《历年高考数学真题试卷》2018年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规

定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题,每小题5分,

共40分。参考公式:如果事件A,B互斥,那么()()()PABPAPB=+.如果事件A,B相互独立,那么()()()PABPAPB=.棱柱的体积公式VSh=,其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh=,其中S表

示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R,集合{02}Axx=,{1}Bxx=,则()RACB=(A){01}xx(B){01}xx(C){12}xx(D){02}xx(2)设变量x,y

满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy+−−+则目标函数35zxy=+的最大值为(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设xR,则

“11||22x−”是“31x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2loge=a,ln2b=,121log3c=,则a,b,c的大小关系为(A)abc(B)bac(C

)cba(D)cab(6)将函数sin(2)5yx=+的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44上单调递增(B)在区间3[,]4上单调递减(C)在区间53

[,]42上单调递增(D)在区间3[,2]2上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1

d和2d,且126dd+=,则双曲线的方程为(A)221412xy−=(B)221124xy−=(C)22139xy−=(D)22193xy−=(8)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC⊥,ADCD⊥,120

BAD=,1ABAD==.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D)3第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题,共110分。二.填空题:本大题共6小

题,每小题5分,共30分。(9)i是虚数单位,复数67i12i+=+.(10)在51()2xx−的展开式中,2x的系数为.(11)已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为

点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥MEFGH−的体积为.(12)已知圆2220xyx+−=的圆心为C,直线21,2232=−+=−xtyt(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则ABC△的面积为

.(13)已知,abR,且360ab−+=,则128ab+的最小值为.(14)已知0a,函数222,0,()22,0.xaxaxfxxaxax++=−+−若关于x的方程()fxax=恰有2个互异

的实数解,则a的取值范围是.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)在ABC△中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinc

os()6bAaB=−.(I)求角B的大小;(II)设a=2,c=3,求b和sin(2)AB−的值.(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取

多少人?(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,

既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图,ADBC∥且AD=2BC,ADCD⊥,EGAD∥且EG=AD,CDFG∥且CD=2FG,DGABCD⊥平面,DA=DC=DG=2.(I)若M为CF的中点,N为EG的中

点,求证:MNCDE∥平面;(II)求二面角EBCF−−的正弦值;(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.(18)(本小题满分13分)设{}na是等比数列,公

比大于0,其前n项和为()nSnN,{}nb是等差数列.已知11a=,322aa=+,435abb=+,5462abb=+.(I)求{}na和{}nb的通项公式;(II)设数列{}nS的前n项和为()nTnN,(i)求nT;(ii)

证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkkn++=+=−+++N.(19)(本小题满分14分)设椭圆22221xxab+=(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A的坐标为(,0)b,且62FBAB=.(I)求椭圆的方

程;(II)设直线l:(0)ykxk=与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若52sin4AQAOQPQ=(O为原点),求k的值.(20)(本小题满分14分)已知函数()xfxa=,()logagxx=,其中a>1.(I)求函数()()lnhxfxxa

=−的单调区间;(II)若曲线()yfx=在点11(,())xfx处的切线与曲线()ygx=在点22(,())xgx处的切线平行,证明122lnln()lnaxgxa+=−;(III)证明当1eea时,存在直线l,使l是曲线()yfx=的切线,也是

曲线()ygx=的切线.参考答案:一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)D(6)A(7)C(8)A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分3

0分.(9)4–i(10)52(11)112(12)12(13)14(14)(48),三、解答题(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理

sinsinabAB=,可得sinsinbAaB=,又由πsincos()6bAaB=−,得πsincos()6aBaB=−,即πsincos()6BB=−,可得tan3B=.又因为(0π)B,,可得B=π3.(Ⅱ)解:在

△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有2222cos7bacacB=+−=,故b=7.由πsincos()6bAaB=−,可得3sin7A=.因为a<c,故2cos7A=.因此43sin22sin

cos7AAA==,21cos22cos17AA=−=.所以,sin(2)sin2coscos2sinABABAB−=−=4311333727214−=.(16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的

概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.学.科网(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中

分别抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=34337CCCkk−(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353

535357EX=+++=.(ii)解:设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B

与C互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A发生的概率为67.(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成

的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意,可以建立以D为原点,分别以DA,DC,DG的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0)

,A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,32,1),N(1,0,2).(Ⅰ)证明:依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)

为平面CDE的法向量,则0000DCDE==,,nn即20220yxz=+=,,不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).又MN=(1,32−,1),可得00MN=n,又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE.(Ⅱ)解:依题意,可

得BC=(–1,0,0),(122)BE=−,,,CF=(0,–1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,则00BCBE==,,nn即0220xxyz−=−+=,,不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,

z)为平面BCF的法向量,则00BCBF==,,mm即020xyz−=−+=,,不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因此有cos<m,n>=310||||10=mnmn,于是sin<m,n>=1010.所以,二面角E–BC–F的正弦值为1010.(Ⅲ)解:设线段DP

的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得(12)BPh=−−,,.易知,DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故22cos5BPDCBPDCBPDCh==+,由题意,可得225h+=sin60°=32,解得h=33∈

[0,2].所以线段DP的长为33.(18)本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(I)解:设等比数列{}na的公比为q.由1321,2,aaa==+可得220qq−−=.因为0q,可得2q=

,故12nna−=.设等差数列{}nb的公差为d,由435abb=+,可得134.bd+=由5462abb=+,可得131316,bd+=从而11,1,bd==故.nbn=所以数列{}na的通项公式为12nna−=,数列{

}nb的通项公式为.nbn=(II)(i)由(I),有122112nnnS−==−−,故1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn+==−=−=−=−=−−−.(ii)证明:因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bb

kkkkkkkkkkkk++++−−++===−++++++++,所以,324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn++++=+=−+−++−=−+++++.(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查

用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c,由已知知2259ca=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,FBa=,2ABb=,由62FBAB=,可得ab=

6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为22194xy+=.(Ⅱ)解:设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故12sinPQAOQyy=−.又因为2siny

AQOAB=,而∠OAB=π4,故22AQy=.由52sin4AQAOQPQ=,可得5y1=9y2.由方程组22194ykxxy=+=,,消去x,可得12694kyk=+.易知直线AB的方程为x+y

–2=0,由方程组20ykxxy=+−=,,消去x,可得221kyk=+.由5y1=9y2,可得5(k+1)=2394k+,两边平方,整理得25650110kk−+=,解得12k=,或1128k=.所以

,k的值为111228或.(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

满分14分.(I)解:由已知,()lnxhxaxa=−,有()lnlnxhxaaa=−.令()0hx=,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,()hx,()hx的变化情况如下表:x(,0)−0(0,)+(

)hx−0+()hx极小值所以函数()hx的单调递减区间(,0)−,单调递增区间为(0,)+.(II)证明:由()lnxfxaa=,可得曲线()yfx=在点11(,())xfx处的切线斜率为1lnxaa.由1()lngxxa=,

可得曲线()ygx=在点22(,())xgx处的切线斜率为21lnxa.因为这两条切线平行,故有121lnlnxaaxa=,即122(ln)1xxaa=.两边取以a为底的对数,得212log2logln0axxa++=,所以12

2lnln()lnaxgxa+=−.(III)证明:曲线()yfx=在点11(,)xxa处的切线l1:111ln()xxyaaaxx−=−.曲线()ygx=在点22(,log)axx处的切线l2:2221log()lnayxxxxa−=−.要证明当1eea时,存在直线l,使

l是曲线()yfx=的切线,也是曲线()ygx=的切线,只需证明当1eea时,存在1(,)x−+,2(0,)x+,使得l1和l2重合.学*科网即只需证明当1eea时,方程组1112121lnln1lnl

oglnxxxaaaxaaxaaxa=−=−①②有解,由①得1221(ln)xxaa=,代入②,得111112lnlnln0lnlnxxaaxaaxaa−+++=.③因此,只需证明当1eea时,关于x1的方程③有实

数解.设函数12lnln()lnlnlnxxauxaxaaxaa=−+++,即要证明当1eea时,函数()yux=存在零点.2()1(ln)xuxaxa=−,可知(,0)x−时,()0ux;(0,)x+时,()ux单调递减,又(0)10u=,21

(ln)2110(ln)auaa=−,故存在唯一的x0,且x0>0,使得0()0ux=,即0201(ln)0xaxa−=.由此可得()ux在0(,)x−上单调递增,在0(,)x+上单调递减.()ux在0xx=处取得极大值0()

ux.因为1eea,故ln(ln)1a−,所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaauxaxaaxxaaxaaa+=−+++=++.下面证明存在实数t,使得()

0ut.由(I)可得1lnxaxa+,当1lnxa时,有2212lnln12lnln()(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaauxxaxaxaxxaaaa+−+++=−++++,所以存在实数t,使得()0ut因此,当1eea时,存在1(,

)x−+,使得1()0ux=.所以,当1eea时,存在直线l,使l是曲线()yfx=的切线,也是曲线()ygx=的切线.选择填空解析一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R,集

合,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.详解:由题意可得:,结合交集的定义可得:.本题选择B选项.点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.2.设变量x,y满足约束条件则目标函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析:首先画出可行域,然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点,最后求解最大值即可.详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处

取得最大值,联立直线方程:,可得点A的坐标为:,据此可知目标函数的最大值为:.本题选择C选项.点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大

,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析:

由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解:结合流程图运行程序如下:首先初始化数据:,,结果为整数,执行,,此时不满足;,结果不为整数,执行,此时不满足;,结果为整数,执行,,此时满足;跳出循环,输出.本题选

择B选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.4.设,则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而

不重复条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解:绝对值不等式,由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件

的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,,,则a,b,c的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解:由题意结合对数函数的性质可知:,,,据此可

得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同

指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.6.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】A【解析】分析:由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.详解

:由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:.则函数的单调递增区间满足:,即,令可得一个单调递增区间为:.函数的单调递减区间满足:,即,令可得一个单调递减区间为:.本题选择A选项.点睛:本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调

区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为A.

B.C.D.【答案】C【解析】分析:由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解:设双曲线的右焦点坐标为(c>0),则,由可得:,不妨设:,双曲线的一条渐近线

方程为:,据此可得:,,则,则,双曲线的离心率:,据此可得:,则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛:求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的

标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出λ的值即可.8.如图,在平面四边形ABCD中,,,,.若点E为边CD上的动点,则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】分析:由题意建立平面直角坐标系,然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示,最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解:建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,点在上,则,设,则:,即,据此可得:,且:,,由数量积的坐标运算法则可得:,整理可得:,结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.本题选择A选项.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数

量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题,共110分。二.填空

题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。9.i是虚数单位,复数___________.【答案】4–i【解析】分析:由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解:由复数的运算法则得:.点睛:本题主要考查复数的运算法则及其应用,意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.10.在的展开式中,的系数为____________.【答案】【解析】分析:由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值,然后求解的系数即可.详解:结合二项式定理的通项公式有:,令可得:,则的系数为:.点睛:(1)二项式定理的核心是通项公式

,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,

再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.11.已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥的体积为__________.【答案】【解析】分析:由题意首先求解底

面积,然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解:由题意可得,底面四边形为边长为的正方形,其面积,顶点到底面四边形的距离为,由四棱锥的体积公式可得:.点睛:本题主要考查四棱锥的体积计算,空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知圆的圆

心为C,直线(为参数)与该圆相交于A,B两点,则的面积为___________.【答案】【解析】分析:由题意首先求得圆心到直线的距离,然后结合弦长公式求得弦长,最后求解三角形的面积即可.详解:由题意可得圆的标准方程为:,直线的直角坐标方

程为:,即,则圆心到直线的距离:,由弦长公式可得:,则.点睛:处理直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.13.已知,且,则的最小值为_____________

.【答案】【解析】分析:由题意首先求得a-3b的值,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果,注意等号成立的条件.详解:由可知,且:,因为对于任意x,恒成立,结合均值不等式的结论可得:.当且仅当,即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个

条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.14.已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是_____________

_.【答案】【解析】分析:由题意分类讨论和两种情况,然后绘制函数图像,数形结合即可求得最终结果.详解:分类讨论:当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,当时,方程即,整理可得:,很明显不是方程的实数解,则,令,其中,原问题等价于函数与函

数有两个不同的交点,求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象,同时绘制函数的图象如图所示,考查临界条件,结合观察可得,实数的取值范围是.点睛:本题的核心在考查函数的零点问题,函数零点的求解与判断方法包括:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有

几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两

个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

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