《历年高考数学真题试卷》2021年天津市高考数学试卷(解析版)

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以下为本文档部分文字说明:

2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,2,本卷共9小题,每小题5分

,共45分参考公式:•如果事件A、B互斥,那么()()()=+PABPAPB.•如果事件A、B相互独立,那么()()()PABPAPB=.•球的体积公式313VR=,其中R表示球的半径.•圆锥的体积公式13VSh=,其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.一、选择题,在每小题给出的四个选项中

,只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,0,11,3,5,0,2,4ABC=−==,,则()ABC=()A.0B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C【解析】【分

析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】1,0,11,3,5,0,2,4ABC=−==,,1AB=,()0,1,2,4ABC=.故选:C.2.已知aR,则“6a”是“236a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分

也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意,若6a,则236a,故充分性成立;若236a,则6a或6a−,推不出6a,故必要性不成立;所以

“6a”是“236a”的充分不必要条件.故选:A.3.函数2ln||2xyx=+的图像大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由当()0,1x时,()0fx,排除D,即可得解.【详解】设()2ln||2xyfxx==+,则函数()fx的

定义域为0xx,关于原点对称,又()()()2ln||2xfxfxx−−==−+,所以函数()fx为偶函数,排除AC;当()0,1x时,2ln||0,10xx+,所以()0fx,排除D.故选:B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其

评分分数据,将所得400个评分数据分为8组:)66,70、)70,74、、94,98,并整理得到如下的费率分布直方图,则评分在区间)82,86内的影视作品数量是()A.20B.40C.64D.80【答案】D【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间)82,86内的影

视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知,评分在区间)82,86内的影视作品数量为4000.05480=.故选:D.5.设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc===,则a,b,c的大

小关系为()A.abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,abc的范围即可求解.【详解】22log0.3log10=,0a,122225log0.4log0.4loglog212=−==

,1b,0.3000.40.41=,01c,acb.故选:D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为323,两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为()A.3B.4C.9D.12【答案】B

【解析】【分析】作出图形,计算球体的半径,可计算得出两圆锥的高,利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径,再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示,设两个圆锥的底面圆圆心为点D,设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:

1,即3ADBD=,设球的半径为R,则343233R=,可得2R=,所以,44ABADBDBD=+==,所以,1BD=,3AD=,CDAB⊥,则90CADACDBCDACD+=+=,所以,CADBCD=,又因为ADCBDC=,所以,ACDCBD△∽△,所以,ADCDCDB

D=,3CDADBD==,因此,这两个圆锥的体积之和为()21134433CDADBD+==.故选:B.7.若2510ab==,则11ab+=()A.1−B.lg7C.1D.7log10【答案】C【解析】【分析】由已知表示出,ab,再由换底公式可求.【详解】2510ab==

,25log10,log10ab==,251111lg2lg5lg101log10log10ab+=+=+==.故选:C.8.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点与抛物线22(0)ypxp=的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、

D两点,若2||CDAB=.则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为(),0c,进而可得准线为xc=−,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得2212ac=,再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyaba

b−=与抛物线22(0)ypxp=的公共焦点为(),0c,则抛物线22(0)ypxp=的准线为xc=−,令xc=−,则22221cyab−=,解得2bya=,所以22bABa=,又因为双曲线的渐近线方程为byxa=,所以2bc

CDa=,所以2222bcbaa=,即2cb=,所以222212acbc=−=,所以双曲线的离心率2cea==.故选:A.9.设aR,函数22cos(22).()2(1)5,xaxafxxaxaxa−=−+++,若()fx在区间(0,)+内恰有6个零点

,则a的取值范围是()A.95112,,424B.5711,2,424C.9112,,344D.11,2,3447【答案】A【解析】【分析】由()222150xaxa−++

+=最多有2个根,可得()cos220xa−=至少有4个根,分别讨论当xa和xa≥时两个函数零点个数情况,再结合考虑即可得出.【详解】()222150xaxa−+++=最多有2个根,所以()cos220xa−=至少有4个根,由22

,2xakkZ−=+可得1,24kxakZ=++,由1024kaa++可得11222ak−−−,(1)xa时,当15242a−−−−时,()fx有4个零点,即7944a;当1625

2a−−−−,()fx有5个零点,即91144a;当17262a−−−−,()fx有6个零点,即111344a;(2)当xa≥时,22()2(1)5fxxaxa=−+++,()()22Δ4(1)4582aaa=+−+=−,当2a时,,()fx无零点

;当2a=时,0=,()fx有1个零点;当2a时,令22()2(1)5250faaaaaa=−+++=−+,则522a,此时()fx有2个零点;所以若52a时,()fx有1个零点.综上,要使()fx在区间(0,)+内恰有6个零点,则应满足794452

2aa或91144522aaa=或或1113442aa,则可解得a的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛:解决本题的关键是

分成xa和xa≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II卷注意事项1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题,本大题共6小题,每小题5分,共30分,试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10.i是虚数单位,复数

92i2i+=+_____________.【答案】4i−【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()92i2i92i205i4i2i2i2i5+−+−===−++−.故答案为:4i−.11.在6312xx

+的展开式中,6x的系数是__________.【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项,令x的指数为6即可求出.【详解】6312xx+的展开式的通项为()63618416

6122rrrrrrrTCxCxx−−−+==,令1846r−=,解得3r=,所以6x的系数是3362160C=.故答案为:160.12.若斜率为3的直线与y轴交于点A,与圆()2211xy+−=相切于点B,则AB=____________.【答

案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为3yxb=+,则点()0,Ab,利用直线AB与圆()2211xy+−=相切求出b的值,求出AC,利用勾股定理可求得AB.【详解】设直线AB的方程为3yxb=+,则点()0,Ab,由于直线

AB与圆()2211xy+−=相切,且圆心为()0,1C,半径为1,则112b−=,解得1b=−或3b=,所以2AC=,因为1BC=,故223ABACBC=−=.故答案为:3.13.若0,0ab,

则21abab++的最小值为____________.【答案】22【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】0,0ab,2211222222aabbababbbbb+++=+=,当且仅当21aab=且2bb=,即2ab==时等号成立,所以21a

bab++的最小值为22.故答案为:22.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局,已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为56和15,且每次活动中甲、乙

猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为____________,3次活动中,甲至少获胜2次的概率为______________.【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中,甲获胜

的概率;在3次活动中,甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中,甲获胜的概率为564253=;则在3次活动中,甲至少获胜2次的概率为23232122033327C+=.故答

案为:23;2027.15.在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DEAB⊥且交AB于点E.//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF+的值为____________;()DEDFDA+的最小值为_________

___.【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BEx=,由222(2)44BEDFBEBEDFDF+=++可求出;将()DEDFDA+化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx=,10,2x,ABC为边长为1的等边三角形,DE

AB⊥,30,2,3,12BDEBDxDExDCx====−,//DFAB,DFC为边长为12x−的等边三角形,DEDF⊥,22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx+=+

+=+−+−=,|2|1BEDF+=,2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA+=++=+222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx=+−−=−+=−

+,所以当310x=时,()DEDFDA+的最小值为1120.故答案为:1;1120.三、解答题,本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程成演算步骤.16.在ABC,角,,ABC所对的

边分别为,,abc,已知sin:sin:sin2:1:2ABC=,2b=.(I)求a的值;(II)求cosC的值;(III)求sin26C−的值.【答案】(I)22;(II)(III)321116−【解

析】【分析】(I)由正弦定理可得::2:1:2abc=,即可求出;(II)由余弦定理即可计算;(III)利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值,再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】(I)因为sin:sin:sin2:1:2ABC=,由正弦定理可得::2:1:

2abc=,2b=,22,2ac==;(II)由余弦定理可得2228243cos242222abcCab+−+−===;(III)3cos4C=,27sin1cos4CC=−=,7337sin22sincos2448C

CC===,291cos22cos121168CC=−=−=,所以sin2sin2coscos2sin666CCC−=−373113211828216−=−=.17.如图

,在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.(I)求证:1//DF平面11AEC;(II)求直线1AC与平面11AEC所成角的正弦值.(III)求二面角11AACE−−的正弦值.【答案】(I)证明见解析;(II)39;(III)13

.【解析】【分析】(I)建立空间直角坐标系,求出1DF及平面11AEC的一个法向量m,证明1mDF⊥,即可得证;(II)求出1AC,由1sincos,AmC=运算即可得解;(III)求得平面11AAC的一个法向量DB,由cos,DBmDBmDBm=结

合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】(I)以A为原点,1,,ABADAA分别为,,xyz轴,建立如图空间直角坐标系,则()0,0,0A,()10,0,2A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,2,0D,()12,2,2C,()10,2,2D

,因为E为棱BC的中点,F为棱CD的中点,所以()2,1,0E,()1,2,0F,所以()11,0,2DF=−,()112,2,0AC=,()12,1,2AE=−,设平面11AEC的一个法向量为()111,,mxyz=,则11111

111202202mxymxyAAEzC+=+−===,令12x=,则()2,2,1m=−,因为1220mDF=−=,所以1mDF⊥,因为1DF平面11AEC,所以1//DF平面11AEC;(II)由(1)得,()12,2,2AC

=,设直线1AC与平面11AEC所成角为,则11123sincos,9323mACACmmCA====;(III)由正方体的特征可得,平面11AAC的一个法向量为()2,2,0DB=−,则822cos,3322

DBmDBmDBm===,所以二面角11AACE−−的正弦值为211cos,3DBm−=.18.已知椭圆()222210xyabab+=的右焦点为F,上顶点为B,离心率为255,且5BF=.(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直

的直线交x轴于点P.若//MPBF,求直线l的方程.【答案】(1)2215xy+=;(2)60xy−+=.【解析】【分析】(1)求出a的值,结合c的值可得出b的值,进而可得出椭圆的方程;(2)设点()00,Mxy,分析出直线l的方程为0015xxyy+=,求

出点P的坐标,根据//MPBF可得出MPBFkk=,求出0x、0y的值,即可得出直线l的方程.【详解】(1)易知点(),0Fc、()0,Bb,故225BFcba=+==,因为椭圆的离心率为255cea==,故2c=,221bac=−=,因此,椭圆的方程为2215

xy+=;(2)设点()00,Mxy为椭圆2215xy+=上一点,先证明直线MN的方程为0015xxyy+=,联立00221515xxyyxy+=+=,消去y并整理得220020xxxx−+=,220044

0xx=−=,因此,椭圆2215xy+=在点()00,Mxy处的切线方程为0015xxyy+=.在直线MN的方程中,令0x=,可得01yy=,由题意可知00y,即点010,Ny,直线BF的斜率为12BFbkc=−=−,所以,直线PN的方程为012yxy=

+,在直线PN的方程中,令0y=,可得012xy=−,即点01,02Py−,因为//MPBF,则MPBFkk=,即20000002112122yyxyxy==−++,整理可得()20050xy+=,所以,005xy=−,因为22200061

5xyy+==,00y,故066y=,0566x=−,所以,直线l的方程为66166xy−+=,即60xy−+=.【点睛】结论点睛:在利用椭圆的切线方程时,一般利用以下方法进行直线:(1)设切线方程为ykxm=+与椭圆方程联立,由0=进行求解;(2

)椭圆22221xyab+=在其上一点()00,xy的切线方程为00221xxyyab+=,再应用此方程时,首先应证明直线00221xxyyab+=与椭圆22221xyab+=相切.19.已知na是公差为2的等差数列,

其前8项和为64.nb是公比大于0的等比数列,1324,48bbb=−=.(I)求na和nb的通项公式;(II)记2*1,nnncbbnN=+,(i)证明22nncc−是等比数列;(ii)证明()*112222nkkkkkanNcac+=−【

答案】(I)21,nannN=−,4,nnNbn=;(II)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.【解析】【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得na的通项,由等比数列的通项公式运算可得nb的通项公式;(II)(i)运算可得2224nnncc=−,结合等比数列的定义即

可得证;(ii)放缩得21222422nnnnnancac+−,进而可得111122122nkknkkkkkakcca+−==−,结合错位相减法即可得证.【详解】(I)因为na是公差为2的等差数列,其前8项和为64.所以1281878264

2aaaa+++=+=,所以11a=,所以()12121,nnnnNaa=+−=−;设等比数列nb的公比为(),0qq,所以()221321484qbbbqqbq==−=−−,解得4q=(负值舍去),所以114,nnnbqnNb−==;(I

I)(i)由题意,221441nnnnnbcb=++=,所以22224211442444nnnnnnncc=+−+=−,所以220nncc−,且212222124424nnnnnncccc+++==

−−,所以数列22nncc−是等比数列;(ii)由题意知,()()22122222121414242222nnnnnnnnnanncca+−+−==−,所以212212421222222nnnnnnnannancc+−==

−,所以111122122nkknkkkkkakcca+−==−,设10121112322222nnknkknT−−===++++,则123112322222nnnT=++++,两式相减得21111111122121222222212nnnnnnnnnT−−+

=++++−=−=−−,所以1242nnnT−+=−,所以11111221124222222nnkknkkkkkakncca+−−==+=−−.【点睛】关键点点睛:最后一问考查数列不等式的证明,因为2112nkkkkkacca+=−无法直接求解,应先放缩去

除根号,再由错位相减法即可得证.20.已知0a,函数()xfxaxxe=−.(I)求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程:(II)证明()fx存在唯一的极值点(III)若存在a,使得()fxab+对任意xR成立,求实数b的取值范围

.【答案】(I)(1),(0)yaxa=−;(II)证明见解析;(III)),e−+【解析】【分析】(I)求出()fx在0x=处的导数,即切线斜率,求出()0f,即可求出切线方程;(II)令()0fx

=,可得(1)xaxe=+,则可化为证明ya=与()ygx=仅有一个交点,利用导数求出()gx的变化情况,数形结合即可求解;(III)令()2()1,(1)xhxxxex=−−−,题目等价于存在(1,)x−+,使得()hxb,即min()bhx,利用导数即可求出()hx的最小值.

【详解】(I)()(1)xfxaxe=−+,则(0)1fa=−,又(0)0f=,则切线方程为(1),(0)yaxa=−;(II)令()(1)0xfxaxe=−+=,则(1)xaxe=+,令()(1)xgxxe=+,

则()(2)xgxxe=+,当(,2)x−−时,()0gx,()gx单调递减;当(2,)x−+时,()0gx,()gx单调递增,当x→−时,()0gx,()10g−=,当x→+时,()0gx,画出(

)gx大致图像如下:所以当0a时,ya=与()ygx=仅有一个交点,令()gma=,则1m−,且()()0fmagm=−=,当(,)xm−时,()agx,则()0fx,()fx单调递增,当(),xm+时,()ag

x,则()0fx,()fx单调递减,xm=为()fx的极大值点,故()fx存在唯一的极值点;(III)由(II)知max()()fxfm=,此时)1(1,mamem+−=,所以()2max{()}()1(1),mfxafmammem−=−=−−−

,令()2()1,(1)xhxxxex=−−−,若存在a,使得()fxab+对任意xR成立,等价于存在(1,)x−+,使得()hxb,即min()bhx,()2()2(1)(2)xxhxxxexxe=+−=+−,1x−,当(1,1)x−时,()0hx,()hx单调

递减,当(1,)x+时,()0hx,()hx单调递增,所以min()(1)hxhe==−,故be−,所以实数b的取值范围),e−+.【点睛】关键点睛:第二问解题的关键是转化为证明ya=与()ygx=仅有一个交点;第三问解题的关键是转化为存在(1,)x−+,使得

()hxb,即min()bhx.

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