【文档说明】[30095667]专题5.1 《投影与视图》全章复习与巩固（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）.docx，共(143)页，378.962 KB，由envi的店铺上传

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专题5.1《投影与视图》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图

形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.【要点梳理】要点一：平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影

子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平

行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2.物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北

→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.特别说明：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投

影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二：中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的

“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体

它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.特别说

明：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三：中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物

体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯

光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定

成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.特别说明：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四：正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心

投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正

投影分为三种情况.如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行

于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立

体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.特别说明：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以

识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.要点五：三视图1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；

在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循

主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.特别说明：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高

；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.要点六：画几何体的三视图画图方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图

的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.特别说明：画一个几何体的三视图，

关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.要点七

：由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.特别说明：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视

图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投

影的作图问题1．在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段BC表示）的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段DE表示）的影长DF为12.1米．（1）请你在图中画出影长DF；（2）求教学楼DE的高度．【答案】（1）见

解析（2）17.6米【分析】（1）射线AC，过E点作EF∥AC，交AD于点F即可；（2）根据相似列出比例式，求解即可．解答：（1）画射线AC，过E点作EF∥AC，交AD于点F,DF就是所求画影长．（2）根据题意，∠EDF=∠CBA=90°，∵EF∥AC，∴∠EFD=∠CAB，∴EFDC

AB△∽△．EDDFCBBA=，12.11.61.1DE=，17.6DE=（米）,答：教学楼DE的高度为17.6米．【点拨】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题关键是准确画出图形，根据平行投影证明三

角形相似．【变式1】如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB，CD，EF是三个标杆，BM，DN分别为标杆AB，CD在路灯下的影子.(1)请画出路灯O的位置；(2)画出标杆EF在路灯下的影子FH.【答案】

（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据中心投影的定义，延长MA和NC，它们的交点即为投影中心，即路灯O的位置；（2）连接OE并延长交马路的一侧于H，则FH即为EF在路灯下的影子.解：（1）路灯O的位置如图所示.（2）如图，F

H即为标杆EF在路灯下的影子.【点拨】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握相关概念.【变式2】投影线的方向如箭头所示，画出如图所示正四棱锥的正投影．【答案】画图见解析.【详解】根据正投影的定义结合图形的特点即可作图．解：如图所示：【点拨】：此题主要考查了作正投影，关键是在画图时

首先弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．【变式3】王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一

会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨．【答案】见解析.【分析】根据题意画出盲区即可判断出答案．解答：从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨．根据题意画出盲区即可判断出答案．【点拨】本题考查盲区的知识，难度不大，注意掌握

盲区的寻找方法．类型二、投影的应用2．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡P在线段DE上．（1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC

＝1.5m，且他到路灯的距离AD＝2m，求灯泡P距地面的高度．【答案】（1）见解析；（2）4.2米【分析】（1）连接CB，延长CB交DE于点P，连接PG，延长PG交CF于H，点P，线段FH即为所求作图．（2）利用相似三角形的性质根据方程求解即可．解：（1）如图，点P为灯泡所在的位置，

线段FH为小亮在灯光下形成的影子．（2）//ABPD，CBACPD∽ABCAPDCD=，∴1.81.51.52PD=+，∴PD＝4.2（m）．∴灯泡的高为4.2m．【点拨】本题考查作图−应用与设计，相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变

式1】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当

小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【答案】（1）18米；（2）3.6米【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝16AB，即得BQ＝16AB，则16AB+12+16AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子

为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得1.6189.6BNBN=+，然后利用比例性质求出BN即可．解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，APPMABBD=，即1.69.6APAB=，∴AP＝1

6AB，∵QB=AP，∴BQ＝16AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴16AB+12+16AB＝AB，∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BNBMANAC=，即1.618

9.6BNBN=+，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解

决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．【变式2】如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为__

________；（2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子；（3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多少m？【答案】（1

）变短；（2）见解析；（3）小亮的影长是167米【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；（2）连接PA并延长交直线BO

于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子；（3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；（2）如图所示，BE即为所求；（3）如图

，先设OP=x，则当OB=4.2米时，BE=1.6米，∴=ABBEOPOE，即1.61.6=4.21.6x+，∴x=5.8米；当OD=6米时，设小亮的影长是y米，∴DFDFOD+=CDOP，∴6yy+=1.65.8，∴y=167（米）．即小亮的影长是167米．

【点拨】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．【变式3】如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2米）落在教学楼的第一级

台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长．”（1）你认为谁的说法对?并说明理由；（2

）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度．【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）8米．【分析】（1）画出解题示意图，利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可；（2）利用同一时刻，物高与影长成正比，计

算判断即可；解：（1）小强的说法对；根据题意画出图形，如图所示，根据题意，得10.6DEEH=，∵DE=0．3米，∴0.30.60.18EH==（米）．∵GD∥FH，FG∥DH，∴四边形DGFH是平行四边形，∴0.2FHDG==米．∵AE=4．42米，∴AF=AE+EH+

FH=4．42+0．18+0．2=4．8（米），即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4．8米，∴小强的说法对；（2）由（1）可知：AF=4．8米．∵10.6ABAF=，∴8AB=米．答：树的高度为8米．【点拨】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻

，物高与影长成正比是解题的关键．类型三、由三视图描述物体的形状3．．画出如图所示物体的三视图．【答案】画图见解析【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，左视图是从几何体的左边看所得到的图形，俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．根据定义画图即可得到答案．解：如图所示：【点拨】本题考查实物体的

三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．【变式1】下面已给出了下面几何体的主视图，请补画出该几何体的左视图和俯视图【答案】见解析【分析】根据三视图的定义画出图形即可．解：如图所示：【点拨】本题考查作图−三视图

，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2】如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．【答案】见解析．【分析】画出从正面看到的图形是主视图，和画出从上面看到

的图形是俯视图即可．解：从正面看简单组合体是主视图，图形分上中下三层，下层三个小正方形，中层左边右边各一个小正方形，上层靠左边一个小正方形，主视图如图，从上面看简单组合体是俯视图，图形分上中下三层，下层左边一个小正方形，中层左边两个小正方形，上

层三个小正方形，左边对齐，俯视图如图．如图所示：．【点拨】本题考查画简单组合体的三视图，掌握画组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.画三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．【变

式3】（1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图1所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请在方格纸画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．（2）如图2，已知四点A、B、C、D，根据下列语句，画出图形．①连接AD；②画直线AB、CD交于点

E；③连接DB，并延长线段DB到点F，使DB＝BF；④图中以D为顶点的角中，小于平角的角共有个．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；③见解析；④5【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，3，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为

3，3，2．据此可画出图形．（2）①用线段连接AD即可；②根据直线的定义画图即可；③用线段连接DB，再延长即可；④根据角的定义解答即可．解：（1）如图所示：（2）①如图所示；②如图所示；③如图所示；④图中以D为顶点

的角中，小于平角的角共有5个．故答案为5．【点拨】本题考查几何体的三视图画法，以及作图-复杂作图，熟练掌握三视图的定义、直线、射线、线段的定义是解答本题的关键．类型四、三视图的有关计算3．（1）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，求出这个几何体的侧面积．（2）如图2

是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，求出S俯．【答案】（1）65π；（2）a2+a【分析】（1）根据三视图知，原几何体是一个圆锥，且已知圆锥的底面直径和母线长，从而可求得侧面积；（2）根据主视图和左视图的面积，易得俯视图的长和宽，从而

求得俯视图的面积．解答：（1）由三视图可知，原几何体为圆锥，S侧＝πr•l＝π×5×13＝65π．答：这个几何体的侧面积是65π．（2）∵S主＝a2，S左＝a2+a=a（a+1），∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴S俯＝a（a+1）=a2+a．【点拨】本题考查了三视图，关键会由三

视图还原几何体．【变式1】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表

面积．（结果保留根号）【答案】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）2(753360)cm+【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；（2）由（1）得到的答案可以得到表面展开图；（3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案．解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六

棱柱；（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图：（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12cm，底面边长为5cm，∴六棱柱的侧面积为2)6512360(cm=．又∵密封纸盒的底面面积为：2)15326

5753(cm22=，∴六棱柱的表面积为：2(753360)cm+．【点拨】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．【变式2】用若干个完全相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和左面看到的形状图

如图所示．（1）搭这样一个几何体最多需要多少个小正方体？（2）画出（1）中所搭几何体从上面看到的形状图，并标出各个小正方形所在位置的小正方体的个数．【答案】（1）11；（2）见解析．【分析】（1）根据主视图和

左视图得出这个几何体的组成即可得出答案；（2）根据（1）中所求的搭成这样几何体所需要的小正方形的个数，画图即可．解：（1）由从正面看到的形状图可以看出几何体从左到右共三列，第一列最多2层，第二列最多3层，第三列1层；由从左面看到的形状图可以看出，几何体共两排，第一排最多3

层，第二排最多2层；这样的几何体不唯一，它最少需要6个小正方体，最多需要11个小正方体，即6个、7个、8个、9个、10个、11个小正方体均可搭成这样的一个几何体；（2）根据（1）可以给出部分可能情况，从上面看到的形状图中各个小正方形所在位置的小正方体的个数如图：【点拨】本题考查

了三视图中的主视图和左视图，掌握理解三视图的相关概念是解题关键．【变式3】由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体如图所示，排放在桌面上．（1）请在下面方格纸中分别画出这个几何体从三个不同的方向（上面、正面和左面）看到的视图；（2）根据三个视图，请你求出

这个几何体的表面积（不包括底面积）．【答案】（1）见解析；（2）18【分析】（1）直接利用三视图的画法分别进行从不同角度得出答案；（2）利用几何图形的形状得出其表面积；解：（1）如图所示：（2）从正面看，有4个面，从后面看有4个面，从上面看，有4个面，从左面看，有3个面，从

右面看，有3个面，∵不包括底面积∴这个几何体的表面积为：(43)2418++=．【点拨】本题考查了作三视图以及几何体的表面积，正确掌握观察角度是解题的关键.