【文档说明】专题1.1 等腰三角形（解析版）-2021-2022学年八年级数学下册单元题型精练（基础题型强化题型）（北师大版）.docx，共(25)页，1.981 MB，由管理员店铺上传

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专题1.1等腰三角形等腰三角形的性质【例1】如图，在ABC中，ABAC=，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，2ECAD=，下列结论：①ADBC⊥；②EBAC=；③2CECD=；④AEBE=．其中正确

的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在ABC中，ABAC=，D是BC的中点，ADBC⊥；②在ABC中，ABAC=，D是BC的中点，2BACCAD=，2ECAD=，

EBAC=；③无法证明2CECD=；④在ABC中，ABAC=，BACB=，ACBECAE=+，EBAC=，BEAB=，AEBE=．【变式训练1】如图，在ABC中，ABAC=，ADBC⊥，BEAC⊥，则下列结论不正确的是()A．BDDC=B．CEAE=C．

BADCAD=D．CBEDAC=【解答】解：ABAC=，ADBC⊥，BDCD=，BADCAD=，故①③正确；ADBC⊥，BEAC⊥，90ADCBEC==，90CBEC=−，90DACC=−，CBEDAC=，故④正确；A

BBC，ADBC⊥，CEAE，故选：B．【变式训练2】下列叙述正确的语句是()A．等腰三角形两腰上的高相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．顶角相等的两个等腰三角形全等D．两腰相等的两个等腰三角形全等【解答】解：A、根据三角形的面积两腰相等，所以腰上的

高相等，故本选项正确；B、必须是等腰三角形底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线互相重合，故本选项错误；C、顶角相等，但腰长不一定相等，所以三角形不一定相等，故本选项错误；D、两腰相等，但顶角不一定相等，故本选项错误．故选：A．【变

式训练3】下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是()A．

1B．2C．3D．4【解答】解：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，（1）错误；如图：ABAC=，ADDC=，AEEB=，DCBE=，DCBEBC=．在BDC和CEB中BCBCBCDCBECDBE===(

)BDCCEBSAS．BDCE=，（2）正确；如图：在ABD中，90BDA=，则ACABBD=，等腰三角形的腰一定大于其腰上的高，当该三角形是等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等腰该腰上的高，（3）错误；等腰三角形

的一边长为8，一边长为16，只能三边是16，16，8，它的周长是40，（4）错误；故选：C．已知底角或顶角【例2】已知等腰三角形的底角为50，则这个等腰三角形的顶角是()A．50B．80C．65D．130【解答】

解：三角形为等腰三角形，且底角为50，顶角18050280=−=．故选：B．【变式训练1】如图，在ABC中，35C=，ABAC=，则B的大小为()A．20B．25C．30D．35【解答】解：ABAC=，35C=，35BC

==，故选：D．【变式训练2】等腰三角形的顶角是50，则这个三角形的一个底角的大小是()A．65B．40C．50D．80【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：(18050)265−=，故选：A．【变式训练3】若等腰三角形的顶角为50，则它的

一个底角的度数为()A．65或50B．50C．65D．75【解答】解：三角形为等腰三角形，且顶角为50，底角(18050)265=−=．故选：C．分类讨论【例3】等腰三角形的一个内角是70，则它底角的度数是()A．70B

．70或40C．70或55D．55【解答】解：等腰三角形的一个内角为70，若这个角为顶角，则底角为：(18070)255−=；若这个角为底角，则另一个底角也为70，其一个底角的度数是55或70．故选：C．【变式训练1】等腰三角形的一个内角为80，则这个等腰三角形

的底角为()A．80或50B．80C．50D．50或20【解答】解：分两种情况：①当80的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数(18080)250=−=；②当80的角为等腰三角形的底角时，其底角为80

，故它的底角度数是50或80．故选：A．【变式训练2】已知等腰三角形有一个角为50，则这个等腰三角形的底角度数是()A．65B．65或80C．50或80D．50或65【解答】解：分两种情况：①当50的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数(18

050)265=−=；②当50的角为等腰三角形的底角时，其底角为50，故它的底角度数是50或65．故选：D．【变式训练3】等腰三角形的一个内角是110，则它的底角的度数是()A．35B．40C．70D．110

【解答】解：等腰三角形的一个内角是110，等腰三角形的顶角为110，等腰三角形的底角为35，故选：A．与外角有关【例4】如图，在ABC中，ACBC=，ABC的外角116ACD=，则A=58度．【解答】解：ACBC=，AB=，ABACD+=，116AC

D=，111165822AACD===．故答案为：58【变式训练1】已知等腰三角形的一个外角是80，则这个等腰三角形的顶角是()A．100B．80C．80或100D．40【解答】解：等腰三

角形一个外角为80，那相邻的内角为100三角形内角和为180，如果这个内角为底角，内角和将超过180，所以100只可能是顶角．故选：A．【变式训练2】等腰三角形的一个外角是130，它的顶角的度数是()A．50B．80C．50和

80D．80或65【解答】解：一个外角为130，三角形的一个内角为50，当50为顶角时，其他两角都为65、65，当50为底角时，其他两角为50、80，等腰三角形的顶角为50或80．故选：C

．【变式训练3】等腰三角形有一个外角是110，则这个等腰三角形的顶角度数为40或70．【解答】解：分为两种情况：（1）当这个110的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为70；（2）当这个

110的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180707040−−=．故答案为：40或70．等腰三角形的周长【例5】等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是()A．16B．20C．

16或20D．12【解答】解：若4为腰，则三角形三边为：4，4，8，448+=，4，4，8不能构成三角形，故舍去，若8为腰，则三角形三边为：4，8，8，488+4，8，8能构成三角形，三角形的周长48820=++=，故选：B．【变式训练1】若一个

等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长是()A．15或18B．15C．18D．11【解答】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长44715=++=；②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长77418=++=．所以三角形的周长为15或1

8故选：A．【变式训练2】已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为()A．3B．10C．6.5D．3或6.5【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为163210−=，此时33

610+=，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为1(163)6.52−=，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5故选：C．【变式训练3】一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为()A．13cm

B．17cmC．7cm或13cmD．不确定【解答】解：当3cm是腰时，337+，不符合三角形三边关系，故舍去；当7cm是腰时，周长77317cm=++=．故它的周长为17cm．故选：B．腰上的高【例6】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40，那么这个等

腰三角形的顶角等于()A．50或130B．130C．80D．50或80【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，BDAC⊥，40ABD=，50A=，即顶角的度数为50．②如图，等腰三角形为钝角三角形，BDAC⊥，40DBA=，50BAD=，130

BAC=．故选：A．【变式训练1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25，则顶角的度数为()A．65B．105C．55或105D．65或115【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是9025115+=；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是902565−=．故选：D．【变式训练2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则它的顶角为()A．36B．54C．

72或36D．54或126【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，BDAC⊥，36ABD=，54A=，即顶角的度数为54．②如图2，等腰三角形为钝角三角形，BDAC⊥，36DBA=，54BAD=，126

BAC=．故选：D．【变式训练3】已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为20，则这个等腰三角形的顶角为70或110．【解答】解：①ABAC=，20ABD=，BDAC⊥，902070BACBDCABD=−=−=；②A

BAC=，20ABD=，BDAC⊥，2090110BACABDADB=+=+=．故答案为：70或110等腰三角形的判定【例7】如图，AC，BD相交于点O，AD=，如果请你再补充一个条件，使得BOC是等腰三角形，那么你补充的

条件不能是()A．OAOD=B．ABCD=C．ABODCO=D．ABCDCB=【解答】解：A、补充AODO=，可利用ASA证明AOBDOC，根据全等三角形的性质可得BOCO=，进而证明出BOC是等腰三角形；B、补充ABCD=，可利用AAS证明A

OBDOC，根据全等三角形的性质可得BOCO=，进而证明出BOC是等腰三角形；C、补充ABODCO=，不能证明AOBDOC，进而不能证明出BOC是等腰三角形；D、补充ABCDCB=

，可利用AAS证明ABCDCB，根据全等三角形的性质可得OCBOBC=，进而证明出BOC是等腰三角形；故选：C．【变式训练1】下列三角形中，不是等腰三角形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、由三角形的内角和为180知：第三个角的大小为：1

80503595−−=，A选项中的图形不是等腰三角形．故A选项符合题意；B、由三角形的内角和为180知：第三个角的大小为：180904545−−=，B选项中的图形是等腰三角形．故B选项不符

合题意；C、由三角形的内角和为180知：第三个角的大小为：1801004040−−=，C选项中的图形是等腰三角形．故C选项不符合题意；D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形．故D选项不符合题意；故选：A．【变式训练2】下列条件：①已知两

腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是()A．①和②B．③和④C．②和④D．①和④【解答】解：下列条件能不能确定一个等腰三角形，我们主要看给出同样条件的两个三角形是

不是全等．①已知两腰，SS不能判定两个三角形全等，所以不能；②已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三角形全等，所以能；③已知顶角与底角，AAA不能判定两个三角形全等，所以不能；④已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以可以．故选：C．【变式训练3】用一条长为

18cm的细绳围成一个等腰三角形，若能围成有一边长为4cm的等腰三角形，那么三边长分别是()A．4cm，4cm，10cmB．7cm，7cm，4cmC．4cm，4cm，10cm或7cm，7cm，4cmD．无法确定【解答】解：①4为底

边：(184)27()cm−=，三边：4cm、7cm、7cm能够成三角形；②4为腰：182410()cm−=，三边：4cm、4cm、10cm不能够成三角形；故选：B．等腰三角形的个数【例8】如

图，已知36A=，72C=，BE平分ABC，//DEBC，则图中等腰三角形的个数有()A．3B．4C．5D．无法确定【解答】解：36A=，72C=，18072ABCAC=−=，72CABC==，ABAC=，ABC是等

腰三角形，BE平分ABC，1362ABEEBCABC===，36AABE==，EAEB=，ABE是等腰三角形，//DEBC，ADEABC=，AEDC=，ADEAED=，ADE是等腰三角形，又//DEBC

，36DEBEBC==，36DBEDEB==，DBDE=，DBE是等腰三角形，又36EBC=，72C=，18072BECEBCC=−−=，72CBEC==，BEBC=，BEC是等腰三角形，故选：C．【变式训练1】如图，AD平分B

AC，ADBD⊥于D，//DEAC，则图中的等腰三角形的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：如图所示：//DEAC，13=，AD平分BAC，12=，23=，AEDE=，ADE是等腰三角形，ADBD⊥，290B+

=，390BDE+=，BBDE=，BEDE=，BDE是等腰三角形；故选：C．【变式训练2】如图，ABC中，36A=，72C=，BD平分ABC，//EDBC，则图中等腰三角形的个数是()A．3B．4C．5D．6【解答】解：36A=，72C=，180723672

ABC=−−=，ABCC=，ABC是等腰三角形，//DEBC，AEDABC=，ADEC=，AEDADE=，AED是等腰三角形，BD平分ABC，36ABDDBC==，36AABD==，36EDBEBD=

=，ABD，BDE都是等腰三角形，72CBDC==，BDC是等腰三角形，等腰三角形有5个，故选：C．【变式训练3】如图，在ABC中，ABAC=，36A=，BD平分ABC，CE平分ACB，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数

()A．4B．6C．7D．8【解答】解：在ABC中，ABAC=，36A=，18036722ABCACB−===，BD平分ABC，CE平分ACB，36ABDCBDACEBCEA=====，AECE=，ADBD=，BOCO=，ABC，ABD，A

CE，BOC是等腰三角形，18072BECABCBCE=−−=，18072CDBBCDCBD=−−=，72EOBDOCCBDBCE==+=，72BEOBOEABCACBCDOCOD=

=====，BEBO=，COCD=，BCBDCE==，BEO，CDO，BCD，CBE是等腰三角形．图中的等腰三角形有8个．故选：D．等腰三角形的存在性【例9】如图的方格纸中每一个小方格都

是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有()A．8个B．9个C．10个D．11个【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有10个．故选：C．【变式训练1】

在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，如果点C也是格点，且使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，那么点C的个数有()A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：如图，以AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的C

点有4个．故选：B．【变式训练2】如图，ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得PAC，PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有()A．1B．3C．5D．7【解答】解：分三种

情况：如图：当APAC=时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点1P，2P，当CACP=时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点3P，4P，当PAPC=时，作AC的垂直平分线，交直线l于点

5P，直线l是边AB的垂直平分线，直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，满足条件的点P的个数共有5个，故选：C．【变式训练3】在平面直角坐标系中，已知点(1,1)A−，(3,2)B−，点C在坐标轴上，若ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是

()A．4个B．5个C．7个D．8个【解答】解：如图，由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．则点C的个数是7故选：C．等腰三角形的切割【例10】如图，已知ABC中，3AB=，5AC=，7BC=，在A

BC所在平面内一条直线将ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画()A．2条B．3条C．4条D．5条【解答】解：如图所示，当3ABAF==，3BABD==，3ABAE==，BGAG=时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C

．【变式训练1】如图，在ABC中，3ABcm=、4ACcm=、5BCcm=，在ABC所平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为()A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图所示：3ABcm=、4ACcm=、5BCcm=，222

345+=，ABC是直角三角形，90BAC=．当14ACAC==，23BCBC==，33BCCC==，43BCCC==，55CACB=，66CACC=都能得到符合题意的等腰三角形．故这样的直线最多可画的条

数为6故选：D．【变式训练2】已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()A．5条B．6条C．7条D．8条【解答】解：如图所示：当11BCAC=，2ACCC=，3ABBC=，4

4ACCC=，5ABAC=，6ABAC=，77BCCC=时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．【变式训练3】已知ABC的三条边长分别为3，5，7，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线

最多可画()A．5条B．4条C．3条D．2条【解答】解：如图所示，当3ABAF==，3BABD==，3ABAE==，BGAG=，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．简单证明【例11】如图，在四边形ABCD中，//ABDC，AC平分BAD，ACBC⊥．（1）若

70B=，求D的度数；（2）求证：2ABCD=．【解答】（1）解：ACBC⊥，90ACB=，70B=，20BAC=，AC平分BAD，20DACBAC==，//CDAB，20DCABAC==，180140DCADDCA=

−−=；（2）证明：取AB的中点E，连接CE，ACBC⊥，90ACB=，12CEAEAB==，EACACE=，//ABCD，BACACD=，AC平分BAD，BACDAC=，EACACE=，DACEAC=，ACECAD=，//ADCE

，四边形AECD是平行四边形，AECD=，2ABCD=．【变式训练1】已知：如图，ABC中，BD平分ABC，CD平分ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：（1）DFC是等腰三角

形；（2）EFBECF=+．【解答】证明：（1）CD平分ACB，FCDBCD=，//EFBC，FDCBCD=，FCDFDC=，DFFC=，DFC是等腰三角形；（2）BD平分ABC，EBDCBD=，//EFBC，EDBCBD=，E

BDEDB=，DEBE=，由（1）得，DFFC=，EFDEDFBECF=+=+．【变式训练2】如图，在ABC中，ABAC=，36A=，BD平分ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求BD

E的度数．【解答】（1）证明：ABAC=，36A=，72ABCC==，BD平分ABC，36ABDDBC==，36A=，BDAD=，即ABD是等腰三角形；（2）解：点E是AB的中点，AEEB=，90DEB=，903654BDE

=−=．【变式训练3】如图，在ABC中，ABAC=，D为CA延长线上一点，DEBC⊥于点E，交AB于点F．（1）求证：ADF是等腰三角形．（2）若13AFBF==，2BE=，求线段DE的长．【解答】（1）证明

：ABAC=，BC=，DEBC⊥，90BBFECD+=+=，DBFE=，BFEDFA=，DDFA=，ADAF=，ADF是等腰三角形；（2）解：过A作AHDE⊥于H，DEBC⊥，90AHFBEF==，由（1）知，ADA

F=，DHFH=，在AFH和BFE中，AHFBEFAFHBFEAFBF===，()AFHBFEAAS，FHEF=，DHFHEF==，在RtBEF中，13BF=，2BE=，223EFBFBE=−=，39DEEF==．