【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2010年北京高考文科数学试题及答案.docx，共(9)页，451.015 KB，由envi的店铺上传

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（A）（B）（C）（D）2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）第I卷选择题（共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。1，集合2|03,|9PxZxMxRx==，则PM=（A）1,2（B）0,1,2

（C）|03xx（D）|03xx2，在等比数列na中，11a=，公比1q.若12345maaaaaa=，则m=（A）9（B）10（C）11（D）123，一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视

图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为（A）8289AA（B）8289AC（C）8287AA（D）8289AC5，极坐标方程(1)()0(0)−−=

表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线6，,ab为非零向量，“ab⊥”是“函数()()()fxxabxba=+•−为一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不

充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7，设不等式组1103305390xyxyxy+−−+−+表示的平面区域为D，若指数函数xya=的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（A）(1,3]（B）

2,3（C）(1,2]（D）[3,)+正（主）视图侧（左）视图8，如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，动点E，F在棱11AB上，动点P，Q分别在棱,ADCD上，若11,,,EFAExDQyDPz====（,,xyz大于零），则四面体PEFQ的体积（A

）与,,xyz都有关（B）与x有关，与,yz无关（C）与y有关，与,xz无关（D）与z有关，与,xy无关第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。9，在复平面内，复数21ii−对应的点的坐标为______10，在ABC中，若21,3,3bcC===，则

________a=11，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知________a=.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150)三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[14

0,150]内的学生中选取的人数应为________.12，如图，O的弦,EDCB的延长线交于点A，若,4,2,3BDAEABBCAD⊥===，则_____;DE=_____CE=13，已知双曲线22221xyab−=的离心率为2，焦点与椭圆221259xy+=

的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14，如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点(,)Pxy的轨迹方程是()yfx=，则函数()fx的最小正周期为_____；()yfx=在其两个相邻零点间的图象与x

轴所围区域的面积为_______.说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC沿x轴负方向滚动.1A1BEFBDCAPQ1C1D

三、解答题。本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15，（本小题共13分）已知函数2()2cos2sin4cos,fxxxx=+−（I）求()3f的值；（II）求()fx的最大值和最小值.1

6，（本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC⊥，EF∥AC，2,1.ABCEEF===(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE；(3)求二面

角ABED−−的大小.17，（本小题共13分）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得的优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,()pqpq，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，

记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6125ab24125(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求,pq的值；(3)求数学期望E.18，（本小题共13分）已知函数2()ln(1)(0)2kfxxxxk=+−+.(1)当2k=，

求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；(2)求()fx的单调区间.()()1212,,...,,,,...,nnnAaaaBbbbS==19，（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点(1,1)A−关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13−

.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线3x=交于点,MN，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.20，（本小题共13分）已知集合()12|,,...

,,0,1,1,2,...,(2)nniSXXxxxxinn===.对于，定义A与B的差为：()1122,,...,;nnABababab−=−−−A与B之间的距离为1(,)niiidABab==−.(1)证明：,,nABCS，有nABS−，且(,)(,)dACBCd

AB−−=；(2)证明：,,nABCS，(,),(,),(,)dABdACdBC三个数中至少有一个是偶数；设nPS，P中有(2)mm个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为()dP.证明：()2(1)mndPm−271+参

考答案一，选择题BC．C．A．C．B．A．D．二、填空题9，（-1，1）.10，1。11，0.030，312，5，13，()4,0，3yx=14，4，三、解答题15（I）2239()2cossin4cos12.333344f=+

−=−+−=−（2）2222()2(2cos1)(1cos)4cos3cos4cos1273(cos),33fxxxxxxxxR=−+−−=−−=−−因为cos1,1,x−所以当cos1x=−时，()fx取最大值6；当2

cos3x=时，取最小值73−。16证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=12AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BD

E。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0，0，0），A（2，2，0），D（2，0，0），E（0，0，1），F（22，22，1）。所以CF=（22，22，

1），BE=（0，－2，１），DE＝（－2，0，１）。所以CF·BE=0-1+1=0，CF·DE=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，CF=（22，22，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n=（x,y,z）,则n·

BA=0，n·BE=0。即(,,)(2,0,0)0(,,)(0,2,1)0xyzxyz=−=所以x=0，且z=2y。令y=1，则z=2。所以n=（0,1,2），从而cos（n，CF）=32nCFnCF=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为6

。17解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知1234(),(),().5PAPApPAq===（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“0=”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是61191(0)1.1251

25P−==−=（II）由题意可知，12312316(0)()(1)(1),5125424(3)().5125PPAAApqpPAAApq===−−=====整理得pq=32,55q=。（III）由题意知，123123123(1)()()()411(1)(1)(1)(1)555

37.125aPPAAAPAAAPAAApqpqpq===++=−−+−+−=(2)1(0)(1)(3)58.125bPPPP===−=−=−==0(0)1(1)2(2)3(3)9.5EPPPP==+=+=+==18解：（I）当2k=时，21()l

n(1),'()12.1fxxxxfxxx=+−+=−++由于3(1)ln(2),'(1),2ff==所以曲线()1,(1))yfxf=在点（处的切线方程为3ln2(1)2yx==−。即322ln230x

y−+−=（II）(1)'(),(1,).1xkxkfxxx+−=−++当0k=时，'().1xfxx=−+因此在区间(1,0)−上，'()0fx；在区间(0,)+上，'()0fx；所以()fx的单调递增区间为(1,0)−，单调递减区间为

(0,)+；当01k时，(1)'()01xkxkfxx+−==+，得1210,0kxxk−==;因此，在区间()1,0−和1(,)kk−+上，'()0fx；在区间1(0,)kk−上，'()0fx；即函数()fx的单调递增区间为()1,0−

和1(,)kk−+，单调递减区间为1(0,)kk−；当1k=时，2'()1xfxx=+.()fx的递增区间为(1,)−+当1k时，由(1)'()01xkxkfxx+−==+，得1210,(1,0)kxxk−==−；因此，在区间1(1,)kk−−和(0,)+上，'()0fx，

在区间1(,0)kk−上，'()0fx；即函数()fx的单调递增区间为11,kk−−和(0,)+，单调递减区间为1(,0)kk−。19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为

(),xy，则11,11APBPyykkxx−+==+−，由题意得111113yyxx−+=−+−，化简得：2234,(1)xyx+=。即P点轨迹为：2234,(1)xyx+=（2）因APBMPN=，可得sinsinAPBMPN=

，又11sin,sin22APBMPNSPAPBAPBSPMPNMPN==，若APBMPNSS=，则有PAPBPMPN=，即PAPNPMPB=设P点坐标为()00,xy，则有：00001331xxxx+−=−−解得：053x=，又因220034x

y+=，解得0339y=。故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时P点坐标为533,39或533,39−20,解：（1）设121212(,,...,),(,,...,),(,,...,)nnnnAaaaB

bbbCcccS===因,0,1iiab，故0,1iiab−，()1,2,...,in=即()1122,,...,nnnABabababS−=−−−又,,0,1,1,2,...,.iiiabcin=当0ic=时，有iiiiiiacbcab−−−

=−；当1ic=时，有(1)(1)iiiiiiiiacbcabab−−−=−−−=−故1(,)(,)niiidACBCabdAB=−−=−=（2）设121212(,,...,),(,,...,),(,,...,)nnnnAaa

aBbbbCcccS===记(,),(,),(,)dABkdACldBCh===记(0,0,...,0)nOS=，由第一问可知：(,)(,)(,)dABdAABAdOBAk=−−=−=(,)(,)(,)dACdAACAdOCAl=

−−=−=(,)(,)dBCdBACAh=−−=即iiba−中1的个数为k，iica−中1的个数为l，(1,2,...,)in=设t是使1iiiibaca−=−=成立的i的个数，则有2hkli=+−，由此可知，,,klh不可能全为奇数，即(,),(,),(,)dAB

dACdBC三个数中至少有一个是偶数。（3）显然P中会产生2mC个距离，也就是说2,1()(,)ABPmdPdABC=，其中,(,)ABPdAB表示P中每两个元素距离的总和。分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了it个1，那么自然有imt−个0，因此

在这个位置上所产生的距离总和为2(),(1,2,...,)4iimtmtin−=，那么n个位置的总和22,1(,)()44niiABPimmndABtmtn==−=即222,1()(,)42(1)ABPmmmnmndPdABCCm==−