【文档说明】专题15.3 分式方程（学生版）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）.docx，共(12)页，476.798 KB，由envi的店铺上传

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专题15.3分式方程1、了解分式方程的概念和检验根的意义；2、会解可转化为一元一次方程的分式方程；掌握这种方程解法，掌握解方程中的化归思想；3、会列出分式方程解简单的应用题。知识点01分式方程及解分式方程知识点1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”

是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去

分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零

的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分

式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．【知识拓展1】分式方程的定义例1．（2022·山东省泰安八年级阶段练习）关于x的方程①212xxx−=；②3521143xxx+−−=；③4220xx−=；④21102x−=．其中是分式

方程是（）A．①②③B．①②C．①③D．①②④【即学即练】知识精讲目标导航1．（2022·湖南·八年级单元测试）已知方程：①22190xx−=；②212xxx+=③22222xxx+=+−−；④()4615xx+−=−．

这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4B．3C．2D．1【知识拓展2】解分式方程例2．（2022·河北·石家庄三模）小明和小亮在解答“解分式方程：2311xxxx+−=−”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（

）小明的解法：解：去分母得：()2311xx+=−−①去括号得：2311xx+=−+②移项得：2113xx+=+−③合并同类项得：31x=−④系数化为1得：3x=−⑤3x=−是原分式方程的解⑥小亮的解法：解：去分母得：()231xxx+=−−①去括号得：

231xxx+=−+②移项得：231x=−+③合并同类项得：22x=−④系数化为1得：=1x−⑤A．小明的步骤①错误，漏乘B．小明的步骤②、③、④都正确C．小明的步骤⑤错误D．小亮的解答完全正确【即学即练】2.（2022·河北·八年级阶段练习）解方程：(1)233x

x=+(2)2236111xxx+=+−−【知识拓展3】分式方程的增根与无解问题例3．（2022·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：223422mxxxx−=−−+．（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．【即学即练】3（1）

（2022·江苏九年级专题练习）关于x的分式方程512xaxx+−=−(其中a为常数)有增根，则增根为_____．（2）（2022·浙江杭州·初二月考）已知关于x的分式方程3xmx+−﹣1＝1x无解，则m的值是（）A．﹣2或﹣3B．0或3C．﹣3或3

D．﹣3或0【知识拓展4】分式方程的特殊解问题例4．（2022·河南八年级期末）如果关于x的方程211axx+=−的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组3133xyaxy+=++=解满足14xy+−，则满足条件的整数a有（）个．A．7B．6C．

5D．4【即学即练】4.（1）（2022·安徽东至·七年级期末）已知关于x的方程211xkxx−=−−的解为正数，则k的取值范围为____．（2）（2022·江苏苏州·八年级期中）已知关于x的分式方程211ax+=+的解是负数，则a的取值范围______．知识点02分式方程

的应用知识点分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（

一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．【知识拓展1】工程问题例1．（2022·内蒙古凉城·期末）为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成．（1）按此计划，该公司平均每

天应生产帐篷顶；（2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？【即学即练1】1．（2022·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地

机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫2mx，根据题意可列方程为（）A．10010020.53xx=+B．10021

000.53xx+=C．100210031.5xx+=D．10010021.53xx=+【知识拓展2】行程问题例2．（2022·山东·武城县八年级期末）小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发

现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度

；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会前赶到奥体中心？说明理由．【即学即练2】2．（2022·竹溪县实验中学其他）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，

结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()A．1010122xx−=B．1010302xx−=C．1010302xx−=D．1010122xx−=【知识拓展3】销售问题例3．（20

22·重庆巴蜀中学初三期中）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.（1）为使每件产品的成本价不超过3

4元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用1600

0元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？【即学即练】3．（2020·四川广元·八年级期末）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A

种健身器材单价的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．(1)A，B两种健身器材的单价分别是多少元？(2)若今年A种健身器材的单价相较去年上涨了%a，B种健身器材的单价相较去年下降了%a，这样用7200元购买A种

健身器材和用5400元购买B种健身器材的数量就一样多，求a的值．（保留一位小数）【知识拓展4】方案问题例4．（2022·内蒙古乌海·初二期末）在“双十二”期间，,AB两个超市开展促销活动，活动方式如下：A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠

300元；B超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,AB两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购

买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）【即学即练】4．（2022·湖南长沙·八年级期末）某电脑公司经销甲种型号电

脑，受市场影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价500元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？(2)为了提高收入，电脑

公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，问有几种进货方案？(3)如果乙种电脑每台售价为3700元，为扩大乙种电脑的销量，公司

决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？考法01分式方程中的整数解问题【典例1】（2022·达州市·中考真题）若分式方程22411xaxaxx−−+−=−+的解为整数，则整数a=_

__________．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）若实数a使得关于x的分式方程12322axxxx−+=−−有正整数解，则所有满足条件的a的值之和是（）A．20B．17C．15D．12变式2．（2022·重庆实验外国语学校）关于x的分式方程1142

11axxx−−−=++有整数解，且关于y的不等式组116232(1)5yyya−−−−−有解，则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6B．12C．14D．20能力拓展题组A基础过关练1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①4xxyy−=+，②15x=，③13x

x−=−，④11=−xab中，是关于x的分式方程的有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022·湖南·八年级阶段练习）把分式方程11122xxx−−=−−的两边同时乘以2x−，约去分母，得（）A．()111x−−=

B．()111x+−=C．()112xx−−=−D．()112xx+−=−3．（2022·山东青州·初二期末）已知关于x的分式方程22124xmxxx−−=+−无解，则m的值为（）A．0B．0或8−C．8−D．0或8−或4−4．（2022·广东·佛山市华英学校三

模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为km/hx，则下面所列方程正确的是（）A．8080403xx−=B．80802.43xx−

=C．80802233xx−=+D．80802233xx+=−5．（2022·陕西金台·）某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划x天生产1200防护服，由于采用新技术，每天增加生产30套，因此提前2天完成任务，列出方程为（）A．12001200302xx=−−B．120012

00302xx=−+C．12001200302xx=−+D．12001200302xx=−−6．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）方程1233xxx=+−−的解昰___________．7．（2022·湖南·永州市八

年级阶段练习）如果方程12111kxx−−=−−的解是正数，那么k的取值范围为______．8．（2022·江苏海陵·八年级期中）若解关于x的方程12xx−−＝2mx−+2时产生了增根，则m＝_____．9．（2022·湖南·岳阳县甘田中学八年级阶段练习）解方程：(1)

512552xxx+=−−(2)22211xxx=−+分层提分10．（2022·重庆一中九年级阶段练习）某山区突发森林大火，在这场与山火的拉锯战中，“以火灭火”的方式助力了阶段性胜利时刻的到来．浴火后的山区，一半青山一半黄，为了还山区一抹绿，志愿者协会组织开展“迎国庆植树活动”，计划种植黄桷树和香

樟这两种树．(1)该协会计划种植黄桷树和香樟共5000棵，其中黄桷树的数量比香樟的数量的2倍少1000棵，求计划种植黄桷树多少棵？(2)在实际种植过程中，为了加快进度，将参与活动的志愿者分成甲、乙两组，甲组负责种植香樟，乙组负责种植黄桷树，其中乙组每小时种植

的树苗比甲组多50棵，最终两个小组同时完成任务，求乙组每小时种植的数量．题组B能力提升练1．（2022·四川广元·八年级期末）方程2111xxxx−=−−的解为（）A．12x=−B．2x=C．1x=D．原分式方程无解2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）

将0.50.0110.20.03xx+−=的分母化为整数，得（）A．0.50.01123xx+−=B．5051003xx+−=C．0.50.01100203xx+−=D．50513xx+−=3．（2022·浙江·模拟预测）已

知关于x的方程133xmxx−=−−无解，则m的值为（）A．4B．3C．2D．14．（2022·石家庄市八年级期末）关于x的分式方程52axx=−有解，则字母a的取值范围是（）A．2a=或0a=B．0aC．5aD．5a且0a5．（2022·广东·高州八年级阶段练习

）已知关于x的分式方程211xmx+=+的解为负数，求m的取值范围．6．（2022·河北张家口·初三二模）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速

度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x−B．1806x−=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x−7．（2022·山东枣庄二模）若整数a使关于x的分式方程82axx−−﹣2＝2xx−

有整数解，则符合条件的所有a之和为（）A．7B．11C．12D．138．（2022·江苏·滨海县八巨初级中学八年级阶段练习）某中学组织学生去离学校15km的东山农场，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，若先遣队比大队早到了0.5h，设大队的速度为km/hx，可得方程为__

___________．9．（2022·江苏新吴·八年级期末）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．（1）第一批笔记本每本进价多少元？（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，

售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？10．（2022·山东德州·八年级期末）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品

的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进

货方案？11．（2021·浙江长兴·初二月考）某市文化宫学习十九大有关优先发展教育的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．(1)

求文化官第一批购进书包的单价是多少？(2)商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？题组C培优拔尖练1．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于x的分式方程433x

kxx−=−−的解为非正数，则k的取值范围是（）A．12k−B．12k−≥C．12k−D．12k−2．（2022·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程10327333xkxx−−=−−−的解满足2＜x＜5，则k的取值范围是（）A．﹣7＜k

＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣14＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜73．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）若关于x的一元一次不等式组5-2-23-<+12xxaxx无解，且关于y的分式方程6211ayyy=−++的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（）

A．−6B．−4C．−2D．14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）“遥知涟水蟹，九月已经霜，巨实黄金重，舒肥白玉香”，金秋时节，是吃螃蟹的最佳季节．某螃蟹经销商出售梭子蟹、青蟹、大闸蟹三种产品．10月1日，梭子蟹、青蟹的销

量之比为2:1，青蟹、大闸蟹的销量之比为3:1，梭子蟹、青蟹的单价之比为2:3，大闸蟹的单价比青餐高13．10月8日，随着假期结束，梭子蟹、青蟹的购买热度与10月1日相比有所下降，单价也有所变化，梭子蟹下降的销量占当天三种螃蟹总销量的14，梭子蟹

、青蟹的销量之比为2:1．10月8日，大闸蟹因为单价降低50%，销量反而有所增长，结果发现，10月8日大闸蟹的销售额恰好等于10月1日大闸蟹的销售额，梭子蟹和青蟹在10月8日的总销售额之比为8:7，梭子蟹两天的总销售额与青蟹两天的总销

售额之比为13:10，则10月8日，梭子蟹与大闸蟹的单价之比为___________．5．（2022·厦门双十中学海沧附属学校）观察分析下列方程：①23xx+=；②65xx+=；③127xx+=．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程2254nnxnx++=+−（n为正整数）的根，你的答案是

_____．6．（2022·河北·邢台市八年级阶段练习）已知，关于x的分式方程=12+35abxxx−−−．(1)当=1a，=0b时，求分式方程的解；(2)当=1a时，求b为何值时分式方程=12+35abxxx−−−无解；(3)若3ab=，且a、b为正

整数，当分式方程=12+35abxxx−−−的解为整数时，求b的值．7．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校八年级期中）已知关于x的分式方程()()211122mxxxxx+=−−++(1)已知m=4，求方程的解；(2)若该分式方程无解，试求m的值．8.（2022·河南·

初二期中）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元．（1）会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，求45座和60座的客车

每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案1：若只租用45座的客车，会有一辆客车空出30个座位；方案2：若只租用60座客车，正好坐满且比只租用45座的客车少用两辆。①请计算方案1,2的费用；②如果你是会

务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？9．（2022·湖南学八年级阶段练习）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的

影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．(1)求原计划每天铺设路面的长度；(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金

是否够支付工人工资？并说明理由．