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【文档说明】2021届高三数学文一轮跟踪检测：第5章 第3节 平面向量的数量积及其应用.docx，共(8)页，149.625 KB，由小赞的店铺上传
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第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用A级·基础过关|固根基|1.已知向量a＝(1，1)，b＝(0，2)，则下列结论正确的是()A．a∥bB．(2a－b)⊥bC．|a|＝|b|D．a·b＝3解析：选B对于A，1×2－0×1≠0，错误；对于B，2a－b
＝(2，0)，b＝(0，2)，则2×0＋0×2＝0，所以(2a－b)⊥b，正确；对于C，|a|＝2，|b|＝2，错误；对于D，a·b＝1×0＋1×2＝2，错误．2．(2020届陕西省百校联盟模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(0，－2)，且(a＋b)⊥b，则实数m等于()A．2B
．1C．－1D．－2解析：选A依题意得a＋b＝(1，m－2)，所以(a＋b)·b＝1×0－2(m－2)＝0，解得m＝2，故选A.3．(2019届永州模拟)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A.12B．
1C.2D．2解析：选A∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×12＝|a|2.∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|
＝12.4．(2019届石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π3B.2π3C.5π6D.π6解析：选D设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝
2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝3，设向量a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝a·（a＋b）|a|·|a＋b|＝a2＋a·b|a|·|a＋b|＝|a||a＋b|＝32，∵0≤θ
≤π，∴θ＝π6.5．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1，2]B．[2，4]C.14，12D.12，1解析：选D由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝
a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以|b|cosθ＝1－2|b|2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以12≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是12
，1.6．若单位向量e1，e2的夹角为π3，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝32，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝12，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12.答案：－127．(2019
届江西七校联考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为b在a上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝13＋（3）2＝2，所以a·b＝|a||b|
cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋3m，所以3＋3m＝－6，解得m＝－33，则b＝(3，－33)，所以|b|＝32＋（－33）2＝6，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－62×6＝－12，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为2π3.答案：2π38．(一题多解)(2
019年天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝________．解析：解法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝
EB，∴∠EAB＝30°，在△EAB中，AB＝23，∴EA＝EB＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0，0)，D(5，0)，E(1，3)，B(3，3)，∴BD→＝(2，－3)，AE→＝(1，3)，∴BD→·AE→＝(2，－3)·(1，3)＝－1.解法二：同解
法一，求出EB＝EA＝2，以AB→，AD→为一组基底，则BD→＝AD→－AB→，AE→＝AB→＋BE→＝AB→－25AD→，∴BD→·AE→＝(AD→－AB→)·AB→－25AD→＝AD→·AB→－AB→2＋25AB→·AD→－25AD→2＝75
AD→·AB→－AB→2－25AD→2＝75×5×23×32－12－25×25＝－1.答案：－19．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；(2)若a＋2b＝(4，－7)，求
向量a与b夹角的大小．解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝50＝52.(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故x＝－3，所以b＝(
1，－3)，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝（2，－1）·（1，－3）5×10＝22.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b夹角是π4.10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角为θ；(2)求|a＋b|；(3)
若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－6
4×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝13.(3)因为AB→与BC→的夹角θ＝2π3，所以∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，所以S△A
BC＝12×4×3×32＝33.B级·素养提升|练能力|11.(2019届郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE→＝2EC→，点F在边CD上．若AB→·AF→＝3，则AE→·BF→的值为()A．0B.833C．－4D．4解析：选CBE→＝2EC→⇒|BE→|
＝23|BC→|＝233.设AB→与AF→的夹角为α，AB→·AF→＝3⇒|AF→|cosα＝1⇒|DF→|＝1.以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系，则B(0，3)，F(3，1)，E233，3.因此BF→＝(3，－2
)，AE→·BF→＝233×3－2×3＝2－6＝－4，故选C.12．(2019届西安模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，AB→＋PB→＋PC→＝0，|AB→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，则△ABC的面积等于()A.3B．23C．33D．43解析
：选B由|PB→|＝|PC→|得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又AB→＋PB→＋PC→＝0，所以AB→＝－(PB→＋PC→)＝－2PD→，所以PD＝12AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形．由|PB→|＝2，|PD→
|＝1可得|BD→|＝3，则|BC→|＝23，所以△ABC的面积为12×2×23＝23.13．(一题多解)(2020届大同模拟)已知P是线段AB的垂直平分线上一点，O是平面上一点，OA→＝a，OB→＝b，OP→＝p，且|OA→|＝3，|OB→|＝2，则p·(a－b)＝____
____.解析：解法一：如图，设C为线段AB的中点，连接CP，OC，则CP→⊥AB→，得CP→·AB→＝0.p·(a－b)＝OP→·(OA→－OB→)＝(OC→＋CP→)·BA→＝OC→·BA→＋CP→·BA→＝OC→·BA→，又OC→
＝12(OA→＋OB→)，BA→＝OA→－OB→，所以OC→·BA→＝12(OA→＋OB→)·(OA→－OB→)＝12(OA→2－OB→2)＝52.解法二：因为P是线段AB垂直平分线上任意一点，不妨设P是线段AB的中点，所以OP→＝p＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，所以p·(a－b)＝1
2(a2－b2)＝52.答案：5214.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D为线段OA上的动点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)若θ∈0，π2，向量m＝BC→，n＝
(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及对应的θ的值．解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，由题意知C－22，22，所以OC→＋OD→＝－22＋t，22，所以|OC→＋OD→|2＝12－2t＋t2＋12＝t2－2t＋1＝t
－222＋12，所以当t＝22时，|OC→＋OD→|有最小值且最小值为22.(2)由题意得C(cosθ，sinθ)，m＝BC→＝(cosθ＋1，sinθ)，则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－2sin
2θ＋π4，因为θ∈0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin2θ＋π4取得最大值1，所以当θ＝π8时，m·n取得最小值为1－2.获得
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