【文档说明】【精准解析】河南省普通高中2020届高三质量测评（二）数学理科试题.doc，共(24)页，2.177 MB，由小赞的店铺上传

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大象联考2020年河南省普通高中高考质量测评（二）数学（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13VS

h=（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，集合2|log1Axx=

，2|0Bxxx=−，则AB=（）A.{|12xx}B.{|2xx}C.{|12xx}D.{|14xx}【答案】A【解析】【分析】求出不等式2log1x和20xx−的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案.【详解】由2log1x，得02x

，故{|02}Axx=，由20xx−，得1x或0x，故{|1Bxx=或0}x，所以，{|12}ABxx=.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解.2.已知复数z满足21izi

−=+，则z=（）A.132i+B.132i−C.32i+D.32i−【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2iiiiziii−−−−===++−.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3.

由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图

是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一

直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务

商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题．4.411(12)xx++展开式中2x的系数为（）A.10B.24C.32D.56【答案】D【

解析】【分析】先将式子411(12)xx++化成4411(12)(12)xxx+++，再分别求两项各自的2x的系数，再相加，即可得答案.【详解】∵444111(12)1(12)(12)xxxxx++=+++，∴4(12)

x+展开式中含2x的项为22241(2)24Cxx=，41(12)xx+展开式中含2x的项33241(2)32Cxxx=，故2x的系数为243256+=.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.已知函数()xfx

aexb=++，若函数()fx在(0,(0))f处的切线方程为23yx=+，则ab的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】对函数求导得(0)2f=，求得a的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b的值，即可得答

案.【详解】∵()1xfxae=+，∴(0)12fa=+=，解得1,(0)13afabb==+=+=，∴2b=，∴2ab=.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用.6.

函数2sin()1xxfxx+=+在[,]−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为奇函数及()0f，再结合排除法，即可得答案.【详解】∵函数的定义域为R，关于原点对称，且2sin()()()()()1xxfxfxx−+−−==−−+，∴()fx是奇

函数，故排除A；22sin()011f+==++，排除B，C.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.7.如图，在四棱锥PABCD−中，//ADBC，2AD=，3BC=，E是PD的中点，F在

PC上且13PFPC=，G在PB上且23PGPB=，则（）A.3AGEF=，且AG与EF平行B.3AGEF=，且AG与EF相交C.2AGEF=，且AG与EF异面D.2AGEF=，且AG与EF平行【答案】D【解析】

【分析】取CF的中点H，连接,DHGH，通过证明四边形ADHG为平行四边形，可得AGDH且AGDH=，由在PHD中，,EF分别为PD和PH的中点，可得EFDH且12EFDH=，综上，即可得到本题答案.【

详解】取CF的中点H，连接,DHGH，则在PBC中，23PGPHPBPC==，所以GHBC，223GHBC==，又因为ADBC且2AD=，所以GHAD，且GHAD=，所以四边形ADHG为平行四边形，所以AGDH，且AGDH

=.在PHD中，,EF分别为PD和PH的中点，所以EFDH，且12EFDH=，所以EFAG，且12EFAG=，即2AGEF=.故选：D【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.8.已知等差数列na

的前n项和为nS，22a=，728S=，则数列11nnaa+的前2020项和为（）A.20202021B.20182020C.20182019D.20212020【答案】A【解析】【分析】根据22a=，728S=，求得na，再利用裂项相消法求nT，令2020n=代入nT，即可得答

案.【详解】因为数列na是等差数列，所以()1774772aaSa+==.设公差为d，因为272,28aS==，所以()112,7328,adad+=+=解方程组得11,1,ad==所以数列na的通项公式为1(1)1nann=+−=，所以111(1)

nnaann+=+.设nT为数列11nnaa+的前n项和，则11111122334(1)(1)nTnnnn=+++++−+111111122331nn=−+−+++−+∴2020111111111122334202012020202020201T=−+−+−++−+−

−+12020120212021=−=故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.9.“角谷定理”的内容为对于

每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据流程逐步分析，直到1n=时，计算出i的值即可.【详解】（1）10

,0ni==；（2）5,1ni==；（3）16,2ni==；（4）8,3ni==；（5）4,4ni==；（6）2,5ni==；（7）1,6ni==．故选B．【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问

题.10.设抛物线22(0)xpyp=的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设7(0,)2pC，AF与BC相较于点E.若||2CFAF=，且ACE的面积为32，则p的值为（）A.2B.2C.6D.22【答案】C【解析】【分析】由题，可得()2,Ap

p，又由~ABEFCE及ACE的面积为32，得92ACFS=，然后通过求132922ACFSpp==的解，即可得到本题答案.【详解】根据已知0,2pF，:2ply=−，由||2|

|CFAF=，得3||2AFp=，不妨设点(,)Axy在第一象限，则322pyp+=，即yp=，所以2xp=，易知~ABEFCE，||||1||||2ABAECFEF==，所以||2||EFAE=，所以ACF的面积

是AEC面积的3倍，即92ACFS=，所以132922ACFSpp==，解得6p=.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力.11.

现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD−，如图所示，已知,64DABBAC==，三棱锥的外接球的表面积为4，该三棱锥的体积的最大值为（）A.33B.36C.324D.348

【答案】B【解析】【分析】设三棱锥ABCD−的外接球的半径为r，由球的体积得球的半径，当平面ABC⊥平面ABD时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥ABCD−的外接球的半径为r，因为

244r=1r=，因为90ADBACB==，所以AB为外接球的直径，所以2AB=，且3,1,2ADBDACBC====.当点C到平面ABD距离最大时，三枝锥ABCD−的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，

且点C到平面ABD的距离1d=，所以11133113326ABCDCABDABDVVSd−−====△.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力

，求解时注意球心位置的确定.12.设函数()sin()fxx=+，其中0,,43，已知()fx在[0,2]上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）A.136=B.116=C.74=D.34=【答案】A【解析

】【分析】设tx=+，则2t+剟，从而将问题转化为sinyt=在[,2]+上有4个零点，从而得到425+„，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案.【详解】设tx=+，则2t+剟

，所以sinyt=在[,2]+上有4个零点，因为,43，所以425+„，所以52222−−„，所以5342222−−„，即15783„，满足的只有A.故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零

点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若||3a=，||2b=，237ab+=，则a与b的夹角为_

_____________.【答案】3【解析】【分析】由222|2|44abaabb+=++及||||cosabab=，即可得到本题答案.【详解】设a与b的夹角为，则222|2|449432cos4437abaabb+=++=+

+=，得1cos2=，所以3=.故答案为：3【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题.14.记nS为等比数列na的前n项和，若数列12nSa−也为等比数列，则43SS=________.【答案】1514【解析】

【分析】设等比数列na的公比为q，利用等比数列12nSa−的等比中项性质可得公比q，再代入等比数列的前n项和公式中，即可得答案.【详解】设等比数列na的公比为q，∵数列12nSa−为等比数列，∴()()2211231aaaaaa−=−+−，解得：12q=，

∴4211231241332315(1)1587(1)144SaqqqSaqaaaaaaqa+++====+++++++.故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解

能力.15.某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g，次品重110g，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i袋取出i个产品（1,2,3,4,5i=），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y，若

次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y=_________g；若次品所在的袋子的编号是n，此时的重量y=_______g.【答案】(1).1520(2).150010,{1,2,3,4,5}nn+【解析】【分析】第1袋取1

个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})nn袋，则15个产品中次品n个，正品15n−个，分别进行计

算，即可得答案.【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y=+=，

若次品是第({1,2,3,4,5})nn袋，则15个产品中次品n个，正品15n−个，此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}ynnnn=−+=+.故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}nn+【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，求解时注意对题意的理解.16.已知点P是双曲线2213yx−=右支上一动点，12,FF是双曲线的左、右焦点，动点Q满足下列条件：①12212||0||PFPFQFPFPF+=，②12120||||PFPFQPPFPF++=，则点Q的轨迹

方程为________________.【答案】221(0)xyy+=【解析】【分析】设动点Q的坐标为(,)xy，延长2FQ交1PF于点A，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QFPQ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQAF==，即可得答案.【详解】设动点Q的

坐标为(,)xy，延长2FQ交1PF于点A，由条件②知点Q在12FPF的角平分线上，结合条件①知2QFPQ⊥，所以在2PFA△中，2PQFA⊥.又PQ平分2APF，所以2PFA△为等腰三角形，即2||PAPF=，2|

|AQQF=.因为点P为双曲线上的点，所以122PFPF−=，即12||2PAAFPF+−=，所以12AF=.又在12FAF中，Q为2AF的中点，O为12FF的中点，所以11||12OQAF==，所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径为1

的圆，所以点Q的轨迹方程为221(0)xyy+=.故答案为：221(0)xyy+=.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想

、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据需要作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分

别是a，b，c，且sin2sin()0cBbAB−+=（1）求角B的大小；（2）设4a=，6c=，求sinC的值．【答案】（1）3B=（2）32114【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cosB，进而可求B；（2）由余弦定理可得，2221cos22acbBac

+−==，代入可求b，由正弦定理可得，sinsincBCb=可求．【详解】解：（1）由正弦定理得sinsin2sinsin()0CBBAB−+=，化简得2sinsincossinsin0CBBBC−=.因为在三角形中，sin0B，sin0C，可得1cos2B=.又因为(0,)B，所

以3B=（2）由余弦定理可得，2221cos22acbBac+−==，2163612462b+−=，所以27b=，由正弦定理可得，sin321sin14cBCb==.【点睛】本题主要考查了两角和及二

倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18.为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验

后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现

乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终

成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）分布列见解析，2.6（2）40000尾【解析】【分析】（1）由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

利用相互独立事件同时发生的概率，可计算(0),(1),(2),(3)PXPXPXPX====的值，进而得到分布列和期望；（2）依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.95，计算一尾乙种鱼苗的平均收益，进而计算n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，再解不等式，即可得答

案.【详解】（1）记随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则(0)0.20.10.10.002PX===，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044PX==++=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306PX==

++=，(3)0.80.90.90.648PX===.故X的分布列为X0123P0.0020.0440.3060.648()00.00210.04420.30630.6482.6EX=+++=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0

.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+=，所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4−=元.设购买n尾乙种鱼苗，()En为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000Enn=…，解得40000n….所以

需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、利润最大化的决策问题，考查函数与方程思想、，考查数据处理能力.19.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一

动点（不与,CD重合），点Q是圆弧AB的中点，且点,PQ在平面ABCD的两侧.（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点,EF分别是PQB△和POA的重心，当三棱锥PABC−体积最大时，

回答下列问题.（ⅰ）证明：//EF平面PAQ；（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）255【解析】【分析】（1）证明PC垂直平面PAD内的两条相交

直线,ADPD，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）当三棱锥PABC−体积最大时，点P为圆弧CD的中点，所以点O为圆弧AB的中点，所以四边形AQBO为正方形，且PO⊥平面ABO.（ⅰ）连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，则//MNAQ，再由线

面平行的判定定理证得结论；（ⅱ）由PO⊥平面,ABOAO垂直BO，所以以O为坐标原点，,,OAOBOP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量(2,2,1)n=，平面PCD的法向量(0,0,1)m=，求两

向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值.【详解】（1）因为ABCD是轴截面，所以AD⊥平面PCD，所以ADPC⊥，又点P是圆弧CD上的一动点（不与,CD重合），且CD为直径，所以PCPD⊥，又,ADPDDPD=平面,P

ADAD平面PAD，所以PC⊥平面PAD，而PC平面PBC，故平面PAD平面PBC.（2）当三棱锥PABC−体积最大时，点P为圆弧CD的中点，所以点O为圆弧AB的中点，所以四边形AQBO为正方形，且PO⊥

平面ABO.（ⅰ）连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA于点N，连接MN，则//MNAQ，因为,EF分别为两个三角形的重心，∴23PEPFPMPN==，//EFMN所以//EFAQ，又AQ平面,P

AQEF平面PAQ，所以//EF平面PAQ.（ⅱ）PO⊥平面,ABOAO垂直BO，所以以O为坐标原点，,,OAOBOP所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(2,2,0)

PABPAAB=−=−，设平面PAB的法向量(,,)nxyz=，则0,0,nPAnAB==即220,220,xzxy−=−+=可取(2,2,1)n=，又平面PCD的法向量(0,0,1)m=，所以15cos,5||||5nmnmnm===，所以2

5sin,5nm=.所以平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为255.【点睛】本题考查空间中的线面平行、面面垂直、二面角的向量求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意建系前必需证明三

条直线两两互相垂直.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知12PFF△的内切圆半径的最大值为33，椭圆的离心率为12.（1）求椭

圆C的方程；（2）过2F的直线l交椭圆C于,AB两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与,AB重合）.设ABQ△的外心为G，求证2||ABGF为定值.【答案】（1）22143xy+=（2）见解析【解析】【分析】（1）当12PFF△面积最大时，r

最大，即P点位于椭圆短轴顶点时33r=，即可得到b的值，再利用离心率求得,ac，即可得答案；（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB为1xmy=+，代入椭圆方程得()2234690mymy++−=.设()()1122,,,AxyBxy，利用弦长公式求得||

AB，利用AB的垂直平分线方程求得G的坐标，两个都用m表示，代入2||ABGF中，即可得答案.【详解】（1）由题意知：12ca=，∴2222,acbac==−，∴3bc=.设12PFF△的内切圆半径为r，则()12121211(22)()22PFFSPFPFFFra

cracr=++=+=+，故当12PFF△面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时33r=，所以3()3acbc+=，把2,3acbc==代入，解得：2,3ab==，所以椭圆方程为22143xy+=.（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且

不为0，设直线AB为1xmy=+，代入椭圆方程得()2234690mymy++−=.设()()1122,,,AxyBxy，则12122269,3434myyyymm−−+==++，所以AB的中点坐标为2243,3434mmm−++

，所以()2222122121121||1|2|13434mmABmymmm++=+−=+=++.因为G是ABQ△的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交点，AB的垂直平分线方程为22343434mymxmm+=−−

++，令0y=，得2134xm=+，即21,034Gm+，所以222213313434mGFmm+=−=++所以()22222121||1234433334mABmmGFm++===++，所

以2||ABGF为定值，定值为4.【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量m的表达式，进而求证得到定值.

21.已知函数()2(12)lnafxxaxx=+−+.（1）讨论()fx的单调性；（2）如果方程()fxm=有两个不相等的解12,xx，且12xx，证明：1202xxf+.【答案】（1）见解析（2）见解析【解

析】【分析】（1）对函数()fx进行求导得2()(21)()(0)xaxfxxx−+=，再对a进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a„时，()fx在(0,)+单调递增，()fxm=至多一个根，不符合题意；当0a时，()fx

在(0,)a单调递减，在(,)a+单调递增，则()0fa=.不妨设120xax，只要证122xxa+212xax−，再利用函数的单调性，即可证得结论.【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)aaxaxa

xaxfxxxxxx−+−−−+=+−==.①当0a„时，(0,),()0,()xfxfx+单调递增；②当0a时，(0,),()0,()xafxfx单调递减；(,),()0,()xa

fxfx+单调递增.综上：当0a„时，()fx在(0,)+单调递增；当0a时，()fx在(0,)a单调递减，在(,)a+单调递增.（2）由（1）知，当0a„时，()fx在(0,)+单调递增，()fxm=

至多一个根，不符合题意；当0a时，()fx在(0,)a单调递减，在(,)a+单调递增，则()0fa=.不妨设120xax，要证1202xxf+，即证122xxa+，即证122xx

a+，即证212xax−.因为()fx在(,)a+单调递增，即证()()212fxfax−，因为()()21fxfx=，所以即证()()112fxfax−，即证()()faxfax+−.令()()

()gxfaxfax=+−−2()(12)ln()2()(12)ln()aaaxaaxaxaaxaxax=++−++−−+−−++−4(12)ln()(12)ln()aaxaaxaaxaxax=+−+−−−+−+−，221212()4()()aaaagxa

xaxaxax−−=++−−+−+−()()22222222222242(12)4()()()()aaxxxaaaaaxaxaxaxax+−−−=+−=−+−+−.当(0,)xa时，()0,()gxgx单调递减，又(0)(0)(0)0gfafa=+−−=，所以(0,)xa时，()

(0)0gxg=，即()()faxfax+−，即()(2)fxfax−.又1(0,)xa，所以()()112fxfax−，所以1202xxf+.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化

与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为21,22xsys=

=（s为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos2sin90++=.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【答案】（1）24y

x=，290xy++=（2）5【解析】【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C的直角坐标方程；将cos,sinxy==代入l的极坐标方程得l的直角坐标方程；（2）设21,22Pss，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的

性质求最值，即可得答案.【详解】（1）C的直角坐标方程为：24yx=，将cos,sinxy==代入l的极坐标方程得l的直角坐标方程为：290xy++=.（2）设21,22Pss，则点P到直线l的距离2211(

22)5|22922145sssd++++==+，当22s=−时，距离最小，最小值为555d==.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23.已知函数()|1||24|fxxx=++−.（1

）求不等式()6fx的解集；（2）若函数()yfx=的图象最低点为(),mn，正数,ab满足6manb+=，求23ab+的取值范围.【答案】（1）13,x−（2）2325,6ab++【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分

段函数求出最低点，得236ab+=，构造1，利用均值不等式求解即可.【详解】（1）33,2()5,1233,1xxfxxxxx−=−+−−+−，所以由()6fx可得2336xx−，或1256x

x−−+，或1336xx−−+，解得：2,3x或()1,2x−或1x=−.综上，13,x−.（2）因为33,2()5,1233,1xxfxxxxx−=−+−−+−，所以当2x

=时，()min3fx=，最低点为()2,3，即236ab+=，所以132ab+=.23232313252323266abbaababab+=++=++++=，当且仅当65ab==时等号成立，所以2325,6ab++【点睛】本题主要考查

了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.