【文档说明】福建省福州市八县（市、区）协作校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）.docx，共(16)页，773.846 KB，由envi的店铺上传

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福建省福州市八县（市、区）协作校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题【完卷时间:120分钟;满分:150分】命题:福清融城中学林世平何思斌一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)1.设(2i)i3i(,)abab+=−R，其中i为虚数单位，则ab+=（）A.5−B.1−C.1D.5【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.【详解】由(

2i)i3iab+=−，得2i3iab−+=−，而,abR，因此3,2ab=−=−，所以5ab+=−.故选：A2.已知向量,ab不共线，则向量tab−+与13()2abtt−R共线时，实数t=（）A.63B.63C.23D.23±【答案】B

【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.【详解】由向量,ab不共线，得向量0tab−+，由向量tab−+与132abt−共线，得13(),R2abtabt−=−+，于是132tt−==−，所以63t=.故选：B

3.若向量()()2,11ab==--，，，a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A.()1,22,2−+B.()2,+C.1,2−+D.1,2−−【答案】A【解析】【

分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.【详解】当a与b共线时，此时22=−=-，当2=时，ab=−，此时a与b方向相反，当a与b的夹角为钝角时，则需0ab且a与b不反向，所以210--且2，解得()2

2,1,2+−，故选：A4.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2sin22Acbc−=，则ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】

利用正弦定理边化角以及三角公式变形整理即可.【详解】由2sin22Acbc−=得1cossinsin22sinACBC−−=，即()1cossinsinsinACCB−=−，即()cossinsinsinsincoscossinACBACACAC==+=+，所以

sincos0AC=，在ABC中，sin0A，所以cos0C=，π2C=，即ABC的形状为直角三角形.故选：B.5.在平行四边形ABCD中，点M在对角线AC上，点N在边CD上，ABm=，ADn=，且14AMAC=，13DNDC=，则MN=（）A.13124mn−+B.13124mn−C.13

124mn+D.31412mn+【答案】C【解析】【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.【详解】解析：()111434MNANAMADDNACADDCABAD=−=+−+−=+1111313344124124ADABABADABADmn=+−−+=+=

．故选：C．6.已知复数z满足||2z=，则|34i|z++最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得.【详解】||2z=是复平面内复数z对应点的轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆，|3

4i||(34i)|zz++=−−−是上述圆上的点到复数34i−−对应点(3,4)A−−的距离，而22||3452OA=+=，所以|34i|z++的最小值是||23OA−=.故选：A7.已知向量(3,1),(2,1)ab=−=，则以下说法正确的是（）A.||5ba−=B.a方向上的单位向量为3

1010,1010C.向量b在向量a上的投影向量为31,22−D.若525,55c=−，则bc⊥【答案】D【解析】【分析】对于A：求出坐标即可得模；对于B：通过aa求单位向量；对于C：通过投

影向量的公式计算；对于D：通过计算0bc=是否成立来判断.【详解】对于A：(5,0)ba−=，所以||5ba−=，A错误；对于B：a方向上的单位向量为31010,1010(3,1)10aa−−==，B错误；对于C：615ab=−+=−，则向量b在向量a上的投影向量为253

1(3,1)(,)1022abaa−=−=−，C错误；对于D：5252525(2,1),05555bc=−=−=，所以bc⊥，D正确.故选：D.8.已知在ABC中，角,,ABC所对边分别为a，b，c，若2()caab=+，

sin12(,)coscos22aAcAaC−，则A的取值范围是（）A.ππ(,)43B.ππ(,)64C.π3π(,)64D.3π5π(,)46【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理结合已知，化简sincoscosaAcAa

C−，再利用正弦函数单调性求解即得.【详解】在ABC中，由2()caab=+，得220caab−=，则ca，π02A，由余弦定理得22222222coscos22bcabaccacAaCcaabcabb+−+−−−=−==，因此sinsincoscosaAAcAaC=−

，依题意，12sin(,)22A，则ππ(,)64A，所以A的取值范围是ππ(,)64.故选：B二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题的目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)9.设复数3122z

i=−，则以下结论正确的是（）A.3i=−zB.2zz=C.24izz+=−D.2||zz=【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算，结合共轭复数、模的意义逐项计算判断即得.【详解】对于A，223113(i)i2222z=−=−

，则33113(i)(i)i2222z=−−=−，A正确；对于B，由选项A知，213i22z=−，而31i22z=+，B错误；对于C，213i22z=−，则421313(i)i2222z=−=−−，243izz+=−，C错误；对于D，22213||()()122z=+−=，2231

||()()122z=+−=，D正确.故选：AD10.定义:已知两个非零向量,ab的夹角为，把,ab两个向量的叉乘记作:||||sinabab=，则以下说法正确的是（）A.若0ab=，则//abB

.()()=ababC.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于ABADD.若3,1==abab，则||ab+的最小值为6【答案】ACD【解析】【分析】根据给定两个向量的叉乘定义，逐项计算判断得解.详解】对于A，由0ab

=，得||||sin0ab=，而||||0ab，因此sin0=，又0π，则0=或π=，所以//ab，A正确；对于B，()||||sinabab=，当0时，()||||sin(π)||||sinababab=−=−，当

0π时，()()abab，B错误；【对于C，ABCDY的面积||||sinSBABADBAAADD==，C正确；对于D，由3ab=rr，得||||sin3ab=，由1ab=，得||||cos1ab=，两式平方相加得||||2ab=

，则2222||222||||26ababababab+=++=+++=，当且仅当||||2ab==时取等号，D正确.故选：ACD11.如图，ABC是边长为23的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点

，则PAPB的取值可能是（）A.0B.1C.6D.13【答案】BCD【解析】【分析】取AB中点O，利用数量积的运算律，结合定点与圆上点的距离范围求出PAPB的范围即可.【详解】在正ABC中，取AB中点O，连接,POCO，23sin603CO==，则222

()()3PAPBPOOAPOOAPOOAPO=+−=−=−，由P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，得24PO，所以[1,13]PAPB，PAPB的取值可能是1，6，13，BCD正确，A错误.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，

每小题5分，共15分)12.已知复数23(2i)1imz=−+−为纯虚数，则实数m的值是__________．【答案】6【解析】【分析】先利用复数的除法运算求出复数z的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】()()()()21i23

(2i)63i63i1i1i1immzmm+=−+=−−=−+−−−+，由复数z为纯虚数得6030mm−=−，所以6m=.故答案为：6.13.一艘游船从海岛A出发，沿南偏东15的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海

岛A出发沿直线到达海岛C，速度为8海里/时，则需要的航行时间为__________小时．【答案】3【解析】【分析】先利用余弦定理求出AC，再用距离除以速度等于时间来计算.【详解】在ABC中，156450ABC=+=，8AB=海里，16BC=海里，所以2222212cos81

628161922ACABBCABBCABC=+−=+−=，所以83AC=海里，又游船速度为8海里/时，则需要的航行时间为8338=小时.故答案为：3.14.平面向量,mn满足||||1mn=

=，对任意的实数t，不等式1||||2mnmtn−+恒成立，则||ntm−的最小值为__________．【答案】32【解析】【分析】根据给定的不等式，结合数量积的运算律求出mn，再利用数量积的运算律结合二次函数性质求出最小值.【

详解】由1||||2mnmtn−+，得22222124mnmnmtntmn+−++，整理得21204ttmnmn++−，依题意，Rt，不等式21204ttmnmn++−恒成立，则221(2)4()(21)04mnm

nmn=−−=−，因此12mn=，于是22222133||21()242ntmntmtmnttt−=+−=−+=−+，当且仅当12t=时取等号，所以当12t=时，||ntm−取得最小值32.故答案为：32四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤)15.已知复数1i(,izbb=+R为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足4zz=(z为z的共轭复数)．（1）求实数b的值;（2）若复数z是关于x的方程220(0pxxqp++=，且,R)pq的一个复数根，求p

q+的值．【答案】（1）3b=−；（2）5pq+=−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得0b，再由共轭复数及复数乘法计算得解.（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得.【小问1详解】依题意，点(1,)b在第四象限，即0b

，由4zz=，得(1i)(1i)4bb+−=，即23b=，所以3b=−.【小问2详解】由（1）知，13zi=−，由复数z是关于x的方程220pxxq++=的根，得2(13i)2(13i)0pq−+−+=，整理得(22)(2323)i0pqp−+

++−−=，而,Rpq，因此22023230pqp−++=−−=，解得1,4pq=−=−，所以5pq+=−.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知345,cos5acC==．（1）求sinA的值；（2）若11b=

，求ABC的面积．【答案】（1）55；（2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos2abcCab+−=以及45ac=可解出a，即可由三角形面积公式in12sSabC=求出面积．【小问1详解】由于3

cos5C=，0πC，则4sin5C=．因为45ac=，由正弦定理知4sin5sinAC=，则55sinsin45AC==．【小问2详解】因为45ac=，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa+−−+−==

==，即26550aa+−=，解得5a=，而4sin5C=，11b=，所以ABC的面积114sin51122225SabC===．17.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，且____________

__．在①cos2caCb−=，②22sin1cos22BCA+=+，③23SBAAC=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．（1）求A；（2）若3bc+=，点D是

BC边的中点，求线段AD长的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2π3A=（2）3342，【解析】【分析】（1）若选①可利用正弦定理边化角再结合三角形内角和及两角和差公式即可求得，或者利用余弦定理将角化边即可求得A.（2）由点D

是BC边的中点，可用向量利用平行四边形法则及余弦定理，将线段AD长转化成含有b的函数，再由b取值范围，求得函数的值域，即可求得线段AD长的取值范围.【小问1详解】若选①，方法一因为cos2caCb−=，所以由正弦定理可得si

nCsincossin2ACB−=，又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，sinsincossincoscossin2CACACAC−=+，即sincossin2CAC−=，又因为C为三角形内角，sin0C，所以1cos2A=−，又因为()0πA

，，所以2π3A=．方法二因为cos2caCb−=，所以由余弦定理可得22222abccabab+−−=，即222bcabc+−=−，2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，又因为()0πA，，所以2π3A=．若选②，因为22si

n1cos22BCA+=+，所以()21cos2cosBCA−+=，()21cos2cosAA−−=整理可得：22coscos10AA−−=，解得：1cos2A=−或cos1A=，又因为()0πA，，可得()cos11A−，，所以1cos2A=−，所以2

π3A=．若选③，因为23SBAAC=，所以()12sin3cos2bcAbcA=−，可得sin3cosAA=−，即sintan3cosAAA==−．又因为()0πA，，所以2π3A=．【小问2详解】法一：因为3bc+=，所以03b，3cb=−．因

为D是BC的中点，所以()12ADABAC=+，所以()()22222211244ADADADABACABABACAC===+=++()()2222211212cos2cos34434bcbcAbcbcbcbc=++=++=+−()()2213333933334

4424bbbbb=−−=−+=−+03b，所以当32b=时，()2min916AD=，即()min34AD=，又330322−=−()2239030344AD−+=，即32AD故线

段AD长的取值范围为3342，．法二：因为D是BC的中点，所以()12ADABAC=+，所以()()22222211244ADADADABACABABACAC===+=++()()2222211212cos2cos34434b

cbcAbcbcbcbc=++=++=+−()221934216bcbc++−=当且仅当32bc==时，min34AD=，由()12ADABAC=+可知：23ADbc+=，即32AD故线段AD长取值范围为3342

，．法三：因为3bc+=，所以03b，3cb=−在ABC中，由余弦定理得：222222cosabcbcAbcbc=+−=++，因为ADCADB+=，所以coscosADBADC=−，即222222442222aaADcADbaaADAD+−+−=−

，整理得222222aADbc=+−，将222abcbc=++，3cb=−代入整理得：()223334ADbb=−+的03b，所以当32b=时，()2min916AD=，即()min34AD=，又330322−=−()2239030344AD

−+=，即32AD故线段AD长的取值范围为3342，．18.已知点G为ABC三条中线交点．（1）求证:0GAGBGC++=（2）若点O为ABC所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:1().3OGOAOBOC=++（3）过G作直线与AB，AC

两条边分别交于点M，N，设,AMxABANyAC==，0,0xy，求xy+的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）43.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.（2）

利用（1）的结论，结合向量的减法法则推理即得.（3）由（1）的信息，结合共线向量定理的推论求得113xy+=，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【小问1详解】令,ADBE分别为ABC的边,BCAC上的中线，则111222ADABACABAE=+=+，由点G在

AD上，得ADAG=，显然0，则12AGABAE=+，即112AGABAE=+，又点,,BGE共线，于是1112+=，解得32=，则311222AGABAC=+，因此3AGABACGBGAGCGA=

+=−+−，所以0GAGBGC++=.的【小问2详解】由（1）知，0GAGBGC++=，而点O为ABC所在平面内任意一点(不与点G重合)，因此0OAOGOBOGOCOG−+−+−=，即30OAOBOCOG++−=，所以1()3OGOAOBOC=++.小问3详解】由

（1）知，1331AGABAC=+uuuruuuruuur，而,AMxABANyAC==，0,0xy，因此1133AGAMANxy=+，又点,,MGN共线，则11133xy+=，即113xy+=，于是(1()(11114)2)(22)3333xyyxyxxxyxyyyx+=+

+++=+=，当且仅当23xy==时取等号，所以当23xy==时，xy+取得最小值43.19.如图，在ABC中，4,3,90ABACBAC===o，点D在线段BC上（异于,BC两点），延长AD到P，使得9AP=，设(),APmABnACmn=+R（1）若185CD=，求mn+的值；（2）

求mn+的取值范围.【答案】（1）3（2）915,44【解析】【分析】（1）在ACD中，由余弦定理可求得3AD=，根据题意可知13ADAP=，在根据向量的加减运算求出54212525APABAC=

+，从而得出mn，的值，然后求解即可.【（2）设mn+=，由题意得11mmAPABAC=+−，设1APAN=，即可得点,,BNC三点共线，因为点D是直角ABC斜边BC上异于,BC的点，所以当ADBC⊥时，

AD取最小值；当D点与B点重合时，AD取最大值，再由APAD=求解即可.【小问1详解】在ABC中，4,3,90ABACBAC===o，所以22345BC=+=，3cos5C=，又在ACD中，185CD=，由

余弦定理，得22222181832cos3239555ADACCDACCDC=+−=+−=，所以3AD=，又9AP=，所以13ADAP=，又18185255CDCB==，所以1825CDCB=，因为CDADAC=−，CBABAC=−，所以()1825A

DACABAC−=−，整理得1872525ADABAC=+，即118732525APABAC=+，所以54212525APABAC=+，所以5421,2525mn==，所以542132525mn+=+=.【小问2详解】

设mn+=，则1mn+=，所以1nm=−，11mnmmAPABACABAC=+=+−，设1APAN=，则1mmANABAC=+−，故()mANACABAC−=−，即mCNCB=，所以点,,BNC三点共线，又1AP

AN=，所以点,,ANP三点共线，所以点N与点D重合，因此1ADAP=，故APAD=，因为点D是直角ABC斜边BC上异于,BC的点，所以，当ADBC⊥时，AD取最小值为125ACADBC=，当

D点与B点重合时，AD取最大值为4，故1245AD，又9AP=，所以91544APAD，即91544，所以mn+的取值范围为915,44.