa=−+−−+−+，故选项A正确；对于选项B，当1a=时，当1x时，()()()ln1efxxxx=−+−

，当1x时，()()()e2ln21fxxxx=−+−−+−，现在先证ln1−xx，令()ln(1)ln1gxxxxx−−=−+=，则()111xgxxx−=−=，令()0gx，则01x，所以()gx在(0,1

)单调递增，令()0gx，则1x，所以()gx在(1,)+单调递减，所以()max(1)0gxg==，所以()0gx，即ln1−xx，所以ln10xx−+，当且仅当1x=等号成立，当1x=时，

ln10xx−+=，不满足()0fx，所以1x=不成立，当1x时，ln10xx−+，所以ln(2)(2)10xx−−−+，即()ln210xx−+−，令()0fx，则有()()()1ln1e0xfxxxx=−+−

，①或()()()1e2ln210xfxxxx=−+−−+−②，解不等式组①，因为ln10xx−+，则有e0x−所以1ex，解不等式组②，因为()ln210xx−+−，则有()e20x−+−所以2e1x−，所以()

0fx的解集为()2e,1(1,e)−U，故选项B不正确；对于选项C，因为()fx恰有四个零点，所以当1x时，()fx恰有两个零点，且当1x时，()fx恰有两个零点，且1x=时，()10f，因为1x，()()()ln1efx

xaxx=−+−，所以()(1)(1e01)fa=−+−，故1a，当1x时，()()()ln1efxxaxx=−+−，令()0fx=，则有ln10xax−+=或ex=，因为当1x时，()fx恰有两个零点，所以ln10xax−+=有一个解且不

为e，当ln10xax−+=解为e时，可求2ea=，所以2ea；因为ln10xax−+=，所以ln1axx=+，即ln1,1xaxx+=，所以ya=与ln1xyx+=在1x时的图象有一个交点，且交点横坐标不为e，令ln1()xhxx+=，则2ln()−

=xhxx，当1x时，()0hx，所以()hx在(1,)+单调递减，所以()(1)1hxh=，当x逼近于+时，()hx逼近于0，且()0hx，因为ya=与ln1xyx+=在1x时的图象有一个交

点，所以01a，且2ea，因为函数()fx的图象关于直线1x=对称，所以当1x时，同理可得01a且2ea，所以当()fx恰有四个零点，则a的取值范围是220,(,1)ee，故选项C不正确；对于选项D，若对(),0xfxR，因为函数(

)fx的图象关于直线1x=对称，所以只需研究1x时a的取值；因为1x，()()()ln1efxxaxx=−+−，所以()0fx，即()()ln1e0xaxx−+−，显然当ex=时，00成立，aR；当1ex时，ln10xax−+，利用分离参数法，ln1xax+，所以minl

n1()xax+令ln1()xhxx+=，则2ln()−=xhxx，当1ex时，()0hx，所以()hx在[1,e]单调递减，所以()min2ehx=，所以2ea；当ex时，ln10xax−+恒成立，即ln1xax+所以maxln1

()xax+当ex时，()0hx，所以()hx在[e,+)单调递减，所以()max2(e)ehxh==，所以2ea；综上所述：2ea=，故选项D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个：一是把零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题

求解；二是恒成立问题采用分离参数法求解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z满足13izz−=−，则z=__________.【答案】5【解析】【分析】设izab=+，,Ra

b，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得a、b，即可求出z，从而得解.【详解】设izab=+，,Rab，则22zab=+，因为13izz−=−，所以22i13iabab+−−=−，所以2213abab+−==，所以43ab==，即43iz=+，所以22435z=

+=.故答案为：514.已知函数()fx满足如下条件：①定义域为R；②存在0xR，使得()()'000fxfx==；③()0fx，试写出一个符合上述要求的函数()fx=__________.【答案】()2fxx=−（答案不唯一）【解析】分析】根据条件求解.【详解】设()

2fxx=−，则函数定义域为()()()()R,2,000,0fxxfffx===−；故答案为：()2fxx=−.15.已知函数()()πcos0,,02fxAxA=+，射线()20yx=−与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列nx，且()*743n

xnn=−N，则()5f=__________.【答案】1−【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()fx的解析式，再代值计算作答.【详解】因为()*743nxnn=−N，则数列nx是等差数列，公差为4，且()2,Nnfxn=−，因此2A=，函数()fx的

周期是4，即2π4=，解得π2=，又15()()23fxf==−，即有π5π23+=，解得π6=，于是ππ()2cos()26fxx=+，所以5ππ(5)2cos()126f=+=−.故答案为：1−16.已知椭圆C的一个焦点

为F，短轴12BB的长为23,,PQ为C上异于12,BB的两点.设【1221,PBBPBB==，且()()tan3tantan+=−+，则PQF△的周长的最大值为__________.【答案】8【解析】【分析】根据条件求出

椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tantantan3tantan1tantan++=−+=−，π,tantan0++＜，即11tantan3−=−，4tantan3

=，设()00,Pxy，由题意：()()120,3,0,3BB−，则0000tan,tan33xxyy==−+，20204tantan33xy==−，即2200143xy+=，即椭圆C的标准方程为22143xy+=，2,3,1abc===；设左焦点为F，右

焦点为2F，如下图：则PFQ△的周长224lPFQFPQaPFQFPQ=++=−−+,22PFQFPQ+，当2,,PQF三点共线时等号成立，48la=，l的得最大值为8；故答案为：8.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文

字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列,nnab满足21122,3,8nnbanabab=++=+=，且数列na是等差数列.（1）求数列nb的通项公式；（2）记数列1nb的前n项和为nS，求证：112nS.【答案】（1）2

nbnn=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知列式求得121,2aa==，可得数列na的公差d，进而可求得答案；（2）利用裂项相消法求出nS，即可证得结论.【小问1详解】由2nnban=+得11221,4baba=+=+，代入11223,8abab+=+=得12213,248aa+

=+=，解得121,2aa==，又因为数列na为等差数列，故公差为211daa=−=，因此2,nnanbnn==+.【小问2详解】由（1）可得2nbnn=+，所以211111nbnnnn==−++，所以1231111nnSbbbb=++++11111111223341nn

=−+−+−++−+11n1=−+，又因为*nN，所以110(112nn=+时等号成立)，所以111121n−+，即112nS.18.在四棱锥PABC

D−中，,90,1,2ABCDBCDBCCDPAPDAB======∥，3PB=.（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）在线段PB上是否存在点M，使得二面角PADM−−的大小为45？若存在，求PMPB的值；若不存在，说

明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，13PMPB=【解析】【分析】（1）解法一：取AB的中点F，可得四边形BCDF为正方形，可证得BDAD⊥，BDPD⊥，从而BD⊥平面PAD，即可证得结论．解法二：取AD的中点,OAB的中点F，四边形BCDF为正方形，在ABO中，由余弦定理求

得BO，证得POAD⊥，POOB⊥，从而PO⊥平面ABCD，即可证得结论.（2）解法一：取AD的中点O，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，,,OFOAOP所在的直线分别为xyz､､轴，建立如图的空间直角坐标系，设(),0,1PMPB

=，求出平面PAD，平面ADM的法向量，利用向量夹角公式求得，即可得出结论.解法二：过B作BzPO∥，则Bz⊥平面ABCD.以B为原点，,,BABCBz所在的直线分别为xyz､､轴，建立如图的空间直角坐标，设(),0,1BMBP=，求出平面ADM的法向量，

由题意平面ADM与平面ABCD所成的角也等于45，求得平面ABCD的法向量，利用向量夹角公式求得，即可得出结论.解法三：过M点作MHOB⊥于H，过H作HEAD⊥于E，可得MEH是二面角MADB−−的平面角，由题意二面角MADB−−大小为45，从而45MEH=，设MHh=，则EHh=，由HE

BD∥得2OHEHhOBBD==，由MHPO∥得BHMHBMOBPOPB==，解得h即可.【小问1详解】解法一：取AB的中点F，连接,BDDF.在四边形ABCD中，,BCCDABCD⊥∥，故四边形ABCD为直角梯形，又222ABBCCD===，故11,22AFBFA

BBD====.又由,CDBFCDBF=∥，所以四边形BCDF为正方形，故112DFAB==，从而BDAD⊥；又1,3PDPB==，所以222PDBDPB+=，故BDPD⊥.由,PDADDPD=平面,PADAD平面PAD，从而BD⊥平面PAD，

又BD平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.解法二：取AD的中点,OAB的中点F，连接,,POBODF.在四边形ABCD中，,BCCDABCD⊥∥，故四边形ABCD为直角梯形，又222ABBCCD===，故CDBF，且1CDBFBC===，所以四边形BCDF为正方形

，故ADF△为等腰直角三角形，从而2,45ADBAD==，PAD为等腰直角三角形.在ABO中，222225222cos45222BO=+−=，又因为1PAPD==，所以POAD⊥，1222POAD==，又3PB=，所以222PBPOBO=+，故POOB

⊥，由,AOBOOAO=平面,ABCDOB平面ABCD，从而PO⊥平面ABCD，又PO平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.【小问2详解】解法一：取AD的中点O，连接,OPOF，由1PAPD==，所以POAD⊥，因为平面PAD⊥平

面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，所以PO⊥平面ABCD.又,OF为,ADAB的中点，所以OFBD∥，且1222OFBD==，由（1）知BDAD⊥，故OFAD⊥.以O为原点，,,OFOAOP所在的直线分别为

xyz､､轴，建立如图的空间直角坐标系，则()22220,0,0,0,,0,0,,0,0,0,,2,,0,2222OADPB−−则()22220,2,0,2,,,0,,2222ADPBAP=−=−−=−

，设(),0,1PMPB=，则222,,22PMPB==−−，22222,,2222AMAPPM=+=−−−，平面PAD的一个法向量为()1,0,0m=

，设平面ADM的一个法向量为(),,nxyz=r，则()()20,222110,22ADnyAMnxyz=−==−++−=令2z=，则()1,0,2n=−，因为二面角PADM−−的大小为45，所以2212c

os,2(1)(2)mnmnmn−===−+，由()0,1，解得：13=，所以线段PB上存在点M，当13PMPB=时，使得二面角PADM−−大小为45.解法二：过B作BzPO∥，则Bz⊥平面ABCD.以B为原点，BABCBz､､所在的直线分别为xyz､､轴，建立如图

的空间直角坐标系，则()()()()3120,0,0,2,0,0,0,1,0,1,1,0,,,222BACDP，设(),0,1BMBP=，则312,,222BMBP==，

3122,,222AMBMBA=−=−，()110AD=−,,，设平面ADM的一个法向量为(),,nxyz=r，则0,31220,222ADnxyAMnxyz=−+==−++=令y

=，得()(),,221n=−，因为二面角PADM−−的大小为45，所以平面ADM与平面ABCD所成的角也等于45，平面ABCD的一个法向量为()0,0,1m=，()2222212cos,28(1)mnmnmn−===++−，

因为()0,1，解得23=，所以线段PB上存在点M，当23BMBP=，即13PMPB=时，使得二面角PADM−−大小为45.解法三：过M点作MHOB⊥于H，过H作HEAD⊥于E，连接ME，由（1）知平面POB⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，AD平面ABCD，故MH

AD⊥，又,MHHEHMH=平面,MHEHE平面MHE，所以AD⊥平面MHE，又ME平面MHE，因而MEAD⊥，所以MEH是二面角MADB−−的平面角.因为平面PAD⊥平面ABCD，二面角PADM−−大小为45，所以二面角MADB−−大小为45，从而

45MEH=，故MHEH=，设MHEHh==，因为,HEADBDAD⊥⊥，从而HEBD∥，所以2OHEHhOBBD==，从而22BHhOB−=，因为,MHOBPOOB⊥⊥，从而MHPO∥，所以BHMHBMOBPOPB==，即2222hh−=，解得23

h=，所以223322BMPB==，从而13PMPB=.所以线段PB上存在点M，当13PMPB=时，使得二面角PADM−−大小为45.19.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知π3B=，7b=，ac，且

其内切圆O的面积为3π.（1）求a和c；（2）连接AO交BC于点D，求AD的长.【答案】（1）8a=，5c=（2）573AD=【解析】【分析】（1）解法一：利用余弦定理及三角形面积公式得到方程组，解得即可；解法二：设圆O与边BC相切于点E，连接OE，OB，

由锐角三角函数及切线长定理得到13ac+=，再由余弦定理得到方程组，解得即可；（2）解法一：设BDx=，CDy=，利用角平分线的性质得到57xy=，即可求出BD，再由余弦定理计算可得；解法二：由余弦定理求出cosA

，依题意设ABACADABAC=+，根据平面向量共线定理求出，再根据数量积的运算律计算可得；解法三：由余弦定理求出cosA，即可求出sinA，从而得到sin2A、cos2A，再求出sinAD

B，最后利用正弦定理计算可得.【小问1详解】解法一：由余弦定理得2222cosbacacB=+−，即2249acac=+−，又内切圆O的面积为3π，故内切圆的半径为3，所以()1π1sin3232acabc=++，故()214acac=++，于是

()2249214acacacac=+−=++，即4013acac=+=，解得85ac==或58ac==，因为ac，所以85ac==.解法二：设圆O与边BC相切于点E，连接OE，OB，则OEBC⊥，且3OE=，且π6OBE=，故

33BEOE==，因为ABC三边与圆O相切，切线长相等，所以()()337ac−+−=，即13ac+=，根据余弦定理得2222cosbacacB=+−，即2249acac=+−，所以21()49403ac

ac=+−=，解得85ac==或58ac==，因为ac，所以85ac==.【小问2详解】解法一：设BDx=，CDy=，由57ABDADCSABxSACy===，又因为8xy+=

，所以5108123BD==，在ABD△中，由余弦定理222π2cos3ADBABDBABD=+−，得210010117525259329AD=+−=，所以573AD=.解法二：由余弦定理得2549641cos2577A+−==

.设57ABACADABACABAC=+=+，又因为B、D、C三点共线，所以157+=，所以3512=.22221161121177ABACADABAC=+=++=，所以435571237AD

==.解法三：在ABC中，由余弦定理得2549641cos2577A+−==，所以243sin1cos7AA=−=，又2cos12sin2AA=−，所以2112sin72A=−，所以21sin27A=（负值舍去）

，且27cos27A=，所以2π31327121321sinsincossin322222272714AAAADB=−=+=+=.在ABD△中，由πsinsin3ADABADB=，得53321214AD=，所以573AD=.20.人工智能（AI）是一门极富挑战性

的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了,AB两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,PP.为测试AI软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配

给,AB两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，,AB两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中

，A组占23；在错误识别的音乐数中，B组占12.（i）请根据以上数据填写下面的22列联表，并通过独立性检验分析，是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A组软件B组软

件合计100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；（2）研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设1243PP+=，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,PP的值.附：()()()()22()nadb

cabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20Px0.1000.0500.0100.0050.0010x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（i）表格

见解析，没有；（ii）49（2）测试至少27次，1223PP==.【解析】【分析】（1）根据条件填写列联表并做卡方计算，根据列联表求出12,PP，对“一次测试通过”作分类讨论求出其概率；（2）根据对“一次测

试通过”的分类讨论，求出其概率的最大值，再按照二项分布求解.【小问1详解】（i）依题意得22列联表如下：正确识别错误识别合计A组软件402060B组软件202040合计6040100因为22100(40202020)252.7783.841604060409−==，且()23.

8410.05P=，所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii）由（i）得1221,32PP==，故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C1CCC1CC

332322329P=−+−+=；【小问2详解】方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C1CCC1CCPPPPPPPPP=−+−

+1212833PPPP=−()21212833PPPP=−+2124163927PP=−−+，所以当1249PP=时，P取到到最大值1627，又1243PP+=，此时1223PP==，因为每次测试都是独立事件，故n次实

验测试通过的次数(),XBnP，期望值()16EXnP==，因为1627p，所以1627162716np==所以测试至少27次，此时1223PP==.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点()()125,0,5,0FF−，点M满足124MFMF−=，记点

M的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）点()2,0A，点,BC为E上的两个动点，且满足2BAC=.过A作直线AQBC⊥交E于点Q.若2BQC=，求直线BC的斜率.【答案】（1）221(0)4xyx−=（2）±1.【解析】【分析】（1）由题意，点M的轨迹为双曲线的右支，2,5

ac==，1b=，可得E的方程；（2）解法一：设BC与AQ的交点为D，设BC的方程为ykxm=+，与双曲线方程联立，由1ACABkk=−结合韦达定理解得m，得到直线BC的方程，由题意写出直线AD的方程，求得点D、点

Q坐标，代入曲线E的方程，可得直线BC的斜率.解法二：由对称性，直线BC必过定点(),0t，设BC的方程为xmyt=+，与双曲线方程联立，由1ACABkk=−结合韦达定理解得103t=，进一步可得到直线BC方程以及恒过定点.求得点D、点Q坐标，代入曲线E

的方程，可得直线BC的斜率.解法三：设AC方程为()2ykx=−，设AB方程为()12yxk=−−，联立曲线方程，由韦达定理可求出点C坐标，用1k−替换k得点B坐标，可得直线BC方程进一步得到直线BC恒过定点.下同解法一.解法四：由平移知识得到双曲线E的方程，新坐标系下直线BC的方程，代入双曲线方

程，由121kk?-求得m，进一步得到直线BC的方程，从而得到直线BC恒过定点，再利用过四点,,,ABQC的二次曲线系方程结合xy的系数为0，即可得到直线BC的斜率.解法五：设直线BC的方程为()21mxny−+=，连理曲线方程结合由121kk?-

解得m，进一步得到直线BC的方程以及BC恒过定点.下同解法一.【小问1详解】因为点M满足124MFMF−=，所以点M的轨迹为双曲线的右支，故2,5ac==，所以1b=，所以曲线E方程为221(0)4xyx−=.【小问2详解】解法一：设BC与AQ的交点为D.的显然直线BC的斜率存在，设BC的方程为

ykxm=+，联立方程22,44,ykxmxy=+−=消去y得()222418440kxkmxm−+++=，设()()1122,,,BxyCxy，所以12221228414441kmxxkmxxk+=−−+=−.又

2121,22ACAByykkxx==−−，因为1ACABkk=−，所以2121122yyxx=−−−，故()()()2212121240kxxmkxxm++−+++=，代入()()2222244812404141mkmkmkmkk+++−−++=−−，整理得2

2203160kmkm++=，即()()10320kmkm++=，解得103mk=−或2mk=−（舍）.所以直线BC的方程为103ykx=−，即直线BC恒过定点10,03.因为,,,ABQC四点共圆，且BC为直径，由B

CAD⊥，所以点D为AQ中点，且直线AD的方程为()12yxk=−−，联立()10312ykxyxk=−=−−，解得()()22210631431kxkkyk+=+−=+

，所以点()()2221064,3131kkDkk+−++，故()()2221468,3131kkQkk+−++，代入曲线E的方程()()222221468443131kkkk+−

−=++，解得420kk−=，即1k=，所以直线BC的斜率为±1.解法二：由对称性，直线BC必过定点(),0t，设BC的方程为xmyt=+，联立方程22,44,xmytxy=+−=消去x得(

)2224240mytmyt−++−=，设()()1222,,,BxyCxy，所以12221222444tmyymtyym+=−−−=−.2121,22ACAByykkxx==−−，因为1ACABk

k=−，所以2121122yyxx=−−−，故()()()22121212440myytmmyytt++−++−+=，代入()()222224212(2)044ttmmmttmm−++−−+−=−−，因为2t，整理得3100t−=，解得103t=.所以直线BC的方程为103x

my=+，即直线BC恒过定点10,03.联立()1032xmyymx=+=−−，解得()()22261031431mxmmym+=+−=+，所以点()()2226104,3m131mmDm+−++

，故()()2226148,3m131mmQm+−++，代入曲线E的方程()()222226148443131mmmm+−−=++，解得210m−=，即1m=，所以直线BC的斜率为1.解法三：设AC方程为()2ykx=−，设AB方程

为()12yxk=−−，联立方程()22244ykxxy=−−=，消去y得()222214161640kxkxk−+−−=，设()11,Cxy，则212164214kxk−−=−，得2128241kxk+=−，所以212282424141kkyk

kk+=−=−−，所以点222824,4141kkCkk+−−.用1k−替换k得点222284,44kkBkk−−−−.所以BC斜率()2222222443414822841414BCkkkkkkkkkkk−−−==−++−+−−，故直线BC方程为()2222

32844441kkkyxkkk+=−++−−−，即()()223104141kkyxkk=−+−−，即()2310341kyxk=−−−.所以直线BC恒过定点10,03.下同解法一.解法四：将坐标系原点平移到()2,0A，则双曲线E的方

程变为22(2)14xy+−=，即22440xyx−+=.新坐标系下直线BC的方程设为1mxny+=，代入双曲线方程有()22440xyxmxny−++=，即()2214440mxynxy+−+=，两边同除以2x得244410yynmxx−−−=，设直线,ACAB的斜

率分别为12,kk，则124114mkk−−==−，所以34m=，所以直线BC的方程为314xny+=，从而直线BC恒过定点4,03，故原坐标系下直线BC恒过定点10,03.由,,,ABQC四点共圆，设BC的直线方程为103ykx

=−，即1003kxyk−−=；设AQ的直线方程为()12yxk=−−，即20xky+−=.所以过四点,,,ABQC的二次曲线系方程为()()221024403kxykxkyxy−−+−+−−=

，等式左边xy的系数为21k−，所以210k−=，所以1k=，即直线BC的斜率为±1.解法五：由直线BC不过点()2,0，故设直线BC的方程为()21mxny−+=，所以由2244xy−=得22(22)44xy−+−=，即()()()2222122]442]mx

nyymxny+−+−=−+，两边同除以2(2)x−得()22221244222yyymnmnxxx++−=+−−−，设2ykx=−，上式整理得244410knkm−−−=.设直线,ACAB的斜率分别为12,kk

，则124114mkk−−==−，解得34m=，所以直线BC的方程为()3214xny−+=，即310043xny−+=，从而BC恒过定点10,03.下同解法一.【点睛】方法点睛：定点问题的解题策略（1）直线过定点．将直线方程化为00()yykxx−=

−的形式，当00xx−=时与k无关，即00()yykxx−=−恒成立，故直线过定点00(,)xy．（2）曲线过定点．利用方程0(),fxy=对任意参数恒成立得出关于,xy的方程组，以方程组的解为坐标的点即为所求的定点．22.已知函数(

)()sin,0,exaxfxx=.（1）若()1fx≤，求实数a的取值范围；（2）若4a=，且()()1212,fxfxxx=，求证：122xx+且222sinexxx−−.【答案】（1）42ea（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法一：当0a时，()1fx

≤成立；当0a时，即为max()1fx，利用导数研究()fx的最大值，即可得解；解法二：由题意得minesinxax，构造函数()esinxgxx=，利用导数研究()gx的最小值，即可得解；（2）解法一：根据()fx的单调性可知1204xx．证122xx−，即

证()212fxfx−，即证()112fxfx−，设()(),0,24hxfxfxx=−−，利用()hx的单调性即可证明；证222sinexxx−−，即证()2222sin,,e4xxxx

−−−．设2tx=−，即证esin0ttt−．设()3esin,0,4tgtttt=−，则()()esincos1tgttt=+−，设()()esincos1tpttt=+−，利用导数研究其性质可

知，03,24t，使得()00pt=，从而得出()gt的单调性，证得()0gt，可得结论.解法二：证明122xx−的方法同解法一．()fx在x=处的切线方程为()4eyx−=−，先证

()()224exfx−−，设()()44sin,,ee4xxrxxx−=−−，利用导数研究其性质可知，0,42x，使得()00rx=，从而得()rx的单调性及()0rx，可得结

论.【小问1详解】解法一：当0a时，由e0x，且()0,x时sin0x，故()1fx≤成立；当0a时，即为max()1fx.由()cossinexxxfxa−=，令()0fx=，得4x=，当0,4x

时，()0fx¢>；当,4x时，()0fx；所以()fx在0,4单调递增，在,4单调递减，所以max4()142eafxf==，即402ea.综上，42ea.解法二：()sin1exaxfx=，由e0x，且()

0,x时sin0x，所以minesinxax.设()esinxgxx=，则()()2esincossinxxxgxx−=，令()0gx=，得4x=，当0,4x时，()0gx；当,4x时，()0gx；所以()gx在0,4

单调递减，在,4单调递增，所以4min()2e4gxg==，即42ea.【小问2详解】解法一：()()()4cossin4sin,eexxxxxfxfx−==，当0,4x

时，()0fx¢>；当,4x时，()0fx；所以()fx在0,4单调递增，在,4单调递减，故1204xx.先证122xx−，由142x−，故即证()212fxfx−，由()

()12fxfx=，故即证()112fxfx−，设()(),0,24hxfxfxx=−−，则()()()224sincosee02exxxxhxfxfx−

−−−=−−=，所以()hx在0,4上单调递减，所以()04hxh=.所以()112fxfx−，从而122xx+.现证222sinexxx−−，即证()2222sin

,,e4xxxx−−−.设2tx=−，故即证sinettt，即证esin0ttt−.设()3esin,0,4tgtttt=−，则()()esincos1

tgttt=+−，设()()esincos1tpttt=+−，则()2ecostptt=，当0,2x时，()0pt；当3,24x时，()0pt，所以()pt在0,2单调递增，在3,24

单调递减，又()2300,e10,1024ppp==−=−，所以03,24t，使得()00pt=，故()gt在()00,t单调递增，在03,4

t单调递减，又()3334431322e3e300,e044442gg−−==−=，所以()g0t，即esin0ttt−，故222sinexxx−−.解法二：证明122xx−的方法同解法一

.()()()4cossin4sin,eexxxxxfxfx−==，()()π4π0,πeff−==，则()fx在x=处的切线方程为()4eyx−=−，下面证()()224exfx−−.设()()4

4sin,,ee4xxrxxx−=−−，()()4cossin41cossin4eeeexxxxxxrx−−−=−=−+，设()1cossin4eexxxtx−=−+，则()

8cosexxtx=，当,42x时，()0tt；当,2x时，()0tt，所以()rx在,42上单调递增，在,2ππ上单调递减，()24110,40,0,4e2e

errr=−=−−=所以0,42x，使得()00rx=，故()rx在0,4x单调递减，在()0,x单调递增，又()344322322e0,04eeerr

−=−==，故()0rx，即()2224sin4eexxx−−，所以222sinexxx−−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数(

)()()hxfxgx=−，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将

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