【文档说明】2008年高考试题--数学理（湖南卷）.doc，共(13)页，1002.000 KB，由envi的店铺上传

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(1,4)(1,1)(3,3)XyOx=11x+2y-9=0x-y=0绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.1．复数31()ii−等于()A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88iiiiii−−==−=−,易知D正确.2．“12x−成立”是“(3)0xx−成立”的()A．充分不必要条件B

.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由12x−得13x−，由(3)0xx−得03x，所以易知选B.3.已知变量x、y满足条件1,0,290,xxyxy−+−则xy+的最大值是()A.2B.5

C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,xy+最大值是336.+=故选C.4.设随机变量服从正态分布(2,9

)N,若(1)(1)PcPc+=−,则c=()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N12(1)1(1)(),3cPcPc+−+=−+=12(1)(),3cPc−−−=31()()1,33cc−−+=311(

)()1,33cc−−−+=解得c=2,所以选B.5.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是()A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若⊥，m,则m⊥D.若⊥，m⊥，m,则m∥【答案】D【解析】由立几知识,易知D

正确.6.函数2()sin3sincosfxxxx=+在区间,42上的最大值是()A.1B.132+C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos231()sin2sin(2)2226xfxxx−=+=+−,52,42366xx

−max13()1.22fx=+=故选C.7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD=2,CEEA=2,AFFB=则ADBECF++与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:21

2,1233ACABADACAB+==++12,33BEBCBA=+12,33CFCACB=+以上三式相加得1,3ADBECFBC++=−所以选A.8.若双曲线22221xyab−=（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.

(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)【答案】BC1D1B1A1ODCBA【解析】2033,22aexaeaaac−=−+23520,ee−−2e或13e−(舍去),(2,],e+故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D

1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.22B.2C.22D.24【答案】C【解析】11222,BDACR===2,R=设11,BDACO=则2,OAOBR===,2AOB=

2,2lR==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［54］=1）,对于给定的nN*,定义(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxx−−+=−−+x)1,

+,则当x3,32时，函数xnC的值域是()A.16,283B.16,563C.284,3)28,56D.16284,,2833【答案】D【解析】当x3,22

时，328816,332C==当2x→时，1,x=所以8842xC==;当)2,3时，288728,21C==当3x→时，2,x=88728,323xC==故函数xC8的值域是16284,,2833

.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11.211lim______34xxxx→−=+−.【答案】15【解析】21111111limlimlim

.34(4)(1)(4)5xxxxxxxxxx→→→−−===+−+−+12.已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=5.5过顶点A(0,b)作AM⊥l,垂足为M，则直线FM的斜率等于.【答案】12【解析】2(,),aMbc

55,2,5eacbc===201.2FMbckabcc−===−13.设函数()yfx=存在反函数1()yfx−=,且函数()yxfx=−的图象过点(1,2),则函数1()yfxx−=−的图象一定过点.【答案】(-1,2)【解析】由函数()yxfx=−的图象过点(1,2

)得:(1)1,f=−即函数()yfx=过点(1,1),−则其反函数过点(1,1),−所以函数1()yfxx−=−的图象一定过点(1,2).−14.已知函数3()(1).1axfxaa−=−（1）若a＞0,则()fx的定义域是;(2)若()

fx在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】3,a−,()(,01,3−【解析】（1）当a＞0时，由30ax−得3xa,所以()fx的定义域是3,a−;(2)当a＞1时，由题意知13a

;当0<a<1时，为增函数,不合;当a<0时，()fx在区间(0,1上是减函数.故填()(,01,3−.15.对有n(n≥4)个元素的总体1,2,,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,,m和1

,2,,mmn++(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ijP表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则1nP=;所有ijP(1≤i＜j≤)n的和等于.【答案】4()mnm−,6【解析】11111224(

1)(1)4;(1)()(1)()mnmnmnmCCmnmPCCmmnmnmmnm−−−−−−−===−−−−−第二空可分:①当,1,2,,ijm时,221mijmCPC==;②当,ij1,2,,mmn++时,1ijP=;③当1,2,,,imj1,2,,mmn++

时,4()4()ijPmnmmnm=−=−;所以1146.ijP=++=三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面

试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝12.（

Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28PABCPAPBPC−=−=−=（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.(0)()()()PPABCPABCPABC==++＝()()()()()()()()()PAPBPCPAPBP

CPAPBPC++＝3231113()()().2228++=(1)()()()PPABCPABCPABC==++=()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC++=3331113()()().2228++=1

(2)()()()().8PPABCPAPBPC====1(3)()()()().8PPABCPAPBPC====所以，的分布列是0123P38381818的期望331101231.8888E=+++

=17.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形

且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PAAB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE

，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三

垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，22.2AGPA==在Rt△PAB中，22225.55APABAPABAHPBAPAB====+所以，在Rt△AHG中，25105sin.5

2AHAGHAG===故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5解法二:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），33(,,0),22C13(,,0),22DP（0，

0，2）,3(1,,0).2E（Ⅰ）因为3(0,,0)2BE=，平面PAB的一个法向量是0(0,1,0)n=，所以0BEn和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知3(1,0,2),(0,02PBBE=

−=，），13(0,0,2),(,,0)22PAAD=−=设1111(,,)nxyz=是平面PBE的一个法向量，则由110,0nPBnBE==得111122020,3000.2xyzxyz+−=++=所以11110,2.(2,0,1).yxzn===故可取设2222(

,,)nxyz=是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnAD==得2222220020,1300.22xyzxyz+−=++=所以2220,3.zxy==−故可取2(3,1,0).n=−于是，1212122315cos,.552nnnn

nn===故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.518.（本小题满分12分）数列221221,2,(1cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan+===++=满足(Ⅰ)求34,,aa并求数列na的通项公式；(Ⅱ)设21122,.

nnnnnabSbbba−==+++证明：当162.nnSn−时，解:(Ⅰ)因为121,2,aa==所以22311(1cos)sin12,22aaa=++=+=22422(1cos)sin24.aaa

=++==一般地，当*21(N)nkk=−时，222121(21)21[1cos]sin22kkkkaa+−−−=++＝211ka−+，即21211.kkaa+−−=所以数列21ka−是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.kak−=当*2(N)nkk=时，22222

222(1cos)sin2.22kkkkkaaa+=++=所以数列2ka是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kka=故数列na的通项公式为**21,21(N),22,2(N).nnnnkkankk+=−==(Ⅱ)

由(Ⅰ)知，2122,2nnnanba−==23123,2222nnnS=++++①2241112322222nnnS+=++++②①-②得，23111111.222222nnnnS+=++++−21111[1()]1221.122212nnnn

n++−=−=−−−所以11222.222nnnnnnS−+=−−=−要证明当6n时，12nSn−成立，只需证明当6n时，(2)12nnn+成立.证法一(1)当n=6时，66(62)48312644+==成立.(2)假设当(6)nkk=时不等式成立，即(2)1.2kkk+则当n=k

+1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2kkkkkkkkkkkkkk++++++++=++由(1)、(2)所述，当n≥6时，2(1)12nn+.即当n≥6时，12

.nSn−证法二令2(2)(6)2nnncn+=，则21121(1)(3)(2)30.222nnnnnnnnncc++++++−−=−=所以当6n时，1nncc+.因此当6n时，66831.644ncc==于是当6

n时，2(2)1.2nn+综上所述，当6n时，12.nSn−19.（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一

艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶

.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC==由于090,所以cos=2265261().2626−=由余弦定理得BC=222cos105.ABACABAC+−

=所以船的行驶速度为10515523=（海里/小时）.（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos1013cos(45)3

0CAD=−=,y2=ACsin1013sin(45)20.CAD=−=所以过点B、C的直线l的斜率k=20210=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=|05540|357.14+−=+所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示，设直线AE与BC的延长线相

交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC+−==22240210510132402105+−=31010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC=−=−=在

ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC==−由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PE=QE·sinsi

nsin(45)PQEQEAQCQEABC==−=515357.5=所以船会进入警戒水域.20.（本小题满分13分）若A、B是抛物线24yx=上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当2x

时，点(),0Px存在无穷多条“相关弦”.给定02x.（I）证明：点()0,0Px的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点()0,0Px的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用

x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设AB为点()0,0Px的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是()()()112212,,xyxyxx、,则2211224,4yxyx==,两式相减得()()()1212124yyyyxx

+−=−.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是(),mmMxy,则k=12121242myyxxyyy−==−+.从而AB的垂直平分线l的方程为().2mmmyyyxx−=−−又点P（x0,0）在直线l上，所以0().2

mmmyyxx−=−−而0,my于是02.mxx=−故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是()mmyykxx−=−，代入24yx=中，整理得2222[()2]()0.mmmmkxkykxxykx+−−+

−=（·）则12xx、是方程（·）的两个实根，且2122().mmykxxxk−=设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则22222121212()()(1)()lxxyykxx=−+−=+−2222121212222

2224222222200(1)[()4]4(1)()2()44(1)[]4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)].mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxxxkxxxyxyxyyyxyyyxxxyxxyx=++−=+−−=+−=+−=−+−+=+−−−=−−−−因

为()200044248mmyxxx=−=−,于是设t=2my,则t(0,4x0-8).记2l=()()()22002341gttxx=−−−+−.若03x,则()()00230,48xx−−,所以当()023tx=

−,即2my=2(x0-3)时,l有最大值()021x−.若023x,则()0230x−,()gt在区间()00,48x−上是减函数，所以()200162lx−,l不存在最大值.综上所述，当x0>3时

，点()0,0Px的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2<x03时，点()0,0Px的“相关弦”的弦长中不存在最大值.21.（本小题满分13分）已知函数()()22ln11xfxx

x=+−+.(I)求函数()fx的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)aaen++对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解:（Ⅰ）函数()fx的定义域是(1,)−+，22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)xxxxxxxfxxxx++++−−=−

=+++设2()2(1)ln(1)2,gxxxxx=++−−则()2ln(1)2.gxxx=+−令()2ln(1)2,hxxx=+−则22()2.11xhxxx−=−=++当10x−时，()0,hx()hx在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，()0,hx()hx在(0,)+

上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以()0(0)gxx，函数g(x)在(1,)−+上为减函数.于是当10x−时，()(0)0,gxg=当x＞0时，()(0)0.gxg=所以，当10x

−时，()0,fx()fx在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，()0,fx()fx在(0,)+上为减函数.故函数()fx的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+.（Ⅱ）不等式1(1)naen++等价于不等

式1()ln(1)1.nan++由111n+知，1.1ln(1)ann−+设(11(),0,1,ln(1)Gxxxx=−+则22222211(1)ln(1)().(1)ln(1)(1)ln(1

)xxxGxxxxxxx++−=−+=++++由（Ⅰ）知，22ln(1)0,1xxx+−+即22(1)ln(1)0.xxx++−所以()0,Gx(0,1,x于是G(x)在(0,1上为减函数.故函数

G（x）在(0,1上的最小值为1(1)1.ln2G=−所以a的最大值为11.ln2−