【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 精品学案含解析【高考】.docx，共(13)页，570.316 KB，由小赞的店铺上传

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12.1等式性质与不等式性质目标导航1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．3.了解等式的性质.4.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识解读知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种

可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔.a＝b⇔.a<b⇔.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立．知识点三等式的基本性质1

．如果a＝b，那么.2．如果a＝b，b＝c，那么.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称

性a>b⇔ba⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋cb＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒c的符号5同向可加性a>b，c>d⇒同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向27可乘

方性a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥2)同正跟踪训练一、单选题1．若abc，则（）A．11abB．abbc−−C．11acbc−−D．acbc2．若0ba，则下列不等式正确的是（）A．11abB．2abaC．11aba−D．ab3．

若,,,Rabcd，则下列说法正确的是（）A．若ab，cd，则acbdB．若ab，则22acbcC．若ab，则acbc−−D．若0ab，则1a<1b4．已知ab，3xab=−，2

yaba=−，则,xy的大小关系为（）A．xyB．xyC．xy=D．无法确定5．若0ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．11bbaa++B．11abab++C．11abba++D．22abaabb++6．设,abR，则下列命题正确的是（）A．若a

b¹，则22abB．若0ab，则22abC．若ab，则22abD．若ab，则22ab7．下列说法正确的是（）A．若ab，cd，则22acbd−−B．若a，bR，则2abba+C．若0ab

，0mn，则bbmaan++D．若||ab，则22ab8．已知正实数x，y满足22xyyx−−，则（）A．xyB．xyC．xy=D．x，y大小不确定二、多选题9．已知110ab，则下列选项正确的是（）3A．abB．abab+C．2abbD．ab10．对

于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是（）A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b>0，c>d，则ac>bd11．已知1ab，Rc，下列不等式中正确的是（）A．acbc−−B．ccabC

．ccabD．1111ab−−12．下列命题正确的是（）A．2,,2(1)0abRab−++B．aR，xR，使得ax＞2C．ab=0是220ab+=的充要条件D．a≥b＞－1，则11abab++三、填空题13．

若关于x的方程212xax+=−−的解是正数，则a的取值范围是______.14．已知14x−，13y，则23zxy=−的取值范围是___________.15．若0a且关于x的方程0axb+=的根位于()1,0−内，则实数a与b之间的关系为_

_____．16．已知210aa，210bb，且12121aabb+=+=，记1122Aabab=+，1221Babab=+，12C=，则、、ABC按从小到大的顺序排列是________.四、解答题17．已知212

xx−，证明：2121434322xxxx++++.18．已知,,R,abcabc+且，试比较()()()6ababbcbcacacabc+++++与的大小.19．已知：实数12,(0,1)xx，求证：不等式121211xxx

x++成立的充分条件是12xx.20．若实数x，y，m满足||||xmym−−，则称x比y远离m.(1)若x比12远离1，求实数x的取值范围；(2)若1m£，2xy+=，试问：x与22xy+哪一个更远离m，并说明理由42.1等式性质与

不等式性质目标导航1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．3.了解等式的性质.4.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识解读知识点一基本事实两

个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔.a＝b⇔.a<b⇔.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的与的大小【答案】a－b>0a－b＝0a－b<0差0知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立．【答案

】≥知识点三等式的基本性质1．如果a＝b，那么.2．如果a＝b，b＝c，那么.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.【答案】b＝aa＝c知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1

对称性a>b⇔ba⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋cb＋c可逆54可乘性a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒c的符号5同向可加性a>b，c>d⇒同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同

向7可乘方性a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥2)同正【答案】<>ac>bcac<bca＋c>b＋d>跟踪训练一、单选题1．若abc，则（）A．11abB．abbc−−C．11acbc−−D．acbc【答案】C【

分析】由不等式的性质判断．可举反例说明不等式不成立．【详解】abc，0,0ab时，仍然有11ab，A错；4,3,1abc===时，abbc−−，B错；110abcacbcacbc−−−−，C正确；0c时，acbc，D错．故选：C．2．若0ba，则下列不

等式正确的是（）A．11abB．2abaC．11aba−D．ab【答案】C【分析】根据不等式性质判断即可．【详解】解：令3b=−，2a=−，满足0ba，但不满足11ab，故A错误；0baQ，2aba，故B错误；0ba

Q，0ab−，10ab−，10a，11aba−，故C正确；0baQ，||||ba，故D错误．故选：C．3．若,,,Rabcd，则下列说法正确的是（）6A．若ab，cd，则acbdB．若ab，则22acbcC．若ab，则acbc−−D．若0ab，则1a

<1b【答案】C【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若2,1,1,2abcd===−=−，则2acbd==−，所以A错误，对于B，若0c=，则220acbc==，所以B错误，对于C，

因为ab，所以由不等式的性质可得acbc−−，所以C正确，对于D，因为0ab，所以0ab，所以ababab，即11ba，所以D错误，故选：C4．已知ab，3xab=−，2yaba=−，则,xy的大小关系为（）

A．xyB．xyC．xy=D．无法确定【答案】B【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】()()3221xyababaaba−=−−+=−+，因为ab，所以0ab−，

又210a+，所以2()(1)0aba−+，即xy.故选：B5．若0ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．11bbaa++B．11abab++C．11abba++D．22abaabb++【答案】C【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A，11(1)bbbaaa

aa+−−=++，因为0ab，故101(1)bbbaaaaa+−−=++，即11bbaa++，故A错；对于B，111()()(1)abababab+−+=−−不确定符号，取11,2ab==则11abab++，故B错误；对于C，111()()(1)ababbaa

b+−+=−+，因为0ab，故111()()(1)0ababbaab+−+=−+，即11abba++，故C正确；7对于D，2()()2(2)abababaabbabb++−−=++，因为0ab

，故2()()02(2)abababaabbabb++−−=++，即22abaabb++，故D错误．故选：C6．设,abR，则下列命题正确的是（）A．若ab¹，则22abB．若0ab，则22abC．若ab，则22abD．若ab，则22ab【答案】C【分析

】利用反例可知AD错误；利用作差法和不等式的性质可判断BC正误.【详解】对于A，当2a=−，2b=时，224ab==，A错误；对于B，若0ab，则()()220bababa−=+−，22ba，B错误；对于C，若ab，则0ab

，222aabbb=，C正确；对于D，当1a=，2b=−时，21a=，24b=，则22ab，D错误.故选：C.7．下列说法正确的是（）A．若ab，cd，则22acbd−−B．若a，bR，则2abba+C．若0ab，0mn，则bbmaan++D．若|

|ab，则22ab【答案】C【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A：令2a=，1b=；1c=，0d=，则20ac−=，21bd−=，不满足22acbd−−，故A错误；B：a，b异号

时，不等式不成立，故B错误；C：()()()()bmbbmabanmanbanaanaana++−+−−==+++，0ab，0mn，0ambm−，即bmbana++，故C正确；D：令1a=，2b=−，22ab不成立，故D错误.故选：

C8．已知正实数x，y满足22xyyx−−，则（）A．xyB．xyC．xy=D．x，y大小不确定8【答案】B【分析】根据原不等式，利用x，y为正实数，可对不等式坐标进行平方差公式化简，然后对比不等式两边，判断符号即可完成求解.【详解】x，y为正实数，222()()xyxyx

y−=−+，而0xy+＞，22xyyx−−可化为2()()xyxyyx−+−＜，若xy，则xy＞，两边同除xy−，变为2()xy+＜-1，不成立，所以排除A；若xy＜，则xy＜，两边同除xy−，变为2()xy+＞-1，成

立，故排除D选项，B选项正确；若xy=，则原不等式化为00＜，不成立，排除C.二、多选题9．已知110ab，则下列选项正确的是（）A．abB．abab+C．2abbD．ab【答案】BD【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确.【详解】选项A：由110

ab，可得0ba.判断错误；选项B：由110ab，可得0ba，则0,0abab+，则abab+.判断正确；选项C：由110ab，可得0ba，则2()0abbbab−=−，则2abb.判断错

误；选项D：由110ab，可得0ba，则ab.判断正确.故选：BD10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是（）A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b>

0，c>d，则ac>bd【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】若a=2,b=1，c=-1，则ac<bc，A错；9若c=0，则有ac2=bc2，B错；若ac2>bc2，则a>b，由不等式的基本性质知：C正确；a=2,b=1，c=-1，d=-2，ac=

bd，D错，故选：ABD.11．已知1ab，Rc，下列不等式中正确的是（）A．acbc−−B．ccabC．ccabD．1111ab−−【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A，由不等式性质，ab可得acbc−−，正确；对

于B，0c=时，ccab显然不成立，故错误；对于C，0c=时，ccab=，故错误；对于D，由1ab可得110ab−−，所以11(1)(1)(1)(1)(1)(1)ababab−−−−−−，即1111ab−−，故正确.故选：AD12．下

列命题正确的是（）A．2,,2(1)0abRab−++B．aR，xR，使得ax＞2C．ab=0是220ab+=的充要条件D．a≥b＞－1，则11abab++【答案】AD【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．【详

解】对A，2,1ab==−时，22(2)(1)0ab−++=，A正确；对B，0a=时，对任意xR，0ax=，2ax不成立，B错；对C，1,0ab==时满足0ab=，但此时2210ab+=，C错；对D，1a

b−≥，则110ab++，(1)(1)abaabbabba+=++=+，则11abab++，D正确．故选：AD．三、填空题1013．若关于x的方程212xax+=−−的解是正数，则a的取值范围是______.【答案】2a且4a−【分析】直接求解分式方程，然后由解为正数和

分母不为零可求出a的取值范围【详解】方程212xax+=−−解得23ax−=，依题意得203a−且223a−，解得2a且a−4，故答案为：2a且4a−14．已知14x−，13y，则23zxy=−的取值范围是___________.【答案】()11,5−【分析】利用不等式的基本性

质求解.【详解】因为14x−，13y，所以228x−，339y，则933y−−−，所以11235xy−−−，故答案为：()11,5−15．若0a且关于x的方程0axb+=的根位于()1,0−内，则实数a与b之间的关系为______．

【答案】0ab【分析】根据题意，列不等式即可求解.【详解】由题意得，方程的根为bxa=−，从而10ba−−，又0a，所以0ab.故答案为：0ab.16．已知210aa，210bb，且12121aa

bb+=+=，记1122Aabab=+，1221Babab=+，12C=，则、、ABC按从小到大的顺序排列是________.【答案】B＜C＜A【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.11【详解】方法一：21

2112120,0,1aabbaabb+=+=，不妨令12121212,,,3333aabb====，11221221145224,999999AababBabab=+=+==+=+=，14.529C==，BCA\<<，故答案为

：B＜C＜A.方法二：∵210aa，210bb，∴由排序原理可知：22112112abababab++，∵12121,1aabb+=+=，()()1212111221221aabbabababab=++=+++()()()221121

1222112abababababab=++++221112abab+，∴A＞C＞B﹒故答案为：B＜C＜A.四、解答题17．已知212xx−，证明：2121434322xxxx++++.【答案】证明见解

析.【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明：()222224254354222xxxxx+−+==−+++，111435422xxx+=−++，()()()21212112125434355222222xxxxxxxxxx−++−=−=++++

++，212xx−，210xx−，()()12220xx++，122121434322xxxx++++.18．已知,,R,abcabc+且，试比较()()()6ababbcbcacaca

bc+++++与的大小.【答案】()()()6ababbcbcacacabc+++++【分析】应用作差法：()()()6ababbcbcacacabc+++++−222()()()bacabccba

=−+−+−，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】()()()6ababbcbcacacabc+++++−2222226ababbcbcacacabc=+++++−222222(2)(2)(2)abbcabcabacabcbcacab

c=+−++−++−222()()()bacabccba=−+−+−∵,,R,abcabc+且∴222()()()0bacabccba−+−+−，即()()()6ababbcbcacacabc++++

+.19．已知：实数12,(0,1)xx，求证：不等式121211xxxx++成立的充分条件是12xx.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用作差法计算、推理判断作答.【详解】实数12,(0,1)xx，当12xx时，120xx−，1201xx

，则12121212121212121212()(1)1111()()()()()0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−+−+=−+−=−+=，于是得121211xxxx++，所以不等式121211xxxx++成立的充分条件是12x

x.20．若实数x，y，m满足||||xmym−−，则称x比y远离m.(1)若x比12远离1，求实数x的取值范围；(2)若1m£，2xy+=，试问：x与22xy+哪一个更远离m，并说明理由.【答案】(1)13(,)(,)22−+；(2)22xy+比x更远离

m，理由见解析.【分析】（1）由绝对值的几何意义可得112x−，即可求x的取值范围；（2）只需比较22||,||xymxm+−−的大小，讨论xm、xm分别判断代数式的大小关系，13即知x与22xy+哪一个更远离m.【详解】(1)由x比12远离1，则1112x−−，

即112x−.∴112x−或112x−−，得：12x或32x.∴x的取值范围是13(,)(,)22−+.(2)因为222()22xyxym++=≥≥，有2222||xymxym+−=+−，因为2xy+=，所以222244xxyx=−++

．从而222||||244||xymxmxxmxm+−−−=−+−−−，①当xm时，22||||xymxm+−−−2425xx−+=2572()048x=−+2244()xxmxm=−+−−−，即22||||xymxm+−−；②

当xm时，22||||xymxm+−−−2244()xxmxm=−+−+−23242xmx=−+−23232()248xm=−+−，又1m£，则23208m−．∴23232()2048xm−+−，即22||||xymxm+−−．综上，22||||xymxm+−−，即22xy+比

x更远离m