【文档说明】黑龙江省佳木斯市三校联考2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学 含解析.docx，共(9)页，938.381 KB，由envi的店铺上传

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2023-2024学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题命题教师：审题教师：考试时间：120分钟注意事项：1．答题前请粘贴好条形码，填写好自己的姓名、班级、考号等信息．2．本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两

部分，满分150分。第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分）．1．平面的一个法向量为1(1,2,1)v=，平面的一个法向量2(2,4,2)v=−，则平面与平面（）A．平行B．垂直C．相交D．不能确定2．直线320xy++=的倾斜角是（）A．30B．60C．

120D．1503．椭圆22149xy+=的离心率为（）A．33B．23C．53D．634．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221xy+，若将军从点()3,0A处出发，河岸线所在直线方程为4xy+=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”

的最短总路程为（）A．171−B．172−C．17D．32−5．设{,,}ijk为空间的一个标准正交基底，83mik=+，54nijk=−+−，则mn等于（）A．7B．20−C．23D．116．若直线20(0,0)axbyab−+=被圆2

22410xyxy++−+=所截得的弦长为4，则23ab+的最小值为（）A．10B．426+C．423+D．467．在长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A．15B．56C．55D．228．已知双曲线C与椭圆2215

yx+=有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（）A．2213yx−=B．2213xy−=C．2215yx−=D．2215xy−=二、多选题（每小题5分）．9．关于椭圆223

412xy+=有以下结论，其中正确的有（）A．离心率为12B．长轴长是23C．焦点在y轴上D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)10．在正方体1111ABCDABCD−中，若E为11AC的中点，则与直线CE不垂直的有（）A．ACB．BDC．1ADD

．1AA11．已知点()2,0A，()2,0B−，直线l：()()131220xy+−++=（其中R），若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的值可能是（）A．0B．1C．2D．412．如图，正方体

1111ABCDABCD−的棱长为2，动点P，Q分别在线段1CD，AC上，则下列命题正确的是（）A．直线BC与平面11ABCD所成的角等于4B．点C到平面11ABCD的距离为2C．异面直线1DC和1BC所成的角为

4.D．线段PQ长度的最小值为233第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分）.13．已知()1,2,ay=−，(),1,2bx=，且()2//bab−，则=x，=y.14．若圆224xy+=，与圆C：22260xyy++−=相交于A，B

，则公共弦AB的长为.15．已知点(0,1,2)M−，平面过原点，且垂直于向量(1,2,2)n=−，则点M到平面的的距离为．16．已知双曲线()2222:100xyCabab−=，的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交

于MN，两点，点O为坐标原点，且5OMON=，则双曲线C的离心率为．四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分.）17．已知空间三点()2,0,2A−，()1,1,2B−，()3,0,4C−，设=aAB，=bAC．(1)求ba,cos；(2)+

kab与2kab−互相垂直，求实数k的值．18．直线l经过两直线1:3420lxy+−=和2:220lxy++=的交点．(1)若直线l与直线310xy+−=平行，求直线l的方程；(2)若点(3,1)A到直线l的距离为5，求直线l的方程．19．如图，在边长为2的正方体ABCD-A

1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线0xy−=上，且圆C经过点()2,0P和点()1,3Q−.（1）求圆C的标

准方程；（2）求经过点()21M,且与圆C恰有1个公共点的直线的方程.21．已知抛物线2:2(0)Cypxp=上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)过点()2,1P−作直线

l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.22．如下图，已知点(1,2)A是离心率为22的椭圆C：22221(0)yxabab+=上的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：直线AB，AD的斜率之和

为定值．2023-2024学年度（上）三校联考高二期末考试数学试题答案1．A【解析】由两个平面法向量的位置关系判断两平面的位置关系【详解】解：因为平面的一个法向量为1(1,2,1)v=，平面的一个法向量2(2,4,2)v=−，所以212v

v=−，所以12vv∥所以∥．故选：A2．D【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.【详解】320xy++=化为32333yx=−−，斜率为33−，所以倾斜角为0150.故选:D.3．C【解析】根据椭圆方程求2a，2b，2c，再求离心率.【详解

】由椭圆方程可知29a=，24b=，所以2225cab=−=，椭圆的离心率53cea==.故选：C4．A【解析】求出A关于4xy+=的对称点A，根据题意，则1AC−为最短距离，即可得答案；【详解】设点A关于直线4xy+=的对称点(),Aab，设军营所在

区域为的圆心为C，根据题意，1AC−为最短距离，先求出A的坐标，AA的中点为3,22ab+，直线AA的斜率为1，故直线AA为3yx=−，由34223abba++==−，解

得4a=，1b=，所以224117AC=+=，故1171AC−=−，故选：A.5．B【解析】由向量数量积运算性质直接求解即可【详解】解：因为{,,}ijk为空间的一个标准正交基底，所以0ijikjk===，1iik

kjj===所以=nm840323151220iiijikikjkkk−+−−+−=−．故选：B.6．C【解析】由圆的圆心为(1,2)−，半径为2，又直线被圆所截得的弦长为4，可

得直线过圆心，则22ab+=，然后利用基本不等式中“1”的灵活运用即可求解.【详解】解：圆222410xyxy++−+=是以(1,2)−为圆心，以2为半径的圆，又直线20(0,0)axbyab−+=被圆222410xyxy++−+=

所截得的弦长为4，直线过圆心，22ab+=，23123(2)2+=++=ababab14318(843)22+++baab423=+，当且仅当23ba=时等号成立，23ab+的最小值

为423+，故选：C．7．C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,3),(0,0

,3)DABD,所以11(1,0,3),(1,1,3)ADDB=−=,因为111111135cos,525ADDBADDBADDB−+===，所以异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰

当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.8．A【解析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在y轴上，且2c=，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于b及双曲线中222

+=abc即可求解.【详解】解：因为椭圆的方程为2215yx+=，所以椭圆的焦点坐标为()0,2，由题意，双曲线C的焦点在y轴上，且2c=，设双曲线C的方程为()222210,0yxabab−=，则有2224abc+==，其渐近线方程为ayxb=

，即0axby=，又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有221bcbab==+，所以2223acb=−=，所以双曲线C的方程为2213yx−=，故选：A.9．AD【解析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.【详解】将椭圆方程化为标准方程为221,43xy+=所以该椭

圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为()1,0,()1,0−，故D正确；2,a=长轴长是4,故B错误;因为2,3,ab==所以1,c=离心率1,2cea==故A正确.故选：AD.10．ACD【解析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，然后利用空间向量数量积运算求解

.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.则()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()0,0,0D，()11,0,1A，()10,1,1C，11,,122E，∴11,,122CE=−

，()1,1,0AC=−，()1,1,0BD=−−，()11,0,1AD=−−，()10,0,1AA=−.∵1101022CEAC=−−+=−，110022CEBD=−++=，11301022CEAD=−+−=−.10011

0CEAA=+−=−.∴与CE不垂直的有AC、1AD、1AA，故选：ACD.11．BC【解析】由题意可得直线l恒过定点(4,6)P，所以要直线l与线段AB有公共点，必须满足PBPAkkk，从而可求出斜率k的取值范围，进而可得答案【详解】由()()1312

20xy+−++=，得(2)(32)0xyxy−++−=，因为R所以20320xyxy−+=−=，解得46xy==，所以直线l恒过定点(4,6)P，因为点()2,0A，()2,0B−，直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率k满足：PBPAk

kk，即60604(2)42k−−−−−，得13k，故选：BC12．ABD【解析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.【详解】解：由题意得：正方体1111ABCDABCD−

的棱长为2对于选项A：连接1BC，设11BCBC、交于O点111,BCBCBCAB⊥⊥1BC⊥平面11ABCD1CBC即为直线BC与平面11ABCD所成的角，且14CBC=，故A正确；对于选项B：连接

1BC，设11BCBC、交于O点11,COBCBCAB⊥⊥CO⊥平面11ABCD点C到平面11ABCD的距离为11122222COBC===,故B正确；对于选项C：连接1DC、1AD，由正方体性质可知1AD∥1BC故异面直线1D

C和1BC所成的角即为1DC和1AD所成的角1ADC又11ADACCD==1ADC为等边三角形13ADC=故C错误；对于选项D：过P作PMCD⊥，过M作MQAC⊥，连接PQPQ为异面直线之间的距离，这时PQ距离最小；设DPx=，

RtDPM为等腰直角三角形，则22PMx=，222CMCDDMx=−=−RtCQM也为等腰直角三角形，则2221222222MQCMxx==−=−PMQ为直角三角形故22222222133224222()224433PQPMMQxxxxx=+=+−=−+=−+

当223x=时，2PQ取最小值43，故min233PQ=，故D正确；故选：ABD13．4,21−==yx【解析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值.【详解】()1,2,ay=−，(),1,2bx=，则()1,1,2abxy−=

−−−，()22,2,4bx=由()2//bab−，可得()()()212041220xxxxy−−=−−−−=，解之得124xy==−14．23【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.【详解】由

题意AB所在的直线方程为：()()22222640xyyxy++−−+−=，即1y=，因为圆心O到直线1y=的距离为1，所以2222123AB=−=.故答案为：2315.2【解析】求出OM在n的投影||||OMnn即可.【详解】由题可知点M到平面的的距离即为OM在n的投影，(0,1,2)M

−，(0,1,2)OM=−，()()0112226OMn=+−+−=−，()2221223n=+−+=，OM在n的投影为|||6|23||OMnn−==．16．153【解析】首先取MN的中点B，连接AB．则ABMN⊥，根据已知条件得到23OBBM=

，从而得到222249abababcc−=−，再求离心率即可.【详解】如图所示：取MN的中点B，连接AB．则ABMN⊥．由5OMON=知，23OBBM=，又因为点(,0)

Aa到渐近线byxa=的距离22ababABcab==+，所以2249OBBM=，即222249abababcc−=−，又222bca=−，代入化简得422491850caca−+=，即

4291850ee−+=，解得253e=或213e=（舍去），故153e=．故答案为：15317．(1)1010−；(2)52k=−或=2k.【解析】（1）应用向量线性关系坐标运算得(1,1,0)a=，(1,0,2)b=−，根据向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；（2）

首先求出,2kabkab+−的坐标，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数k.【详解】（1）由题设(1,1,0)a=，(1,0,2)b=−，所以.1010,cos−==bababa（2）由+=(1,,2)kabkk

−，2=(+2,,4)kabkk−−，而+2kabkab⊥−，所以22(+)(2)=(1)(+2)+8=2+10=(2+5)(2)=0kabkabkkkkkkk−−−−−，可得52k=−或=2k.18．(1)34

0xy++=(2)2x=−或125340xy−+=【解析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．（2）分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的

方程．【详解】（1）解：由3420220xyxy+−=++=，解得22xy=−=，所以两直线1:3420lxy+−=和2:220lxy++=的交点为(2,2)−．当直线l与直线310xy+−=平行，设l的方程为30xym++=，

把点(2,2)−代入求得4m=，可得l的方程为340xy++=．（2）解：斜率不存在时，直线l的方程为2x=−，满足点(3,1)A到直线l的距离为5．当l的斜率存在时，设直限l的方程为2(2)ykx−=+，即220kxyk−++=，则点A到直线l的距离为2|3

122|51kkk−++=+，求得125k=，故l的方程为122205xyk−++=，即125340xy−+=．综上，直线l的方程为2x=−或125340xy−+=．19.（1）见解析；（2）13【解析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），则()()1202120DADE==，，，，，，()021CF=−，，设平面A1DE的法向量是()nabc=，，则122020nDAacnDEab=+==+=

，取()212n=−，，，∴()()0212120CFn=−−=，，，，所以CF∥平面A1DE．解：（2）()020DC=，，是面A1DA的法向量，∴()()222221202013(2)12020cosnDC−==−++++，，，，＜＞即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦

值为13．20．（1）224xy+=；（2）2x=或34100xy+−=【解析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）

分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线PQ的斜率133k=−，PQ中点坐标为1322，，所以PQ中垂线方程为31322yx−=−，即3yx=

，由3yxyx==得，圆心()0,0C，所以2rCP==，所以圆C的标准方程为：224xy+=.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为2x=时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：()12ykx−=−

，即210kxyk−−+=，因为该直线与圆C恰有1个公共点，所以圆心到直线距离21221kdk−==+，得34k=−.所以切线方程为2x=或34100xy+−=.21．(1)24yx=(2)230xy+−=【解析】（1）由抛物线定义有562p+

=求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设:(1)2lxky=++，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为2px=−，∴抛物线定义知：562p+=可得2p=，故2:4Cyx=（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0

，设(1)2xky=++联立方程2(1)24xkyyx=++=，得24(1)8yky=++，整理得24480ykyk−−−=，则4AByyk+=.又P是线段AB的中点，∴42k=−，即12k=−故l230xy+−=：22．（1）22

142yx+=；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）根据离心率为22可得22cea==，把(1,2)代入方程可得22211ab+=，又222abc=+，解方程组即可求得方程；（2）设直线BD的方程为2yxm=+，整理方程组，求

得1222xxm+=−，21244mxx−=及参数m的范围，由斜率公式表示出ADABkk+，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.试题解析：（1）由题意，可得22cea==，代入(1,2)得22211ab+=，又222abc=+，解得

2a=，2b=，2c=所以椭圆C的方程为22142yx+=．（2）证明：设直线BD的方程为2yxm=+，又A，B，D三点不重合，∴0m，设11(,)Dxy，22(,)Bxy，由得2242240xmxm++−=，所以28640m=−+，解得2222m−，1222xxm+=−，①212

44mxx−=，②设直线AB，AD的斜率分别为ABk，ADk，则121212122222221111ADAByyxmxmkkxxxx−−+−+−+=+=+−−−−1212122221xxmxxxx+−=+−−+（*），分别将①②式代入（*），

得2222222222042142mmmm−−+=−=−++，所以0ADABkk+=，即直线AB，AD的斜率之和为定值0．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com