【文档说明】专题4-2 正余弦定理中的高频小题归类(原卷版）-高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（新高考专用）.docx，共(19)页，2.277 MB，由envi的店铺上传

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专题4-2正余弦定理中的高频小题归类目录专题4-2正余弦定理中的高频小题归类.............................................................................

.................1....................................................................................1题型一：利用正

弦定理边角互化.............................................................................................

.............1题型二：利用余弦定理边角互化.............................................................................................

.............2题型三：利用正余弦定理解三角形...............................................................................................

.......3题型四：判断三角形解的个数..............................................................................................................5

题型五：利用正余弦定理判断三角形形状....................................................................................

......7题型六：三角形周长，面积问题..........................................................................................................9题型七：正

余弦定理实际应用..........................................................................................................

..10...............................................................13一、单选题......................................

......................................................................................................13二、多选题...

..................................................................................................................................

.......15三、填空题...................................................................................................................................

.........16题型一：利用正弦定理边角互化【典例分析】例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2sin30bAa−=，且B为锐角，若333cab=+，则

A=（）A．6B．4C．3D．2例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角ABC中，若2AB=，则ab的取值范围是______.【答案】(2,3)【提分秘籍】利用正弦定理边角互化主要思路：2sinaRA=；2sinbRB=；2si

ncRC=;化成角后，再进行相应的运算。【变式演练】1．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC中，D为BC边上一点，90,BADBCAD==，若sinADACB=，则tanB=____________．2．（2

022·上海市金山中学高一期末）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABC的面积为S，且2||2ACABACS−=，则C=______．3．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，5πsin(π)cos06aBbA++−=

，15a=，若点M满足25BMBC=，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.题型二：利用余弦定理边角互化【典例分析】例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）设,,abc分别为AB

C内角,,ABC的对边，若BCA=，且2222()abcabc+−=，则角=A________.例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）ABC中60B=，3AC=，则2ABBC+最大值______．例题3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC

中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若23sin,2sinsin3cosCAABC==，且6b=，则c的值为___________.【提分秘籍】在ABC中，内角,,ABC，所对的边分别是,,abc,则：2222cosabcbcA=+−；2222cosb

acacB=+−2222coscababC=+−余弦定理的推论222cos2bcaAbc+−=；222cos2acbBac+−=；222cos2abcCab+−=【变式演练】1．（2022·广东江门·高三阶段练习）在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，

c，且tan3tan()0AAB++=，222acb−=，则b的值为（）A．6B．5C．4D．32．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练习）ABC中，2222sin3sinsin2sinsinsinACBABC+−=，则B=（）A．π4B．3π4C．π4或3π4D．以上

都不对3．（2022·福建·高二期中）若△ABC的边长,,abc成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则()ππsinsincos22ABAB++−−+的取值范围是________．4．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））在AB

C中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若2sin3tan,2cBaAa==；则当角A最大时，ABC的面积为______.题型三：利用正余弦定理解三角形【典例分析】例题1．（2022·山西·高三阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．点D为BC的中点，

π1,3ADB==，且ABC的面积为32，则c=（）A．1B．2C．3D．4例题2．（2022·湖北·高二期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3A=，AD是A的平分线，3AD=，1AB，则2bc+的最小值是（）A．6B．

322−C．322+D．10例题3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）在ABC中，60B=，45C=，8BC=，D是BC边上的一点，且312BDBC−=uuuruuur，则AD的长为（）A．4(31)+B．4(

31)−C．4(33)−D．4(33)+【提分秘籍】解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.【变式演练】1．（2022·上海市金山中学高一期末）记ABC内角,,ABC的对边分别为

,,abc，点G是ABC的重心，若,56BGCGbc⊥=则cosA的取值是（）A．5975B．5775C．1115D．61752．（2022·上海·复旦附中高一期末）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tantan1tan

tan3CCAB+=，则222abc+的值为（）A．3B．4C．7D．83．（2022·四川省南充高级中学高二期中）在ABC中，abc，，分别是角ABC，，的对边，222cabab+=+，则角C的正弦值为（）A．32B．22C．12D．14．（2

022·福建·浦城县第三中学高三期中）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2sin30bAa−=，且B为锐角，若333cab=+，则A=（）A．6B．4C．3D．25．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在

ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知()()()sinsinsinsinabABcCB+−=+，若角A的内角平分线AD的长为3，则4bc+的最小值为（）A．21B．24C．27D．36题型四：判

断三角形解的个数【典例分析】例题1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列条件能确定三角形有两解的是（）A．5,4,6abA===B．4,5,4ab

A===C．55,4,6abA===D．4,5,3abA===例题2．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）在下列关于ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是：（）①1sin2A=②1cos3A=−；③1cos,34

Bba=−=；④45,2,3Cbc===.A．①②B．②③C．②④D．②③④例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）在ABC中，角ABC，，所对的边分别为abc，，．已知30A=，2a=，请您给出一个b值，使得ABC有两解，则您给的b值为______．例题4．（2022·重庆市育才中学高一阶段

练习）在ABC中，角、、ABC所对的对边分别为abc、、，若满足45,4Ba==的三角形有两解，则b的取值范围为__________.【提分秘籍】为锐角为钝角或者直角图形关系式sinabA=sinbAabab…ab解的个数一解两解一解一解上表中若A为锐角,当sinabA时无解;若

A为钝角或直角,当ab„时无解.【变式演练】1．（2022·江西萍乡·高一期末）在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（）A．,,abA===2530150B．7,5,80abA===C．,,abA===304030D．14,16,45ab

A===2．（2022·青海玉树·高一期末）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若30a=，25b=，42A=，则此三角形解的情况为（）A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解3．（2022·全国·高一课时练习）在ABC中，,3

,30===axbB，若该三角形有两解，则x的取值范围是__________．4．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若106bA==，，且

ABC有唯一解，则a的取值范围是___________.题型五：利用正余弦定理判断三角形形状【典例分析】例题1．（2022·全国·高一课时练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，2coscAb=，则ABC的形状是（）A．等腰直角三角形B．直

角三角形C．等边三角形D．等腰三角形例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知abc，，分别为ABC三个内角ABC，，的对边，且coscosbCaBa+=，则ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形例题3．（2022·四川成都·高一期末）

已知ABC内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若sinsin2ACabA+=，23SBACA=，则ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【提分秘籍】①cos0A，

ABC为钝角三角形；②sin()0ABAB−==③sinsinABAB==④sin2sin22ABABAB==+=或【变式演练】1．（2022·河北张家口·高三期中）在ABC中，若sin2sin2sin2BCA+=，则ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直

角三角形2．（2022·河北·石家庄市第十五中学高二阶段练习）已知ABC的三个内角,,ABC所对应的边分别为,,abc，且满足222coscoscos1sinsinABCAC−+=+，且sinsinsin2AC+=，且

ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为56的等腰三角形D．顶角为23的等腰三角形3．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量,cos2Am

a=，,cos2Bnb=，,cos2pcC=共线，则ABC形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,ab

c，且2cos0acB−=，则ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形题型六：三角形周长，面积问题【典例分析】例题1．（2022·河北张家口·高三期中）钝角ABC的内角A，B，C的对边分别

是,,abc，若,7,33Aac===，则ABC的面积为（）A．338B．332C．334D．332或334例题2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，ABC的平分线交AC于点D，23ABC=，4

BD=，则ABC周长的最小值为（）A．883+B．822+C．1683+D．1642+例题3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知ABC的内角,,ABC对应的边分别是,,abc，内角A的角平分线交边BC于D点，且4=AD．若

(2)coscos0bcAaC++=，则ABC面积的最小值是（）A．16B．163C．64D．643【提分秘籍】1、三角形面积的计算公式：①12S=底高；②111=sinsinsin222SabCacBbcA==；③1()2Sabcr=++（

其中，,,abc是三角形ABC的各边长，r是三角形ABC的内切圆半径）；④4abcSR=(其中，,,abc是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22ababab++，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围

：核心技巧：利用正弦定理2sinaRA=，2sinbRB=，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.4、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理2sinaRA=，2sinbRB=，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，

求周长（边长）的取值范围.【变式演练】1．（2022·全国·高二开学考试）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3cos5A=，π4B=，且ABC的外接圆面积为25π，则ABC的面积为（）A．24B．25C．27D．282．（2022·江西赣州·

高三期中（文））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，π3A=，2bca+=，△ABC的面积为23，则ABC的周长为（）A．6B．8C．62D．633．（2022·浙江·高三开学考试）若2,2ABACBC==，则ABCS的最大值是（

）A．6B．22C．3D．234．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，已知D为BC边上的一点，且满足2BACDAC=，1ADAC==，ABD△的面积是ADC△面积的两倍，则ABC的面积为（）A．734B．374C

．378D．738题型七：正余弦定理实际应用【典例分析】例题1．（2022·四川达州·高二期末（理））某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN.在过N点的水平面上确定两观测点,AB，在A处测得M的仰角

为30°，N在A的北偏东60°方向上，B在A的正东方向30米处，在B处测得N在北偏西60°方向上，则MN=（）A．10米B．12米C．16米D．18米例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））我国无人机技术处于世

界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面,BC两受灾点的视角为BPC，且1tan3BPC=．已知地面上三处受灾点,,BCD共线，且90ADB=o，1kmBCCDDA===，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是（

）A．2kmB．2kmC．3kmD．4km【变式演练】1．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶

为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为

测量塔高，在西湖边相距400m的A､C两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为1.5米的测角仪AB､CD（如图所示）.在测角仪B处测得两个数据：塔顶M仰角30MBP=及塔顶M与观测仪D点的视角16.3MBD=在测角仪D处测得塔顶M与观测仪B点的视角15.1MDB=，李华根据以上数据能

估计雷锋塔MN的高度约为（）（参考数据：sin15.10.2605，sin31.40.5210）A．70.5B．71C．71.5D．722．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度，甲同学

在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行1403m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是（）（参考数据：tan63.

4352）A．270mB．280mC．290mD．300m3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物A

B，高约为40m，如图乙，在它们之间的地面上的点M（,,BMD三点共线）处测得楼顶A､教堂顶C的仰角分别是45和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）A．50B．55C．60D．704．（2022·湖北

·襄阳五中高三开学考试）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得P的仰角为30，120ABO=，30BAO=，60AB=（单位：m），（点,,A

BO在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP=（）A．45mB．452mC．60mD．603m一、单选题1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若8cos17=A，3cos5B=，且ABC外接圆的周长为10π，则ABC的周长为（）A

．20B．36017C．27D．440172．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高三阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为,,abc，则三角形的面积为()()()Sppapbpc=−−−，其中2ab

cp++=.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,FF的距离的和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知ABC中，6,10BCABAC=+=，则AB

C面积的最大值为（）A．6B．10C．12D．23．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若sinsin2ACabA+=，1b=，则ABC面积的最大值为（）A．32B．34C．36D．124．（2022·重庆·高三阶段练习）已知M是ABC内的一

点，且π243,,33MBCABCABACBACSS===，则11MABMACSS+△△的最小值是（）A．8B．4C．2D．15．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（理））云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云

台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（）（21.414，3

1.732，精确到1m）A．42mB．45mC．51mD．57m6．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）在钝角ABC中，角,,ABC对应的边分别为,,abc，若tancbC=，则sin3co

sAC−的最小值为（）A．158−B．2−C．178−D．10−7．（2022·天津南开·高一期末）已知ABC中，53sincos135AB==，，则cosC=（）A．1665或5665B．1665−C．5665−D．1665−或5665−8．

（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2B，23sin3cbC=，则()cosAC−的取值范围是（）A．1,12−B．11,22−C．10,2

D．(0,1二、多选题9．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知ABC的内角,,ABC所对应的边分别是,,abc，它的外接圆半径为R，3a=，()cossinbBCRB+=，则下列说法正确的是（）A．2π3A=B．π3A=C．A

BC的外接圆半径R为1D．ABC面积的最大值为3410．（2022·河北·高三阶段练习）在ABC中，内角,,ABC所对应的边分别是,,abc，()1coscosAbaB−=，点D在线段AB上，且2BDAD=，若4CD=，则（）A．b

c=B．ab=C．ABC面积的最大值是9D．ABC面积的最小值是6三、填空题11．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若23()||5CACBABAB+=，则coscosaBbA=___________.12．（2022·湖北·丹江口市

第一中学高一期末）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为ABC的重心，OBOC⊥，32bc=，则cosA=________.13．（2022·上海市大同中学高一期末）在ABC中，π3A=，点D满足13ADAC=，且对任意xR，xACABADAB+

−恒成立，则cosABC的值为______．14．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（理））在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，1sincos2BC+−=()21sincos2cos22ABC++.若83bc+=，则ABC面积的最大值为______