【文档说明】【精准解析】黑龙江省鸡西市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(24)页，2.713 MB，由envi的店铺上传

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-1-鸡西市第一中学2019-2020学年度高一学年下学期期末考试数学试卷第I卷（选择题)一、单选题(共60分)1.已知集合|3Axyx==−，2|76<0Bxxx=−+，则()RCAB=（）A.|1<<3xxB.|1<<6xxC.|13xxD.|16

xx【答案】A【解析】【分析】要使根式有意义，则需30x−，可求集合A，再求RCA，解二次不等式2760xx−+，可求得集合B，从而求得()RCAB即可.【详解】解：|3Axyx==−=|30xx−=|3xx，即

|3RCAxx=，又2|76<0Bxxx=−+=|(1)(6)<0xxx−−=|16xx，即()RCAB=|1<<3xx，故选A.【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题.2.直线1l，2l分别

过点(1,4)M，(3,1)N−，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是（）A.5B.4C.13D.3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，根据图像分析可得直线1l，2l之间的距离的最大值为MN，即可得出结-2-果.【详解】

解：根据题意画出图像，如图所示：根据图像可得：当12ll//，且1lMN⊥，2lMN⊥时，1l与2l之间的距离为MN；当12ll//，但是1l与MN不垂直，2l与MN不垂直时，过M点向2l引垂线，垂足为P，则1l与2l之间

的距离为MP；因为MNMP，所以()()22max13415dMN==−−+−=.故选：A.【点睛】本题主要考查数形结合的思想和两平行线间的距离，属于中档题.3.已知数列na为等差数列，若27,aa为函数()2914fxxx=++的两个零点，则45aa＝（）A.14−B.

20C.14D.9−【答案】B【解析】【分析】由27,aa为函数()2914fxxx=++的两个零点，求出27,aa的值，从而可求出等差数列na的通项，进而可得45aa的值.【详解】解：因为27,aa为函数()2914fxxx=++的两个零点，-3-所以272,7aa=−=−或277,2

aa=−=−，①当272,7aa=−=−时，727(2)1725aad−−−−===−−，所以2(2)2(2)(1)naandnn=+−=−+−−=−，所以454(5)20aa=−−=；②当277,2aa=−=−时，722(7)1725aad−−−−===−，所以2(2)

7(2)9naandnn=+−=−+−=−，所以45(49)(59)20aa=−−=，综上45=20aa.故选：B【点睛】此题考查等差数列的通项公式，属于基础题.4.已知向量()()4152ab=−=−，，，，且

()()abmab+⊥+，则m=（）A.1B.1−C.75D.75−【答案】C【解析】【分析】先求得,abmab++，结合()()abmab+⊥+列方程，解方程求得m.【详解】依题意()()()()1,1,4,5,245,2abmabmmmm+=−+=−+−=−−，由于()()abmab+⊥

+，所以()()1,145,20mm−−−=，即542750mmm−+−=−=，解得75m=.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.5.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：-4-①若//mn，n⊥，m，则

⊥；②若⊥，αβm=，nm⊥，则n⊥或n⊥；③若αβm=，//nm，n，n，则//n且//n；④若m⊥，mn⊥，n，则//或⊥；其中正确命题的序号是（）A.①②B.②④C.①④D.①③【答

案】D【解析】【分析】对于①，根据平面与平面垂直的判定定理可知该命题正确；对于②，只有当n或n时，才能得出该命题正确；对于③，根据直线与平面平行的判定定理可知该命题正确；对于④，与还有可能相交但不垂直.【详解】对于①，由//m

n，n⊥，得m⊥，又m，所以⊥，故①正确；对于②，若⊥，αβm=，nm⊥，则当n时，可得n⊥；当n时，可得n⊥；当n且n时，n与和都不垂直，故②不正确；对于③，根据直线与平面平行的判定定理可知，若αβm=，

//nm，n，n，则//n且//n是正确的；对于④，若m⊥，mn⊥，n，则//或⊥或与相交但不垂直，故④不正确，故选：D.【点睛】本题考查了空间直线、平面的位置关系，属于基础题.6.已知直线:3210pxy−+=，直线

:(1)0qaxby+−=，且p∥q，若,ab均为正数，则23ab+的最小值是（）A.253B.83C.8D.24【答案】A-5-【解析】【分析】先由p∥q得23(1)ab=−，即213ab+=，因此23ab+可化为232323a

babab+=++，化简后，再利用基本不等式即可求出其最小值.【详解】解：因为直线:3210pxy−+=，直线:(1)0qaxby+−=，且p∥q，所以23(1)ab=−，即213ab+=，因为,ab均为正数，所以23232422333ababababab

+=++=+++，13223baab=++132213252=+4=333baab+，当且仅当22baab=，即35ab==时取等号，所以23ab+的最小值为253，故选：A【点睛】此题考查了两

直线的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题.7.已知01a，实数,xy满足xyaa，则下列不等式一定成立的是（）A.11xyxy++B.33xyC.sinsinxyD.()()22ln1ln1xy++【答案】B【解析】【分析】由条件得xy，然后根

据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】解：因为01a且xyaa，所以xy，-6-对于A，当1y=，0.1x=，满足xy，当11xyxx++不成立，故A错误；对于B，函数3yx=是增函数，由xy，所以33xy，故B正确；对于C，当y

=，0x=，满足xy，但sinsinxy不成立，故C错误；对于D，1y=，1x=−，满足xy，()()22ln1ln1xy++不成立，故选：B【点睛】本题主要考查不等式与不等式关系的判断，结合条件利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的

棱长度是（）A.2B.6C.4D.3【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原原图，并计算出最长的棱长.【详解】根据三视图画出原图如下图所示几何体EABCD−，由三视图可知3,2ABCDADBC====，1EF=，且EF⊥平面ABCD，-7-所

以,,,EFFDEFFCEFFAEFFB⊥⊥⊥⊥，所以22112ED=+=，22215EC=+=，2221126EA=++=，2221223EB=++=，所以最长的棱长为3.故选：D【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，属于基础题.9.《九章算术》第三章“衰分”介

绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为0400，那么“衰分比”就等于0400，今共有

粮()0aa石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（）A.525075,04B.525025,04C.075,1750D.025,1750【答案】D【解析】设“衰分比”为x，乙分得m石，

丁分得n石，则75363636mnnxmxm+=−=−=，解得48270.25mnx===，∴甲分得48640.75=石．“衰分比”为0250，则643675175a=++=石，故选D．【方

法点睛】本题考查等比数列的定义与性质、阅读能力转化与划归思想以及新定义问题属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题

目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，一定要有信心，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“衰分比”达

到考查等比数列的定义与性质.-8-10.已知变量x，y满足约束条件2240240xyxyxy+−+−−，若2221zxyx=+++，则z的最小值为（）A.10B.92C.9D.72【答案】B【解析】【

分析】先画出可行域，目标函数222221(1)zxyxxy=+++=++表示可行域中的点(,)Pxy到点(1,0)M−的距离的平方，由图可知目标函数的最小值就是点(1,0)M−到直线2xy+=距离的平方.【详解】解：

二元一次不等式组表示的可行域如图所示，目标函数222221(1)zxyxxy=+++=++表示可行域中的点(,)Pxy到点(1,0)M−的距离的平方，由图可知点(1,0)M−与可行域中的点的距离的最小值

为点(1,0)M−到直线2xy+=距离，所以2221zxyx=+++的最小值等于22102922d−+−==，故选：B【点睛】此题考查的是求非线性目标函数的最值，利用距离公式，属于基础题.-9-11.在长方体1

111ABCDABCD−中，6AB=，4BC=，12AA=，P，Q分别为棱1AA，11CD的中点.则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A.32B.42C.34D.52【答案】B【解析】试

题分析：如图，∵P，Q分别为棱1AA，11CD的中点，∴问题可转化为从小长方体11PMNGAHQD−的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为()2231442l=++=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为()2234152l=++

=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为()2214334l=++=∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为42考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题12.已知函数()()fxxR是以4为周期的奇函数，当(0,2)x时，()2()lnfxxxb=−+，若数(

)fx在区间[2,2]−上有5个零点，则实数b的取值范围是（）A.11b−B.1544bC.11b−或54b=D.114b或54b=【答案】D-10-【解析】【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±2是函数()fx的零点，将函数()fx在区间[2,2]−上的零点个数为5，

转化为当(0,2)x时，20xxb−+恒成立，且21xxb−+=在(0,2)有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围.【详解】解：由题意知，()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f=，即0是函数()fx的零点，因为()fx是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以(2

)(2)ff−=，且(2)(2)ff−=−，则(2)(2)0ff−==，即2也是函数()fx的零点，因为函数()fx在区间[2,2]−上的零点个数为5，且当(0,2)x时，()2()lnfxxxb=−+，所以当(0,2)x时，20xxb−+恒成立，且21xxb−+=在(0,2)有一解，即

214(1)=011122bb=−−−+=或2214(1)000102210bbb=−−−+−−+−，解得114b或54b=.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的

综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大.第II卷（非选择题)二、填空题(共20分)13.在等差数列na中，0d，nS是它的前n项和，若4122+=aaa，且2a与6a的等比中项为4，则7S=__________

．【答案】35【解析】-11-【分析】由条件转化为关于1a和d的方程组，再代入求7S.【详解】由条件可知6216aa=，且4122+=aaa，即()()1111516322adadadad++=+

+=，解得：113,22ad==，或113,22ad=−=−（舍）所以717613772135222Sad=+=+=.故答案为：35【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，重点考查基本公式和计算

，属于基础题型.14.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的周长是________．【答案】4417+【解析】【分析】根据直观图画出原图，由此计算出△AOB的周长.【详解】根据直观图画出原图如下图所示，根据原图和直

观图的关系可知，4,2,8OBODBDAD====，所以2228217OAAB==+=,所以△AOB的周长是421724417+=+.故答案为：4417+-12-【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算，属于基础题.15.已知函数()()2l

n11fxxx=+−+，()5fa=，则()fa−=________．【答案】-3【解析】【分析】先计算()()2fxfx+−=，再求结果.【详解】因为()()()22()ln11ln11fxfxxxxx+−=+−+++++()()22ln11+2ln1+22xxxx=+−++==所以()

()()2532fafafa−=−=−+=−故答案为：3−【点睛】本题考查利用函数奇偶性性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点,EF，且22EF=，现有如下四个结论：-13-①ACBE⊥

；②平面EFC//平面1ABD③异面直线,AEBF所成的角为定值；④三棱锥ABEF−的体积为定值，其中正确结论的序号是______．【答案】①②④【解析】【分析】通过证明异面直线垂直证得①成立，通过证明面面平行证得②成立，作出异面直线,AEBF所成的角，

由此判断异面直线,AEBF所成的角是否为定值，利用锥体体积公式计算出三棱锥ABEF−的体积.【详解】①设AC与BD相交与G.根据正方体的性质可知1,ACBDACBB⊥⊥，而1BDBBB=，所以AC⊥平面11BDDB，所以A

CBE⊥.故①正确.②根据正方体的性质可知11//ABDC，1AB平面11BCD，1DC面11BCD，所以1//AB平面11BCD.同理可证//BD平面11BCD，而1ABBDB=，所以平面1//ABD平面11BCD

，也-14-即平面//EFC平面1ABD.故②正确.③由于正方体的边长为1，所以1122,2BDBDBG===，而22EF=，根据正方体的性质可知//EFBG，所以四边形BGEF是平行四边形，所以//BFGE，所以AE

G是异面直线,AEBF所成的角，所以tanAGAEGGE=，其中AG为定值，GE长度不固定，所以AEG不是定值，所以③错误.④由①可知AC⊥平面11BDDB，所以11122113322212ABEFBEFVSAG−===为定值，所以④正确.故答案为：①②④【

点睛】本小题主要考查线线、面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.三、解答题(共70分)17.如图，将棱长为2的正方体1111ABCDABCD−沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11ACBD−．-15-（1）求该四面体的表

面积；（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比．【答案】（1）83；（2）33:1【解析】【分析】（1）根据已知条件判断出四面体是正四面体，由正方体的对角线长，求得正四面体的表面积.（2）根据正方体的体对角线长求得正四面体外接球的半径R，正四面

体的棱切球也即正方体的内切球，由此求得的棱切球的半径r，进而求得正四面体外接球的体积与棱切球的体积之比.【详解】（1）由已知可知四面体是正四面体，正方体的棱长为2，其对角线长为22，也即正四面体的棱长为22，所以表面积为()2

1422sin60832=.（2）∵正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线长为23，∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线∴外接球直径223R=，半径3R=，正四面体的棱切球也即正方体的内切球，所以正四面体的棱切球的半径1r=，所

以3Rr=，所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为()33333Rr==.-16-所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为33:1.【点睛】本小题主要考查几何体外接球和内切球有关计算，属于中档题.18.已知ABC的三个内角三角形AB

C所对的边分别为a，b，c，向量()41m=−，，n=2(cos2A，cos2A-1)，且mn=92（1）求角A的大小；（2）若BC＝3，试求ABC面积的最大值及此时ABC的形状．【答案】（1）60；（2）334，等边三角形.【解析】【分析】（1）由mn=9

2得24cos4cos10AA−+=，从而可求出角A的值；（2）先利用余弦定理得223?+−=bcbc，再利用基本不等式可得3bc，然后代入面积公式中可求得其最大值，同时也可判断出三角形的形状.【详解】（1）因为92m

n=，由公式可得24cos4cos10AA−+=即可得()22cos10A−=，解得1cos2A=，又()0,A，A=π6（2）因为BC＝3，即3a=.由余弦定理可得2213cos22bcAbc+−==，化简得223?+−=b

cbc即可得2232+=+bcbcbc，3bc，当且仅当bc=时取得最大值，60A=，故此时ABC为等边三角形.-17-故()maxmax11333sin32224SAbc===，此时三角形的形状是等边三角形.【点睛】本题考查余弦的倍角

公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面四边形ABCD满足2ADBC=，且90BADABC==，ABPD⊥，点E和F分别为棱PD和AD的中点．（1）求证：EC平面PAB；（2）求证：平面EFC⊥平面PAD．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先证明CF∥平面PAB，EF∥平面PAB，进而得到平面EFC∥平面PAB，然后根据面面平行的性质可得结论成立．（2）先证明AB⊥平面PAD，根据FC∥AB，可得FC⊥平面PAD，于是可得面面垂直．【详解】（1）在底面四边

形ABCD中，由90BADABC==，可得BC∥AF；又2ADBC=，F为AD的中点，所以BCAF=，从而四边形ABCF为平行四边形，所以FC∥AB，又AB平面PAB，CF平面PAB，所以CF∥平面PAB．由题意，EF是ADP的中位线，所以EF∥PA，-18-又PA平面PAB，EF平

面PAB，所以EF∥平面PAB．又CF与EF是平面EFC内两相交直线，所以平面EFC∥平面PAB；因为EC平面EFC，所以EC∥平面PAB．（2）由（1）知FC∥AB，因为90BAD=，所以ABAD⊥，又ABPD⊥，且,ADPD是平

面PAD内两相交直线，所以AB⊥平面PAD，从而FC⊥平面PAD，又FC平面EFC，所以平面EFC⊥平面PAD．【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语

，在证题过程中要得到体现，属于基础题．20.设数列{}na是等差数列，其前n项和为()*nSnN；数列{}nb是等比数列，公比大于0，其前n项和为()*nTnN．已知11b=，322bb=+，424baa=+，5162baa=+．（1）求数列{}na和数列{}nb的通

项公式；（2）()124nnnnSTTTab++++=+，求正整数n的值．【答案】（1）1nan=+；12nnb−=；（2）n的值为3．【解析】【分析】(1)根据等比数列nb与等差数列{}na,分别设公比与公差再用基本量法求解即可

.(2)分别利用等差等比数列的求和公式求解得(3)2nnnS+=与122112nnnT−==−−,再代入-19-()124nnnnSTTTab++++=+整理求解二次方程即可.【详解】解：（1）设等比数列nb的公比为q,由11b=,3

22bb=+,可得220qq−−＝．∵0q,可得2q=．故12nnb−=；设等差数列{}na的公差为d,由424baa=+,得124ad+=,由5162baa=+,得131016ad+=,∴12,1ad==．故1nan=+；（2）由{}na是等差数列,且1nan=+,得

(3)2nnnS+=由nb是等比数列,且12nnb−=,得122112nnnT−==−−．可得12122(12)...(222)12nnnTTTnn=−++++++−=−−122nn+=−−．由()12...4nnnnSTTTab++++=+,可得

11(3)22122nnnnnn++++−−=++,整理得：260nn−−=,解得2n=−（舍）或3n=．∴n的值为3．【点睛】本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.21.设直线l的方程为()()1520axya

aR++−−=.（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点(),0AAx，()0,BBy，当AOB面积最小时，求AOB的周长及此时的直线方程；（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程.-20-【答案】（

1）证明见解析；（2）周长为10213+；直线方程为32120xy+−=；（3）390xy+−=.【解析】【分析】（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；（2）先求A,B坐标且确定a的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求

最值，确定a的值，最后求周长以及直线方程；（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定a的值，再求直线方程.【详解】解：(1)由()1520axya++−−=得()250axxy−++−=，则2050xxy−=+−

=，解得23xy==，所以不论a为何值，直线l必过一定点()2,3P；(2)由()1520axya++−−=得，当0x=时，52Bya=+，当0y=时，521Aaxa+=+，又由5205201BAyaaxa

=++=+，得1a−，()()()1191941+1224112122212152521AOBaaaSaaaa=++++=++=+++，当且仅当()9411aa+=+，即12a=时，取等号.()4,0A，()0,6B，A

OB的周长为22464610213OAOBAB++=+++=+；直线方程为32120xy+−=.(3)直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即52a+，521aa++均为正整数，而a也为正整数，5232211aaaa+=+

=++Q-21-所以直线l的方程为390xy+−=.【点睛】本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.22.已知二次函数()()2,,fxaxbxcab

cR=++的最小值为-1，且关于x的方程()0fx=的两根为0和-2.（1）求函数()fx的解析式；（2）设()()3Fxtfxx=−−其中0t，求函数()Fx在3,22x−时的最大值()Ht；（3）若()()gxfxk=+（k为实数），对任意

)0,m+，总存在)0,n+使得()()gmHn=成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）()22fxxx=+；（2）()33204252855ttHttt−−=−；（3）95k−【解析】【分析】（1）根据方程

的根，以及二次函数的性质即可求函数()yfx=的解析式（2）求出()Fx的表达式，结合二次函数的图象和性质，即可求函数()Fx在3,22x−时的最大值()Ht（3）求出函数()Hx的值域，利用函数与方程之间的关系即可得到结论．【详解】

（1）0，2是方程20axbxc++=的两根，()00fc==，()2420fab=−=，又()fx最小值即214ba−=−，∴1a=，2b=，0c=，所以()22fxxx=+.（2）()()()2223213Fxtxxxtxtx=+−−=+−−，()0

t.-22-分以下情况讨论()Fx，3,22x−的最大值()Ht.（1）当0t=时，()3Fxx=−−在3,22x−上是减函数，()()max3322HtFxF==−=−.（2）当0t时，()Fx的图像关于直线211122t

xtt−=−=−+对称，∵321224−+=，故只需比较112t−+与14的大小.当11124t−+时，即25t时，()322FF−，()()()max285FxHtFt===−.当11124t−+时，即05t

时，()322FF−，()()max333242FxHtFt==−=−−；综上所得()33204252855ttHttt−−=−.（3）()33204252855ttHttt

−−=−，函数()Ht的值域为9,5−+，-23-()22gxxxk=++在区间)0,+上单调递增，故值域为)k+,，对任意)0,m

+，总存在)0,n+使得()()gmhn=成立，即)9,,5k+−+，解得95k−.【点睛】本题主要考查二次函数的解析式及单调性，以及函数存在性与任意性问题，注意要对t进行分类讨论，考查学生的计算能力，属于难题．-2

4-