【文档说明】【精准解析】专题71数学归纳法-（文理通用）【高考】.docx，共(28)页，1.231 MB，由小赞的店铺上传

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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题71数学归纳法最新考纲1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.基础知识融会贯通数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值

n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．重点难点突破【题型一】用数学归纳法证

明等式【典型例题】已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足．（Ⅰ）求s1、s2、s3的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）∵an＝n2，n∈N*∴s1＝a1＝1，s2＝a1+a2＝1+4＝5，s3＝a1+a2+a3＝1+4+9＝14．…（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝s1＝1，

右边1，所以等式成立．…（2）假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即Sk，…那么，Sk+1＝Sk+（k+1）2（k+1）2即n＝k+1时，等式也成立．…根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．…【再练一题】用数学归纳法证明：1

时，由n＝k到n＝k+1左边需要添加的项是．【解答】解：∵n＝k时，左边最后一项为，n＝k+1时，左边最后一项为，∴从n＝k到n＝k+1，不等式左边需要添加的项为一项为，故答案为：，思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)

明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．【题型二】用数学归纳法证明不等式【典型例题】用

数学归纳法证明：••．【解答】证明：①∵当n＝1时，0，∴，∴，即n＝1时，不等式成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即•••…•．则当n＝k+1时，•••…•••，∵（）2﹣（）20，∴（）2＜（）2，∴，即n＝k+1时，原不等式

也成立；综合①②知，对任意n∈N*，••．【再练一题】用数学归纳法证明不等式1n（n∈N*）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左端增加的项数是（）A．1B．2k﹣1C．2kD．2k+1【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k

+1时，最后一项为∴由n＝k变到n＝k+1时，不等式左边增加的项数是（2k+1﹣1）﹣（2k﹣1）＝2k．故选：C．思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证

明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放

缩技巧，使问题得以简化．【题型三】归纳—猜想—证明命题点1与函数有关的证明问题【典型例题】已知y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（

n）表达式并用数学归纳法证明；（3）若．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0；（2）f（2）＝4，f（3）＝9，f（4）＝16，猜想f（n）＝n2，①当n＝1时，显然成立；②设n＝k时成立，即f（k）＝k2，则n＝k+1时，f（k+1）＝f

（k）+f（1）+2k＝（k+1）2即＝k+1时，成立综上知f（n）＝n2，成立（3）设令变形为：，因此数列是等比数列，首项为，∴∴【再练一题】已知f（n）＝1，g（n）（3），n∈N*．（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）

与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）当n＝1时，f（1）＝1＝g（1）；当n＝2时，f（2），g（2），∴f（2）＜g（2）；当n＝3时，f（3），

g（3），∴f（3）＜g（3）．（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用数学归纳法证明：①当n＝1，2，3时，不等式成立．②假设当n＝k（k∈N*）（k≥3）时，不等式成立，即1（3）．则当n＝k+1时，则f（k+1）＝f（k），∵0，∴，∴

f（k+1）g（k+1），即当n＝k+1时，不等式成立．由①②可知：对∀n∈N*，都有f（n）≤g（n）．命题点2与数列有关的证明问题【典型例题】已知a1（n∈N*）（1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}

的通项公式an的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．【解答】解：（1）因为a1（n∈N*）所以，，由此猜想数列{an}的通项公式（n∈N*）（2）下面用数学归纳法证明①当n＝1时，，猜想成立②假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，猜想成立，即那么ak+1．即当

n＝k+1时，猜想也成立；综合①②可知，对∀n∈N*猜想都成立，即（n∈N*）【再练一题】已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1．（Ⅰ）求a2，a3，a4，a5；（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．【解答】解：（I）a2＝

2a1+1＝3，a3＝2a2+1＝7，a4＝2a3+1＝15，a5＝2a4+1＝31．（II）猜想：an＝2n﹣1，证明：当n＝1时，显然21﹣1＝1，猜想成立．假设n＝k时猜想成立，即ak＝2k﹣1，则ak+1＝2ak+1＝2（2k﹣1）+1＝2k+1﹣1

，∴当n＝k+1时，猜想成立．∴an＝2n﹣1．命题点3存在性问题的证明【典型例题】是否存在a，b，c使等式（）2+（）2+（）2+…+（）2对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明

你的结论．【解答】解：取n＝1，2，3可得解得：a，b，c．下面用数学归纳法证明（）2+（）2+（）2+…+（）2．即证12+22+…+n2n（n+1）（2n+1），①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12+22+…+k2k（k+1

）（2k+1）成立，则当n＝k+1时，等式左边＝12+22+…+k2+（k+1）2═k（k+1）（2k+1）+（k+1）2[k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2]（k+1）（2k2+7k+6）（k+1）（k+2）（2k+3），∴当n＝k+1时等式成立；由数学归纳法，综合①

②当n∈N*等式成立，故存在a，b，c使已知等式成立．【再练一题】已知数列{an}的通项公式为an，它的前n项和为Sn（Ⅰ）求S1，S2，S3的值；（Ⅱ）是否存在实数a，b，c使得Sn对一切n∈N*都成立？若存在，求出a，b，c的值，并用数学归纳法证明，若不存在

，说明利用．【解答】解：（Ⅰ）已知，当n＝1时，解得：，当n＝2时，．当n＝3时，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：假设存在实数a、b、c使得对任意整数都成立．故：当n＝1，2，3时，，解得：a＝1，b＝1，c＝2．所以，对于任意n∈N都成立．证明如下：（1）当n＝1时，左边，右边，所以等式成立；

（2）假设n＝k时等式成立，即：，当n＝k+1时，．所以，当n＝k+1时等式成立．由（1）（2）知等式成立，即存在a＝1，b＝1，c＝2使得对于一切整数都成立．思维升华(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归

纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．基础知识训练1．用数学归纳法证明命题“3(1)(1

)22nnnnn+++++=”时,在作归纳假设后,需要证明当1nk=+时命题成立,即需证明()A．3(1)(2)(1)2(1)2kkkkk+++++++=B．3(1)(2)1(2)2(1)2kkkkk++++++++=C．3(1)(1)2(1)2kkkkk++++++=D．3(

1)1(2)2(1)2kkkkk+++++++=【答案】B【解析】将题目中的n，改为1k+，即()()()()31212212kkkkk++++++++=，故选B.2．利用数学归纳法证明()*()123(31)fnnnN=++++

+时，第一步应证明（）A．(2)12f=+B．(1)1f=C．(1)123f=++D．(1)1234f=+++【答案】D【解析】n的初始值应为1，而(1)1234f=+++.故选：D3．在用数学归纳法证明等式1232(21)nnn++++=+时，当1n=时的左边等于（）A．1B．2C．3D．4

【答案】C【解析】等式()123221nnn++++=+左边的规律为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2n项和.所以，当1n=时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。所以当1n=时的左边为：

123+=.故选：C4．用数学归纳法证明“52nn−能被3整除”的第二步中，1nk=+时，为了使用假设，应将1152kk++−变形为（）A．()55232kkk−+B．()52452kkkk−+−C．()()5252kk−−D．()25235kkk

−−【答案】A【解析】解：假设nk=时命题成立，即：52kk−被3整除．当1nk=+时，11525522kkkk++−=−()5525222kkkk=−+−()55232kkk=−+故选：A．5．用数学归纳法证明等式

：29312332nnn+++++=,由nk=的假设到证明1nk=+时,等式左边应添加的式子是()A．31k+B．()()3132kk+++C．33k+D．()()()313233kkk+++++【答案】D【解析】由题意可得，当nk=时，等式左边等于1233k++++，共3k项求和；当1nk=+时

，等式左边等于1233(1)k+++++，共33k+项求和；所以由nk=的假设到证明1nk=+时,等式左边应添加的式子是(31)(32)(33)kkk+++++.故选D6．利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321nnnNn

++++−”的过程中，由假设“nk=”成立，推导“1nk=+”也成立时，左边应增加的项数是（）A．kB．1k+C．2kD．21k+【答案】C【解析】利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321nnnN

n++++−”的过程中，假设“nk=”成立1111...(,1)2321kknNn++++−;当1nk=+时，左边为1111111.......1(,1)2321221221kkkkkknNn+++++++++−++−故增加的项数为2k项.故答案为：C.7．用数学归纳法

证明不等式22(1)nnN+（n）时，初始值n应等于（）A．1B．4C．5D．6【答案】D【解析】由题意，当1n=时，122(11)+；当2n=时，222(21)+；当3n=时，322(31)+；当4n=时，422(41)+；当5n=时，522(51)+

；当6n=时，622(61)+；当6n时，22(1)nnN+（n），所以用数学归纳法证明不等式22(1)nnN+（n）时，初始值n应等于6，故选D.8．用数学归纳法证明：111112123123n++++++++++

+21nn=+时，由nk=到1nk=+左边需要添加的项是（）A．2(2)kk+B．1(1)kk+C．1(1)(2)kk++D．2(1)(2)kk++【答案】D【解析】当n=k时，要证明的等式为：11111212312

3k+++++++++++21kk=+，当n=k+1时，要证明的等式为：()11111121231231231kkk++++++++++++++++++()()2111kk+=++，左边需要添加的项为()

()()()()1121111231122kkkkkk==+++++++++++.故选：D.9．现有命题“1111123456(1)(1)()442nnnn++−+−+−++−=+−+，n+N”，不知真假。请你用数学归纳法去探究

，此命题的真假情况为（）A．不能用数学归纳法去判断真假B．一定为真命题C．加上条件9n后才是真命题，否则为假D．存在一个很大常数m，当nm时，命题为假【答案】B【解析】(1)当1n=时，左边1=，右边1=，左边=右边，即1n=时，等式成立；(2)假设()1nkk=时

，等式成立，即()()111112345611442kkkk++−+−+−++−=+−+，则1nk=+时，()()()()()()()()121222111111234561111111114424242kkkkkkkkkkkkk+++++++−+−+−++−+−

+=+−++−+=−+−−=−+，即1nk=+时，等式也成立；综上，nN+时，等式()()111112345611442nnnn++−+−+−++−=+−+恒成立.故

选B10．在用数学归纳法证明:“22nn对从0n开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的0n等于（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解析】当1n=时22nn，当2n=时22nn=，当3n=时22nn，当4n=时22nn=，当5n时22nn，所以第一步验证的

n0等于5，选C.11．用数学归纳法证明不等式111131224nnnn++++++的过程中，由nk=到1nk=+时，不等式左边的变化情况为（）A．增加()121k+B．增加()112121kk+++C．增

加()112121kk+++，减少11k+D．增加12(1)k+，减少11k+【答案】C【解析】当nk=时，左边11112kkkk=++++++，当1nk=+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)kkkk=++++++++++

，111111()1212122kkkkkkk=+++−++++++++，故选C.12．用数学归纳法证明：“()()()12nnnn+++()21321nn=+”．从“nk=到1nk=+”左端需增乘的代数式为（）A．()()2122kk++B．()221

k+C．211kk++D．231kk++【答案】B【解析】当nk=时，左端()()()()1232kkkk=+++，当1nk=+时，左端()()()()()2322122kkkkk=++++，从nk=到1nk=

+时左边需增乘的代数式是：()()()1112211kkkkkk+++++=++．故选B．13．用数学归纳法证明等式：633123()2nnnnN+++++=，则从nk=到1nk=+时左边应添加的项为_______．【答案】33312()()(1)kkk++++++【解析】当nk

=时，左边=3123k++++；当1nk=+时，左边=3333123(1)(2)(1)kkkk+++++++++++；所以左边应添加的项为33312()()(1)kkk++++++.14．在用数学归纳法证明不等式1111(1,*)1222nnNn

nnL+++++的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．【答案】112122kk−++【解析】当nk=时，等式左侧为：111122kkk+++++，当1nk=+时，等式左侧为：11111123422122kkkkkk++

+++++++++，据此可得，左边需要增加的代数式是11121221kkk+−=+++112122kk−++.15．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．【答案】【解析

】当时，；当时，；当时，；当时，，猜想得，故，下面用数学归纳法证明：②，满足，②假设时，结论成立，即，可得，则，，也满足，结合①②可知，，故答案为．16．已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项【答案】45【解析】，可得，且；则，即，，即，两式

相除得：，则，由，解得；由，解得；猜想，用数学归纳法证明，当时，，满足，假设当时，猜想成立，即，则当时，，满足，故猜想成立，即.时，，当不满足，故，由，当时，，当时，，当时，．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故

答案为：45．17．已知1111,,,,,112123123n+++++++，其前n项和为nS.（1）计算1234,,,SSSS；（2）猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）4381,,,325；

（2）21nnSn=+，证明见解析.【解析】（1）计算12141,1123SS==+=+，344163318,312342212345SS=+===+=+++++.（2）猜想21nnSn=+.证明：①当1n=时，左边11S==，右边21111==+，猜想成立.②假设()*nkk=N猜想成

立，即111121121231231kkSkk=++++=++++++++成立，那么当1nk=+时，()()11221231112kkkSSkkkkk+=+=++++++++++，而()()()()()()()22121221121211k

kkkkkkkk+++==+++++++，故当1nk=+时，猜想也成立.由①②可知，对于*nN，猜想都成立.18．已知数列na各项均为正数，满足2333(1)122nnan++++=．（1）求1a，2a，3

a的值；（2）猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1）11a=，22a=，33a=；（2）猜想：nan=；证明见解析.【解析】（1）当1n=时，231212a=，又0na11a=当2n=

时，23323122a+=，解得：22a=当3n=时，2333341232a++=，解得：33a=(2)猜想：nan=证明：（1）当1n=时，由（1）可知结论成立；（2）假设当nk=时，结论成立，即kak=成立，则当1nk=+时，由()23331122kakk++

++=与()()2313321212kakk++++++=得：()()()()()2222311212112222kkkakakakkkk+++++++=−=−()()()()()()()23222222212411

14412kakkkkkkkkk++=+++=+++=++又0na11kak+=+成立根据（1）、（2）猜想成立，即：nan=19．已知数列na满足12a=，11nnnaaa+=+.（1）计算2a，3a，4a；（2）猜测na的表达式，并用数学归纳法

证明.【答案】（1）111,,234；（2）1nan=，证明见解析.【解析】（1）由11nnnaaa+=+及11a=，得121112aaa==+，进而232113aaa==+，343114aaa==+.（2）证明：猜想1nan=，

再用数学归纳法证明之.当1n=时，1111a==，而已知11a=，所以1n=时，猜想正确.假设当nk=时，猜想正确，即1kak=，则1nk=+时，1111111kkkakaakk+===+++.所以当1nk=+时，猜想也成立.综上所述可知，对一切nN，猜想1na

n=都正确.20．已知函数()fx对任意实数,xy都有()()+()+2fx+y=fxfyxy，且(1)1f=.（I）求(2),(3),(4)fff的值，并猜想()()fnn+N的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.【答案】（I）2()fnn

=；（II）证明见解析.【解析】（I）()()()()2?11fxyfxfyxyf+=++=，，()()2111124ff=+=++=，()()321412219ff=+=++=，()()4319123116ff=+=++=，

猜想()2fnn=.（II）证明：当1n=时，()11f=，猜想成立；假设()1nkk=时，猜想成立，即()2fkk=，则当1nk=+时，()()()()221121211fkfkfkkkk+=++=++=+，即当

1nk=+时猜想成立.综上，对于一切()2nNfnn+=均成立.能力提升训练1．若命题成立，则它对也成立，已知成立,则下列结论正确的是()A．对所有正整数n都成立B．对所有正偶数n都成立C．对所有正奇数n都成立D．对所有自然数n都成立【答案】B【解析】由题意知，时命题成立，而根据时命

题成立可以得到时命题也成立，因此该命题对所有的正偶数都成立，故选B.2．用数学归纳法证明：“”时，从，等式的左边需要增乘的代数式是()A．B．C．D．【答案】D【解析】用数学归纳法证明时，时,左侧，时，左侧，从左边需增乘的代数式是，故选D.3．用数学归纳法证明422

1232nnn+++++=，则当1nk=+时左端应在nk=的基础上（）A．增加一项B．增加2k项C．增加2k项D．增加21k+项【答案】D【解析】当nk=时，等式左端为：2123k++++当1nk=+时，等式左端为：()

()()2222123121kkkk++++++++++()22121kkk+−=+需增加21k+项本题正确选项：D4．用数学归纳法证明“”时，由时，不等试左边应添加的项是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由n=

k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.5．如果命题对于成立，同时，如果成立，那么对于也成立。这样，下述结论中正确的是（）A．对于所有的自然数成立B．对于所有的正奇数成立C．对于所有的正偶数成立D．对于所有大于3的自然数成立【答案】B【解析】由于

若命题成立，则它对也成立．又已知命题成立，可推出均成立，即对所有正奇数都成立故选：B．6．已知数列的前项和为，首项，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn（n≥2），则：，所以：，，当n＝2时，，当n＝3时，，…猜想：，下

面用数学归纳法来证明：①当n＝1时，，②当n＝k时，，则当n＝k+1时，，综上所述：．所以：．故选：A．7．已知数列是等差数列，且展开式的前三项的系数.（1）求的值；（2）求展开式的中间项；（3）当时，用数学归纳法证明：.【答案】（1）（2）（3）见证明【解析】解：（

1）展开式的通项为，依题意，由可得（舍去）或.（2）所以展开式的中间项是第五项为：.（3）证：由（1），①当时，结论成立；当时，；②设当时，，则时，，由，可知，即.综上①②，当时，成立.8．设为虚数单位，，已知，．（1）你能得到什么一般性

的猜想？请用数学归纳法证明猜想；（2）已知，试利用的结论求．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）猜想）成立证明：①当n=1时，左边=右边=所以猜想成立②假设当时，猜想成立，即则当时，时，猜想也成立综上，由①②可得对任意，猜想

成立（2）∵∴9．（1）已知a为实数，用分析法证明7586aaaa+−++−+；（2）用数学归纳法证明22221123(1)(21)6nnnn++++=++；【答案】（I）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】证明：(Ⅰ)要证7586aaaa+−++−+，只要证7685aaaa++++

++只要证22(76)(85)aaaa++++++只要证2132(7)(6)2132(8)(5)aaaaaa++++++++只要证(7)(6)(8)(5)aaaa++++只要证(7)(6)(8)(5)aaaa++++只要证2213421

340aaaa++++只要证4240显然成立，故原结论成立．（Ⅱ）①当1n=时，左边211==，右边11(11)(21)16=++=，左边＝右边，等式成立．②假设当*(1,)nkkkN=澄时等式

成立，即22221123(1)(21)6kkkk++++=++，那么当1nk=+时，左边2222221123(1)(1)(21)(1)6kkkkkk=++++++=++++211(1)[(21)6(1)](1)(276)66kkkkkkk=++++=+++右边2111(1)

(11)[2(1)1](1)(2)(23)(1)(276)666kkkkkkkkk=+++++=+++=+++左边＝右边，即当1nk=+时等式也成立；综合①②可知等式对任何*nN都成立．10．已知数列114，147，1710，.

..，()()13231nn−+，...，记数列的前n项和nS．(1)计算1S，2S，3S，4S；(2)猜想nS的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)14，27，310，413；(2)31nnSn=+，证明见解析.【解析】()1111144S==；21124477

S=+=；321371010SS=+=；4314101313SS=+=；()2猜想31nnSn=+．证明：当1n=时，结论显然成立；假设当(1)nkk=时，结论成立，即31kkSk=+，则当1nk=+时，()()()()()1111313134311

312311kkkkSSkkkkkk++=+=+=++++++−++，当1nk=+时，结论也成立，综上可知，对任意*nN，31nnSn=+．由()1，()2知，等式对任意正整数都成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com