【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 精品学案含解析【高考】.docx,共(13)页,570.316 KB,由管理员店铺上传
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12.1等式性质与不等式性质目标导航1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.了解等式的性质.4.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.知识解读知识点一基本事实两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a<b.依据a>b⇔
.a=b⇔.a<b⇔.结论要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的与的大小知识点二重要不等式∀a,b∈R,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.知识点三等式的基本性质1.如果a=b,那么.2.如果a=b,b=c,那么.3.如果a=b,那么a±c=b±c.4.如果a=
b,那么ac=bc.5.如果a=b,c≠0,那么ac=bc.知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔ba⇔2传递性a>b,b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a+cb+c可逆4可乘性a>b,c>0⇒a>b,
c<0⇒c的符号5同向可加性a>b,c>d⇒同向6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向27可乘方性a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥2)同正跟踪训练一、单选题1.若abc,则()A.11abB.abbc−−C.11acbc
−−D.acbc2.若0ba,则下列不等式正确的是()A.11abB.2abaC.11aba−D.ab3.若,,,Rabcd,则下列说法正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若ab
,则22acbcC.若ab,则acbc−−D.若0ab,则1a<1b4.已知ab,3xab=−,2yaba=−,则,xy的大小关系为()A.xyB.xyC.xy=D.无法确定5.若0ab,则下列不等式中一定成立的是()A.11bbaa+
+B.11abab++C.11abba++D.22abaabb++6.设,abR,则下列命题正确的是()A.若ab¹,则22abB.若0ab,则22abC.若ab,则22abD.若ab,则22ab7.下列说法正确的是()A.若a
b,cd,则22acbd−−B.若a,bR,则2abba+C.若0ab,0mn,则bbmaan++D.若||ab,则22ab8.已知正实数x,y满足22xyyx−−,则()A.xyB.
xyC.xy=D.x,y大小不确定二、多选题9.已知110ab,则下列选项正确的是()3A.abB.abab+C.2abbD.ab10.对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中其中假命题的是()A
.若a>b,c≠0,则ac>bcB.若a>b,则ac2>bc2C.若ac2>bc2,则a>bD.若a>b>0,c>d,则ac>bd11.已知1ab,Rc,下列不等式中正确的是()A.acbc−−B.ccabC.ccab
D.1111ab−−12.下列命题正确的是()A.2,,2(1)0abRab−++B.aR,xR,使得ax>2C.ab=0是220ab+=的充要条件D.a≥b>-1,则11abab++三、填空题13.
若关于x的方程212xax+=−−的解是正数,则a的取值范围是______.14.已知14x−,13y,则23zxy=−的取值范围是___________.15.若0a且关于x的方程0axb+=的根位于()1,0−内,则实数a与b之间的关系
为______.16.已知210aa,210bb,且12121aabb+=+=,记1122Aabab=+,1221Babab=+,12C=,则、、ABC按从小到大的顺序排列是________.四、解答题17.已知212xx−,证明:2121434322xxx
x++++.18.已知,,R,abcabc+且,试比较()()()6ababbcbcacacabc+++++与的大小.19.已知:实数12,(0,1)xx,求证:不等式121211xxxx++成立的充分条件是12xx.20.若实数x,y,
m满足||||xmym−−,则称x比y远离m.(1)若x比12远离1,求实数x的取值范围;(2)若1m£,2xy+=,试问:x与22xy+哪一个更远离m,并说明理由42.1等式性质与不等式性质目标导航1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两
实数的大小.3.了解等式的性质.4.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.知识解读知识点一基本事实两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a<b.依据a>b⇔.a=b⇔.a<b⇔.结论要比较两
个实数的大小,可以转化为比较它们的与的大小【答案】a-b>0a-b=0a-b<0差0知识点二重要不等式∀a,b∈R,有a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.【答案】≥知识点三等式的基本性质1.如果a=b,那么.2.如果a=b,b=c,那
么.3.如果a=b,那么a±c=b±c.4.如果a=b,那么ac=bc.5.如果a=b,c≠0,那么ac=bc.【答案】b=aa=c知识点四不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔ba⇔2传递性a>b,b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a+cb
+c可逆54可乘性a>b,c>0⇒a>b,c<0⇒c的符号5同向可加性a>b,c>d⇒同向6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥2)同正【答案】<>ac>
bcac<bca+c>b+d>跟踪训练一、单选题1.若abc,则()A.11abB.abbc−−C.11acbc−−D.acbc【答案】C【分析】由不等式的性质判断.可举反例说明不等式不成立.【详解】abc,0,0ab时,仍然有11ab,
A错;4,3,1abc===时,abbc−−,B错;110abcacbcacbc−−−−,C正确;0c时,acbc,D错.故选:C.2.若0ba,则下列不等式正确的是()A.11abB.2abaC.11a
ba−D.ab【答案】C【分析】根据不等式性质判断即可.【详解】解:令3b=−,2a=−,满足0ba,但不满足11ab,故A错误;0baQ,2aba,故B错误;0baQ,0ab−,10ab−,10a,11aba−,故C正确;0baQ
,||||ba,故D错误.故选:C.3.若,,,Rabcd,则下列说法正确的是()6A.若ab,cd,则acbdB.若ab,则22acbcC.若ab,则acbc−−D.若0ab,则1a<1b【答案】C【分析】对于AB,举例判断,对于CD,利用不等式的性质判断【详
解】对于A,若2,1,1,2abcd===−=−,则2acbd==−,所以A错误,对于B,若0c=,则220acbc==,所以B错误,对于C,因为ab,所以由不等式的性质可得acbc−−,所以C正确,对于D,因为
0ab,所以0ab,所以ababab,即11ba,所以D错误,故选:C4.已知ab,3xab=−,2yaba=−,则,xy的大小关系为()A.xyB.xyC.xy=D.无法确定【答案】B
【分析】作差可得x-y的表达式,根据题意,分析可得x-y的正负,即可得答案.【详解】()()3221xyababaaba−=−−+=−+,因为ab,所以0ab−,又210a+,所以2()(1)0aba−
+,即xy.故选:B5.若0ab,则下列不等式中一定成立的是()A.11bbaa++B.11abab++C.11abba++D.22abaabb++【答案】C【分析】根据不等式的性质,对选项逐一判断【详解】对于A,11(1)bbbaaaa
a+−−=++,因为0ab,故101(1)bbbaaaaa+−−=++,即11bbaa++,故A错;对于B,111()()(1)abababab+−+=−−不确定符号,取11,2ab==则11abab++,故B错误;对于C,111()()(1)ababbaab+−+=−+,因为0ab
,故111()()(1)0ababbaab+−+=−+,即11abba++,故C正确;7对于D,2()()2(2)abababaabbabb++−−=++,因为0ab,故2()()02(2)abab
abaabbabb++−−=++,即22abaabb++,故D错误.故选:C6.设,abR,则下列命题正确的是()A.若ab¹,则22abB.若0ab,则22abC.若ab,则22abD.若ab,则22ab【答案】C【分析】利用反例可知AD错误;利用作差法和不等式的性质
可判断BC正误.【详解】对于A,当2a=−,2b=时,224ab==,A错误;对于B,若0ab,则()()220bababa−=+−,22ba,B错误;对于C,若ab,则0ab,222aabbb
=,C正确;对于D,当1a=,2b=−时,21a=,24b=,则22ab,D错误.故选:C.7.下列说法正确的是()A.若ab,cd,则22acbd−−B.若a,bR,则2abba+C.
若0ab,0mn,则bbmaan++D.若||ab,则22ab【答案】C【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A:令2a=,1b=;1c=,0d=,则20ac−=,21bd−=,不满
足22acbd−−,故A错误;B:a,b异号时,不等式不成立,故B错误;C:()()()()bmbbmabanmanbanaanaana++−+−−==+++,0ab,0mn,0ambm−,即bmbana++,故C正确;D:令1a=,2b=−,22ab
不成立,故D错误.故选:C8.已知正实数x,y满足22xyyx−−,则()A.xyB.xyC.xy=D.x,y大小不确定8【答案】B【分析】根据原不等式,利用x,y为正实数,可对不等式坐标进行平方差公式化简,然后对比不等式两边,判断符号即可完成求
解.【详解】x,y为正实数,222()()xyxyxy−=−+,而0xy+>,22xyyx−−可化为2()()xyxyyx−+−<,若xy,则xy>,两边同除xy−,变为2()xy+<-1,不成立,所以排除A;若xy<,
则xy<,两边同除xy−,变为2()xy+>-1,成立,故排除D选项,B选项正确;若xy=,则原不等式化为00<,不成立,排除C.二、多选题9.已知110ab,则下列选项正确的是()A.abB.abab+C.2abbD.ab【答案】BD【分析】直接推导否定选项AC,
直接推导证明选项BD正确.【详解】选项A:由110ab,可得0ba.判断错误;选项B:由110ab,可得0ba,则0,0abab+,则abab+.判断正确;选项C:由110ab,可得0ba,则2()0abbbab−=−,则2abb.判断错误;选项D:由110ab
,可得0ba,则ab.判断正确.故选:BD10.对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题中其中假命题的是()A.若a>b,c≠0,则ac>bcB.若a>b,则ac2>bc2C.若ac2>bc2,则a
>bD.若a>b>0,c>d,则ac>bd【答案】ABD【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】若a=2,b=1,c=-1,则ac<bc,A错;9若c=0,则有ac2=bc2,B错;若ac2>bc2,则a>b,由不等式的基本性质知:C正确;a=2,b=1,c=-1,d=-2,ac=bd,D
错,故选:ABD.11.已知1ab,Rc,下列不等式中正确的是()A.acbc−−B.ccabC.ccabD.1111ab−−【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A,由不等式性质,ab可得acbc−−,正确;对于B,0c=时,ccab显然不成立,
故错误;对于C,0c=时,ccab=,故错误;对于D,由1ab可得110ab−−,所以11(1)(1)(1)(1)(1)(1)ababab−−−−−−,即1111ab−−,故正确.故选:AD12.下列命题正确的是()A.2,,2(1)0abRab−++B.aR,xR
,使得ax>2C.ab=0是220ab+=的充要条件D.a≥b>-1,则11abab++【答案】AD【分析】举出一例判断存在命题是否正确,判断A,举反例判断BC,由不等式的性质判断D.【详解】对A,2,1ab==−时,22(2)(1)0ab−++=,A正确;对B,0a=时,对
任意xR,0ax=,2ax不成立,B错;对C,1,0ab==时满足0ab=,但此时2210ab+=,C错;对D,1ab−≥,则110ab++,(1)(1)abaabbabba+=++=+,则11
abab++,D正确.故选:AD.三、填空题1013.若关于x的方程212xax+=−−的解是正数,则a的取值范围是______.【答案】2a且4a−【分析】直接求解分式方程,然后由解为正数和分母不为零可求出a的取值范围【详解】方程212xax+=−−解得23ax−=,依题意得203a
−且223a−,解得2a且a−4,故答案为:2a且4a−14.已知14x−,13y,则23zxy=−的取值范围是___________.【答案】()11,5−【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】因为14x−,13y,所以228x−,339y
,则933y−−−,所以11235xy−−−,故答案为:()11,5−15.若0a且关于x的方程0axb+=的根位于()1,0−内,则实数a与b之间的关系为______.【答案】0ab【分析】根据题意,列不等式即可求解.【详解】由题意得,方程的根为bxa=−,从而10ba−
−,又0a,所以0ab.故答案为:0ab.16.已知210aa,210bb,且12121aabb+=+=,记1122Aabab=+,1221Babab=+,12C=,则、、ABC按从小到大的顺序排列是________.【答案】B<
C<A【分析】根据题设,取符合题设的特殊值即可快速判断,或者采用排序原理也可判断.11【详解】方法一:212112120,0,1aabbaabb+=+=,不妨令12121212,,,3333aabb====,112
21221145224,999999AababBabab=+=+==+=+=,14.529C==,BCA\<<,故答案为:B<C<A.方法二:∵210aa,210bb,∴由排序原理可知:22112112abababab++,∵12121,1aabb+=+=,(
)()1212111221221aabbabababab=++=+++()()()2211211222112abababababab=++++221112abab+,∴A>C>B﹒故答案为:B<C<A.四、解答题17.已知2
12xx−,证明:2121434322xxxx++++.【答案】证明见解析.【分析】利用作差法证明即可.【详解】证明:()222224254354222xxxxx+−+==−+++,111435422xxx+=−+
+,()()()21212112125434355222222xxxxxxxxxx−++−=−=++++++,212xx−,210xx−,()()12220xx++,122121434322xxxx++++.18.已知,,R,abcabc+且,试比较()()(
)6ababbcbcacacabc+++++与的大小.【答案】()()()6ababbcbcacacabc+++++【分析】应用作差法:()()()6ababbcbcacacabc+++++−222()()()bac
abccba=−+−+−,结合已知条件,即可确定大小关系.【详解】()()()6ababbcbcacacabc+++++−2222226ababbcbcacacabc=+++++−222222(2)(2)(2)abbcabcab
acabcbcacabc=+−++−++−222()()()bacabccba=−+−+−∵,,R,abcabc+且∴222()()()0bacabccba−+−+−,即()()()6ababbcbcacacabc+++++.19.已知:实数12,(0,1)xx,求证:不
等式121211xxxx++成立的充分条件是12xx.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件,利用作差法计算、推理判断作答.【详解】实数12,(0,1)xx,当12xx时,120xx−,1201xx,则1212
1212121212121212()(1)1111()()()()()0xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−+−+=−+−=−+=,于是得121211xxxx++,所以不等式121211xxxx++成立的充分条件是12xx.20.若实数x,y,m满足||||xmym−−,则
称x比y远离m.(1)若x比12远离1,求实数x的取值范围;(2)若1m£,2xy+=,试问:x与22xy+哪一个更远离m,并说明理由.【答案】(1)13(,)(,)22−+;(2)22xy+比x更远离m,理由见解析.【分析】(1)由绝对值的几何意义可得112x−,即可求x的取值范围
;(2)只需比较22||,||xymxm+−−的大小,讨论xm、xm分别判断代数式的大小关系,13即知x与22xy+哪一个更远离m.【详解】(1)由x比12远离1,则1112x−−,即112x−.∴112x−或11
2x−−,得:12x或32x.∴x的取值范围是13(,)(,)22−+.(2)因为222()22xyxym++=≥≥,有2222||xymxym+−=+−,因为2xy+=,所以222244xxyx=−++.从而222||||244||xymxmxxmxm+−−−=−+−−−,①当xm时
,22||||xymxm+−−−2425xx−+=2572()048x=−+2244()xxmxm=−+−−−,即22||||xymxm+−−;②当xm时,22||||xymxm+−−−2244()xxmxm=−+−+−23242xmx=−+−23232()248xm=−+−,又
1m£,则23208m−.∴23232()2048xm−+−,即22||||xymxm+−−.综上,22||||xymxm+−−,即22xy+比x更远离m