【文档说明】高考数学培优专题55讲：第46讲 填空题压轴题精选【高考】.docx，共(18)页，826.287 KB，由管理员店铺上传

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1第四十六讲填空题压轴题精选A组1、如果对定义在R上的函数)(xf，对任意两个不相等的实数21,xx，都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx++，则称函数)(xf为“H函数”。给出下列函

数：①xeyx+=；②2xy=；③xxysin3−=；④==)0(,0)0(,lnxxxy。以上函数是“H函数”的所有序号为______。【答案】：①③【解析】：由已知对于任意给定的不等实数21,xx，不等式)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx++恒成立，等

价于不等式()0)()(2121−−xfxfxx，即函数)(xf是定义在R上的增函数；①xeyx+=为增函数，满足条件；②函数2xy=在定义域上不单调，不满足条件；③xxysin3−=，0cos3'−=xy，函数在R上单调递增，满足条件；④==

)0(,0)0(,lnxxxy，当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件。综上满足“H函数”的函数为①③。2、定义在R上的()fx，满足22()()2[()],,,fmnfmfnmnR+=+且(1)

0f，则(2012)f的值为。【答案】：1006【解析】：①令0==nm，有()00f=；令1,0==nm，有()112f=；②令1n=，则有()()112fmfm+=+，即21)()1(=−+mfmf；从

而2)(mmf=，故1006)2012(=f。3、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第2i段弧所对的圆心角为(1,2,3)ii=，则232311coscossinsin3333++−=_____

_______。【答案】：21−【解析】：如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形；因为三个圆的半径相等，则六边形为正六边形；从而4321=++；故2134cos3cos3sin3sin3cos3cos321321321−==++=+−+。4

、设圆C位于抛物线22yx=与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为_________。【答案】：16−。【解析】：为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线3x=相切；设圆C的半径为r，则圆C的方程为()2223ryrx=+−+，将其与xy22=联

立得：()222960xrxr+−+−=，令()()2224960rr=−−−=，并由0r，得：16−=r。5、若实数a，b，c满足baba+=+222，cbacba++=++2222，则c的最大值是。【答案】：3log22−【解析】：由122222222+++

=+=babababa，得12+++baba，所以2+ba.由题设得341211121112222=−+−+=−=+++bababac，所以3log234log22−=c。6、（2016全国一卷16）若直线bkxy+=是曲线2ln+=xy

的切线，也是曲线)1ln(+=xy3的切线，则b=。【答案】：2ln1−【解析】：设bkxy+=与2ln+=xy和)1ln(+=xy的切点分别为),(11bkxx+，),(22bkxx+；由导数的几何意

义知11121+==xxk，则有121+=xx；又切点在曲线上，可得+=++=+)1ln(2ln2211xbkxxbkx；联立解得−===2121221xxk从而由2ln11+=+xb

kx得出2ln1−=b。7、已知椭圆)0(12222=+babyax的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是21,FF，若21221AFAFFF=（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是。【答案】：)21,0(【解析】：由已知A（﹣a，0），B（a，0），1F（﹣c

，0），2F（c，0）；因为21221AFAFFF=，则124)(42222+−=−=eeecac；又0＜λ＜4，则有4124022+−eee（0＜e＜1）；解得210e；故答案为)21,0(。8、若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是_________。02221=−+x

yxC：0)(2=−−mmxyyC：m4【答案】：【解析】：曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是。9、已知函数−+=)(,3)0

(,ln)(333exxeexxxf，存在321xxx==，使得)()()(321xfxfxf==，则的23)(xxf最大值为_________。【答案】：e1【解析】：由题意3ln02x，则321ex，又2223)()(xxf

xxf=，故令xxyln=y，则2ln1'xxy−=，当),1(ex时，0'y，当),(3eex，0'y；从而函数在),1(e上单调递增，在),(3ee上单调递减，故x=e时，函数取得最大值e1，即23)(xxf的最大值为e1。10、在平面直角坐标系x

Oy中,设定点),(aaA，P是函数xy1=(0x)图象上一动点，若点AP，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为_______。【答案】：-1或10【解析】：由题意设()0001,,0Pxxx则有−33,00,33022

2=−+xyx()0,1()0=−−mmxyy0,0=−−=mmxyy或()0,1−0=y0=−−mmxy3333=−=mm和−33,00,335()222222200000200000111112++2=+

-2+22PAxaaxaxaxaxaxxxxx=−+−=+−+−令()001t2xtx+=，则()222=(t)=t2222PAfatat−+−，对称轴ta=；（1）当2a时，242)2(22min+−==aafPA；因为点AP，之间的最短

距离为22，则有82422=+−aa；解得：1a=−或3a=（舍去）；（2）当2a时，2)(22min−==aafPA，则有1022=−a；解得：10a=或10a=−（舍去）；综上1a=−或10a=。B组1、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a，b，c，，则=_________。【答案

】：4【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，，=4。（方法二），由正弦定理，上式。2、过双曲线422=−yx的右焦点F作倾

斜角为105的直线，交双曲线于P、Q两点，则6cosbaCab+=tantantantanCCAB+1cos3C=21cos1tan21cos2CCC−==+2tan22C=1tantan2tan2ABC===tanta

ntantanCCAB+226cos6cosbaCabCabab+==+2222222236,22abccabababab+−=++=2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinC

CCBABACABCABCABCABCAB+++===22222214113cos()662ccccCabab====+6||||FQFP的值为___________。【答案】：833【解析】：(22,0),F0tan105(23).k==−+:(23

)(22).lyx=−+−代入422=−yx得：2(643)42(743)603230.xx+−+++=设1122121242(743)60323(,),(,).,.643643PxyQxyxxxx+++==++又2212

||1|22|,||1|22|,FPkxFQkx=+−=+−21212||||(1)|22()8|6032316(743)(843)|8|643643(843)(4)83.3643FPFQkxxxx=+−++++=+−++++

+==+3、已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC+−=−，则ABC面积的最大值为。【答案】：【解析】：因为在△ABC中，a=2，(2)(

sinsin)()sinbABcbC+−=−则根据正弦定理可得cbcb)(42−=−，即422+=+bccb；由基本不等式可得bcbcb=−24，则4bc，当且仅当b=c=2时取等号；此时△ABC

为等边三角形，它的面积为3232221sin21===AbcSABC。4、设)(xf是定义在R上的可导函数，且满足0)()('+xxfxf，则不等式)1(1)1(2−−+xfxxf的解集为。【答案】：{|12}xx【分析】：令()()gxxf

x=，则'()()()0gxfxxfx=+，则()gx为增函数，不等式)1(1)1(2−−+xfxxf可化为221(1)1(1)xfxxfx++−−，7即2(1)(1)gxgx+−，由2111210xxxx+−−，故不等式)1(1)1(2−−

+xfxxf的解集为{|12}xx。5、已知函数)(xf满足：),)(()()()(4,41)1(Ryxyxfyxfyfxff−++==则=)2010(f_______。【答案】：12【解析】：取x=1，y=0得21)0(=f法一：通过计算)........4(),

3(),2(fff，寻得周期为6。法二：取x=n，y=1，有)1()1()(−++=nfnfnf，同理)()2()1(nfnfnf++=+联立得：6)()3()1()2(=−=+−−=+Tnfnfnfnf故21)0()2010(==ff

。6、已知ACBD、为圆O:224xy+=的两条相互垂直的弦，垂足为()1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为。【答案】：5【解析】:如图连接OA、OD作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，设圆心O到AC、BD的距离分别为21,dd，因为AC⊥BD于M，则四边形OEMF为矩形；又点()

1,2M，从而有32221=+dd；则四边形ABCD的面积为()5)(8)4(422122222121=+−−−=•=ddddBDACS，当且仅当2221dd=时取等号；故四边形ABCD的面积的最大值为5。87、（15年福建理科）已知→→⊥ACAB，tACtAB==→→,1，若点是所在平面内一点

，且→→→→→+=ACACABABAP4，则→→•PCPB的最大值为。【答案】：13【解析】：由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0，0)，B(t1，0)，C(0，t)，因为→→→→→+=ACACABABAP4，则P（1，4）；从而)4,1(,

)4,11(−−=−−=→→tPCtPB；则1317)14()4(411++−=−−−=•→→ttttPCPB，当且仅当tt14=，即21=t时等号成立；故→→•PCPB的最大值为13。PABC98、已知函数()23fxxx=

+，xRÎ.若方程()10fxax--=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________。【答案】：01a<<或9a>【解析】：方法一：显然0a>.（1）当()1yax=--与23yxx=--相切时，1a=，此时()10fxax--=恰有3个互异的实数根；（2）当直线()1ya

x=-与函数23yxx=+相切时，9a=，此时()10fxax--=恰有2个互异的实数根；结合图象可知01a<<或9a>。方法二：显然1a¹，所以231xxax+=-；令1tx=-，则45att=++；因为

(][),,444tt???++，所以(][)45,19,tt?ゥ+++；结合图象可得01a<<或9a>。9、若函数=的图像关于直线2x=−对称，则的最大值是______。【答案】：16【解析】由()fx图像关于直线x=－2对称，则0=(1)(3)ff−=−=22[1(3)][(3)3

]ab−−−−+，0=(1)(5)ff=−=22[1(5)][(5)5]ab−−−−+，解得a=8，b=15，∴()fx=22(1)(815)xxx−++，xy31Oxy13OtyO9110∴()fx=222(815)(1)(28)

xxxxx−+++−+=324(672)xxx−++−=4(2)(25)(25)xxx−++++−当x∈(－∞,25−−)∪(－2,25−+)时，()fx＞0，当x∈(25−−,－2)∪(25−+,+∞)时，()fx＜0，∴(

)fx在（－∞，25−−）单调递增，在（25−−，－2）单调递减，在（－2，25−+）单调递增，在（25−+，+∞）单调递减，故当x=25−−和x=25−+时取极大值，(25)f−−=(25)f−+=16。10、已知正数满足：则的取值范围是。【答案】：[e

，7]【解析】：由已知条件4ln53lnbcaacccacb−+−≤≤≥，可化为：354acabccabccbec++。设==abxycc，，则题目转化为：已知xy，满足35400xxyxyyex>y>++，，求

yx的取值范围。作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xye的切线的斜率e，设过切点()00Pxy，的切线为()=0yexmm+，则00000==yexmmexxx++，要使它最小，须=0m。从而yx的最小值在()0

0Pxy，处，为e。此时，点()00Pxy，在=xye上,AB之间。当（xy，）对应点C时，=45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx−−−−，abc，，4ln53lnbcaacccacb−+−≤≤≥，，ba11则yx的最大值在C处且7max=

xy故yx的取值范围为7e，，即ba的取值范围是7e，。C组1、设→1e，→2e为单位向量，非零向量→→→+=21eyexb，→2e，Ryx,。若→1e，→2e的夹角为π6，则→bx的最大值等于_____

_____。【答案】：2【解析】：由已知xyyxeexyyxeyexb322221222212++=•++=+=→→→→→；则22||||3xxxyxy=++b，当x＝0时，||0||x=b；当x≠0时，22||112||331124x

yyyxxx==++++b；故→bx的最大值为2。2、在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2→→→+•BCPCPB的最小值是________。【答案】：23【解析】：由题设知，PBC的面积为1，以B为原点，BC所在直线为x轴，过点B

与直线BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设2(,0),(,)(0)CaPtaa，则)2,(),2,(ataPCatPB−−=−−=；从而320434)2(4)(222222+++−=++−−=+•→→→aaataatatBCPCPB，12当且仅当416,23ata==时

取等号，故2→→→+•BCPCPB的最小值是23。3、已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc−，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPFFc=，则该双

曲线的离心率的取值范围是。【答案】：(1，21+)【解析】：方法一：因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF=则由已知，得1211acPFPF=，即12aPFcPF=，且知点P在双曲线的右支上；设点00(,)xy由焦点

半径公式，得1020,PFaexPFexa=+=−，则有00()()aaexcexa+=−，解得0()(1)()(1)acaaexecaee++==−−；由双曲线的几何性质知0(1)(1)aexaae

e+−则，整理得2210,ee−−解得2121(1,)ee−+++，又，故椭圆的离心率(1,21)e+。方法2：由方法一知12cPFPFa=由双曲线的定义知：aPFPF221=−；aPFPFac222=−，即aca

PF−=222，由双曲线的几何性质知：acPF−2，则有acaca−−22，即0222−−aacc；化简得：2210,ee−−解得2121(1,)ee−+++，又，故椭圆的离心率(1,21)e+。4、如图，在正方形ABCD中，E为A

B的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量→→→+=APDEAC，则λ+μ的最小值为。13【答案】：21【解析】：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（

1，1），D（0，1），A（0，0），从而)1,1(=→AC，)1,21(−=→DE，设)sin,(cosP，因为)sin,cos2()sin,(cos)1,21(+−+=+−=+=→→→APDEAC则有=+−=+1sin1cos2

，解得+=+−=sincos23sincos2cos2sin2；从而sincos2cos2sin23+−+=+；又因为20，则1cos0,1sin0，故当cos取最大值1时，()2

12203min=−+=+。5、（2015全国一卷16）在平面四边形ABCD中2,750====BCCBA则AB的取值范围是________。【答案】：()62,62−+【解析】：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105∘，∠ADE=4

5∘，∠E=30∘；设mCDxDExAExAD=+===,462,22,21，因为BC=2，则115sin)462(0=++mx；14从而62462+=++mx；则有40x，又xxmxAB222622462−+=−++=；故AB的取值范围是()6

2,62−+。6、数列{}na满足1(1)21nnnaan++−=−，则{}na的前60项和为。【答案】：1830【解析】：因为1(1)21nnnaan++−=−，所以211aa−=，323aa+=，435aa

−=，547aa+=，659aa−=，7611aa+=，……，5857113aa−=，5958115aa+=，6059117aa−=。由211aa−=，323aa+=可得132aa+=；由659aa−=，7611aa+=可得572aa+=；……由58

57113aa−=，5958115aa+=可得57592aa+=；从而=++•••++++59577531aaaaaa又211aa−=，435aa−=，659aa−=，…，5857113aa−=，6059117aa−=，所以)()(59573160586

42aaaaaaaaa++•••++−++•••+++)()()()(5960563412aaaaaaaa−+•••+−+−+−=1770211830117951==+•••+++=；从而180017705957316058642=+++•••++=++•••+++

aaaaaaaaa；因此1830180030)()(605864259573160=+=++•••++++++•••++=aaaaaaaaaS。()()()3015259577531==++•••++++aaaaaa157、已知

P点为圆1O与圆2O的公共点，2221:()()Oxaybb−+−=，2222:()()Oxcydd−+−=，若9,acacbd==，则点P与直线l：34250xy−−=上任意一点M之间的距离的最小值为。【答案】：2【解析】：设ackbd==则圆222

21:()()Oxaykaka−+−=，2222(2)()0axkyaxy−+++=圆22222:()()Oxcykckc−+−=，2222(2)()0cxkycxy−+++=；故,ac是关于m的方程2222(2)()0mxkymxy−+++=的两根；因此由韦达定理得229acxy=+=，所以点P

在圆229xy+=上，其到直线l距离就是点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值，为|304025|32.5d−−=−=8、（2015天津理）在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC===，动点E和F分别在

线段BC和DC上，且→→=DCDF91，则→→•AFAE的最小值为。【答案】：2918【解析】：因为，，，，当且仅当2192=即23=时→→•AFAE的最小值为2918。169、已知函数)()(,2)(f2Raaxxxgxx+==其中。对于不相等的

实数1x，2x，设2121)()(xxxfxfm−−=，2121)()(nxxxgxg−−=。现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数1x，2x，都有0m；(2)对于任意a的及任意不相等的实数1x，2x，都有0n；(3)对于任

意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得n=m;(4)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm−=.其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。【答案】：(1)(4)【解析】：(1)设

1x>2x，函数x2y=单调递增，所有1x2>2x2，1x-2x>0，则2121)()(xxxfxfm−−==21x2122xxx−−>0，所以正确；(2)设1x>2x,则1x-2x>0,则2121)()(nxxxgxg−−=axxxxaxx

xxxxxxaxx++=−++−=−−+−=2121212121212221))(()(，可令1x=1，2x=2，4−=a，则01−=n，所以错误；(3)因为n=m，由（2）得：2121)()(xxxfxf−−axx++=21，分母乘到

右边，右边即为)()(21xgxg−，所以原等式即为)()(21xfxf−=)()(21xgxg−，即为)()(21xgxf−=)()(f21xgx−，令)()()(xgxfxh−=，则原题意转化为对于任意的a，函数)(

)()(xgxfxh−=存在不相等的实数1x，2x使得BADCEF17函数值相等，axxxhx−−=22)(，则axnxx−−=22l2)(h，则22l2)(h−=）（nxx，令()"0hx=，且12x，可得()'hx为极小值。若10000a=−，则

()'0hx，即()'0hx，()hx单调递增，不满足题意，所以错误。(4)由(3)得)()(21xfxf−=)()(21xgxg−，则()()()()1122fxgxgxfx+=+，设()()()hxfxgx=+，有1x，2x使其函数值相

等，则()hx不恒为单调。()22xhxxax=++，()'2ln22xhxxa=++，()()2''2ln220xhx=+恒成立，()'hx单调递增且()'0h−，()'0h+。所以()hx先减后增，满足题意，所以正确。10、设函数(),0,0.xxxfxabcc

acb=+−其中(1)记集合(,,),,Mabcabca=不能构成一个三角形的三条边长，且=b,则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为___________；(2)若_,,abcABC是的三条边长，则下列结论正确的是______

____。(写出所有正确结论的序号)①()(),1,0;xfx−②,,,xxxxRxabc使不能构成一个三角形的三条边长；③若()()1,2,0.ABCxfx=为钝角三角形，则使【答案】：(1)]10(，(2)①②③【解析】：(1)由题意知2cba=,所以方程0xxxa

bc+−=可化为02=−xxca,即2)(=xac又2ac,所以当0x时.2)(2=xxac此时10x;当0x时21)(xac,无解.所以()fx的零点的取值集合为{01}xx。(2)①令1)()()()(−+=−+==xxx

xxxxcbcaccbacxfxF，则)ln()()ln()()('cbcbcacaxFxx+=，因为0,0.cacb所以0)ln(,0)ln(cbca，即0)ln()()ln()()('+=cbcbcacaxFxx，所以1)()()(−+=−+=xxxxxxcbcac

cbaxF是单调递减18函数，所以在)1,(−上1)1()(−+=cbaFxF，又,,abcABC是的三条边长，cba+01)1()(−+=cbaFxF，所以()(),1,0;xfx−②又因为)(xF

是单调递减函数，所以在R一定存在零点0x,即000xxxcba=+,此时000,,xxxcba不能构成三角形的三边.③ABC为钝角三角形，则由余弦定理易知0222−+cba,即0)2(f,又0)1(f，且)(x

f连续，所以()()1,2,0.xfx=使故①②③都正确。