【文档说明】七年级数学下册举一反三系列（沪科版）专题1.5 相交线、平行线和平移章末重难点题型（原卷版）.docx，共(20)页，590.767 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.5相交线、平行线和平移章末重难点题型【沪科版】【考点1点到直线的距离】【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【例1】（2020春•江汉区月考）如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，则

图中能表示点A到直线BC的距离的是（）A．AD的长度B．AE的长度C．AC的长度D．CF的长度【变式1-1】（2020春•思明区校级期末）如图，AC⊥BF，CD⊥AB于点D，点E在线段BF上，则下列说法错误的是（）2A．线段CD的长度是点

C到直线AB的距离B．线段CF的长度是点C到直线BF的距离C．线段EF的长度是点E到直线AC的距离D．线段BE的长度是点B到直线CD的距离【变式1-2】（2020春•大新县期末）如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上

的三点A、B、C的距离分别为PA＝4cm，PB＝6cm，PC＝3cm，则点P到直线m的距离为（）A．3cmB．小于3cmC．不大于3cmD．以上结论都不对【变式1-3】（2020春•涟源市期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠AP

C＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是（）A．②③B．①②③C．③④D．①②③④【考点2垂线段最短在生活中的应用】【方法点拨】连接

直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.【例2】（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）3A．A点B．B点C．C点D．D点【变式2-1】（2020春•

芝罘区期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．经过一点有无数条直线【变式2-2】（2020秋•海淀区校级期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的

脚印，那么体育陈老师测量小明同学的体育成绩，应该选取线段的长度，其依据是．【变式2-3】（2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走

最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．4【考点3相交线中的交点个数问题】【例3】（2020春•涟源市期末）平面上有3条直线，则交点可能是（）A．1个B．1个或3个C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3个【变式3-1】（2020春•

沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么mn是（）A．1B．6C．8D．4【变式3-2】（2020秋•邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条

直线相交，交点最多的个数是（）A．100个B．135个C．190个D．200个【变式3-3】（2020春•无棣县期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条直线两两相交最多有6个交

点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表：直线条数n/条2345678…最多交点个数p/个13610…………则n与p的关系式为：．【考点4与对顶角、领补角有

关的角度计算】【方法点拨】掌握对顶角相等、邻补角之和为180°是解此类题的关键.【例4】（2020秋•长春期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（）5A．72°B．98°C．

100°D．108°【变式4-1】如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（）A．540°﹣5αB．540°﹣6αC．30°D．40°【变式4-2】（2020秋•原州区期末）直线

AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠BOF＝50°，求∠AOC与∠AOE的度数．【变式4-3】（2020秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠

AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．【考点5平行线中的基本事实】【方法点拨】基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行.【例5】（2020春•港南区期末）下列说法不正确的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条

平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线6C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行【变式5-1】（2020春•铁西区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的

位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【变式5-2】（2020春•垦利区期末）下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相

等的角叫对顶角；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两点之间的距离是两点间的线段；⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-3】（2020秋•沈丘县期末）下

列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a

⊥c【考点6三线八角的识别】【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这

样的一对角叫做同位角；*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；【例6】（202

0春•江夏区月考）如图，下列结论中错误的是（）7A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠4是内错角C．∠5与∠6是内错角D．∠3与∠5是同位角【变式6-1】（2020春•舞钢市期末）如图，给出以下说法：①∠B和∠1是同旁

内角；②∠3和∠4是内错角；③∠B和∠AEC是同位角；④∠A和∠3是内错角；⑤∠2和∠3是对顶角，其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式6-2】（2020春•长春月考）根据图形填空：（1）若直线ED、BC被直线AB

所截，则∠1和是同位角；（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和是内错角；（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线所截构成的内错角．（4）∠2和∠4是直线AB、被直线BC所截构成的角．【变式6-3】（2020秋•崇川区校级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为

简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，

最多可以形成对同旁内角．（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．8【考点7平行线的判定】【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行；平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行；平行线判定定理3：同旁内角互

补，两直线平行；平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行.【例7】（2020春•越秀区校级月考）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°【变式7-1】（2

020秋•海淀区校级期末）如图，在下列给出的条件中，可以判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠4；④∠DAB+∠ABC＝180°；⑤∠BAD+∠ADC＝180°．A．①②③B．①②④C．①④⑤D．②③⑤【变式7-2】（2020秋•叙州区

期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（）9A．3个B．4个C．5个D．6

个【变式7-3】（2020春•桃江县期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是（）A．∠BOE＝55°B．∠DOF＝

35°C．∠BOE+∠AOF＝90°D．∠AOF＝35°【考点8平行线中的推理过程填空】【例8】（2020秋•香坊区校级期中）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥

DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（）∴∠1＝（）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（）∴∠2＝（）∴∠1＝∠2（）10【变式8-

1】（2020秋•香坊区校级期中）几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（）．∴

∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（）．【变式8-2】（2020春•栖霞市期中）完成下列推理，并填写完理由．已知，如图，∠BAE+∠AED＝180°，∠M＝∠N，试说明：∠1＝∠2．解：∵∠BAE+∠AED＝1

80°（已知）∴∥（）∴∠BAE＝又∵∠M＝∠N（已知）∴∥（）∴∠NAE＝（）∴∠BAE﹣∠NAE＝﹣（）即∠1＝∠211【变式8-3】（2020秋•南岗区校级期中）如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD

的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（）∴AD∥BC（）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（）又∵∠ABC＝2

∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（）∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=12×180°＝90°∵AB∥EF（）∴∠

BAF＝∠F（）∵∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（）12【考点9平行线的判定及性质的证明】【例9】（2020秋•丹东期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若DE平分∠ADC

，∠2＝3∠B，求∠1的度数．【变式9-1】（2020秋•吉水县期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．【变式9-2】（201

9秋•市南区期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断∠1与∠ABD的数量关系，并说明理由；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．13【变式9-3】（2020春•香洲区校级期中）

如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．（1）证明AD∥EF；（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，则∠BAD和∠CAD相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若FH⊥BC，∠C＝30°，求∠F的

度数．【考点10平行线中的折叠问题】【例10】（2020秋•苏州期中）将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．

58°C．60°D．69°【变式10-1】（2020春•越城区校级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（）14A．90°B．100°C．105°D．110°【

变式10-2】（2020秋•番禺区期末）如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是．【变式10-3】（2020秋•香坊区期末）如图1是长方形纸带，将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D

分别落在点C1、D1处，再沿BF折叠成图3，使点C1、D1分别落在点C2、D2处．（1）若∠DEF＝20°，求图1中∠CFE的度数；（2）在（1）的条件下，求图2中∠C1FC的度数；（3）在图3中写出∠C2FE、∠EGF与∠DEF的数量关系，并说明理由．【考点11平行线中的辅助线

构造】【例11】（2020春•高州市期中）（1）如图甲，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；（3）如图丙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数

量关系．15【变式11-1】（2020春•英德市期中）直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝；（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC

之间有什么等量关系？请猜想证明．【变式11-2】（2020春•竹溪县期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．（1）端点A、C同向：如图1，点P在

直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝度．（2）端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC+（∠A﹣∠C）＝度如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC与（∠A﹣∠C）有怎样的等量关系？写出结论并说明理由．【变式

11-3】（2020春•咸宁期末）（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC；（2）（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°16（3）（应用）点E、F、G在直线AB与

CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG＝36°，求∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的度数．【考点12平行线的判定及性质与角平分线综合】【例12】（2020秋•禅城区期末）阅读下面内容，并解

答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E

，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题，并写出解答过程．A．在图1的基础上

，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量

关系，并证明它．【变式12-1】（2020秋•盘龙区期末）阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，

请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，17则有∠BEF＝．∵AB∥CD，∴∥，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a

上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠

ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【变式12-2】（2020秋•绿园区期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直

线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠PFD＝130°（已知），∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性

质）．即∠EPF＝90°（等量代换）．[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是°．18【变式12-3】（2020秋•市中区期末）已知AM∥CN，点B为平

面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3

∠DBE，求∠EBC的度数．【考点13平移性质的运用】【例13】（2020春•越秀区校级月考）在手工制作课上，张华和李丽用铁丝制作楼梯模型，如图所示，则她们用的铁丝周长（）A．张华的长B．李丽的长C．一样长D．不能确定【变式13-1

】（2020春•西城区校级期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（）19A．23cmB．26cmC．29cmD．32cm【变式13-2】（2019春•海曙区期中）如图，将直角△ABC沿

斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形GCFE的面积为16，正确的有（）A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④【变式13-3】（2020春•蕲春县期中）如

图，将直角三角形ABC沿AB方向平移AD长的距离得到直角三角形DEF，已知BE＝5，EF＝8，CG＝3．则图中阴影部分面积．【考点14作图—平移变换】【例14】（2020秋•南岗区期中）如图，将△ABC，向右平移4个格子，再向下平移2个格子．（1）请你画

出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接BE和CE，请你求出△BCE的面积．【变式14-1】（2020春•瑞安市期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的

网格中．（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到△A'B'C'，请在网格中画出△A'B'C'；20（2）线段BB'与线段CC'的位置关系是：（填“平行”或“相交”），数量关系是：．（3）△ABC的面积为．【变式14-2】（2020秋•香坊区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边

长均为1．在图中平移三角形ABC，使点A移到点D处，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F．（1）请在方格纸中画出平移后的三角形DEF；（2）分别连接CD，CF，请直接写出三角形CDF的面积；（3）过点D作CF的垂线，垂足为H，延长AB交直线DH于点G，请画

出图形；直接写出四边形BGHC的面积．【变式14-3】（2020秋•南岗区期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形ABC中，点A、点B、点C均在格点上．（1）在图1中，过点C画出线段AB的垂线；（2）在图1中，过点B画出直线BM，使BM∥AC；（3）在图2中，先将三角形

ABC向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1．