【文档说明】2020年北京大学强基计划年数学试题 含答案.docx，共(12)页，464.901 KB，由envi的店铺上传

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北京大学2020年强基计划招生考试数学试题一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.1.正实数x,y,z,满足xyz和()

xy2zω++,则zxy+的最小值等于（）(A)34(B)78(C)1(D)前三个答案都不对2.在()202120192020的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（）(A)16(

B)31(C)32(D)前三个答案都不对3.整数列()nn1a满足12a1,a4==,且对任意m2有()()2nn1n1aaa2n1+−−=−,则2020a的个位数字是（）(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案都不对4.设,,,abcd

是方程43223450xxxx++++=的4个复根,则11112222abcdabcd−−−−+++++++数的值为（）(A)-4(B)-3(C)3(D)前三个答案都不对5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D,AD>BD,则三角形BCD的面积为（）(

A)623316−(B)423316−(C)322316−(D)前三个答案都不对6.设,,xyz均不为1,2k+其中k为整数,已知()()()sin,sin,sinyzxxzyxyz+−

+−+−成等差数列，则依然成等差数列的是（）(A)sin,sin,sinxyz(B)cos,cos,cosxyz(C)tan,tan,tanxyz(D)前三个选项都不对7.方和19934xyxy+=的整数解个数为

（）(A)4(B)8(C)16(D)8.从圆224xy+=上的点向椭圆C:2212xy+=引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）(A)2(B)3(C)4(D)前三

个选项都不对9.使得()512xxyaxy++对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为（）(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对10..设P为单位立方体1111ABCDABCD−上的一点,则11PAPC+的最小值为（）(A)22+(B)2

22+(C)222−(D)前三个答案都不对11.数列1nna满足121,9aa==且对任意1n布214320,nnnaaa++=−−其（）(A)28(B)35(C)47(D)前三个答案都不对12.设直线3yxm=+与椭圆22x12516y+=交于A

,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最大值为（）(A)8(B)10(C)12(D)前三个答案都不对13.正整数3m称为理想的,若存在正整数11kn−使得11,,kkknnnCCC−+构成等差数列,其中()n!C!!knknk=

−为组合数,则不超过2020的理想数个数为（）(A)40(B)41(C)42(D)前三个答案都不对14.在△ABC中,A150=,122020D,D,,D依次为边BC上的点,且11223201920002000BD,DDDDDDDC=====设11122201920202020,,BADDAD

DAD===，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为（）(A)11010(B)12020(C)1221(D)前三个答案都不对15.函数222323coscos523coscos4sin

+++−++的最大值为（）(A)23+(B)223?+(C)223+(D)前三个答案都不对16.方程5412211xxxx+−+++−+=的实根个数为（）(A)1(B)2(C)3(D)前三个

答案都不对17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知BF:FD5:4=,AG:GD1:1=,CF:FG:GE2:2:3=,CFDS和ABES分别为CFD和ABE的面积,则CFDABES:S的值等

于（）(A)8:15(B)2:3(C)11:23(D)前三个答案都不对18.设,pq均为不超过100的正整数,则有有理根的多项式()5fxxpxq=++的个数为（）(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对

19.满足对任意n1有123nnnaa+=−且严格递增的数列1nna的个数为（）(A)0(B)1(C)无穷多个(D)前三个答案都不对20.设函数(),,xyzfxyzxyyzzx=+++++，其中,,xyz均为正实数，则有（）A.f既有最大值也有最小值B.f有最大值但无最小值C.f有最小值

但无最大值D.前三个答案都不对北京大学2020年强基计划招生考试数学试题一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.1.正实数x,y,z,满足xyz和()xy2zω++

,则zxy+的最小值等于(A)34(B)78(C)1(D)前三个答案都不对【解析】因为()2xywz++,且22xywz+−则21122222wzwxywwxwxyxwxyxyxyyyxy+−−++=+−+=++111122222222xyxxyxxxyyxyyxyy−−++=++

=+−−当且仅当()2,,2xyywxywz==+=+时，等号成立，选D2.在()202120192020的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为(A)16(B)31(C)32

(D)前三个答案都不对【解析】因为()20214042202120212021202120192020251013673=,可以选取最小质数2.3.5.101,673,那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个,不放选22,再进行组合,再5个因数里

面分别选取2个,3个,4个,5个则一共有32个,则最多可以选取32个,故选C3.整数列()1nna满足12a1,a4==,且对任意m2有21112nnnnaaa−+−−=,则2020a的个位数字是(A)8(B)4(C)2(D)前三个答案

都不对【解析】因为21112nnnnaaa−+−−=,则2122nnnnaaa++−=因此：221112222nnnnnnaaaaaa−+++−=−，则2111312222nnnnnnaaaaaaaaa+−++++

+==因为：22132aaa=+，则314a=故21113122224nnnnnnaaaaaaaaa−−−++++===则142nnnaaa+=−，欲求个位数字，则需要让na模10.其结果为1,4,4,8,4,

0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,⋯从2a开始周期为24，则2020a的个位数字是8，所以选A4.设,,,abcd是方程43223450xxxx++++=的4个复根,则11112222abcdabcd−−−−+

++++++数的值为(A)-4(B)-3(C)3(D)前三个答案都不对【解析】由题意可得2,sabcd=+++=−3pabacadbcbdcd=+++++=4qabcabdacdbcd=+++=−5rabcd==设11112

222abcdmabcd−−−−=+++++++则1111432222mabcd=−+++++++，只需要11112222abcd+++++++则()()()()()()()2221111321241622222222162489bcdqspabc

dabcdrqps+++++++++===++++++++++++故164433n=−=−，所以选A5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D,AD>BD,则三角形BCD的

面积为(A)623316−(B)423316−(C)322316−(D)前三个答案都不对【解析】如图所示，其中12OEOB==,32CO=,22CE=从而可得ODOEOCCE=，故64OD=则64OD=故322316BCDS−=，所以选C6.设,,xyz均不为1,2k+

其中k为整数,已知()()()sin,sin,sinyzxxzyxyz+−+−+−成等差数列，则依然成等差数列的是(A)sin,sin,sinxyz(B)cos,cos,cosxyz(C)tan,tan,tanxyz(D)前三个选项都不对【解析】因为2si

n()sin()sin()2sincos()xzyyzxxyzyxz+−=+−++−=−则sin()coscos()sinsincos()xzyxzyyxz+−+=−则)sin()cossincos(cos()]2sincoscosxzyyxzxzy

xz+=++−=则tantan2tanxzy+=，所以选C7.方和19934xyxy+=的整数解个数为(A)4(B)8(C)16(D)前三个选项都不对【解析】因为：19934xyxy+=，则()()493419931931931xy−−=

=因为：()()4933mod4,4191mod4xy−−则4933,19,31,1767,1,57,93,589419?xy−=−−−−−=所以有8组，所以选B8.从圆224xy+=上的点向椭圆C:2212xy+=引切

线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为(A)2(B)3(C)4(D)前三个选项都不对【解析】如图所示，设点()2cos,2sinA则BC直线方程为cos2sin1xy+=由于2222

14xyab+=在点()cos,sinab的切线方程为cossin=1xyab+则11,2ab==，由此cos2sin1xy+=为椭圆的cos2sin1xy+=切线系方程由椭圆2241xy+=的面积可

得2ab=，所以选A9.使得()512xxyaxy++对所有正实数x,y都成立的实数a的最小值为(A)8(B)9(C)10(D)前三个答案都不对【解析】()651251256yxxyxmxmxymm+=+++，令6256,3mmm+==则()5129x

xyxy++，则5129xxyxy++，则9a，所以选B10..设P为单位立方体1111ABCDABCD−上的一点,则11PAPC+的最小值为(A)22+(B)222+(C)222−(D)前三个答案都不对

【解析】最小值为2，所以选D11.数列1nna满足121,9aa==且对任意1n布214320,nnnaaa++=−−其(A)28(B)35(C)47(D)前三个答案都不对【解析】因为214320nnnaaa++=−−，则()21110310nnnna

aaa+++−−=−−故111023nnnaa−+−=−，则3n时，数列为单调递减数列可求得3413,5aa==,当5n时，0na，则nS的最大值为428S=，所以选A12.设直线3yxm=+与椭圆22x12516y+=交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OA

B面积的最大值为(A)8(B)10(C)12(D)前三个答案都不对【解析】联立方程可得可得22241150254000xmxm++−=则()22212402411201010,,24110241224110mmABxxdSABdmm

−=−====−故面积的最大值为10，所以选B13.正整数3m称为理想的,若存在正整数11kn−使得11,,kkknnnCCC−+构成等差数列,其中()n!C!!knknk=−为组合数,则不超过2020的理想数个数为(A)40(B)41(C)4

2(D)前三个答案都不对【解析】由题意可得11,,kkknnnCCC−+构成等差数列则112kkknnnCCC−−=+，化简可得可得()2241420nknk−++−=整理以k为未知量的方程方程方程224420knknn−+−−=，则22nnk+=则n+2为完全平方数，则22nm+=，

则443m若()()22122222mmnnmmk−+−+−−===，因为2,1mm−+奇偶性相反故对于任意443m都满足题意同理同理()()22122222mmnnmmk+−+++−===，因为2,1mm+−奇偶性相反

故对于任意443m都满足题意综上：满足题意得有42个，所以选C14.在△ABC中,A150=,122020D,D,,D依次为边BC上的点,且11223201920002000BD,DDDDDDDC=====设1

1122201920202020,,BADDADDAD===，则132021242020sinsinsinsinsinsin的值为(A)11010(B)12020(C)1221(D)前三个答案

都不对【解析】不妨设不妨设1,iiADCBDm==则：11122,sinsinsinsinADADmmB==因此：122sinsinsinsinB=，同理：24sinsinsinsinzt=因此：20212020sinsinsin202s

insin1sin2021202120214042BmBlmBBCBCEACACACAC=====，所以选D15.函数222323coscos523coscos4sin+++−++的最大值为(A)23+(B)223?+(C)223+(D)前

三个答案都不对【解析】已知当2=时，33232f=++因为()223cos523coscos4sinf=++−++、下面证明()2222323cos523coscos4sin

f++−−++两边平方即证即证24sin22cos26+因为()24sin22cos4sin22cos26sin26++=+两个等号不同时成立，所以24sin22cos26+，所以选D16.方程5412211xxxx+−+++−+

=的实根个数为(A)1(B)2(C)3(D)前三个答案都不对【解析】由题意可得12111xx+−++−=当112x+时，上式恒为1，所以选D17.凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知BF:FD5:4=,AG:GD1:1=,CF:FG:GE2:2:

3=,CFDS和ABES分别为CFD和ABE的面积,则CFDABES:S的值等于()(A)8:15(B)2:3(C)11:23(D)前三个答案都不对【解析】如图所示，延长CF=CM则根据比例可得BE//MD则12OGEGGDGM==，因为G为AD的

中点，因此14,?,225AOOGGDMDBEMDOE====则25OEBE=不妨设ABES5=则AOEEGDS2,S4==,因此28433CFDS==因此CFDABES:S815?=：所以选A18.设,pq均为不超过100的正整数,则有有理根的

多项式()5fxxpxq=++的个数为(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对【解析】因为()5fxxpxq=++有有理根，则有理根必小于0设0mxn=−，且(),1mn=，则550mpmqnn−−+=则554qnmpm

n=+，显然|nm，因为(),1mn=，则1n=，故5qmmp=+因为5100qmmp=+，故12m当1m=时，1100qp=+，所以199q，共99组当m=2时，322100qp=+,所以134

p，共34组综上所述：满足条件的共133组，故选BB19.满足对任意n1有123nnnaa+=−且严格递增的数列1nna的个数为(A)0(B)1(C)无穷多个(D)前三个答案都不对【解析】因为123nnnaa+=−，则11312222nnnnaa++=−+则111312

5225nnnnaa++−=−−，则1113125225nnnaa−−=−−，则()122355nnnaa=+−−当125a=时，满足严格递增，当125a时，会出现正负交替，不满足，所以选B20.设函数(),,xyzfxyzxyyzzx=

+++++，其中,,xyz均为正实数，则有（）A.f既有最大值也有最小值B.f有最大值但无最小值C.f有最小值但无最大值D.前三个答案都不对【解析】因为2xyzxzyxzysxyyzzxxyzyzxzx

y+++=++++=+++++++++当0,1,xzy==→+时，2s→，故无最大值而且1xyzxyzsxyyzzxxyzxyzxyz=++++=+++++++++当0,1,xyz==→+时，

1s→，故无最小值，所以选D获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com