【文档说明】2007年高考试题——数学文（辽宁卷）.doc，共(10)页，1.001 MB，由envi的店铺上传

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参

考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+24πSR=如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试

验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)kknknnPkCpp−=−一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{13}A=，，{234}B=

，，，则AB=（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1234}，，，解析：AB={1，3}∩{2，3，4}={3}，选C2．若函数()yfx=的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()yfx=的图象必过点（）A．(51)，B．(15)，C．(11)，

D．(55)，解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选A3．双曲线221169xy−=的焦点坐标为（）A．(70)−，，(70)，B．(07)−，，(07)，C．(50

)−，，(50)，D．(05)−，，(05)，解析：因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为(50)−，，(50)，，选C4．若向量a与b不共线，0ab，且−aac=abab，则向量a与c的夹角为（）A．0B．π6C

．π3D．π2解析：因为0)(22=−=→→→→→→→→babaaaca，所以向量a与c垂直，选D5．设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S=，636S=，则789aaa++=（）A．63B．45C．36D．27解析：由等

差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B6．若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（）A．若m⊥，，则m⊥B．若m⊥，m∥，则⊥C．若⊥，⊥，则⊥D．若m=

，n=，mn∥，则∥解析：由有关性质排除A、C、D，选B7．若函数()yfx=的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx=−−的图象，则向量a=（）A．(12)−，B．(12)，C．(12)−，D．(12)−，解析：函数(1)2yfx=−−为)1(2−=+xf

y，令2,1''+=−=yyxx得平移公式，所以向量a=(12)−，，选C8．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy−++−≤，≥，≤，则yx的取值范围是（）A．965，B．)965−+，，

C．()36−+，，D．[36]，解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（29,25），yx表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（29,25）时取最小值59，选A

9．函数212log(56)yxx=−+的单调增区间为（）A．52+，B．(3)+，C．52−，D．(2)−，解析：定义域为(2)−，∪(3)+，，排除A、C，根据复合函数的单调性知212log(56)yxx=−+的单

调增区间为(2)−，，选D10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（）A．122B．111C．322D．211解析：从中任取两个球共有66212=

C种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326=−CC种取法，概率为1126612=，选D11．设pq，是两个命题：251:||30:066pxqxx−−+，，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条

件解析：p：),3()3,(+−−，q：),21()31,(+−，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，选A12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为i(i126)a=，，，，若11a，33a，55a，135aaa，

则不同的排列方法种数为（）A．18B．30C．36D．48解析：分两步：（1）先排531,,aaa，1a=2，有2种；1a=3有2种；1a=4有1种，共有5种；（2）再排642,,aaa，共有633=A种，故不同的排列方法种

数为5×6=30，选B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知函数()yfx=为奇函数，若(3)(2)1ff−=，则(2)(3)ff−−−=．解析：由函数()yfx=为奇函数得

(2)(3)ff−−−=(3)(2)1ff−=，填114．41()xxx+展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）．解析：2488481)1()(−−+==rrrrrrxCxxCT，当r=0，4，8时为含x的整数次幂的项，所

以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为72884808=++CCC，填7215．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为

球的直径，由12)6()6()2(222=+=R得R=3，球体积为34343=R16．设椭圆2212516xy+=上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPOF=+，则||OM=．解析：椭圆2212516x

y+=左准线为325−=x，左焦点为（-3，0），P（)328,35，由已知M为PF中点，M（)324,32−，所以||OM=2)324()32(22=+−三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明

，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1

300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，+)频数4812120822319316542频率（I）将各组的频率填入表中；（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；（III）该公司某办公室新安装了这种

型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．（I）解：分组[500，900)[900，1100)[110

0，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，+)频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.

042··········································································································4分（II）解：由（I）可得0.04

80.1210.2080.2230.6+++=，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．··································································

·······················8分（III）解：由（II）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P=，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得223333(2)(3)C0.60.40.60.648PP+=+=．所以至少有2支灯管的使用寿命

不足1500小时的概率是0.648．····························12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，ACBCa==，DE，分别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA

上的点，二面角MDEA−−为30．（I）证明：111ABCD⊥；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．（I）证明：连结CD，三棱柱111

ABCABC−是直三棱柱，1CC⊥平面ABC，CD为1CD在平面ABC内的射影．ABC△中，ACBC=，D为AB中点，ABCD⊥，1ABCD⊥．11ABAB∥，111ABCD⊥．1A1C1BCBAMDE1A1C1BCBAMDEFG（II）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长

线于F，连结MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC⊥．又AFCE∥，CEAC⊥．AFDE⊥．MA⊥平面ABC，AF为MF在平面ABC内的射影．MFDE⊥．MFA为二面角MDEA−−的平面角，30MFA=．在RtMAF△中，122aAFBC==

，30MFA=，36AMa=．作AGMF⊥，垂足为G，MFDE⊥，AFDE⊥，DE⊥平面DMF，平面MDE⊥平面AMF，AG⊥平面MDE．在RtGAF△中，30GFA=，2aAF=，4aAG=，即A到平面MDE的距离为4a．

CADE∥，CA∥平面MDE，C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为4a．解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF．DE，分别为ABBC，的中点，DEAC∥．又AFCE∥，CEDE⊥A

FDE⊥．MA⊥平面ABC，AF是MF在平面ABC内的射影，MFDE⊥．MFA为二面角MDEA−−的平面角，30MFA=．在RtMAF△中，122aAFBC==，30MFA=，36AMa

=．···························································································8分设C到平面MDE的距离为h，MCDECMDEVV−−=．1133CDEMDESMASh=△2

128CDEaSCEDE==△，36MAa=，211322cos3012MDEAFSDEMFDEa===△，221313386312aaah=，4ah=，即C到平面MDE的距离为4a．················································

·······12分19．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxx=++−−R，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若函数()yfx=的图象与直线1y=−的两个相邻交点间的距离为

π2，求函数()yfx=的单调增区间．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分．（I）解：3131()sincossincos(cos1)2222fxxxxxx=++−−+312sincos122xx=−−

π2sin16x=−−．··················································································

··5分由π1sin16x−−≤≤，得π32sin116x−−−≤≤，可知函数()fx的值域为[31]−，．················································

·······················7分（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()yfx=的周期为π，又由0，得2ππ=，即得2=．·····················

······························································9分于是有π()2sin216fxx=−−，再由πππ2π22π()262kxkk−−+Z≤≤，解得ππππ()63

kxkk−+Z≤≤．所以()yfx=的单调增区间为ππππ63kk−+，()kZ····································12分20．（本小题满分12分）已知数列{}na，{}nb满

足12a=，11b=，且11113114413144nnnnnnaabbab−−−−=++=++（2n≥）（I）令nnncab=+，求数列{}nc的通项公式；（II）求数列{}na的通项公式及前n项和公

式nS．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．（Ｉ）解：由题设得11()2(2)nnnnababn−−+=++≥，即12nncc−=+（2n≥）易知{}nc是首项为113ab+=，公差为２的等

差数列，通项公式为21ncn=+．··························································································

······4分（II）解：由题设得111()(2)2nnnnababn−−−=−≥，令nnndab=−，则11(2)2nnddn−=≥．易知{}nd是首项为111ab−=，公比为12的等比数列，通项公式为112nnd−=．·················

·················································································8分由12112nnnnnabnab−+

=+−=，解得1122nnan=++，·······················································································

·10分求和得21122nnnSn=−+++．·······································································12分21．（本小题满分14分）已知正三角

形OAB的三个顶点都在抛物线22yx=上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB△的内接圆（点C为圆心）（I）求圆C的方程；（II）设圆M的方程为22(47cos)(7sin)1xy−−+−=，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线

PEPF，，切点为EF，，求CECF，的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I）解法一：设AB，两点坐标分别为2112yy，，2222yy，，由题设知2222

22222211122212()2222yyyyyyyy+++=−+−．解得221212yy==，所以(623)A，，(623)B−，或(623)A−，，(623)B，．设圆心C的坐标为(0)r，，则264

3r==，所以圆C的方程为22(4)16xy−+=．···········································································

············4分解法二：设AB，两点坐标分别为11()xy，，22()xy，，由题设知22221122xyxy+=+．又因为2112yx=，2222yx=，可得22112222xxxx+=+．即1212

()(2)0xxxx−++=．由10x，20x，可知12xx=，故AB，两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．设C点的坐标为(0)r，，则A点坐标为3322rr，，于是有233222rr=，解得4r=，所以圆C的方程为22(

4)16xy−+=．·······························································4分（II）解：设2ECFa=，则2||||cos216cos232cos16CECFCECF===−．·····

·····························8分在RtPCE△中，4cos||||xPCPC==，由圆的几何性质得||||17PCMC+=≤18+=，||||1716PCMC−=−=≥，所以12cos23≤≤，由此可得1689CECF−−≤≤．则CECF的最大值为1

69−，最小值为8−．22．（本小题满分12分）已知函数322()9cos48cos18sinfxxxx=−++，()()gxfx=，且对任意的实数t均有(1cos)0gt+≥，(3sin)0gt+≤．（I）求函数()fx的解析式；（II）若对任意

的[266]m−，，恒有2()11fxxmx−−≥，求x的取值范围．