【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2021年天津市高考数学试卷（解析版）.docx，共(18)页，1.163 MB，由envi的店铺上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A、B互斥，那么()()()=+PABPAP

B．•如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB=．•球的体积公式313VR=，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式13VSh=，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合

1,0,11,3,5,0,2,4ABC=−==，，则()ABC=（）A.0B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】1,0,11,3,

5,0,2,4ABC=−==，，1AB=，()0,1,2,4ABC=.故选：C.2.已知aR，则“6a”是“236a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】

A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a，则236a，故充分性成立；若236a，则6a或6a−，推不出6a，故必要性不成立；所以“6a”是“236a”的充分不必要条件.故选

：A.3.函数2ln||2xyx=+的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当()0,1x时，()0fx，排除D，即可得解.【详解】设()2ln||2xyfxx==+，则函数()fx的定义域为0xx，关于原点

对称，又()()()2ln||2xfxfxx−−==−+，所以函数()fx为偶函数，排除AC；当()0,1x时，2ln||0,10xx+，所以()0fx，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：

)66,70、)70,74、、94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间)82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间)82,86内的影视作品数量.【

详解】由频率分布直方图可知，评分在区间)82,86内的影视作品数量为4000.05480=.故选：D.5.设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc===，则a，b，c的大小关系为（）A.

abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,abc的范围即可求解.【详解】22log0.3log10=，0a，122225log0.4log0.4loglog212=−==，1b，0.3000.

40.41=，01c，acb.故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B【解析】【分析】

作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD=，设球的半径为R，则343233R=，可得

2R=，所以，44ABADBDBD=+==，所以，1BD=，3AD=，CDAB⊥，则90CADACDBCDACD+=+=，所以，CADBCD=，又因为ADCBDC=，所以，ACDCBD△∽△，所

以，ADCDCDBD=，3CDADBD==，因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CDADBD+==.故选：B.7.若2510ab==，则11ab+=（）A.1−B.lg7C.1D.7log1

0【答案】C【解析】【分析】由已知表示出,ab，再由换底公式可求.【详解】2510ab==，25log10,log10ab==，251111lg2lg5lg101log10log10ab+=+=+==.故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点与抛物线22(

0)ypxp=的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB=．则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为(),0c，进而可得准线为xc=−，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212

ac=，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab−=与抛物线22(0)ypxp=的公共焦点为(),0c，则抛物线22(0)ypxp=的准线为xc=−，令x

c=−，则22221cyab−=，解得2bya=，所以22bABa=,又因为双曲线的渐近线方程为byxa=，所以2bcCDa=，所以2222bcbaa=，即2cb=，所以222212acbc=−=，所以双曲线的离心率2cea==.故选：A.9.设aR，函数22cos(22).()2(1)5,

xaxafxxaxaxa−=−+++，若()fx在区间(0,)+内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A.95112,,424B.5711,2,424

C.9112,,344D.11,2,3447【答案】A【解析】【分析】由()222150xaxa−+++=最多有2个根，可得()cos220xa−=至少有4个

根，分别讨论当xa和xa≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150xaxa−+++=最多有2个根，所以()cos220xa−=至少有4个根，由22,2xakkZ−=+可得1,24kxakZ=++，由1024kaa++可得11222ak−−−，

（1）xa时，当15242a−−−−时，()fx有4个零点，即7944a；当16252a−−−−，()fx有5个零点，即91144a；当17262a−−−−，()fx有6个零点，即111344a；

（2）当xa≥时，22()2(1)5fxxaxa=−+++，()()22Δ4(1)4582aaa=+−+=−，当2a时，，()fx无零点；当2a=时，0=，()fx有1个零点；当2a时，令22()2(1)5250faaaa

aa=−+++=−+，则522a，此时()fx有2个零点；所以若52a时，()fx有1个零点.综上，要使()fx在区间(0,)+内恰有6个零点，则应满足7944522aa或91

144522aaa=或或1113442aa，则可解得a的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成xa和xa≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在

答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．【答案】4i−【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详

解】()()()()92i2i92i205i4i2i2i2i5+−+−===−++−.故答案为：4i−.11.在6312xx+的展开式中，6x的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.【详解】6

312xx+的展开式的通项为()636184166122rrrrrrrTCxCxx−−−+==，令1846r−=，解得3r=，所以6x的系数是3362160C=.故答案为：160.12.若斜率

为3的直线与y轴交于点A，与圆()2211xy+−=相切于点B，则AB=____________．【答案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为3yxb=+，则点()0,Ab，利用直线AB与圆()2211xy+−=相切求出b的值，求出AC，利用勾股定理可求得AB.【详

解】设直线AB的方程为3yxb=+，则点()0,Ab，由于直线AB与圆()2211xy+−=相切，且圆心为()0,1C，半径为1，则112b−=，解得1b=−或3b=，所以2AC=，因为1BC=，故223ABACBC=−=.故答案为：3

.13.若0,0ab，则21abab++的最小值为____________．【答案】22【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】0,0ab，2211222222aabbababbbbb+++=+=，当且仅当21aab=且2bb=，即2ab==时等号成立，所

以21abab++的最小值为22.故答案为：22.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动

也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在

3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C+=

.故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB于点E．//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF+的值为____________；()DEDFDA+的最小值为____________．【答案】①.

1②.1120【解析】【分析】设BEx=，由222(2)44BEDFBEBEDFDF+=++可求出；将()DEDFDA+化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx=，10,2x，ABC为边长为1的等边三

角形，DEAB⊥，30,2,3,12BDEBDxDExDCx====−，//DFAB，DFC为边长为12x−的等边三角形，DEDF⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx+=++=+−

+−=，|2|1BEDF+=，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA+=++=+222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx=+−−=−+=−+，所以当310x=时，()DEDFDA+的最小值

为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin:sin:sin2:1:2ABC=，2b=．（I）求a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin26C

−的值．【答案】（I）22；（II）（III）321116−【解析】【分析】（I）由正弦定理可得::2:1:2abc=，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为sin:sin:sin2:1

:2ABC=，由正弦定理可得::2:1:2abc=，2b=，22,2ac==；（II）由余弦定理可得2228243cos242222abcCab+−+−===；（III）3cos4C=，27sin1co

s4CC=−=，7337sin22sincos2448CCC===，291cos22cos121168CC=−=−=，所以sin2sin2coscos2sin666CCC−=−373113

211828216−=−=.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：1//DF平面11AEC；（II）求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值．（III）求二面角11AACE−−的正弦值．【答案】（I）证明见解析

；（II）39；（III）13.【解析】【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出1DF及平面11AEC的一个法向量m，证明1mDF⊥，即可得证；（II）求出1AC，由1sincos,AmC=运算即可得解；（III）求得平

面11AAC的一个法向量DB，由cos,DBmDBmDBm=结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I）以A为原点，1,,ABADAA分别为,,xyz轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A,(

)10,0,2A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D,()12,2,2C,()10,2,2D，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以()2,1,0E，()1,2,0F，所以()11,0,2DF=−,()112,2,0AC=,()12

,1,2AE=−,设平面11AEC的一个法向量为()111,,mxyz=，则11111111202202mxymxyAAEzC+=+−===，令12x=，则()2,2,1m=−，因为1220mDF=−=，所以1mDF⊥，因为1DF平面11AEC，所以1//DF平面11AEC；（I

I）由（1）得，()12,2,2AC=，设直线1AC与平面11AEC所成角为，则11123sincos,9323mACACmmCA====；（III）由正方体的特征可得，平面11AAC的一个法向量为()2,2,0DB=−，则822cos,3322DBmD

BmDBm===，所以二面角11AACE−−的正弦值为211cos,3DBm−=.18.已知椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F，上顶点为B，离心率为255，且5BF=．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正

半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MPBF，求直线l的方程．【答案】（1）2215xy+=；（2）60xy−+=.【解析】【分析】（1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,Mxy，分析出直线l的方程为0015xxyy+=，求出点P的坐标

，根据//MPBF可得出MPBFkk=，求出0x、0y的值，即可得出直线l的方程.【详解】（1）易知点(),0Fc、()0,Bb，故225BFcba=+==，因为椭圆的离心率为255cea==，故2c=，221bac=−=，因此，椭圆的方程为2215xy+=；

（2）设点()00,Mxy为椭圆2215xy+=上一点，先证明直线MN的方程为0015xxyy+=，联立00221515xxyyxy+=+=，消去y并整理得220020xxxx−+=，2200440xx=−=，因此，椭圆2215xy+=在点()00,Mxy

处的切线方程为0015xxyy+=.在直线MN的方程中，令0x=，可得01yy=，由题意可知00y，即点010,Ny，直线BF的斜率为12BFbkc=−=−，所以，直线PN的方程为012yxy=+，在直线PN的方程中，令0y=，可得0

12xy=−，即点01,02Py−，因为//MPBF，则MPBFkk=，即20000002112122yyxyxy==−++，整理可得()20050xy+=，所以，005xy=−，因为222000615xyy+==，00

y，故066y=，0566x=−，所以，直线l的方程为66166xy−+=，即60xy−+=.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为ykxm=+与椭圆方程联立，由0=进行求解；（2）椭圆22221xy

ab+=在其上一点()00,xy的切线方程为00221xxyyab+=，再应用此方程时，首先应证明直线00221xxyyab+=与椭圆22221xyab+=相切.19.已知na是公差为2的等差数列，

其前8项和为64．nb是公比大于0的等比数列，1324,48bbb=−=．（I）求na和nb的通项公式；（II）记2*1,nnncbbnN=+，（i）证明22nncc−是等比数列；（ii）证明(

)*112222nkkkkkanNcac+=−【答案】（I）21,nannN=−，4,nnNbn=；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得

na的通项，由等比数列的通项公式运算可得nb的通项公式；（II）（i）运算可得2224nnncc=−，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得21222422nnnnnancac+−，进而可得111122122nkknkkkkkakcca+−==−，结合错位相减法即可得证

.【详解】（I）因为na是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642aaaa+++=+=，所以11a=，所以()12121,nnnnNaa=+−=−；设等比数列nb的公比为(),0qq，所以()221321484qbbb

qqbq==−=−−，解得4q=（负值舍去），所以114,nnnbqnNb−==；（II）（i）由题意，221441nnnnnbcb=++=，所以22224211442444nnnnnnncc=+−+=−，所以220nncc

−，且212222124424nnnnnncccc+++==−−，所以数列22nncc−是等比数列；（ii）由题意知，()()22122222121414242222nnnnnnnnnanncca+−+−==−，所以212212421222

222nnnnnnnannancc+−==−，所以111122122nkknkkkkkakcca+−==−，设10121112322222nnknkknT−−===++++，则123112322222nnnT=++++，两式相减得2111

1111122121222222212nnnnnnnnnT−−+=++++−=−=−−，所以1242nnnT−+=−，所以11111221124222222nnkknkkkkkakncca+−−==+=−−.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，

因为2112nkkkkkacca+=−无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.20.已知0a，函数()xfxaxxe=−．（I）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程：（II）证明()fx存在唯

一的极值点（III）若存在a，使得()fxab+对任意xR成立，求实数b的取值范围．【答案】（I）(1),(0)yaxa=−；（II）证明见解析；（III）),e−+【解析】【分析】（I）求出()fx在0x=处的导数，即切线斜率，求出()0f，即可求

出切线方程；（II）令()0fx=，可得(1)xaxe=+，则可化为证明ya=与()ygx=仅有一个交点，利用导数求出()gx的变化情况，数形结合即可求解；（III）令()2()1,(1)xhxxxex=−−−，题目等价于存在(1,)x−+，使得()hxb，即mi

n()bhx，利用导数即可求出()hx的最小值.【详解】（I）()(1)xfxaxe=−+，则(0)1fa=−，又(0)0f=，则切线方程为(1),(0)yaxa=−；（II）令()(1)0xfxa

xe=−+=，则(1)xaxe=+，令()(1)xgxxe=+，则()(2)xgxxe=+，当(,2)x−−时，()0gx，()gx单调递减；当(2,)x−+时，()0gx，()gx单调递增

，当x→−时，()0gx，()10g−=，当x→+时，()0gx，画出()gx大致图像如下：所以当0a时，ya=与()ygx=仅有一个交点，令()gma=，则1m−，且()()0fmagm=−=，当(,)x

m−时，()agx，则()0fx，()fx单调递增，当(),xm+时，()agx，则()0fx，()fx单调递减，xm=为()fx的极大值点，故()fx存在唯一的极值点；（III）由（II）知max()()fxfm=，此时)1(

1,mamem+−=，所以()2max{()}()1(1),mfxafmammem−=−=−−−，令()2()1,(1)xhxxxex=−−−，若存在a，使得()fxab+对任意xR成立，等价于存在(1,)x−+，使得()hxb，即min()bhx，()2(

)2(1)(2)xxhxxxexxe=+−=+−，1x−，当(1,1)x−时，()0hx，()hx单调递减，当(1,)x+时，()0hx，()hx单调递增，所以min()(1)hxhe==−，故be−，所以实数b的取值范围),e−+.【点睛】关键点睛

：第二问解题的关键是转化为证明ya=与()ygx=仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x−+，使得()hxb，即min()bhx.