【文档说明】2021学年人教A版高中数学必修4章末测评：第2章 平面向量.docx，共(11)页，155.858 KB，由小赞的店铺上传

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章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是()A.OA→－OB→＝AB→B.AB→＋BA→＝0C．0·AB→＝0D

.AB→＋BC→－DC→＝AD→D[A错，OA→－OB→＝BA→；B错，AB→＋BA→＝0；C错，0·AB→＝0；D正确，AB→＋BC→－DC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→.]2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝

()A．－4B．－3C．－2D．－1B[因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]3．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．6B．5C

．1D．－6A[由向量数量积公式知，(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6.]4．(2019·石家庄高一期中)在△ABC中，D为边BC上的一点，且BD→＝3DC→，则AD→＝()A.34AB→＋14AC→B.14A

B→＋34AC→C.14AB→－34AC→D.34AB→－14AC→B[AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→，故选B.]5．已知向量a＝(1，k)，b＝

(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为()A．1B．2C．3D．4A[a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1.]6．已知OA→＝(1,1)，OB→＝(4,1)，OC→＝(4,5)，则AB→与AC→夹角的余弦值为()A.45B.35C．0D．以上结果

都不对B[设AB→与AC→夹角为θ，AB→＝(3,0)，AC→＝(3,4)，∴cosθ＝3×3＋0×43×32＋42＝35.]7．已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋

CA→·AB→的值是()A．－25B．25C．－24D．24A[因为|AB→|2＋|BC→|2＝9＋16＝25＝|CA→|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝AB→·BC→＋CA→(BC→＋AB→)＝

0＋CA→·AC→＝－AC→2＝－25.]8．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于点C，且AC→＝2CB→，则实数a等于()A．2B．1C.45D.53A[设C(x，y)，则AC→＝(x－7，y－1)，C

B→＝(1－x,4－y)，∵AC→＝2CB→，∴x－7＝2(1－x)，y－1＝2(4－y)，解得x＝3，y＝3，∴C(3,3)，又∵C在直线y＝12ax上，所以3＝12a·3，∴a＝2.]9．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，

AC→＝b，若E是DC的中点，则AE→＝()A.12a－bB.32a－bC．－12a＋bD．－32a＋bC[如图所示，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝BC→＝AC→－AB→＝b－a，又E是DC的中点，则AE→＝AD→＋DE→＝(b－a)＋12a＝b－12a＝－

12a＋b.故选C.]10．如图所示，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB→·AC→的值为()A．12B．8C．4D．2B[如图，设圆的半径为r，过点C作CD⊥AB，垂足为D.又弦AB的长度为4，所以AD＝2，所

以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠CAD＝4r·2r＝8.故选B.]11．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6B[

设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.故选B.]12．在△ABC中，有下列四个命题：①AB→－AC→＝BC→；②AB→＋BC→＋CA→＝0

；③若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC→·AB→>0，则△ABC为锐角三角形．其中正确的命题有()A．①②B．①④C．②③D．②③④C[∵AB→－AC→＝CB→＝－BC→≠BC→，∴①错误.AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→

＝AC→－AC→＝0，∴②正确．由(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB2→－AC2→＝0，得|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等腰三角形，∴③正确.AC→·AB→>0⇒cos〈AC→，AB→〉＞0，即cosA>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的

大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则

cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝(－8)2＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]14．已知向量a＝(m,2)

，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，则|2a＋b|等于________．34[因为向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，∴－m＋2n＝0，m2

＋n2＝5，解得m＝2，n＝1，∴2a＋b＝(3,5)，∴|2a＋b|＝34.]15．已知向量AB→与AC→的夹角为60°，且|AB→|＝2，|AC→|＝1，若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥AC→，则实数λ的值是

________．－1[∵AP→＝λAB→＋AC→，AP→⊥AC→，∴AP→·AC→＝(λAB→＋AC→)·AC→＝λAB→·AC→＋AC→2＝λ×2×1×cos60°＋1＝λ＋1＝0，∴λ＝－1.]16．如图所

示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．－12[因为点O是AB的中点，所以PA→＋PB→＝2PO→，设|PC→|

＝x，则|PO→|＝1－x(0≤x≤1)，所以(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→＝－2x(1－x)＝2x－122－12.所以当x＝12时，(PA→＋PB→)·PC→取到最小值－12.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1

7．(本小题满分10分)(2019·广安高一期末)已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC.设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a，b表示向量OC→，DC→；(2)若向量OC→与OA→＋kDC→共线，求k的值．[解](1)∵A

为BC的中点，∴OA→＝12(OB→＋OC→)，可得OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，而DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－53b(2)由(1)，得OA→＋kDC→＝(2k＋1)a－53kb，∵OC→与OA→＋kDC→共线，设OC→＝λ(OA→＋kDC→)即2a－b＝λ(

2k＋1)a＋－53λkb，根据平面向量基本定理，得2＝λ(2k＋1)－1＝－53λk，解之得，k＝34.18．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|.(2)求向量a在向量a＋b方向上的投

影．[解](1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.因为|a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，所以|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量

a在向量a＋b方向上的投影为a·(a＋b)|a＋b|＝1013＝101313.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|OA→|＝2|AB→|＝2，∠OAB＝2π3，BC→＝(－1，3)．(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．[解](1)连接OB(图

略)，设B(xB，yB)，则xB＝|OA→|＋|AB→|·cos(π－∠OAB)＝52，yB＝|AB→|·sin(π－∠OAB)＝32，∴OC→＝OB→＋BC→＝52，32＋(－1，3)＝32，332，∴B52，32，C

32，332.(2)证明：∵OC→＝32，332，AB→＝12，32，∴OC→＝3AB→，∴OC→∥AB→.又易知OA与BC不平行，|OA→|＝|BC→|＝2，∴四边形OABC为等腰梯形．20．(本小题满分12分)已

知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|

2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以cosα＋cosβ＝0，①sinα＋sinβ＝1，②由①得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－

β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP→＝x·OA→＋y·OB→.(1)若BP→＝PA→，求x，y的

值；(2)若BP→＝3PA→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°时，求OP→·AB→的值．[解](1)∵BP→＝PA→，∴BO→＋OP→＝PO→＋OA→，即2OP→＝OB→＋OA→，∴OP→＝12OA→＋12OB→，即x＝

12，y＝12.(2)∵BP→＝3PA→，∴BO→＋OP→＝3PO→＋3OA→，即4OP→＝OB→＋3OA→，∴OP→＝34OA→＋14OB→.∴x＝34，y＝14.OP→·AB→＝34OA→＋14OB→·(OB→－OA→)＝14OB→·OB→－34OA→·OA→＋

12OA→·OB→＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.22．(本小题满分12分)已知四边形ABCD，AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)．(1)若BC→∥DA→，求y＝f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下

，若AC→⊥BD→，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．[解](1)DA→＝－(AB→＋BC→＋CD→)＝(－x－4,2－y)，∵BC→∥DA→，∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0，∴y＝－12x.(2)∵AC→＝AB→＋BC→＝(x＋

6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)，又∵AC→⊥BD→，∴AC→·BD→＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，由(1)知x＝－2y，将其代入上式，整理得y2－2y－3＝0，解得y1＝3，y2＝－1.当y＝

3时，x＝－6，于是BC→＝(－6,3)，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)，|AC→|＝4，|BD→|＝8，∴S四边形ABCD＝12|AC→||BD→|＝12×4×8＝16.当y＝－1时，x＝2，于是BC→＝(

2，－1)，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，|AC→|＝8，|BD→|＝4，∴S四边形ABCD＝12|AC→||BD→|＝12×8×4＝16.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com