【文档说明】2021高三数学（理）一轮复习：第9章　第7节 抛物线 .docx，共(9)页，193.377 KB，由envi的店铺上传

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第九章解析几何第七节抛物线A级·基础过关|固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为()A．1B．2C．4D．8解析：选B由x2＝2px的焦点到准线的距离为p，得x2＝4y中的焦点到准线的距离为2，故选B．2．(2019届广东七校第二次联考)

已知抛物线y2＝24ax(a>0)上的点M(3，y0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝20x解析：选A抛物线y2＝24ax(a>0)的准线方程为x＝－6a

，点M(3，y0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y0)到准线的距离也为5，即3＋6a＝5，∴a＝13，∴y2＝8x，故选A．3．(2019届石家庄市质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，22)的直线l交

抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于()A．1∶2B．1∶3C．1∶2D．1∶3解析：选A解法一：由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l的方程为y＝22(x－1)．由y2＝4x，y＝22（x－1），得2x2－5x＋2

＝0，解得x＝2或x＝12，∴点N的横坐标为12.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A．解法二：由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l的方程为y＝22(x－1)．由

y2＝4x，y＝22（x－1），得y2－2y－4＝0，解得y＝22或y＝－2，∴点N的纵坐标为－2.过点M作MM′⊥x轴，垂足为M′，过点N作NN′⊥x轴，垂足为N′，则△MM′F∽△NN′F，∴|NF|∶|MF|＝|NN′|∶|MM′|＝

|－2|∶22＝1∶2，故选A．解法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A．解法四：设直线l的倾斜角为α，则|MF|＝p1－cosα，|NF|＝p1＋co

sα，∴|NF|∶|MF|＝(1－cosα)∶(1＋cosα)，又M(2，22)，F(1，0)，∴tanα＝22，∴cosα＝13，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A．4．(2019届江西五校联考)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C交于A，B两点，过线段

AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：选B分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，

由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，所以|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|.因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝12|MN|，即在△MNN′中，cos∠MNN′＝12，所以∠MN

N′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°.又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B．5．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C：y2＝2x，过原点O作两条互相垂直

的直线分别交抛物线C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为()A．2B．3C．32D．4解析：选C设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线AB的方程代入抛物线的方程

得y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t>0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t.由题意得OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即y212×y222＋y1y2＝0，得y1y2＝－4，所以－2t＝－4，即t＝2，故直线AB恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F12，0到直

线AB的距离的最大值为2－12＝32，故选C．6．(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5B．6C．8D．10

解析：选C过P1作P1M⊥准线l，垂足为M，过P2作P2N⊥准线l，垂足为N，由抛物线定义知|P1F|＝|P1M|＝y1＋1，|P2F|＝|P2N|＝y2＋1，∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋

y2＋2＝8，故选C．7．(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM||MN|＝55，则p的值等于()A．18

B．14C．2D．4解析：选C过点M向准线作垂线，垂足为P，由抛物线的定义可知，|MF|＝|MP|，因为|FM||MN|＝55，所以|MP||MN|＝55，所以sin∠MNP＝55，则tan∠MNP＝12

.又∠OFA＋∠MNP＝90°(O为坐标原点)，所以tan∠OFA＝2＝212p，则p＝2，故选C．8．(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点M到坐标原点的距离为________．解析：由y2＝6x，知p＝3，由抛物线定义得，

x1＋p2＝92，即x1＝3，代入y2＝6x中，得y21＝18，则|MO|＝x21＋y21＝33(O为坐标原点)．答案：339．(2020届成都摸底)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，|AF||BF|－

|AF|＝1，则抛物线C的标准方程为________．解析：如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，则|DF|＝p.由抛物线的定义知|BE|＝|BF|.设|BE|＝|BF|＝m，因为△AEB∽△ADF，所以|AF|

|AB|＝|DF||BE|，即|AF||AF|－|BF|＝|DF||BF|，所以|AF||AF|－m＝pm，所以|AF|＝pmp－m.由|AF||BF|－|AF|＝1，得pmp－mm－pmp－m＝1，解得p＝

1，所以抛物线C的标准方程为y2＝2x.答案：y2＝2x10．(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋

|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝________．解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋p2，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.答

案：1011．(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(－1，0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|＋|BF|的值；(2)求|AF|·|BF|的取值范围．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2

＝6.由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，则|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)设直线l的方程为x＝my－1，由x＝my－1，y2＝4x得y2－4my＋4＝0.由Δ＝16m2－16>0，得m2>1，则y1＋y2＝4m，y1y2＝4.由抛物线的定义知

|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，则|AF|·|BF|＝(x1＋1)(x2＋1)＝m2y1y2＝4m2.因为m2>1，所以|AF|·|BF|>4.故|AF|·|BF|的取值范围是(4，＋∞)．12．(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，

过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N.R为准线上一点．(1)若AR∥FN，求|MR||MN|的值；(2)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系．解：由已知，得F(

1，0)，设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线y2＝4x联立，得y2＝4x，x＝my＋1，消去x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.由题知M(－1，y1)，N(－1，y2)，设R(－

1，yR)．(1)∵AR∥FN，即AR→∥FN→，AR→＝(－1－x1，yR－y1)，FN→＝(－2，y2)，∴0＝(－1－x1)y2＋2(yR－y1)＝(－2－my1)y2＋2(yR－y1)＝－2(y1＋y2)－my1y2＋2yR＝－4m＋2yR，∴yR＝2m＝y1＋y22，∴R是MN的

中点，∴|MR||MN|＝12.(2)若R是MN的中点，则R(－1，2m)，RA→·RB→＝(x1＋1，y1－2m)·(x2＋1，y2－2m)＝(my1＋2，y1－2m)·(my2＋2，y2－2m)＝(my1＋2)(my2＋2)＋(y1－2m)(y2－2m)＝(m2＋1)y1y2＋4m2＋4＝－

4(m2＋1)＋4m2＋4＝0.∴RA→⊥RB→，即RA⊥RB，∴点R在以AB为直径的圆E上.B级·素养提升|练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为

F，准线为l，P为抛物线C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|＝()A．2B．3C．23D．3解析：选A如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于H，∵y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，∴|FH|＝2

，|PF|＝|PQ|.∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴MN∥QF.∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR.∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF为等边三角形，∴MF⊥PQ.又M为PQ的中点，∴F为HR的中点，∴|FR|＝

|FH|＝2.故选A．14．(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△A

OB＝()A．22B．3C．6D．36解析：选A由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝k(x－1)代入y2＝4x，化简整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所

以x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2k＋4k－2k＝4k，所以AB的中点为1＋2k2，2k，AB的垂直平分线方程为y－2k＝－1kx－1－2k2.由于AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，

0)，所以0－2k＝－1k5－1－2k2，化简得k＝±1，即直线AB的方程为y＝±(x－1)．点O到直线AB的距离d＝|1|1＋1＝22，又|AB|＝1＋1|x1－x2|＝1＋1（x1＋x2）2－4x1x2＝2×36－4＝8，所以S△AOB＝12×22×8＝22，故选A．15．(201

9届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点S(0，3)，SA，SB与圆C：x2＋y2－my＝0(m>0)和抛物线x2＝－2py(p>0)都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，则点A到抛物线准线的距离为()A．4B．23C．3D．33解析：选A连接O

M，∵SM，SN是圆C的切线，∴|SM|＝|SN|，|OM|＝|ON|.又SA∥ON，∴SM∥ON，∴四边形SMON是菱形，∴∠MSN＝∠MON.连接MN，由切线的性质得∠SMN＝∠MON，则△SMN为正三角形，又MN平行于x轴，所

以直线SA的斜率k＝tan60°＝3.设A(x0，y0)，则y0－3x0＝3①.又点A在抛物线上，∴x20＝－2py0②.由x2＝－2py，得y＝－x22p，y′＝－1px，则－1px0＝3③，由①②③

得y0＝－3，p＝2，所以点A到抛物线准线的距离为－y0＋p2＝4，故选A．16．(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C

的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为________．解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为a4，0，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|∶|MN|＝

1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.又kFN＝0－1a4－0＝－4a，kFN＝－|KN||KM|＝－3，所以－4a＝－3，解得a＝433.答案：43317．(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y2＝4x上一点P到

准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PA⊥m，PM⊥l，FN⊥l，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA

|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d1＋d2)min＝3.答案：3获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com