【文档说明】北京市房山区2021届高三上学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，876.656 KB，由小赞的店铺上传

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房山区2020-2021学年第一学期高三期末试题数学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小

题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合2,1,0,1,2M=−−，220Nxxx=−−，则MN等于（A）2,1−−（B）1,0−（C）1,2（

D）0,1（2）命题“0x，()ln1xx+”的否定是（A）0x，均有()ln1xx+≥（B）0x，均有()ln1xx+≥（C）00x，使得()00ln1xx+≥（D）00x，使得()00ln1xx+≥（3）若复数(1i)(2i)z=+−,则在复平面内复数z对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（4）已知函数()2log,021,0xxxfxx=+≤，则12ff的值为（A）12（B）32（C）3（D）5（5）某四棱锥的三视图

如图所示，则该四棱锥的体积是（A）34（B）4（C）38（D）8（6）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为()0,2，则双曲线的标准方程为（A）14422=−yx（B）14422=−xy（C）1422=−yx

（D）1422=−xy（7）已知m，n，p，q均为实数，且pq，则“mn”是“mpnq−−”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（8）在平行四边形ABCD中，1AD=，12AB=，60BAD=

，E为CD的中点，则·ACBE=（A）2−（B）1−（C）1（D）2（9）对于定义在R上的函数)(xfy=，若存在非零实数0x，使函数)(xfy=在),(0x−和),0+x（上均有零点，则称0x为函数)(xfy=的一个“折点”．下列四个函数存在“折点”的是（A）23)(|1|+=−xxf（

B）()lg(2021)xfx=+（C）13)(3−−=xxxf（D）12)(2−−=mxxxf（10）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“

太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2lyax=−．给出以下命题：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,ss()12ss,则12:3:1ss=；②当43a=−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；③当(0,1a时，

直线l与黑色阴影区域有2个公共点．其中所有正确命题的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(11)函数ln(21)2yx=++的定义域为．(1

2)在二项式6(1)x+的展开式中，2x的系数为．(13)在△ABC中，若4AB=，3BC=，2cos3B=，则cosC=．(14)在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx=的焦点F，且与该抛物线相交于,AB两点．若直

线l的倾斜角为45，则△OAB的面积为．(15)复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面规格为：①0128,,,...,AAAA所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为

:1:2xy=；②将0A纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A规格；1A纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A规格；…；如此对开至8A规格.现有0128,,,...,AAAA纸各一张.若4A纸的幅宽为2dm，则0A纸的面积为2dm，这9张纸的面

积之和等于2dm．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD−中，90BAD=，AD∥BC，PAAD⊥，PAAB⊥，122PAABBCAD====.（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；（

Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．（17）（本小题14分）已知函数()2sin22cos1fxaxx=+−，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）()fx的最小正周期；（Ⅱ）()fx的单调递增区间．条件①：()

fx图像的对称轴为8x=；条件②：14f=；条件③：3a=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，

回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：（Ⅰ）现从

2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅱ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数.求X的分布列及数学期望；(Ⅲ)假设2

021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨.当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差()()()2222121nsxxxxxxn=−+−++−，其中x为1x

，2x，……nx的平均数）0123456回收量(单位：吨)月份（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab+=的离心率为223，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为13的直线l与椭圆G交于不

同的两点,CD，线段CD的中点为M，直线OM与椭圆G交于,EF，证明：MCMDMEMF=．（20）（本小题15分）已知函数()()()212e2xfxxaxaxa=−−+R.（Ⅰ）当0a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（Ⅱ）若0a，讨论函数()x

f的单调性；（Ⅲ）当2x≥时，()0fx≥恒成立，求a的取值范围.(21)(本小题14分)数列{}na中，给定正整数m(1)m，-111()miiiVmaa+==−.定义:数列{}na满足1(1,2,,1)iiaaim+=−LL，称数

列{}na的前m项单调不增.（Ⅰ）若数列{}na通项公式为：(1)()nnan=−*N，，求(5)V；（Ⅱ）若数列{}na满足：1,,(1,,)maaabmmab==*N，求证()Vmab=−的充分必要条件是数列{}na的前m项单调不增；（Ⅲ）给定正整数m(1)m，若数列{

}na满足：0,(1,2,,)nanm=≥LL，且数列{}na的前m项和为2m，求()Vm的最大值与最小值.(写出答案即可)房山区2020-2021学年第一学期期末试题参考答案高三数学一、选择题共8小

题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)（9）（10）答案(D)（C）（A）（B）（A）（B）（B）（C）(D)(A)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）1(,)2−+（12）15（13）19（

14）22（15）264，24511三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(Ⅰ)证明：解法1.因为//BCADBC平面PADAD平面PAD所以//BC平面PAD…………

…………………………4分解法2.因为PAAD⊥，PAAB⊥，ADAB⊥，所以以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz−，则(000),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2,2,0)ABDPC,

,…………………………………1分(此处建系，第（Ⅱ）问不重复给分）平面PAD的法向量为(1,0,0)t=…………………………………2分(0,2,0)BC=…………………………………3分因为0120000tBC•=++=…………………………………4分BC平面PAD

…………………………………5分所以//BC平面PAD（Ⅱ）解：因为PAAD⊥，PAAB⊥ADAB⊥，所以以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz−，则(000),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(2

,2,0)ABDPC,,………………………5分所以平面PAB的法向量为(0,1,0)n=………………………6分设平面PCD的法向量为(,,)mxyz=(2,2,2)PC=−，(0,4,2)PD=−………………………8分所以022

2042020mPCmPCxyzxyyzzymPDmPD⊥•=+−==−==⊥•=………………………10分令1(1,1,2)ym==得………………………11分16cos,616nmnmn

m•===………………………13分设平面PAB与平面PCD所成角为，为锐角,所以6cos6=………………………14分（17）选①（()fx图像的一条对称轴为8x=）………………………1分解：(Ⅰ

)()2sin22cos1fxaxx=+−sin2cos2axx=+22211(sin2cos2)11aaxxaa=++++211sin(2)(tan)axa=++=其中因为()fx图像的一条对称轴

为8x=所以22()1sin()184faa=++=+即有,42kkZ+=+所以,4kkZ=+所以1tantan()tan144ka=+===1a=………………………6分故()2sin(2)4fxx=+所以()fx的最小正周期为：22

||2T===………………………8分（Ⅱ）+22+2,242kxkkZ−+………………………11分3+22+2,44kxkkZ−3++,88kxkkZ−………………………13

分所以()fx的递增区间为3[+],k88kZ−+k，………………………14分选②(()1)4f=………………………1分解：(Ⅰ)()2sin22cos1fxaxx=+−sin2cos2ax

x=+()sincos1422fa=+=1a=()sin2cos2fxxx=+222(sin2cos2)22xx=+2sin(2)4x=+所以()fx的最小正周期为：22||2T===……………………8分（Ⅱ）+22+2,242kxkkZ−+…………

…………11分3+22+2,44kxkkZ−3++,88kxkkZ−……………………13分所以()fx的递增区间为3[+],k88kZ−+k，……………………14分选③（a3=）……………………1分解：（I）()23sin22cos1fxxx=+−

3sin2cos2xx=+312(sin2cos2)22xx=+2sin(2)6x=+所以()fx的最小正周期为：22||2T===………………………8分（Ⅱ）+22+2,262kxkkZ−+………………………11分2+22+2,33kx

kkZ−++,36kxkkZ−………………………13分所以()fx的递增区间为[+],k36kZ−+k，………………………14分（18）解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A………………………1分由题意

，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨………………………2分所以()17PA=.………………………4分（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.X的所有可

能取值为0，1，2.………………………5分023427(0)62217CPXCC====113427(1)124217CCPXC====203427(2)31217CPXCC====………………………8分所以X的分布列为:X012P2747

17………………………9分1()0122467777EX=++=………………………11分(Ⅲ)4.4a=………………………14分当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小.（19）解:（I）根据题意：222222331122caa

bacbbc===−===………………………4分所以椭圆G的方程为2219xy+=………………………5分(II)设直线l的方程为：1(0)3yxmm=+………………………6分由2

21913xyyxm+==+消去y得：2219()903xxm++−=………………………7分即2226990xmxm++−=需22=368(99)0mm−−即202m……………………

…8分设1122(,),(,)CxyDxy,CD中点00(,)Mxy,则2121293,(1)2xxmxxm+=−=−………………………9分12000311,2232xxxmyxmm+==−=+=………………………10分那么直线OM的方程为:00yyxx=即13y

x=−………………………11分由223212912=32xxyyxy=+==−不妨令322322(,),(,)2222EF−−………………………12分那么221212222111||=||(1)[()4]44959[(3)4(1)]1825(2)2MC||MDCDx

xxxmmm=++−=−−−=−………………………13分22222222222233223322||||()()()()222222225552552522555(5)(52)=(5)=(2)222mmMEMFmmmmmmmmmm=−−++−++−=++−+=+−−−………………………14

分所以|MC|·|MD|=|ME|·|MF|（20）解：（Ⅰ）当0a=时，()()2xfxxe=−()()00022fe=−=−，…………………………1分()()'1xfxxe=−，()'0(0)011kfe==−=−…………………………3分所以切线方程为：2(0)yx+=−−即：2yx=−−…

……………………4分（Ⅱ）由题()()axaxexxfx+−−=2212，可得()()()()aexaaxexxfxx−−=+−−=11'………………………5分由于0a，()0'=xf的解为1ln21==xax，，……………………

…6分（1）当1ln=a，即ea=时，fx()0,则()xf在()+−,上单调递增；…………………7分（2）当1lna，即0ae时，在区间()(),ln,1,afx−+上，()0;在区间()ln,

1a上，fx()0,所以()xf的单调增区间为()()+−,1,ln,a；单调减区间为()1,lna.…………………9分(3)当1lna，即ea时，在区间()(),1,ln,afx−+上，()0;在区间()1,lna上，fx()0,则()

xf在()()+−,ln,1,a上单调递增，()aln,1上单调递减.………………………11分（Ⅲ）解法一：()()()1xfxxea=−−（1）当0a时，因为2x，所以10x−，0xea−，所以()0fx，则()xf在)+,2上单调递增，()()20fxf=成立……………

……………………12分（2）当20ae时，()0fx，所以()xf在)+,2上单调递增，所以()()20fxf=成立.……………………………13分（3）当2ae时，在区间()aln,2上，()0fx；在区间()+,lna，()0f

x，所以()xf在()aln,2上单调递减，()+,lna上单调递增，所以()()20fxf=，不符合题意.…………………………………14分综上所述，a的取值范围是(2,e−.…………………………………15分解法二：当2x时，()0fx恒成立，等价于“当2

x时，21(2)02xxeaxax−−+恒成立”.即21()2)2xxxaxe−−（在)2,+上恒成立.…………………………………12分当2x=时，00a，所以aR.…………………………………1

3分当2x时,2102xx−,所以22)212xxxeeaxxx−=−（恒成立.设2()xegxx=，则2(1)()2xxegxx−=因为2x，所以()0gx，所以()gx在区间()2,+上单调递增.所以2()(2)gxge=,所

以2ae.…………………………………14分综上所述，a的取值范围是(2,e−.…………………………………15分(21)解:(Ⅰ)(5)=8V.…………………………………4分(Ⅱ)充分性：若数列{}na的前m项单调不增，即21maaaL

L此时有：-111223111()()()().miimmimVmaaaaaaaaaaab+−==−=−+−++−=−=−LL必要性：反证法，若数列{}na的前m项不是单调不增，则存在(11)iim−使得1iiaa+，那么:-111-111111

11111111()()()().miiiimiiiiiittiiiimimiiiiiiiiVmaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabaaaa+=+++==+++++++=−=−+−+−=−+−+−

−+−+−=−+−+−由于1,iiaaab+，.11()abiiiiabaaaa++−+−+−−.与已知矛盾.…………………………………9分(Ⅲ)最小值为0.此时{}na为常数列.…………………………………10

分最大值为242,22.mmm=当2m=时的最大值：此时12124,(,0)aaaa+=,…………………………………11分12404aa−−=.当2m时的最大值：此时21212,(,,,0)naamaaa++=LLLL.由xyxy−+易证，

{}na的值的只有是大小交替出现时，才能让()Vm取最大值.不妨设：1iiaa+，i为奇数，1iiaa+，i为偶数.当m为奇数时有：-111123234541(1)/221121()222.miiimmmmiiiimiiVmaaaa

aaaaaaaaaaam+=−−====−=−+−+−+−++−=−=LL当m为偶数时同理可证.…………………………………14分