【文档说明】湖南省炎德英才名校联考联合体2024-2025学年高三上学期第四次联考试题 数学 Word版含答案.docx，共(11)页，127.732 KB，由envi的店铺上传

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湖南省“炎德英才·名校联考联合体”2025届高三第四次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集𝑈={1,2,3,4,5}，集合𝑀={1,3,5}，

则∁𝑈𝑀=()A.{4}B.{2,4}C.{2,5}D.{2}2.1−𝑖2−𝑖=()A.15+35𝑖B.15−35𝑖C.35+15𝑖D.35−15𝑖3.已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(𝑥,1

)，且(𝑎⃗⃗⃗−𝑏⃗⃗)⊥𝑎⃗⃗⃗，则𝑥=()A.12B.1C.2D.34.已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为√3，则正四棱锥的体积为()A.√3B.2√3C.3√3D.6√35.已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥−3−𝑥，则𝑓(𝑥2−2)

+𝑓(𝑥)<0的解集为()A.(−2,1)B.(−∞,−2)∪(1,+∞)C.(−1,2)D.(−∞,−1)∪(2,+∞)6.已知函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)，其中𝜔>0，0<𝜑<𝜋，若图象上的点(−𝜋10,0)与之相邻的一条对称轴为直线𝑥=25𝜋，则𝜑的值是

()A.𝜋5B.2𝜋5C.3𝜋5D.4𝜋57.设双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过坐标原点的直线与𝐶交于𝐴，𝐵两点，𝐹2𝐴=2𝐹1𝐴，△𝐴𝐵𝐹2的面积为8√

3，且∠𝐴𝐹2𝐵为钝角，|𝐴𝐹2|−|𝐴𝐹1|=4，则双曲线𝐶的方程为()A.𝑥24−𝑦22=1B.𝑥24−𝑦28=1C.𝑥24−𝑦224=1D.𝑥216−𝑦29=18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥

|𝑥|，若方程[𝑓(𝑥)−𝑒][𝑓(𝑥)+𝑒+𝑎]=0恰有5个不同的解，则实数𝑎的取值范围是()A.(−∞,−𝑒)B.(−∞,−2𝑒)C.(−∞,−2𝑒)D.(−∞,−1𝑒)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.

设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，公差为𝑑，已知𝑆10<0，𝑎6>0.则()A.𝑎5>0B.𝑑>0C.𝑆𝑛>0时，𝑛的最小值为11D.𝑆𝑛最小时，𝑛=610.如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐴1，𝐵𝐶⊥𝐴�

�，𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别为𝐵𝐵1，𝐶𝐶1，𝐴1𝐵1，𝐴1𝐶1的中点，则下列说法正确的是()A.𝐴𝐵1⊥𝐸𝐺B.𝐸𝐺，𝐹𝐻，𝐴𝐴1三线不共点C.𝐴𝐵与平面𝐸𝐹

𝐻𝐺所成角为45∘D.设𝐵𝐶=2，则多面体𝐸𝐺𝐵1𝐹𝐻𝐶1的体积为111.已知抛物线𝐶1:𝑦2=𝑝𝑥(𝑝>0)和𝐶2:𝑦2=2𝑝𝑥的焦点分别为𝐹1，𝐹2，动直线𝑙与𝐶1交于𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,

𝑦2)两点，与𝐶2交于𝑃(𝑥3,𝑦3)，𝑄(𝑥4,𝑦4)两点，其中𝑦1，𝑦3>0，𝑦2，𝑦4<0，且当𝑙过点𝐹2时，𝑦3𝑦4=−4，则下列说法正确的是()A.𝐶1的方

程为𝑦2=4𝑥B.已知点𝐴(2,32)，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹1|的最小值为52C.1𝑦1−1𝑦3=1𝑦4−1𝑦2D.若|𝑀𝑃||𝑁𝑄|=2，则△𝑀𝐹1𝐹2与△𝑄𝐹1𝐹2的面积相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线𝑓(

𝑥)=ln(2𝑥−1)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为．13.已知数列{𝑏𝑛}的通项公式为𝑏𝑛=(2𝑛−1)cos𝑛𝜋，则∑𝑏𝑛2025𝑛=1=．14.将2个“0”、2个“1”和2个“2

”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△𝐴𝐵𝐶的

内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知sin𝐴−sin𝐵𝑏+𝑐=sin𝐶𝑎+𝑏．(1)求𝐴;(2)若𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶=√3，𝑆△𝐴𝐷𝐶=√32，求�

�𝐶．16.(本小题15分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1−ln𝑥.(1)证明：𝑓(𝑥)≥1;(2)设函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥(𝑎>0)，证明：函数𝐹(𝑥)有唯一的极值点．17.(本小题15分)如图，在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷

中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐶𝐷=2𝐴𝐵=2𝐴𝐷=4，点𝐸是𝐶𝐷的中点，将△𝐶𝐵𝐸沿𝐵𝐸对折至△𝑃𝐵𝐸，使得𝑃𝐴=4，点𝐹是𝑃𝐷的中点．(1)求证：𝑃𝐴⊥𝐸𝐹;(2)求二面角𝐴−𝐵𝐹−𝐸的正弦值．18.(本小

题17分)电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池

电动车的占35，得到以下的2×2列联表：偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计男性市民200100女性市民合计500(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率𝛼=0.001的独立性检验，能否认为市

民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关;(2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率;(3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进

行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为𝑋，求𝑋的分布列和数学期望．参考公式：𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+�

�)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．参考数据：𝛼0.1000.0500.0250.0100.0050.001𝑥𝑎2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(本小题17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术

活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1:在纸上画一个圆𝐴，并在圆外取一定点𝐵;步骤2:把纸片折叠，使得点𝐵折叠后与圆𝐴上某一点重合;步骤3:把纸片展开，并得到一条折痕;步骤4

:不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆𝐴，并在圆外取一定点𝐵，𝐴𝐵=4，按照上述方法折纸，点𝐵折叠后与圆𝐴上的点𝑊重合，折痕与直线

𝑊𝐴交于点𝐸，𝐸的轨迹为曲线𝑇．(1)以𝐴𝐵所在直线为𝑥轴建立适当的坐标系，求曲线𝑇的方程;(2)设曲线𝑇的左、右顶点分别为𝐸，𝐻，点𝑃在曲线𝑇上，过点𝑃作曲线𝑇的切线𝑙与圆𝑥2+𝑦2=1交于𝑀，𝑁两点(点𝑀在点𝑁的左侧)，记𝐸�

�，𝐻𝑁的斜率分别为𝑘1，𝑘2，证明：𝑘1⋅𝑘2为定值;(3)𝐹是𝑇的右焦点，若直线𝑛过点𝐹，与曲线𝑇交于𝐶，𝐷两点，是否存在𝑥轴上的点𝑄(𝑡,0)，使得直线𝑛绕点𝐹无论怎么转动，都有𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0成立?若

存在，求出𝑇的坐标;若不存在，请说明理由．参考答案1.𝐵2.𝐷3.𝐷4.𝐵5.𝐴6.𝐶7.𝐵8.𝐵9.𝐵𝐶10.𝐴𝐶11.𝐵𝐶𝐷12.2𝑥−𝑦−2=013.−202514.60；333333015.解：(1)由sin

𝐴−sin𝐵𝑏+𝑐=sin𝐶𝑎+𝑏及正弦定理得𝑎−𝑏𝑏+𝑐=𝑐𝑎+𝑏，整理得𝑎2=𝑏2+𝑐2+𝑏𝑐，又由余弦定理的推论得，cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=−12，0<𝐴<𝜋，解得�

�=2𝜋3．(2)由𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑆△𝐴𝐷𝐶=√32，得𝑆△𝐴𝐵𝐶=3√32，即12𝐴𝐶⋅𝐴𝐵⋅sin∠𝐵𝐴𝐶=12×√3×𝐴𝐵×√

32=3√32，可得𝐴𝐵=2√3，由余弦定理可得，𝐵𝐶2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⋅cos∠𝐵𝐴𝐶=12+3−2×2√3×√3×(−12)=21，则𝐵𝐶=√21．16.(

1)证明：因为𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1−ln𝑥，定义域为(0,+∞)，所以𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1−1𝑥，由于函数𝑦=𝑒𝑥−1，𝑦=−1𝑥在(0,+∞)上均为单调递增函数，所以𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1−1

𝑥在(0,+∞)上单调递增，因为𝑓′(1)=0，所以𝑥∈(0,1)，𝑓′(𝑥)<0，𝑥∈(1,+∞)，𝑓′(𝑥)>0，所以𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以

𝑓(𝑥)在𝑥=1处取得极小值，也是最小值，所以𝑓(𝑥)≥𝑓(1)=1．(2)解：因为𝑎>0，𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎𝑥=𝑒𝑥−1−ln𝑥−𝑎𝑥的定义域为(0,+∞)，所以𝐹′(𝑥)=𝑒𝑥−1−1𝑥−𝑎

．设ℎ(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1，则ℎ′(𝑥)=𝑒𝑥−1，当𝑥>0时，ℎ′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)单调递增，所以ℎ(𝑥)>ℎ(0)=0，所以𝑒𝑥−𝑥−1>0，即𝑒𝑥>𝑥+1，所以𝐹′(1+𝑎)=𝑒𝑎−11+𝑎−𝑎>𝑎+1−11+𝑎−𝑎=1−11+�

�>0．又𝐹′(1)=−𝑎<0，且𝐹′(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，所以存在唯一的𝑥0∈(1,1+𝑎)，使得𝐹′(𝑥0)=0，即𝑒𝑥0−1−1𝑥0−𝑎=0，当𝑥∈(0,𝑥0)时，𝐹′(𝑥0)<0

，𝐹(𝑥)单调递减;当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝐹′(𝑥0)>0，所以𝐹(𝑥)单调递增，所以函数𝐹(𝑥)有唯一的极值点．17.(1)证明：因为𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐶𝐷=2𝐴𝐵，点𝐸是𝐶𝐷的中点，所以𝐴𝐵//𝐷𝐸，𝐴𝐵=𝐷𝐸，

所以四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是平行四边形，又𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵=𝐴𝐷，所以四边形𝐴𝐵𝐸𝐷是正方形，所以𝐵𝐸//𝐴𝐷，且𝐵𝐸⊥𝐷𝐸，所以𝐴𝐷⊥𝐷𝐸，且𝐴𝐷⊥𝐶𝐸，即𝐴𝐷⊥𝑃𝐸，因为𝐷𝐸∩𝑃𝐸=𝐸，

𝐷𝐸，𝑃𝐸⊂平面𝑃𝐷𝐸，所以𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐷𝐸，因为𝐸𝐹⊂平面𝑃𝐷𝐸，所以𝐴𝐷⊥𝐸𝐹，因为𝐹是𝑃𝐷的中点，𝑃𝐸=𝐸𝐷，所以𝐸𝐹⊥𝑃𝐷，因为

𝐴𝐷∩𝑃𝐷=𝐷，𝐴𝐷，𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以𝐸𝐹⊥平面𝑃𝐴𝐷，因为𝑃𝐴⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以𝐸𝐹⊥𝑃𝐴．(2)由(1)知，𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐷𝐸，因为𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐷𝐸，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐷，因为𝑃𝐴=4，

𝐴𝐷=2.所以𝑃𝐷=√𝑃𝐴2−𝐴𝐷2=√16−4=2√3，又𝑃𝐸=𝐷𝐸=12𝐶𝐷=2，由余弦定理得cos∠𝑃𝐸𝐷=𝑃𝐸2+𝐷𝐸2−𝑃𝐷22𝑃𝐸⋅𝐷𝐸=4+4−128=−12，因为0<∠𝑃𝐸𝐷<𝜋，所以∠𝑃𝐸𝐷=2𝜋3，所以∠

𝑃𝐷𝐶=𝜋6，以𝐷为坐标原点，𝐷𝐴所在直线为𝑥轴，𝐷𝐶所在直线为𝑦轴，作𝐷𝑧⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷为𝑧轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则𝐷(0,0,0)，𝐴(2,0,0)，𝐵(2,2,0)，𝐸(0,2,0)，𝑃(0,

3,√3)，因为𝐹是𝑃𝐷的中点，所以𝐹(0,32,√32)，所以𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,3,√3)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,32,√32)，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=(−2,0,0)，𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−12,√32)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐵𝐸,𝐵𝐹⊂平面𝐵𝐸𝐹，𝐵𝐸∩𝐵𝐹=𝐵所以𝑃𝐷⊥平面𝐵𝐸𝐹

，所以𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,3,√3)为平面𝐵𝐸𝐹的法向量，设平面𝐴𝐵𝐹的一个法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛⃗⃗⃗⋅𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=0,所以{2𝑦=0,−2𝑥+32𝑦+√32𝑧=0,取𝑥=√3，则𝑦=0，𝑧=4，所以𝑛⃗⃗⃗=(√3,0,4)，所以cos<𝑛⃗⃗，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑛⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛⃗⃗⃗|⋅|𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√3√19⋅2√3=2√19，设二

面角𝐴−𝐵𝐹−𝐸的平面角为𝜃，所以sin𝜃=√1−cos2<𝑛⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=√1−419=√28519，所以二面角𝐴−𝐵𝐹−𝐸的正弦值为√28519．18.(1)被调查的女性市民人数为50

0−200−100=200，其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为200×35=120，偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200−120=80，所以2×2列联表为：零假设𝐻0:市民对这两种电池的电动车的偏

好与市民的性别无关，根据列联表中的数据可以求得𝜒2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=500(200×120−80×100)2300×200×280×220≈34.632，由于𝜒2≈34

.632>10.828，根据小概率值𝛼=0.001的独立性检验，我们推断𝐻0不成立，即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．(2)因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为2008

0=52，所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，设“有女性市民参加座谈”为事件𝐴，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件𝐵，则𝑃(𝐴𝐵)=𝐶51𝐶21𝐶72=1021，𝑃(𝐴)=𝐶51𝐶21+𝐶22𝐶72

=1121，所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=1021×2111=1011．(3)因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为300200=32，所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率

为23，偏好铅酸电池电动车的概率为13，从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则𝑋可能的取值为0，1，2．“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到𝑘人参加座谈”记为事件𝐷𝑘(𝑘=0,1,2)，则𝑃(𝐷𝑘)=𝐶3𝑘𝐶22−𝑘𝐶52(𝑘=0

,1,2)．“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为𝑚人”记为事件𝐸𝑚(𝑚=0,1,2)，则𝑃(𝐸0|𝐷0)=1，𝑃(𝐸0|𝐷1)=13，𝑃(𝐸0|𝐷2)=(13)2=19，𝑃(𝐸1|�

�1)=23，𝑃(𝐸1|𝐷2)=𝐶21×23×13=49，𝑃(𝐸2|𝐷2)=(23)2=49，所以𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐷0)𝑃(𝐸0|𝐷0)+𝑃(𝐷1)𝑃(𝐸0|𝐷1)+𝑃(𝐷2)𝑃(𝐸0

|𝐷2)=𝐶30𝐶22𝐶52×1+𝐶31𝐶21𝐶52×13+𝐶32𝐶20𝐶52×19=13，𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝐷1)𝑃(𝐸1|𝐷1)+𝑃(𝐷2)𝑃(𝐸1|𝐷2)=𝐶31𝐶21𝐶52×23+𝐶32𝐶20𝐶52×49=815，𝑃(�

�=2)=𝑃(𝐷2)𝑃(𝐸2|𝐷2)=𝐶32𝐶20𝐶52×49=215，故𝑋的分布列如下：𝐸(𝑋)=0×13+1×815+2×215=45．19.解：(1)以𝐴𝐵所在直线为𝑥轴，以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗为𝑥轴的正方向，以𝐴𝐵的中点为原点建立平面直角

坐标系，则𝐴(−2,0)，𝐵(2,0)，由折纸方法知，|𝐸𝐵|=|𝐸𝑊|，则||𝐸𝐵|−|𝐸𝐴||=||𝐸𝑊|−|𝐸𝐴||=|𝑊𝐴|=2<|𝐴𝐵|=4，根据双曲线的定义，曲线𝑇是以𝐴，𝐵为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为𝑥2𝑎2−𝑦2

𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，则𝑎=1，𝑐=√𝑎2+𝑏2=2，所以𝑎2=1，𝑏2=3，故曲线𝑇的方程为𝑥2−𝑦23=1．(2)易知直线𝑙的斜率存在，设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥+

𝑚(𝑘≠0)，且𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥2−𝑦23=1,整理得(3−𝑘2)𝑥2−2𝑘𝑚𝑥−(𝑚2+3)=0，由𝛥1=4𝑘2𝑚2+4(3−𝑘2)(𝑚2+3)=0，可得12(𝑚

2+3−𝑘2)=0，可得𝑚2=𝑘2−3，联立方程组{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥2+𝑦2=1,整理得(1+𝑘2)𝑥2+2𝑘𝑚𝑥+𝑚2−1=0，𝛥2=4𝑘2𝑚2−4(𝑘2+1)(𝑚2−1)=4(𝑘2−𝑚2+1)>0

，则𝑥1+𝑥2=−2𝑘𝑚1+𝑘2，𝑥1𝑥2=𝑚2−11+𝑘2，因为𝑘1=𝑦1𝑥1+1，𝑘2=𝑦2𝑥2−1，所以𝑘1⋅𝑘2=𝑦1𝑥1+1⋅𝑦2𝑥2−1=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2−(𝑥1−𝑥2)−1

，又因为𝑦1𝑦2=(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑘𝑥2+𝑚)=𝑘2𝑥1𝑥2+𝑘𝑚(𝑥1+𝑥2)+𝑚2，代入可得𝑦1𝑦2=𝑚2−𝑘21+𝑘2，由于𝑚2=𝑘2−3，则𝑦1𝑦

2=−31+𝑘2，由于点𝑀在点𝑁的左侧，故𝑥1−𝑥2<0，所以𝑥1−𝑥2=−|𝑥1−𝑥2|=−√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2，代入可得𝑥1−𝑥2=−41+𝑘2，又因为𝑥1𝑥2=𝑘2−41+𝑘2，则𝑘1⋅𝑘2=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥

2−(𝑥1−𝑥2)−1=−31+𝑘2𝑘2−41+𝑘2+41+𝑘2−1=3，所以𝑘1⋅𝑘2为定值，定值为3．(3)假设存在点𝑄(𝑡,0)，使𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0恒成立，由已知得𝐹(2,0)，当直线𝑛的斜率存在时，设直线𝑛的方程为

𝑦=𝑘3(𝑥−2)，𝐶(𝑥3,𝑦3)，𝐷(𝑥4,𝑦4)，联立{𝑥2−𝑦23=1,𝑦=𝑘3(𝑥−2),得(𝑘32−3)𝑥2−4𝑘32𝑥+4𝑘32+3=0，𝛥=(−4𝑘32)2−4(𝑘32−3)(4𝑘32+3)=36𝑘32+36>0，且𝑘3≠±√

3，则𝑥3+𝑥4=4𝑘32𝑘32−3，𝑥3𝑥4=4𝑘32+3𝑘32−3，𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥3−𝑡,𝑦3)，𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥4−𝑡,𝑦4)，则𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥3−𝑡)(𝑥4−𝑡)+𝑦3𝑦4=�

�3𝑥4−𝑡(𝑥3+𝑥4)+𝑡2+𝑘32𝑥3𝑥4−2𝑘32(𝑥3+𝑥4)+4𝑘32=(𝑡2−4𝑡−5)𝑘32−3𝑡2+3𝑘32−3，若𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0

恒成立，则(𝑡2−4𝑡−5)𝑘32−3𝑡2+3=0恒成立，即{𝑡2−4𝑡−5=0,−3𝑡2+3=0,解得𝑡=−1，当直线𝑛的斜率不存在时，直线𝑛的方程为𝑥=2，此时4−𝑦23=1，解得𝑦=±3，不妨取𝐶(2,3)，𝐷(2,−3)，则𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−𝑡,

3)，𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−𝑡,−3)，又𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−𝑡)2−9=0，解得𝑡=−1或𝑡=5，综上所述，𝑡=−1，所以存在点𝑄(−1,0)，使𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=0恒成立．