【文档说明】[29866362]专题3.1 《概率的进一步认识》全章复习与巩固（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(59)页，1.316 MB，由envi的店铺上传

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专题3.1《概率的进一步认识》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学

会运用概率知识解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及

某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.特别说明：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，

并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两

步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求

事件A的概率.即P（A）=.要点二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关

系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.nmnm特别说明：（1）频率本身是随机的

，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发

生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.特别说明：用试验去估计随机事件发生的

概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【典型例题】类型一、根据概率公式计算概率1．2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划

各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．【答案】（1）14；（2）14【分析】（1）根据概

率的概念直接求解即可；（2）同过画树状图的方法，列出所有可能，继而得出概率．解：（1）∵在这四个项目任选一项，每项被选中的可能性相同，∴在四个项目中，李欣选择项目C．“花样滑冰”的概率是14；（2）画树状图分析如下：共

有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为41164P==．【点拨】本题考查了用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．掌握概率的概念和求概率的方法是解题的关键．【变式1】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为__________

_；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．【答案】（1）12；（2）14．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是

5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：2142=；故答案为：12．（2）画树状图得：∴共有16种等可能的

结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种；∴两次取出小球标号的和等于5的概率为：41164=．【点拨】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式2】

为庆祝建党100周年，某校举行歌咏比赛，参赛曲目：A—《没有共产党就没有新中国》，B—《唱支山歌给党听》，C一《党啊，亲爱的妈妈》．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后

洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《党啊，亲爱的妈妈》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出两个班抽中不同歌曲的概率．【答

案】（1）13；（2）23【分析】(1)直接根据概率公式计算可得；(2)列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．（1）八（1）班抽中歌曲《党啊，亲爱的妈妈》的概率是13；（2）解：

所有可能的情况如下表所示：（2）班（1）班ABCA(),AA(),AB(),ACB(),BA(),BB(),BCC(),CA(),CB(),CC共有9种等可能结果其中八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的结果有6种，分别是(

),AB、(),AC、(),BA、(),BC、(),CA、(),CB∴P（两个班抽中不同歌曲）6293==【点拨】本题考查了列表法与树状图法︰利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，熟悉掌握列表法与树状图法是解题的关键．【变式3】2020年初，由于疫情影响，开学延迟，为了不影响学

生的学习，国务院、省市区教育行政部门倡导各校开展“停课不停教、停课不停学”，某校语文学科安排学生学习，内容包含老师推送的文本资料和视频资料两类，且这两类学习互不影响已知其积分规则如下：每阅读一前文本资料积1分．每日上限积6分；每观看一个视频资料积1分．每日上限积6分．

经过抽样统计发现文本资科学习积分的分布表如表1所示，视频资料学习积分的分布表如表2所示．表1：学习文本资料积分123456人数200n30表2：观看视频资料积分123456人数002220（1）现随机抽取1人，估计学习文本积分为4分的概率

是．估计观看视频积分为4分的概率是；（2）现随机抽取1人了解学习情况，估计其每日学习积分不低于9分的概率．（用树状图或列表）【答案】（1）16，13；（2）718【分析】（1）根据总人数求出n，利用概

率公式求解即可；（2）列表格将36种情况列举，不低于9分的有14种，即可求解．解：（1）23231n=−−=，∴P(学习文本积分为4分)16=，P(观看视频积分为4分)2163==；（2）列表如下：1145553447888344788845589994558999566

991010566991010共有36种情况，其中不低于9分的有14种，∴P(每日学习积分不低于9分)1473618==．【点拨】本题考查求概率，掌握概率公式和列举法求概率是解题的关键．类型二、根据概率作出判断2．某校有A、B两个阅览室，甲、乙、丙三名学生各自随机选择

其中的一个阅览室自习．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个阅览室自习的概率．（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B阅览室自习的概率．【答案】（1）14；（2）78【分析】此题需要三步完成；因为有三名学生选择阅览室，可以看

做需三次完成的事件，所以需要采用树状图法．解：（1）画树状图得：甲、乙、丙三名学生在同一个阅览室自习的概率为2184P==；（2）∵共有8种等可能的情况，其中甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B阅览室自习的有7种情况，∴甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B阅览室自习的概率为17188P=−=．

【点拨】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式1】小明的爸爸拿回一张电影票，儿子小明和妹妹小利都想去看

电影，于是爸爸给他们出了一个主意，方法是：从印有1，2，3，4，5，4，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，则小明去看电影，否则小利去看电影．（1）你认为爸爸这个方法是否合理？请用概率的知识解释原因．（2）若使方法公平，你认为该如何修改这个方法？【答案】（1）不合理，见解析；

（2）见解析【分析】（1）根据概率的求法进行判断即可；（2）根据概率的求法修改成概率一样的情况即可；解：（1）∵比4大的牌有5，6，7，∴P（抽到大于4的）=38．∵不大于4的牌有1，2，3，4，4，∴P（抽到不大于4的）=5

8，∵58＞38，∴这个方法不合理；（2）改成抽到大于4的牌和抽到小于4的牌；∵比4大的牌有5，6，7，∴P（大于4的牌）=38，∵小于4的牌有1，2，3，∴P（小于4的牌）=38．∵38=38，∴此时是公平的；【点拨】本题考查了概率的实际应用以及利用

概率公式进行判断求解；正确理解题意、明确解答的方法是关键．【变式2】如图是一个转盘，小明说因为圆盘上有三个区域则如果任意旋转这个转盘，指针停在每个区域的可能性都是13，则小明说得对吗？为什么？【答案】不对，理由见解析．【分析】由圆

盘可得每个扇形面积，结合等可能事件，故问题得解．解答：不对，因为每个区域的面积在圆中所占的百分比不一样．【点拨】本题主要考查等可能事件，熟练掌握等可能事件的概念是解题的关键．【变式3】某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为a(厨余)、b(可回收)、c(其他)三类，并且设置

了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱分别记为A、B、C．粗心的小亮将分类好的两袋垃圾(可回收、其他)随机投入到三种垃圾箱的其中两种内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率．【答案】

16【分析】首先根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可.解：树状图如下：总共有6种可能情况，投放正确只有一种；∴小亮投放正确的概率为：16.【点拨】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.类型三、已知概率求数量3．某种电子产品共4

件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为14．（1）该批产品有正品______件；（2）如果从中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率．【答案】（1）3；（2）12【分析】（1）直接利用概率公式先求出次品的件数

，再用总数减去次品的件数即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出2件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）∵某种电子产品共4件，从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率

为14，∴批产品有正品为：4−4×14＝3．故答案为：3；（2）画树状图如下：结果共有12种情况，且都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种，∴P（两次取出的都是正品）61122==．【点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识

点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式1】一个不透明的布袋里装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）摸出1个球，记下颜色后不放回．．．，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）．（2）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为57，

求n的值．【答案】（1）13；（2）4n=【分析】（1）依据题意，先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值．解：（1）树状图如下：∴一共有

6种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有2种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为：2163P==．（2）由题意得：1537nPn+==+解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴4n=．【点拨】本题

主要考查列表法，树状图法和概率公式，解题的重点在于要分析出所有等可能出现的结果，而解题的关键在于要根据概率公式求解或列方程.【变式2】一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色以外，其余都相同），

其中红球2个，黄球1个，从中随机摸出一个球是蓝色球的概率为25．（1）求袋子里蓝色球的个数；（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），请用列表法或画树状图的方法求摸出的两个球颜色恰好相同．．．．．．的概率．【答案】（1）2个；（2）15【分析】（1）

首先设袋子里蓝色球的个数为x，根据题意得：2215xx=++，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与摸出的两个球中颜色恰好相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）设袋子里蓝色球的个数为x，根据题意得：

2215xx=++，解得：2x=，经检验，2x=是原分式方程的解，答：袋子里蓝色球的个数为2；（2）可列表如图所示，甲乙红红蓝蓝黄红（红，红）（蓝，红）（蓝，红）（黄，红）红（红，红）（蓝，红）（蓝，红）（黄，红）蓝（红，蓝）（红，蓝）（蓝，蓝）（黄，蓝）蓝（红，蓝

）（红，蓝）（蓝，蓝）（黄，蓝）黄（红，黄）（红，黄）（蓝，黄）（蓝，黄）共有20种等可能结果，其中两个球颜色刚好相同的情况有4种，∴P（摸出的两个球颜色恰好相同）＝41205=．【点拨】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两

步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．【变式3】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为13．（1）

求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率．【答案】（1）该袋子中白球的个数为1个；（2）两次都摸到红球的概率为49．【分析】（1）设该袋子中白球的个数为x，

根据概率公式列得123xx=+，求解即可；（2）列树状图表示所有可能出现的情况，确定两次都摸到红球的次数，根据概率公式计算即可．解：（1）设该袋子中白球的个数为x，依题意，得123xx=+解得1x=；经检验，x=1是方程的解且符合题意，∴袋子中白球的个数是1个；（2）依题意，可以画出如

下的树状图：共有9种等可能的情况，其中两次都摸到红球的有4种，∴两次都摸到红球的概率为49．【点拨】此题考查概率是计算公式，列树状图求事件的概率，正确理解此类事件中“放回”或“不放回”是解题的关键．类型四、几何概率4．如图所示，是一个均匀的可以自由转动

的转盘；某购物广场举办有奖销售活动，顾客每购物满100元，就获得一－次转这个转盘的机会．请你根据以上信息：（1）求：顾客转出“七折优惠”的概率；（2）求：顾客转出“得20元”的概率；（3）求：顾客中奖的概率．【答案】（1）29；（2）14；（3）2936【分析】（1）用“七折优惠”的圆心角

的度数除以周角的度数即可求得答案；（2）用“得20元”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案；（3）用“中奖”的所有圆心角的和除以周角的度数即可求得答案．解：（1）观察转盘知：顾客转出“七折优惠”的扇形的圆心角的度数为80，所以顾客转出

“七折优惠”的概率为8023609=；（2）观察转盘知：顾客转出“得20元”的扇形的圆心角的度数为90，所以顾客转出“得20元”的概率为9013604=；（3）观察转盘知：顾客中奖的扇形的圆心角的度

数为80606090290+++=，所以顾客中奖的概率为2902936036=．【点拨】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．【变式1】如图1和图2均是一个均匀的可

以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）

．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．（1）求小明转出的数字小于7的概率．（2）小穎认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗?为什么?【答案】（1）23；（2）对，理由见解析【分析】（1）共有9种结果，“转出数字小于7”的结

果有6种，利用概率公式计算即可；（2）计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与（1）算出的概率比较即可．解：（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字小于7”的结果有6种，∴P（转出数字小于7）6293==（2）小穎说法正确理由：小亮：图2红色部分所在扇形的圆心角度数是36012

0240−=∴P（转出红色）24023603==∴P（转出数字小于7）=P（转出红色）【点拨】本题主要考查了概率公式：()=mPAn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m表示事件A包含的试验基本结果数．【变式2】如图，一个可

以自由转动的圆形转盘被互相垂直的一条半径和直径分成了3个分别标有数字的扇形区域，转动转盘，待转盘自动停止后指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的边界线，则不计为转动次数，重新转动转盘

，直到指针指向扇形内部为止）（1）转动转盘一次，转出的数字是-1的概率为______．（2）转动转盘两次，用画树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为负数的概率．【答案】（1）14；（2）38．【分析】（1）延长竖

向的半径，使之分成四种等可能性，-1,1,2,2，计算概率即可；（2）利用画树状图的方式计算概率即可解：（1）根据题意，完善如下：一共有4种等可能性，-1是一种可能性，∴转出的数字是-1的概率为14；故答案为：14；（2）根据（1）得,有四种等可能性，画树状图如下：∵共有16种结果，每种结果

出现的可能性相同．其中，积为负数的结果有6种：分别为()1,1−，()1,2−，()1,2−，()1,1−，()2,1−，()2,1−∴63168p==∴转动转盘两次，转出数字之积为负数的概率是38．

【点拨】本题考查了根据公式计算概率，画树状图法求概率，熟练掌握概率计算的前提条件，灵活选用方法计算概率是解题的关键．【变式3】如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是

多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【答案】（1）59；（2）13．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，再由概率公式

求解即可．解：（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率59；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中新图案是中心对称图形的结果有4个，分别是：AD、BC、CB、DA；∴新图案是中心对

称图形的概率为412＝13．【点拨】此题主要考查了列表法与树状图法求概率、正方形的性质、中心对称图形的定义等知识，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键．类型五、列举法求概率5．为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”

的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图

．（1）这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这

两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．【答案】（1）9；（2）一班平均数为87.5；二班中位数为80；（3）0.6【分析】（1）用总人数×二班成绩在B级以上（包括B级）的人数所占百分比即可；（2）从统计图中的数据求出各个等

级的人数，按求平均数和找中位数的方法得出一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）先列举出所有等可能的情况数，找出抽取的六名学生中至少有1个男生的情况，即可求出所求概率．解：（1）∵两个班参加比赛的人数相同，∴由条形图可知二班参

赛人数为20人，∴由扇形围可知B等及以上的人数为2010%2035%9+=；（2）一班成绩的平均数为：100490980570287.520+++=，二班100分的有2010%2=人，90分的有2035%7=人，80分的有2040%8=人，70分的有2015%3=人，按从小

到大顺序排列，中位数为80；∴二班成绩的中位数为80；（3）二班成绩A等的都是女生，∴二班成绩A等人数为2010%2=人：将两个班成绩A等的6人分别记为A，B，C，D，E，F：其中A，B为一班两个男生．∵每个学生被抽取的可能性相等，∴从这两个班成绩A等的学生中随机选2人的所

有情形如下：ABACADAEAFBCBDBEBFCDCECFDEDFEF共15种；其中至少有1个男生的有ABACADAEAFBCBDBEBF共9种；∴概率为90.615P==．【点拨】本题是条形统计图和扇形统计图的综合运用．用到的知识点是平均数、中位数、概率公式，利用统计图获取信息时，必须认真观察

、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．【变式1】已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这7张卡片的背面

完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7cm．把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：（1）判

断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；（2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；（3）小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应

的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．三角形周长为奇数小兰胜，三角形周长为偶数小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．【答案】（1）不可能事件，概率为0；（2）37；（3）不公平，拿掉一张边长为奇数的卡牌，游戏规

则不变即可【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求得；（2）找到4cm和5cm的线段即可构成等腰三角形；（3）根据列举法求得周长为奇数或者为偶数的概率，设计一个概率相等的规则即可解：（1）等边三角形的三边相等，4cm和5cm不能同时为等边三角形的两边，故该事件为不

可能事件，不可能事件的概率为0（2）4cm或5cm的线段有3条，总共7条，故能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率为37（3）3cm4cm4cm5cm6cm7cm7cm4cm5cm12cm13cm13cm14cm15cm16cm16cm偶数奇数

奇数偶数奇数偶数偶数从表中可知：P（周长为奇数）=37P（周长为偶数）=47根据列举法求得周长为奇数或者为偶数的概率，奇数的概率为37，偶数的概率47，故游戏不公平，可以将规则改为：三角形周长大于14c

m小兰胜，三角形周长小于14cm小英胜．【点拨】本题考查了不可能事件的概念，根据概率的定义求概率，理解概率的定义是解题的关键．【变式2】某课外实践小组的同学们为了解去年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理，月均用水量()xt频数（户）频率05x60.125

10xm0.241015x160.321520x100.202025x4n2530x20.04解答以下问题：（1）表中m=______，n=______；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若该小区有1

500户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？（4）若从样本里用水量超过20的家庭中，随机抽取两户，求出“家庭月用水量恰好有一户不多于25”的概率．【答案】（1）12，0.08；（2）频数分布直方图补图见解析

；（3）该小区月均用水量超过20t的家庭大约有180户；（4）恰好家庭月用水量恰好有一户不少于25的概率为815．【分析】（1）根据频率求出总数，再根据总数求频数或频率即可；（2）根据频数分布表中的数据补全统计图即可；（3）根据频率估计总体，超过20t户数的频率乘

以1500计算即可；（4）根据题意，用概率公式计算即可．解：（1）总数为：60.12=50500.24=12m=，40.0850n==表中填12m=，0.08n=．（2）如图：（3）()0.080.041500180+=故该小区月均用水量超过20t的家

庭大约有180户（4）用水量不少于20t的家庭总计6户，样本中月均用水量在2025x的家庭有4户记为1b，2b，3b，4b，样本中月均用水量在2530x的家庭有2户记为12dd，所以从6户随机抽取两户的结果为：12bb，13bb

，14bb，11bd，12bd，23bb，24bb，21bd，22bd，34bb，31bd，32bd，41bd，42bd，12dd共15种，月用水量恰好有一户不少于25的结果为：11bd，12bd，21bd，22bd，31bd，32bd，41bd，42bd共8种．则恰

好家庭月用水量恰好有一户不少于25的概率为：815P=．【点拨】本题考查的是条形统计图和频数直方图的综合运用，用枚举法求概率；概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解

题关键．【变式3】在4张完全一样的纸条上分别写上1,2,3,4，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀．甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支．（1）甲抽到写着数字“1”的签的概率是____________．（2

）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明．【答案】（1）14（2）乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．理由见解析【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）列出所有等可能的情况有12种，利用概率公式求

解即可．解：（1）∵4支签上只有1只写有1，∴甲抽到写着数字“1”的签的概率是14．故答案为：14；（2）相同，甲、乙两人依次从中任意抽出1支签，所有可能出现的结果共有12种，即（1，2）、（1，3）、（1，4）

、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），它们是等可能的．所有的结果中，满足乙抽到写着数字“1”的签（记为事件A）的结果有3种，即（2，1）、（3，1）、（4，1）．乙抽到写着数字“1”的签的概率为：31124=．所以

，乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同．【点拨】考查了概率的计算，解题关键是根据题意列出所有可能，再用概率公式求概率．类型六、列表法或树状图求概率6．为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的

要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校计划为学生提供四类在线学习方式：A．在线阅读、B．在线听课、C．在线答疑、D．在线讨论，为了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调

查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）本次调查的人数有人；（2）该校有学生2000人，估计选择“在线答疑”的人数为；（3）同学小李和小张都参加了远程网络教学活动，请用树状图或列表法求小李和小张选择同一种学习方式的概率．【答案】（1）100；（2）400

人；（3）见解析，14【分析】（1）由“在线阅读”的人数及其所占百分比可得本次调查的总人数；（2）先根据四种方式的总人数为100求出“在线答疑”的人数，再用总人数乘以样本中“在线答疑”人数所占比例即可；（3）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，画树状图列出

所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．解：（1）本次调查的人数有25÷25%＝100（人），故答案为：100；（2）∵样本中选择“在线答疑”的人数为100﹣（25+40+15）＝

20（人），∴估计选择“在线答疑”的人数为2000×20100＝400（人），故答案为：400人；（3）记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D，则可画树状图如下：共有16种等情况数，其中小宁和小娟选

择同一种学习方式的有4种，则小李和小张选择同一种学习方式的概率是41164P==．【点拨】本题主要考查条形统计图和扇形统计图分析，画树状图计算概率，解决本题的关键是要熟练掌握分析条形统计图和扇形统计图和画树状图计算概率的方法.【变式1】辛丑牛年邮票，传递浓浓“家国”情”．

2021年1月5日，中国邮政在北京首发《辛丑年》特种邮票．现有三张辛丑牛年邮票,,ABC，除图案外，其余都相同，欢欢将这三张邮票的背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求欢欢抽到的两张邮

票都是两头牛的邮票的概率．【答案】49【分析】先画出树状图，共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是两头牛的邮票的结果有4个，然后由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，抽到两张图案都是两头牛的邮票的结果4个，抽到两张图案都是两头牛的邮票的结果的概率为49

．【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比．【变式2】把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数210．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率．【答案】见

解析，59【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可．解：画树状图如图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，∴构成的数是三位数的概率为59．【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法

展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【变式3】为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t

（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．类别ABCD人数2183根据所给信息：（1）求被抽查的学生人数；（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人

数；（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．【答案】（1）50人；（2）300人；（3）35【分析】（1）用B类抽查的人数除以它所占的百分比即可；（2）用总人数

乘以周六做家务2小时以上的百分比即可；（3）根据列表法即可求出．解：（1）1836%50=（人）（2）C类的人数为：50-2-18-3=27（人）九年级周六做家务2小时以上的人数为：32750030050+=（人

）（3）设A类两人分别是A1、A2、D类3人分别是D1、D2、D3A1A2D1D2D3A1A2A1A1D1A1D2A1D3A2A1A2A2D1A2D2A2D3D1A1D1A2D1D1D2D1D3D2A1D2A2D2D2D1D2D3D3A1D3A2D3D3D1D3D2两次抽

取的结果共有10种，A类和D类各有一人共12种，故概率为123205=；【点拨】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出符合事件的

概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．类型七、游戏的公平性7．现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上

数字相同的概率是；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．【答案】（1）14；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析【

分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．解：（1）画树状图

如图：共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个，∴两个小球上数字相同的概率是312＝14，故答案为：14；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球

的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，∴P甲获胜＝P乙获胜＝12，∴此游戏对双方是公平的．【点拨】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平

，否则就不公平．【变式1】请你设计一个双人的摸球游戏，使游戏对双方都是公平的；并说明，在你设计的游戏中，游戏者获胜的概率是多少．【答案】见解析【分析】设计的摸球游戏小球的标号中奇数和偶数相等即可，列表得出所有等可能的情况数有16种，其中小明、小华获胜的结果各有4种，

再由概率公式求解即可．解：小明和小亮一起玩一个摸球游戏，他们手里各自拿一个不透明的袋子，每个袋子装有标号分别为2，3，4，5的4个小球，小球除标号外其他均相同．游戏规则是，小明和小亮从各自的袋子中随机摸出一个球，然后将摸出的小球标号相加，如果和为偶数，则小

亮胜，如果和为奇数，则小明胜．列表如下：23452(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)所有等可能的情况数有16

种，其中小明、小亮获胜的结果各有4种，则小明获胜的概率是41164=，小亮获胜的概率是41164=，1144=，这个游戏规则对双方是公平的，即游戏者获胜的概率是14．【点拨】本题考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式2】在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球,上面分别标有数字1､2､2､3．（1）若小明随机抽出一个小球,求抽到标有数字2的小球的概率;（2）小明先从口袋里随机不放回地取出一

个小球,记下数字为x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,点Q坐标记作（x,y）．规定:若点Q（x,y）在反比例函数6yx=图象上则小明胜;若点Q在反比例函数2yx=图象上,则小红胜．请你通过计算,判断这个游戏是否公平？【答案

】（1）12;（2）公平【分析】（1）直接由概率公式求解即可;（2）画树状图,求出小明胜的概率＝小红胜的概率,即可得出结论．解：解:（1）若小明随机抽出一个小球,则抽到标有数字2的小球的概率为2142=;（2）画树状图如图

:共有12个等可能的结果,点Q（x,y）在反比例函数6yx=图象上的结果有4个,点Q（x,y）在反比例函数2yx=图象上的结果有4个,∴小明胜的概率为41123=,小红胜的概率为41123=,∴小明胜的概率＝小红胜的概率,∴这个游

戏公平．【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．【变式3】一个不透明的袋子中装有4个只有颜

色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说

明理由．【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．解：（1）所有可能性如下表：甲乙红1红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白

1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率=41123=，乙获胜概率=82123=∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．【点拨】本题考查

的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．类型八、利用概率计算随机事件发生的平均数8．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成AB

、两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描

述这两组样本原始数据如下表：离子残留百分比分组2.5~3.53.5~4.54.5~5.55.5~6.56.5~7.57.5~8.5给服甲离子白鼠（只数1827302212给服乙离子白鼠（只数）5a15b2015（注：表中12~AA表示实验数据x的范围为12AxA）若记

A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到()PA的估计值为0.70．（1）a=_______；b=_______．（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值

估计如下：(30.01)(40.08)(50.27)(60.30)(70.22)(80.12)6.00+++++=，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值．（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产

生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．离子残留百分比分组中位数众数方差给服甲离子白鼠的实验组5.96.01.38给服乙离子白鼠的实验组6.3

6.21.8【答案】（1）10；35；（2）6.00；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好．【分

析】（1）根据题意可求a+b=45，由()PA的估计值为0.70，则350.7100b+=解方程求出b，再求a即可；（2）根据样例给定的方法求即可；（3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看

甲离子方差1.381.8做决策即可．解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45，因为()PA的估计值为0.70，则350.7100b+=，解得b=35，a=45-b=45-35=10，故答案为：10；35；（2）(30.05)(40.10)(50.15)(60.35)(70

.20)(80.15)6.00+++++=；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲

离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好．【点拨】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键．类型九、概率在转盘抽奖中的应用9．一圆盘被平均分成10等份，分

别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的

人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种：（1）猜“是奇数”或“是偶数”；（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；（3）猜“是大于4的数”或“是不大于4的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由．【答案】第2种，理

由见解析【分析】由一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，利用概率公式即可求得“是奇数”或“是偶数”，“是3的倍数”或“不是3的倍数”，“是大于4的数”或“是不大于4的数”的概率．解：选第2种猜数方法．理由：P（是奇数）

=0.5，P（是偶数）=0.5；P（是3的倍数）=0.3，P（不是3的倍数）=0.7；P（是大于4的数）=0.6，P（不是大于4的数）=0.4．∵P（不是3的倍数）最大，∴选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是

3的倍数．【点拨】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．【变式1】一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时

，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，

直到棋子到达终点或超过终点停止．（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．【答案】（1）P（指针指向4）＝14；（2）P（转动转盘两次能通过游戏

）＝18．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．解：（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形，∴P（指针指向4）＝14．（2）列表如下：123412345234563456745678通过游戏是恰好到

达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7，由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种，∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝21=168．【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能

的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率．【变式2】新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为2

0份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）

求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？谈谈你的理由．【答案】（1）12；（2）选择转转盘对顾客更合算，理由见解析【分析】（1）由转盘

被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．解：（1）∵转盘被均匀

分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴P（转动一次转盘获得购物券）＝101202=；（2）∵P（红色）＝120，P（黄色）＝320，P（绿色）＝632010=，∴200×120+100×320+50×310＝40（元）∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．【点拨】此题考查了

概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式3】如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分获一、二

、三获奖，奖金依次为60、50、40元．（1）分别计算获一、二、三等奖的概率．（2）老李一次性购物满了300元，摇奖一次，获奖的概率是多少？请你预测一下老李摇奖结果会有哪几种情况？【答案】（1）116，18，14；（2）716，老李摇奖共有四种结果，一等

奖、二等奖、三等奖、不中奖【分析】（1）找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率；找到黄色区域和蓝色区域的份数占总份数的多少即为获得二等奖、三等奖的概率．（2）用有颜色的区域数除以所有扇形的个数即可求得获奖的概率．解：（1）整个圆周

被分成了16份，红色为1份，∴获得一等奖的概率为：116；整个圆周被分成了16份，黄色为2份，∴获得二等奖的概率为：216＝18；整个圆周被分成了16份，蓝色为4份，∴获得三等奖的概率为416＝14；（

2）∵共分成了16份，其中有奖的有1+2+4＝7份，∴P（获奖）＝716；老李摇奖共有四种结果，一等奖、二等奖、三等奖、不中奖．【点拨】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点是如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中

事件A出现m种结果，那么事件A的概率为P（A）=mn．类型十、概率在比赛中的应用10．为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个

数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【答案】（1）x=84；（2

）从统计的角度考虑，派甲参赛比较合适，理由见解析；从概率的角度考虑，派乙参赛比较合适，理由见解析．【分析】（1）根据众数、中位数的计算方法分别计算即可；（2）解法1：从平均数、方差以及数据的变化趋势分析．解法2：从概率的

角度以及数据的变化趋势分析．解：（1）依题意，可知甲的中位数为822x+，乙的众数为80，∴828032x+=+，解得x=84．（2）解法一：派甲参赛比较合适．理由如下：170280490289124835858x−=+++++++++

+=甲（），1(70180490350035025)858x−=++++++++++=乙，2222222221[(7885)+(7985)(8185)+(8285)(8485)+8(8885)(9385)(9585)

]S=--+--+--+-+-甲35.5=，2222222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)(9285)(9585)]8S=-+-+-+-+-+-+-+-乙41=，因为xx−−=甲乙，22ss甲乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合

适．解法二：派乙参赛比较合适．理由如下：从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率138P=，乙获得85分以上（含85分）的概率24182P==，因为P1＜P2，所以派乙参赛比较合适．【点拨】考查平均数、众数和中位数的意义，方差，概率等知识

点，熟悉相关性质是解题的关键．【变式1】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．（1）

如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．【答案】（1）19；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后

根据概率公式计算；（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“．解：解:（1）列树状图如下:共有9种等可能的结果，其中两道题

都正确的结果有1个，所以小新顺利通过第一关的概率为19（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:此时小新顺利通过第一关的概率为18因为1189，所以建议小新在第二题使用“求助卡”【

点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【变式2】某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．成

绩频数频率5060x„20.046070x„a0.167080x„200.408090x„160.3290100x„4b合计501请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）求出a,b的值并补全频数分布直方图．（2）将此次比

赛成绩分为三组：.5060Ax„；.6080Bx„；.80100Cx剟若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中C组所在扇形的圆心角的度数是多少？（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛

，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．【答案】（1）a=8，b=0.08；补图见解析；（2）144°；（3）16．【分析】（1）根据题中可得总人数为50人，则6070x„中人数所占频率即可求出a的值，则90100x„中出现

的频数即可求得b的值；（2）根据圆心角的度数为所占百分比乘以360°即可求解；（3）根据概率初步中树状图的作图方法作图求解即可．解：（1）500.168a==，40.0850b==．补全频数分布直方图如下：（2）360(0.320.08)144

+=．故C组所在扇形的圆心角的度数为144．（3）由题意知，不低于90分的学生共有4人，设这四名学生分别为M，X,A,B，其中小欣和小怡分别用A,B表示，根据题意，画树状图如下．由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小欣和小怡同

时被选上的结果有2种，故小欣和小怡同时被选上的概率是21126=．【点拨】本题以实际生活为背景考查统计与概率，解题的关键是掌握圆心角度数的求法以及概率中树状图的作法．【变式3】我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级

14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．()1王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中B班征集到作品件，请把图2补充完整；()2王老师所调查的四个班平均每个班征集作

品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？()3如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求写出用树状图或列表分析过程)【答案】（1）12；3；补充图见详解（2）4个班平均作品数为：12

43=（件）；估计全年级共征集到作品：31442=（件）（3）恰好抽中一男一女的概率为35，过程见详解.【分析】（1）根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式计算出总数，即可求得B的件数.（2）求出平均一个班的作品件数，再乘

以班级数，计算即可.（3）列表分析，再根据概率公式计算即可.解：(1)所调查的四个班总数为：150512360=(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下（2）王老师所调查的4个班平均作品数为

：1243=（件）估计全年级共征集到作品：31442=（件）（3）列表如下：共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，所以123(==205P一男一女）即恰好抽中一男一女的概率为35.【点拨】本题考查了统计的相关知识，复杂的统计

问题用列表或者树状图分析.类型十一、概率的其他应用11．如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，11234,ABBDD,,,,分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口1

A处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．【答案】38【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可

能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.解：画树状图得：所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为38.【点拨】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不

重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．【变式1】某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为a、b、c，并且设置了相应的垃圾箱，分别贴上“厨余

垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”，分别记为A，B，C．（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图或列表的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共10吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：ABCa30.81.2b0.240.32

.46c0.320.281.4试估计“可回收垃圾”投放正确的概率．（3）该小区所在城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算其中“可回收垃圾”每天投放正确的有多少吨？【答案】（1）13；（2）110；（3）15吨【分析】（1）画出树状图表示出所有可能

的结果，并找出符合题意的结果，再利用概率公式计算即可．（2）利用投放正确的“可回收垃圾”重量除以“可回收垃圾”总重量即可．（3）先求出该小区所在城市每天大约产生生活垃圾中可回收垃圾的数量，再乘以“可回收垃圾”投放正确的概率即可．解：（1）树状图如图，由树状图可知垃圾投放共有

9种等可能情况，其中正确的有3种为：()aA，，()bB，，()cC，，故垃圾投放正确的概率为3193=．（2）“可回收垃圾”投放正确的概率为0.310.240.32.4610=++．（3）0.240.32.461500151010++=（吨）．【点拨】本

题考查利用列表或画树状图法求概率，简单的概率计算，由样本估计总体．正确的列出表格或画出树状图以及熟记概率公式是解答本题的关键．【变式2】如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好

停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：次数123456数字323414（1）求转动转盘6次后记录的数据的众数；（2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；（3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是

否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由．【答案】（1）3和4；（2）14；（3）可能，316．【分析】（1）根据众数的概念求解即可；（2）根据

概率的计算公式求解即可；（3）根据连续转动转盘两次，设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x，8次转动的平均数不小于3，得到7x，然后列表，得到第7，8次转动转盘后记录的数字之，判断和7的结果的个数，从而求出概率．解：（1）∵转动转盘6次记录

的数据，3和4各出现两次，次数最多∴6次记录的数据的众数是3和4（2）第7次转动转盘后记录的数字共有4种等可能结果，其中是4的结果有1种，∴P（是4）＝14（3）可能．设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x∵八次记录的数字的平均数不小于3.∴32341438x+++++

+得7x列表如下：123412345234563456745678共有16种等可能结果，其中两个数字之和7的结果有3种P（8次平均数不小于3）316=．【点拨】本题考查了众数的概念，算术平均数，概率的基本概念，列表法求概率等知识点，熟悉相关性质是解

题的关键．【变式3】疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题：（1）写出甲、

乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果；（2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由．【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析．【分析】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可．解：（1）画树状图如图：

共有6个等可能的结果；（2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下：由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个，∴小明进校时谁遇到甲的概率为2163=，小丽进校时谁遇

到甲的概率为2163=，∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大．【点拨】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键．类型十二、求某事

件的频率12．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：朝上的点数123456出现的次数151425201313（1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；（2）小明说：“根据试验

，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？（3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．【答案】（1）0.15

；0.13；（2）小明和小亮都是错误的，见解析；（3）12【分析】（1）结合表格中数据，根据“频率=频数÷总数”即可求得；（2）根据频率估计概率的条件和事件发生的随机性判断正误；（3）运用概率的计算公式计算即可解：（1）“1点朝

上”的频率为150.15100=；“6点朝上”的频率为130.13100=；（2）小明的说法错误；因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；（或出现3点朝上的概率应为16）小亮的判断是错误的；因为事件发生具有随机性；（3

）点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种，31462P==（朝上点数不小于）【点拨】本题考查了根据频数、总数求频率，随机事件的定义，运用概率公式求概率，理解定义是解题的关键．【变式1】某篮球运动员在

近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8101291610进球次数m6897127进球频率mn（1）计算表中各场次比赛进球的频率；（2）这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少？【答案】（1）0.75，0.8，0.75，0.

78，0.75，0.7；（2）0.75【分析】（1）根据表中信息，用进球次数除以投篮次数，得到频率；（2）由于试验次数较多，可以用频率估计概率．解：（1）∵进球频率=进球次数投篮次数,∴进球频率mn从左至右依次为0.75,0.8,0.75,0.78,0.7所以表中所填数据应该为0.75,0.

8,0.75,0.78,0.7．（2）由第（1）问估计该运动员进球的概率P(进球)0.75．【点拨】本题考查了频率的计算，以及频率与概率的关系，当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近．【变式2】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外

其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），如表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率mn0.2300.2070.3000

.2600.254（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是（精确到0.01）；（2）估算袋中白球的个数；（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．【答案】（1）数据见解析，0.25；（2）3个；（

3）916【分析】（1）直接利用频数÷总数＝频率，求出答案；（2）设袋子中白球有x个，利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）补

全表格如下：摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160130203251摸到黑球的频率mn0.2300.2070.3000.2600.2540.251根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是0.25，故答案为：0.25；（2）设袋

子中白球有x个，根据从袋中摸出一个黑球的概率大约是0.25可得10.251x=+，解得：3x=，经检验：3x=时原分式方程的解，∴估算袋中白球的个数为3，故答案为：3．（3）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，∴两次都摸出白球的

概率为：916P=．【点拨】题目主要考察频数、频率、总数之间的关系、概率计算公式以及利用树形图或列表法求概率，难点在于理解并熟练掌握运用公式．【变式3】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形

状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s15030060090012001500摸到白球

的频数n63a247365484606摸到白球的频率ns0.4200.4100.4120.4060.403b（1）按表格中数据，表中的a=__________；b=___________；（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0

.01）；（3）请推算：摸到红球的概率是___________（精确到0.1）；（4）请估算：口袋中红球有多少只？（5）解决了上面4个问题后，请你从统计与概率方面谈一条启示．【答案】（1）123，0.404；（2）0.40；（3）

0.6；（4）15；（5）见解析【分析】（1）根据频率=频数/样本总数分别求得a、b的值即可；（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；（3）摸到红球的概率为1-0.4=0.6；（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解

即可；（5）言之有理即可．解：（1）a=300×0.41=123，b=606÷1500=0.404；（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；（3）摸到红球的概率是1-0.4=0.6；（4）设红球有x个，根据题意得：10xx+=0.6，解得：x=15，∴口袋中红球有15只；

（5）用频率估计一个随机事件发生的概率．【点拨】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．类型十三、由频率估计概率13．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次

从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：实验次数n2003004005006007008001000被到红球次数m151221289358429497571702摸到红球频率mn0.750.740.720.720.720.71ab（

1）表格中a=________；（精确到0.01）（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为________；（精确到0.1）（3）如果袋子中有14个红球，那么袋子中除了红球，估计还有________个其他颜色的球．【答案】（1）0.71；（2）0.7；（3

）6【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；（3）根据题意列出方程求解即可．解：（1）5688000.71a==；（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.

7附近，所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；（3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，根据题意得0.7(14)14x+=，解得：6x=，答：袋子中还有其他颜色的球6个．【点拨】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率

．解题的关键是用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式1】在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日”，他们将试验中获得的数据记录如下：试验次数100300500100016002000“有2个人同月过生日”的次数8

022939277912511562“有2个人同月过生日”的频率m0.7630.7840.7790.7820.781（1）表中m的值为__________；（2）通过试验，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是_______

___（精确到0.01）．（3）“13个人中有2个人同月过生日”是___________事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）【答案】（1）0.800；（2）0.78；（3）必然【分析】（1）用频数除以实验次数即可求得m的值；（2）在同样条件下，大量反复试验，该小组估计“

6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率；（3）利用事件发生的可能性大小进行判断即可．解：（1）800.800100m==，故m=0.8

00；（2）通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78；（3）“13个人中有2个人同月过生日”是必然事件，故填：必然．【点拨】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率

稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【变式2】随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了

抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校有3600人在使用手机：①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人

数；②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是______．【答案】（1）2000；144°；（2）见解析；（3）①1440人；②1150【分析】（1）根据喜欢用电话沟通的人数和百分

比求得总人数，根据总数求得，使用“微信”的人数，继而求得百分比，用百分比乘以360度即可求得圆心角的度数；（2）根据（1）中的数据补全条形统计图即可；（3）①由（1）中的使用微信的百分比乘以全校人数即可；②求得样本中的使用“QQ”的频率，即可用频率估计概率，即可解决问题解：（1）∵喜欢用电话

沟通的人数为400，所占百分比为20%，∴此次共抽查了40020%2000=（人），2000×5％=100（人），()2000400440260100800−+++=（人），表示“微信”的扇形圆心角的度数为：3601442

800000=，故答案为：2000；144°；（2）短信人数为20005%100=（人），微信人数为：()2000400440260100800−+++=（人），如图：（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，所以在该校使用手机的3600人中，

估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有：800360014402000=（人），∴在该校3600人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有1440人；②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好

使用“QQ”的频率是44011200050=．所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是1150，故答案为：1150．【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，用频率估计概率，从统计图中获取信息是解题的关键．【变式3】下表是某口罩生产厂对一批N

95口罩质量检测的情况：抽取口罩数2005001000150020003000合格品数188471946142618982850合格品频率（精确到0.001）0.9400.9420.9460.951ab（1）a=__________，b=__________；（2

）从这批口罩中任意抽取一个是合格品的概率估计值是多少？（精确到0.01）（3）若要生产380000个合格的N95口罩，该厂估计要生产多少个N95口罩？【答案】（1）0.949，0.950；（2）0.95；（3）400000【分

析】（1）根据表中数据计算即可；（2）由表中数据可判断频率在0.95左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为0.95；（3）用样本数据估计总体即可．解：（1）1898÷2000=0.949，2850÷3000=0.95

0；故答案为：0.949，0.950；（2）由表格可知，随着抽取的口罩数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.95附近波动，所以任意抽取的一个是合格品的概率估计值是0.95；（3）3800000.95400000=．答：该厂估计要生产400000个N95口罩．【点拨】本题

考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数

的增多，值越来越精确．类型十四、由频率估计概率的综合运用14．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n1002

0030050080010003000摸到白球的次数m314871127196252744摸到白球的频率mn0.3100.2400.2380.2540.2450.2520.248（1）若从盒子里随机摸岀一只球，则摸到白球的概率的估计值为；（精确到0

.01）（2）试估算盒子里黑球有几只；（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，与这一结果相似的试验最有可能是．A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”．C．质地均匀的正六面体骰子（点数分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5

【答案】（1）0.25；（2）75只；（3）B【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；（2）根据黑球个数=球的总数得到的黑球的概率，即可得出答案；（3）试验结果在0.25附近波动，即其概率0.25P，计算三个选项的概率，约为0.2

5者即为正确答案．解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.25，故答案为：0.25；（2）根据题意得：100(10.25)75−=（只)，答：盒子里黑球大约有75只；（3）A．掷一

枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为10.52=，不符合题意；B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“梅花”的概率为0.2410.255413=，故此选项符合题意；；C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于5的概率为40.25

6，不符合题意；所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是B，故答案为：B．【点拨】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．解题的关键是：用到的知识点为：部分的具

体数目=总体数目相应频率．【变式1】国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年

级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别睡眠时间分组频数频率A6t40.08B67t80.16C78t10aD89t210.42E9tb0.

14请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中，a=________，b=________；（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________；（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；（4）研究表

明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．【答案】（1）0.2,7；（2）72；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业

，课后少布置作业．【分析】（1）按照频率=频数总体数量进行求解，根据组别A的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=频数总体数量进行求解，即可得到a，b的值；（2）根据（1）中所求得的a的值，即可得到其

在扇形中的百分比，此题得解；（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．解：（1）根据组别A，本

次调查的总体数量=频数频率4500.08==，∴组别C的频率=频数总体数量100.250==，∴组别E的频数=频率×总体数量0.14507==，∴0.2a=，7b=；（2）∵（1）中求得a的值为0.2，∴其在扇形中的度数3600.272==；（3）组别A和B的频率和为：0.080.1

60.24+=，∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数6000.24144==（人）；（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．【点拨】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率=频数总体数量，解答本

题的关键是掌握频率、频数和总体数量的关系．【变式2】小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．（1）若小兵随机摸球一次，

摸到标号为奇数的概率为__________________；（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．【答案】（1）12；（2）16．【分析】（1）根据一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，可知标号为奇数的有2个，再由概率

公式求解即可；（2）画出相应的树状图，得到从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶的结果有2个，再由概率公式求解即可．解：（1）∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为奇数的是1号和3号，∴摸出一个球，摸到标号为奇数的概率为2142=，故答案为：12；（

2）树状图如下所示，共有12个等可能的结果，其中两球标号数字均为偶数的结果有2个，∴从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶数的概率为21126=．【点拨】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意区分放回与不放回实验，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知

识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式3】刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同．他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，

从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．（1）估算袋中黄球的个数；（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．【答案】（1）3；（2）916.【分析】（1）根据题意直接

利用频数÷频率=总数，得出总的球数进而减去红球个数即可求出答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）由题意可知从袋中摸出一

个球是红球的频率稳定在0.25，故黄球的个数为：1÷0.25-1=3（个），答：口袋中黄球的个数为3个；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次都摸到黄球的有9种情况，∴两次都摸出黄球的概率为：916.【点拨】本题考查重复概率事件以及频率求法

和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．