【文档说明】专题24 图形的变换（解析版）-2023年中考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）.docx，共(29)页，978.198 KB，由envi的店铺上传

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专题24图形的变换一、轴对称变换【高频考点精讲】1、轴对称图形把一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。常见的轴对称

图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等。2、轴对称性质（1）关于直线对称的两个图形是全等图形。（2）对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

3、关于x轴、y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）。4、最短路线问题在直线

l上方有两个点A、B，确定直线l上到A、B的距离之和最短的点，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点即为所求。【热点题型精练】1．（2022•天津中考）在一些美术字

中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项

D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，答案：D．2．（2022•北京中考）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．1B．2C．3D．5解：如图所示，该图形有5条对称轴，答案

：D．3．（2022•常州中考）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1（1，2），则点A2的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（﹣

1，﹣2）解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），∴点A的坐标为（1，﹣2），∵点A与点A2关于y轴对称，∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），答案：D．4．（2022•湖州中考）如图，已知BD是矩形ABCD的对

角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FHD．GF

⊥BC解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=√62+82=10，故A选项不符合题意；∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝B

G+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B选项不符合题意；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．

故C选项不符合题意；∵GH＝2，∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，设FC＝HF＝x，则BF＝8﹣x，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CF＝3，∴𝐵𝐹𝐶𝐹=53，又∵𝐵𝐺𝐷𝐺=64=32，

∴𝐵𝐹𝐶𝐹≠𝐵𝐺𝐷𝐺，若GF⊥BC，则GF∥CD，∴𝐵𝐹𝐶𝐹=𝐵𝐺𝐷𝐺，故D选项符合题意．答案：D．5．（2022•广安中考）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则P

E+PF的最小值是（）A．2B．√3C．1.5D．√5解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，

∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．答案：A．6．（2022•潍坊中考）小莹按照如图所示的步骤折叠A4

纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为√2．解：由第②次折叠知，AB＝AB'，由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，∴△AD'B'是等腰直角三角形，∴AB'=√2AD'，∴AB

与宽AD的比值为√2，答案：√2，7．（2022•辽宁中考）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长

是5√5−5．解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，∴BF＝BA＝10，∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，连接EG，设AE＝x，由勾股定理得，BG＝5√5，∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，∴12（5+10）×10=1

2×5×(10−𝑥)+12×10𝑥+12×5√5𝑥，解得x＝5√5−5，∴AE＝5√5−5，答案：5√5−5．8．（2022•镇江中考）如图，有一张平行四边形纸片ABCD，AB＝5，AD＝7，将这张纸片折叠，使得点B落在边AD上，点B

的对应点为点B′，折痕为EF，若点E在边AB上，则DB′长的最小值等于2．解：由折叠可知，BE＝B'E，BF＝B'F，如图，当E与A重合时，B'D最短．∵AB＝5，AD＝7，∴AB'＝5，∴B'D＝AD﹣AB'＝7﹣5＝2，即DB′长的最小值为2．答案：2．9．（2022•眉山中考）如图，点P为

矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4√3，则PE+PB的最小值为6．解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为

B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4√3，∴tan∠ACB=𝐴𝐵𝐵𝐶=√33，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF=12BC＝

2√3，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4√3，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E=√𝐵′𝐵2−𝐵𝐸2=√(4√3)2−(2√3)2=6，∴PE+PB的最

小值为6，答案：6．10．（2022•鄂尔多斯中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为4√2．

解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD=12∠𝐵𝐴𝐶=12×30°=15°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF=12𝐴𝑃，∴PA+2PB＝

2（12𝑃𝐴+𝑃𝐵）＝2（PF+PB）＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4×√22=2√2，∴（PA+2PB）最小＝2BF＝4√2，答案：4√

2．11．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．（1）证明：∵四边形A

BCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作

DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在R

t△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32=√3，∴PM+PN的最小值为√3．12．（2022•枣庄中考）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√

2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QP

CP′为菱形？解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√42+42=4√2（cm），由题意得，AP=√2tcm，BQ＝tcm，则BP＝（4√2−√2t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQ∥AC，∴𝐵

𝑃𝐵𝐴=𝐵𝑄𝐵𝐶，∴4√2−√2𝑡4√2=𝑡4，解得：t＝2，∴当t＝2时，PQ⊥BC．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如图②，AP=√2tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），∵∠C＝9

0°，AC＝BC＝4cm，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△APE和△PBD为等腰直角三角形，∴PE＝AE=√22AP＝tcm，BD＝PD，∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，∵四边形PECD为矩形，∴PD＝EC＝（

4﹣t）cm，∴BD＝（4﹣t）cm，∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∵四边形QPCP′为菱形，∴PQ＝PC，∴t

2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∴t1=43，t2＝4（舍去）．∴当t的值为43时，四边形QPCP′为菱形．二、平移变换【高频考点精讲】1、把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，得到一个新的图形，图形的

这种移动，叫做平移。2、平移的两个要素：（1）图形平移的方向；（2）图形平移的距离。3、平移性质：对应点所连线段平行且相等。4、平移变换与坐标变化（1）坐标点P（x，y）向右平移a个单位，得出P（x+a，y）；（2）坐标点P（x，y）向左平移a个单位，得出P（x﹣a，y

）；（3）坐标点P（x，y）向上平移b个单位，得出P（x，y+b）；（4）坐标点P（x，y）向下平移b个单位，得出P（x，y﹣b）。【热点题型精练】13．（2022•广西中考）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断

飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（）A．B．C．D．解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，答案：D．14．（2022•海南中考）如图，点A（0，3）、B（1，0

），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（）A．（7，2）B．（7，5）C．（5，6）D．（6，5）解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，∵点A（0，3）、B（1，0），∴OA＝3，OB＝1．∵线段AB平移得到线段DC，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形

ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．∴∠BAD＝90°，BC＝AD．∵BC＝2AB，∴AD＝2AB．∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠EAD．∵∠AOB＝

∠AED＝90°，∴△ABO∽△DAE．∴𝐴𝑂𝐷𝐸=𝑂𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷=12．∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（6，5）．答案：D．15．（2022•

百色中考）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（）A．（3，1）B．（3，3）C．（﹣1，1）D．（﹣1，3）解：根据平移与图

形变化的规律可知，将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其图形上的对应点B′的横坐标减少2，纵坐标增加1，由于点B（1，2），所以平移后的对应点B′的坐标为（﹣1，3），答案：D．16．（2022•嘉兴中考）

“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）A．1cmB．2cmC．（√2−1

）cmD．（2√2−1）cm解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，∴BD=√22+22=2√2（cm），由平移的性质可知，BB′＝1cm，∴B′D＝（2√2−1）cm，答案：D．17．（2022•福建中考）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8

，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（）A．96B．96√3C．192D．160√3解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8，则BC＝AB•tan∠CAB＝8√3，由平移的性质可

知：AC＝A′C′，AC∥A′C′，∴四边形ACC′A′为平行四边形，∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0，∴AA′＝12，∴S四边形ACC′A′＝12×8√3=96√3，答案：B．18．（2022•淄博中考）如图，在

平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是（1，3）．解：∵点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），∴点B（﹣4，2）的对应

点B1的坐标是（1，3）．答案：（1，3）．19．（2022•大连中考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（5，2）．解：将

线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），答案：（5，2）．20．（2022•临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到

△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是（1，﹣3）．解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

），即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），答案：（1，﹣3）．21．（2022•毕节中考）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单

位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法

进行下去，则点A10的坐标为（﹣1，11）．解：由图象可知，A5（5，1），将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），将点A8向右

平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），答案：（﹣1，11）．22．（2022•陕西中考）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'

C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．（1）点A、A'之间的距离是4；（2）请在图中画出△A'B'C'．解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4，答案：4；（2）如图所示

，△A'B'C'即为所求．三、旋转变换【高频考点精讲】1、将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2、旋转性质（1）对应点到旋转

中心的距离相等.（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前后的图形全等。2、旋转作图根据对应角相等且等于旋转角，对应线段相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。【热点题型精练】23．（2022•枣庄中考）剪纸文化

是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴

对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；答案：D．24．（2022•青岛中考）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C

．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．答案：

C．25．（2022•天津中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC解：A、∵AB＝A

C，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠A

MN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；答案：C．26．（2022•包头中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，

将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．3√3B．2√3C．3D．2解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC=√3BC＝2√3，∠

B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝

60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD=12AC=√3，∴AD=√3CD=√3×√3=3，∴点A到直线A'C的距离为3，答案：C．27．（2022•内蒙古中考）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时

针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．12B．√33C．1−√33D．1−√34解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，{𝐴𝐸=𝐴𝐸𝐴𝐵′=𝐴𝐷，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠

DAE＝∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE=12×60°＝30°，∴DE＝1×√33=√33，∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（12×1×√33）＝1−√33．答案：C．28．（2022•阜新中考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB

＝BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，则点D到BC的距离是2．解：如图，连接BD，过点D作DH⊥BC于H，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，∴AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝30°，∵DH⊥BC，∴D

H=12BD＝2，∴点D到BC的距离是2，答案：2．29．（2022•盘锦中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若

AA'＝1，则△BB'D的面积是3√34．解：如图所示，设A'B'与BD交于点O，连接A'D和AD，∵点D为BC的中点，AB＝AC，∠ABC＝30°，∴AD⊥BC，A'D⊥B'C'，A'D是∠B′A′C′的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，∴∠B'

A'C'＝120°，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠B'A'D＝60°，∵A'D＝AD，∴△A'AD是等边三角形，∴A'A＝AD＝A'D＝1，∵∠BA'B'＝180°﹣∠B'A'C'＝60°，∴∠BA'B'＝∠A'AD，∴A'B'∥AD，∴A′O⊥BC，∴𝐴′𝑂=12𝐴

′𝐷=12，∴𝑂𝐷=√1−14=√32，∵A'B'＝2A'D＝2，∵∠A'BD＝∠A'DO＝30°，∴BO＝OD，∴𝑂𝐵′=2−12=32，𝐵𝐷=2𝑂𝐷=√3，∴𝑆△𝐵𝐵′𝐷=12×𝐵𝐷×𝐵′𝑂=12×

√3×32=3√34．30．（2022•黄石中考）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝30°，FB+FD的最小值为5√3．解：如图，∵△ABC是等边三角形，AD

⊥CB，∴∠BAE=12∠BAC＝30°，∵△BEF是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，{𝐵𝐴=𝐵𝐶∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐹𝐵𝐸=𝐵𝐹，∴△BAE≌△BCF（SAS

），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等边三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝9

0°，∴BG=√𝐵𝐶2−𝐶𝐺2=√102−52=5√3，∴BF+DF的最小值为5√3，答案：30°，5√3．31．（2022•广州中考）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P

′落在边BC上时，∠PP′C的度数为120°；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为75°．解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠A

BP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，{𝐵𝐴=𝐵𝐸∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐸𝐵𝑃′𝐵𝑃=𝐵𝑃′，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交B

C于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO=12OB，OP′=12OC，∴EP′＝EO+OP′=12OB+12OC=12BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠

EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．答案：120°，75°．32．（2022•柳州中考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方

形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为2√5−2．解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，

∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM=√42+22=2√5，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2√5−2，答案：2√5−2．33

．（2022•锦州中考）如图，在△ABC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√5，𝐵𝐶=4，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：𝐷𝐹=√52𝐷𝐸；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线D

P交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．（1）证明：如图1，连接AF，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√5，𝐵𝐶=4，D，E，F分别为AC，

AB，BC的中点，∴𝐷𝐸=12𝐵𝐶=2，AF⊥BC，∴𝐷𝐹=12𝐴𝐶=√5，∴𝐷𝐹=√52𝐷𝐸；（2）解：𝐹𝑁=√52𝐸𝑀，理由如下：连接AF，如图2，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√5，𝐵𝐶=4，D，E，F分别为AC，

AB，BC的中点，∴𝐸𝐹=12𝐴𝐶=𝐶𝐷，𝐸𝐹∥𝐷𝐶，∴四边形CDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠C，∵𝐷𝐹=12𝐴𝐶=𝐷𝐶，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，

∴∠DFN＝∠DEM，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴𝑁𝐹𝐸𝑀=𝐷𝐹𝐷𝐸=√52，∴𝐹𝑁=√

52𝐸𝑀；（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，𝐹𝐶=12𝐵𝐶=2，∴𝐴𝐹=√𝐴𝐶2−𝐹𝐶2=4，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐵𝐶⋅𝐴𝐹=12𝐴𝐵⋅𝐶𝐻，∴𝐻�

�=𝐵𝐶⋅𝐴𝐹𝐴𝐵=4×42√5=8√55，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴𝐺𝐷𝐻𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐶=12，∴𝐺𝐷=12𝐻𝐶=4√55，Rt△GED中，𝐺𝐸=√𝐸𝐷2−𝐺𝐷2=

√22−(4√55)2=2√55，Rt△AGD中，𝐴𝐺=√𝐴𝐷2−𝐺𝐷2=√(√5)2−(4√55)2=3√55，∴𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐷𝐺=𝐴𝐺𝐺𝐷=3√5545√5=34，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴𝑡𝑎𝑛

∠𝐸𝑀𝐺=𝐸𝐺𝑀𝐺=34，∴𝑀𝐺=43𝐺𝐸=43×2√55=8√515，∴𝑀𝐷=𝑀𝐺+𝐺𝐷=8√515+4√55=4√53，∵△DNF∽△DME，∴𝐷𝑁𝐷𝑀=𝐷𝐹𝐷𝐸=√52

，∴𝐷𝑁=√52𝐷𝑀=√52×4√53=103．34．（2022•连云港中考）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在

同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是7√34．解：（1）由题意得，∠BEF＝∠BED＝90°，在Rt△BEF中，∠ABC＝30°，BE＝3，∴BF=𝐵𝐸

𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶=3𝑐𝑜𝑠30°=2√3；（2）①当点E在BC上方时，如图1，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，AC＝3，∴tan∠ABC=𝐴𝐶𝐵𝐶，∴BC=𝐴𝐶𝑡𝑎𝑛∠𝐴𝐵𝐶=3𝑡𝑎𝑛3

0°=3√3，在Rt△BED中，∠EBD＝∠ABC＝30°，BE＝3，∴DE＝BE•tan∠DBE=√3，∵S△BCD=12CD•BE=12BC•DH，∴DH=𝐶𝐷⋅𝐵𝐸𝐵𝐶=√6+1，②当点E在BC下方时，如图2，在Rt△BCE中，BE＝3

，BC＝3√3，根据勾股定理得，CE=√𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=3√2，∴CD＝CE﹣DE＝3√2−√3，过点D作DM⊥BC于M，∵S△BDC=12BC•DM=12CD•BE，∴DM=𝐶𝐷⋅𝐵𝐸𝐵𝐶=√6−1，即点D到

直线BC的距离为√6±1；（3）如图3﹣1，连接CD，取CD的中点G，取BC的中点O，连接GO，则OG∥AB，∴∠COG＝∠B＝30°，∴∠BOG＝150°，∵点G为CD的中点，点O为BC的中点，∴GO=12BD=√3，∴点G是以点O为圆心，√3为半径的圆上，如

图3﹣2，∴三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，∴点G所经过的路径长为150𝜋⋅√3180=5√36π；（4）如图4，过点O作OK⊥AB于K，∵点O为BC的中点，BC＝3√3，∴OB=

3√32，∴OK＝OB•sin30°=3√34，由（3）知，点G是以点O为圆心，√3为半径的圆上，∴点G到直线AB的距离的最大值是√3+3√34=7√34，答案：7√34．