【文档说明】2009年高考试题——数学理（广东卷）解析版.doc，共(9)页，1.340 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-fa3bf2d418629b14f6e033da49e2b657.html

以下为本文档部分文字说明：

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集UR=，集合{212}Mxx=−−和{21,1,2,}Nxxkk==−=的关系的韦恩（

Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无穷多个【解析】由{212}Mxx=−−得31−x，则3,1=NM，有2个，选B.2.设z是复数，()az表示满足1nz=的最小正整数n，则对虚数单位i，()ai=A.8B

.6C.4D.2【解析】()ai=1=ni，则最小正整数n为4，选C.3.若函数()yfx=是函数(0,1)xyaaa=且的反函数，其图像经过点(,)aa，则()fx=A.2logxB.12logxC.12xD.2x【解析】xxfalog)(=，代入(,)aa，解得21=a，所以()f

x=12logx，选B.4.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan=，且25252(3)nnaan−=，则当1n时，2123221logloglognaaa−+++=w.w.w.k.s.5.u

.c.o.mA.(21)nn−B.2(1)n+C.2nD.2(1)n−【解析】由25252(3)nnaan−=得nna222=，0na，则nna2=，+++3212loglogaa2122

)12(31lognnan=−+++=−，选C.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平

行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【解析】选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,FFF

（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为2和4，则3F的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.6B.2C.25D.27w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】28)60180cos(20021222123=−−

+=FFFFF，所以723=F，选D.7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.

o.mA.36种B.12种C.18种D.48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=ACC；若小张、小赵都入选，则有选法122322=AA，共有选法36种，选A.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8．已知甲、

乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为vv乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是A.在1t时刻，甲车在乙车前面w.w.w.k

.s.5.u.c.o.mB.1t时刻后，甲车在乙车后面C.在0t时刻，两车的位置相同D.0t时刻后，乙车在甲车前面【解析】由图像可知，曲线甲v比乙v在0～0t、0～1t与x轴所围成图形面积大，则在0t、1t时刻，甲车均在乙车前面，选A.w.w.w.k.s.5.u

.c.o.m二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9.随机抽取某产品n件，测得其长度分别为12,,,naaa，则图3所示的程序框图输出的s=，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【

解析】s=naaan+++21；平均数10.若平面向量a，b满足1=+ba，ba+平行于x轴，)1,2(−=b，则=a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】)0,1(=+ba或)0,1

(−，则)1,1()1,2()0,1(−=−−=a或)1,3()1,2()0,1(−=−−−=a.11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．

【解析】23=e，122=a，6=a，3=b，则所求椭圆方程为193622=+yx.12．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若0EX=，1DX=，则a=，b=．【解析】由题知1211=++cba，061=++−ca，11

21211222=++ca，解得125=a，41=b.（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线+=−=.2,21:1ktytxl（t为参数）与直线2,:12.xslys==−（s为参数）垂直，则k=．【解析】

1)2(2−=−−k，得1−=k.14．（不等式选讲选做题）不等式112xx++的实数解为．【解析】112xx++2302)2()1(022122−++++++xxxxxxx且2−x.15．（几何证明选讲选做题）如图4，点,,ABC是圆O上的

点，且04,45ABACB==，则圆O的面积等于．【解析】解法一：连结OA、OB，则090=AOB，∵4=AB，OBOA=，∴22=OA，则8)22(2==圆S；解法二：222445sin4

20===RR，则8)22(2==圆S.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分）已知向量)2,(sin−=a与)cos,1(=

b互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102−=，求cos的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）∵a与b互相垂直，则0cos

2sin=−=ba，即cos2sin=，代入1cossin22=+得55cos,552sin==，又(0,)2，∴55cos,552sin==.（2）∵20，20，∴22−−，则10103

)(sin1)cos(2=−−=−，∴cos22)sin(sin)cos(cos)](cos[=−+−=−−=.17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按

照区间]50,0[，]100,50(，]150,100(，]200,150(，]250,200(，]300,250(进行分组，得到频率分布直方图如图5.（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的

天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知7812557=，12827=，++3652182531825791251239125818253=++，573365=）解：（1）由图可知−=15

0x++365218253(18257509125123150)9125818253−=++，解得18250119=x；（2）219)5036525018250119(365=+；（3）该城市一年中每天空气质量为良或

轻微污染的概率为533652195036525018250119==+，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为52531=−，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为7812576653)53()52()53()52(116670777=−−CC.18．（本

小题满分14分）如图6，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点E是正方形11BCCB的中心，点F、G分别是棱111,CDAA的中点．设点11,EG分别是点E，G在平面11DCCD内的正投影．（1）求以E为顶点，以

四边形FGAE在平面11DCCD内的正投zyxE1G1影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线⊥1FG平面1FEE；（3）求异面直线11EGEA与所成角的正弦值.解：（1）依题作点E、G在平面11DCCD内的正投影1E、1G，则1E、1G分别为1CC、

1DD的中点，连结1EE、1EG、ED、1DE，则所求为四棱锥11FGDEE−的体积，其底面11FGDE面积为111111EDGRtFGERtFGDESSS+=221212221=+=，又⊥1EE

面11FGDE，11=EE，∴323111111==−EESVFGDEFGDEE.（2）以D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得)1,2,0(1E、)1,0,0(1G，又)1,0,2(G，)2,1,0(F，)1,2,1(E，则)1,1,0(1−−=FG，

)1,1,1(−=FE，)1,1,0(1−=FE，∴01)1(01=+−+=FEFG，01)1(011=+−+=FEFG，即FEFG⊥1，11FEFG⊥，又FFEFE=1，∴⊥1FG平面1FEE.（3）)0,2,0(11−=GE，)1,2,1(−−=EA，则62,cos111111==

EAGEEAGEEAGE，设异面直线11EGEA与所成角为，则33321sin=−=.19．（本小题满分14分）已知曲线2:Cyx=与直线:20lxy−+=交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段A

B所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若曲线22251:24025Gxa

xyya−+−++=与D有公共点，试求a的最小值．解：（1）联立2xy=与2+=xy得2,1=−=BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx+=+=，即2

52,212−=−=ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252−=−xy化简可得8112+−=xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121−−x，即4541−x，∴中点M的轨迹方程为8112+−=xxy（4541

−x）.（2）曲线22251:24025Gxaxyya−+−++=，即圆E：2549)2()(22=−+−yax，其圆心坐标为)2,(aE，半径57=r由图可知，当20a时，曲线22251:24025Gxaxyya−+−+

+=与点D有公共点；当0a时，要使曲线22251:24025Gxaxyya−+−++=与点D有公共点，只需圆心E到直线:20lxy−+=的距离572||2|22|=+−=aad，得0527−a，则a的最小值为527−.20．（本小题满分14分）已知二次函数()ygx=的导函

数的图像与直线2yx=平行，且()ygx=在1x=−处取得极小值1(0)mm−．设()()gxfxx=．（1）若曲线()yfx=上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()kkR如何取值时，函数()

yfxkx=−存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）依题可设1)1()(2−++=mxaxg(0a)，则aaxxaxg22)1(2)('+=+=；又()gx的图像与直线2yx

=平行22a=1a=mxxmxxg++=−++=21)1()(22，()()2gxmfxxxx==++，设(),ooPxy，则2002020202)()2(||xmxxyxPQ++=−+=xyoxAxBDmmmmmxmx2||2222222220220+=+++=当

且仅当202202xmx=时，2||PQ取得最小值，即||PQ取得最小值2当0m时，2)222(=+m解得12−=m当0m时，2)222(=+−m解得12−−=m（2）由()()120myfxkxkxx=−=−++=(0x)，得()2120kxxm−

++=()*当1k=时，方程()*有一解2mx=−，函数()yfxkx=−有一零点2mx=−；当1k时，方程()*有二解()4410mk=−−，若0m，11km−，函数()yfxkx=−有两个零点)1(2)1(442kkmx−−−−=，即1)1

(11−−−=kkmx；若0m，11km−，函数()yfxkx=−有两个零点)1(2)1(442kkmx−−−−=，即1)1(11−−−=kkmx；当1k时，方程()*有一解()4410mk=−−=,11km=−,函数()yfxkx=−有一零点mkx−=−=11综上，当

1k=时,函数()yfxkx=−有一零点2mx=−；当11km−(0m)，或11km−（0m）时，函数()yfxkx=−有两个零点1)1(11−−−=kkmx；当11km=−时，函数()yfxkx=−有一零点mkx−=−=11.21．

（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn−+==．从点(1,0)P−向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnPxy．（1）求数列{}{}nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nnnnnxxxxxxxy−−

+.解：（1）设直线nl：)1(+=xkyn，联立0222=+−ynxx得0)22()1(2222=+−++nnnkxnkxk，则0)1(4)22(2222=+−−=nnnkknk，∴12+=nnk

n（12+−nn舍去）22222)1(1+=+=nnkkxnnn，即1+=nnxn，∴112)1(++=+=nnnxkynnn（2）证明：∵121111111+=+++−=+−nnnnnxxnn1211212533121243211

2531+=+−−=−nnnnnxxxxn∴nnnxxxxxx+−−1112531由于nnnnxxnyx+−=+=11121，可令函数xxxfsin2)(−=，则xxfcos21)(

'−=，令0)('=xf，得22cos=x，给定区间)4,0(，则有0)('xf，则函数)(xf在)4,0(上单调递减，∴0)0()(=fxf，即xxsin2在)4,0(恒成立，又4311210+n，则有121sin

2121++nn，即nnnnyxxxsin211+−.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.w.k.s.5.u.c.o.m