【文档说明】3.4 一元一次方程模型的应用（二）（解析版）-【备考无忧】2021-2022学年七年级数学上册同步提优精练（湘教版）.docx，共(25)页，908.233 KB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

3.4一元一次方程模型的应用（二）夯实双基，稳中求进用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．特别说明：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的

关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实

际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．题型一：数字问题【例题1】（2021·山西七年级期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明，设0.7

x=，由0.70.7777=可知，107.77x=，所以107xx−=．解方程，得79x=，于是70.79=．将0.45gg写成分数的形式是___________．【答案】511【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：设··0.45x=

，则45.14500x=，所以10045xx−=，⎯⎯⎯→分析抽象⎯⎯⎯→求解检验知识点管理归类探究解得：511x=，故答案为：511．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式训练【变式1-1

】（2021·山西临汾市·）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍小3，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小9，原来的两位数是______．【答案】21【分析】设原来的两位数的十位上的数为a，则个位上数为（2a-3），根据“如果把十位上的数字与个位上的数字对

调，那么得到的两位数就比原两位数小9，”可列出关于a的方程，解出a即可．【详解】解：设原来的两位数的十位上的数为a，则个位上数为（2a-3），根据题意得：10a+2a-3=10(2a-3)+a+9，解得：a=2，∴2a-3=1，∴原来的两位数是21．故答案为：21．【点睛】本题主要考查

了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意．准确找到等量关系是解题的关键．【变式1-2】（2021·全国九年级专题练习）已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________．【答案】3和5或-3和-5．【分析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是15这

一等量关系，列出方程解答即可．【详解】解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），由题意得，x（x+2）=15，解得，x=3或x=-5，两个数为：3和5或-3和-5；故答案为：3和5或-3和-5；

【点睛】本题属于列一元二次解应用题中的数字类问题，此类题目易根据等量关系列出方程，解决此类题目的关键是设未知数一定准确，答案不能漏解．【变式1-3】（2021·山东七年级期末）若代数式2﹣8x与9x﹣3的值互为相反数，则x＝___．【答案】1【分析】根据相反数的定义可得一个

关于x的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：28930xx−+−=，解得1x=，故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，熟记相反数的定义是解题关键．题型二：几何问题【例题2】（2

021·辽宁葫芦岛市·七年级期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C．（1）在数轴上表示1−的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______；（2）若24c=，b−的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是2−，直

接写出a，b，c的值；（3）在（2）的条件下，点M从点A出发，以每秒3单位的速度沿数轴向左运动；点N从点B出发，以每秒2单位的速度沿数轴向右运动：点P从点C出发，以每秒4单位的速度沿数轴向右运动；设运动时间为t，当MNPM=时，求t的值．【答案】（1）4，−ab；（2）2a=，1b=−，2c=−；

（3）12或712【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式求解即可得到答案；（2）根据平方根，倒数，相反数和绝对值的定义求解即可；（3）分别求出运动时间为t时PM和MN的长度，然后根据两者相等，求解即可得到答案.【详解】解：（1）数轴上表示−1的点

与表示3的点之间的距离=134−−=，由数轴可知0a，0b，∴点A、B之间的距离=abab−=−；（2）由数轴可知0a，0b，0c，∵24c=，∴2c=−，∵-b的倒数是它的本身，∴()()1bb−−=，∴1b=−，∵a的绝对值的相

反数是2，∴2a−=−，∴2a=；（3）由题意可知：t秒后，M、N、P在数轴上对应的数分别是2-3t、2t-1、4t-2，∴212353MNttt=−−+=−，422374PMttt=−−+=−，∵MNPM=∴

5374tt−=−∴5374tt−=−或()5374tt−=−−解得12t=或712t=∴当MNPM=，t的值为12或712.【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，倒数的定义，相反数的定义，平方根的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式训练【变式2-1】（2

021·山西七年级期中）在数轴上，点A，B分别对应实数－10和25，点M从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N从A点出发，以每秒7个单位长度的速度向右匀速运动．M，N两点到达B点后均停止运动．若点M出发1秒后点N才出发．（1）

点N出发后需要多长时间才追上点M？（2）从点M出发开始到点Ｍ停止运动期间，点M出发几秒后，M，N两点之间的距离刚好为1个单位长度？【答案】（1）2.5秒；（2）0.2秒或3秒或4秒或6.8秒【分析】（1）根据点M和点N的运动方向和速度分别用含x的代数式表示

出运动的距离，再列方程求解即可；（2）分四种情况进行讨论，根据等量关系列出关于时间t的方程求解即可．【详解】解：（1）设点N追上点M需要x秒，根据题意得75(1)xx=+，解得2.5x=．答：点N追上点M需要2.5秒．（2）要分四种情况讨论：设点M出发t秒后，M，N两点之间的距离刚好为

1个单位长度．①当点M出发不到1秒，点N还未出发时，M，N两点间距离为1，由题意得51t=，解得0.2t=．②当点M出发1秒后，点N追上点M之前，M，N两点间距离为1，由题意得517(1)tt−=−，解得3t=．③当点M出发1秒后，点N追上点M之后，M，N

两点间距离为1，由题意得517(1)tt+=−，解得4t=．④当点N到达B点停止运动后，M，N两点间距离为1，由题意得[25(10)]75−−=，5[25(10)]1t=−−−，解得6.85t=，符合题意．

答：点M出发0.2秒或3秒或4秒或6.8秒时，M，N两点之间的距离刚好为1个单位长度．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解题的关键是要注意分情况进行讨论．【

变式2-2】（2020·成都新津为明学校七年级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说

明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】（1）点P对应的数是1；（2）存在x的值，当x

=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；（3）当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28.【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据数轴即可确定点P对应的

数；（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②当点P在B点右边时，分别求出x的值即可．（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边,两点相距3个单位时，②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．【详解】（1）∵点P到点A、点B的距离相等，∴

点P是线段AB的中点．∵点A、B对应的数分别为﹣1、3，∴点P对应的数是1；（2）①当点P在A左边时，﹣1﹣x+3﹣x=8，解得：x=﹣3；②当点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）=8，解得：x=5．即存在x的值，当x=﹣3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8

；（3）①当点A在点B左边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则3+0.5t﹣（2t﹣1）=3，解得：t=23，则点P对应的数为﹣6×23=﹣4；②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则

2t﹣1﹣（3+0.5t）=3，1.5t=7，解得：t=143，则点P对应的数为﹣6×143=﹣28．综上可得：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是﹣4或﹣28．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键是要读懂

题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式2-3】（2020·河南）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原

点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．【答案】（1）﹣3，﹣1，﹣4；（2）﹣2；（3）8或-40．【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应

的数即可求解；（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．【详解】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的

数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m=﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应

的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝

﹣40．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．题型三：和差倍分问题【例题3】（2021·黑龙江七年级期末）列方程解决实际问题：某景点的门票价格规定如下表：购票人数1-50人51-100人100人以上每人门票价13元11元9元（1）我校初二（1），（2）两个班

共104人准备利用假期去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多,有50多人，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，问两班各有多少名学生?（2）你认为还有没有好的方法去节省门票的费用？若有，请按照你的方

法计算一下能省多少钱?【答案】（1）一班有48人，二班有56人；（2）有，两班合起来统一购票，节省304元．【分析】（1）设（1）班有x人，（2）班有(104-x)人，根据如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元可得出方程，解方程即可得出答案；（2）由于两班人数合起来多余100人，所以

两班合起来统一购票费用少；【详解】解：（1）设（1）班有x人，（2）班有(104-x)人，则13x+11(104-x)=1240，解得x=48，104-x=56．经检验符合题意，答：（1）班有48人，（2）班有56人；（2）两班联合作为一个团体购票9×104=936元，节省1240-936=30

4元．最省购票费用的方案：两班合在一起购票，可省304元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·云南楚雄·七年级期末）某新能源汽车生产车间有两条生产线，第一条生产线有20人，第二条

生产线有28人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半，问应从第二条生产线调多少人到第一条生产线？【答案】应从第二条生产线调12人到第一条生产线．【分析】设应从第二条生产线调x人到第一条生

产线，根据“第一条生产线有20人，第二条生产线有28人，根据市场需求情况，要将第二条生产线的人数调整为第一条生产线人数的一半”列出方程，求解即可．【详解】解：设应从第二条生产线调x人到第一条生产线，根据题

意得，28﹣x＝12（20+x），解得x＝12．答：应从第二条生产线调12人到第一条生产线．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式3-2】（2021·全国七年级单元测试）在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的

有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？【答案】应调往甲处17人，应调往乙处3人．【分析】分别设出调往甲处和乙处的人数，根据“在甲处的人数为在乙处的人数的2倍”列出方程，解

方程即可得出答案．【详解】解：设应调往甲处x人，则应调往乙处()20x−人，由题意列出方程：()2721920xx+=+−，解得17x=（人），则203x−=（人）．答：应调往甲处17人，应调往乙处3人．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意找出数量关系列出方程是解决本题的

关键．【变式3-3】（2021·湖北七年级期末）在五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)，试根据图中的信息，解答下列问题：(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？(2)请你帮助小明算一算，用哪

种方式购票更省钱？并说明理由．【答案】（1）小明他们一共去了8个成人，4个学生；（2）购团体票更省钱．【分析】（1）设去了x个成人，则去了（12−x）个学生，根据爸爸说的话，可确定相等关系为：成人的票价＋学生的票价＝350元，据此列方程求解；（2）计算团体票所需

费用，和350元比较即可求解．【详解】(1)设成人人数为x人，则学生人数为(12－x)人．根据题意，得35x＋352(12－x)＝350．解得x＝8．则12－x＝12－8＝4．答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．(2)如果买团体票，按16人计算，共需费用为35×0.6×16＝336(元)．因为

336＜350，所以购团体票更省钱．答：购团体票更省钱．【点睛】考查利用方程模型解决实际问题，关键在于设求知数，列方程．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．题型四：分段计费问题【例题4】（2021

·贵州）某城市按以下规定收取每月的煤气费：如果用气量不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果用气量超过60m3，则超过部分按每立方米1.2元收费，某用户8月份交的煤气费是平均每立方米0.88元，则该用户8月份的用气量是多少？他8月份的煤气费是多少元？【答案】75

立方米，66元【分析】设8月份这位用户使用煤气x立方米，根据总价=均价×数量即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x值，将其代入0.88x中即可求出结论．【详解】解：设8月份这位用户使用煤气x立方米，根据题意得：60×0.8+1.

2（x﹣60）=0.88x，解得：x=75，∴该用户8月份的用气量是75立方米，∴0.88x=0.88×75=66．∴他8月份的煤气费是66元答：该用户8月份的用气量是75立方米，他8月份的煤气费是66

元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.变式训练【变式4-1】（2021·重庆酉阳·）某城市电费收取实施阶梯电价计费，具体方案如下：用电时段高峰期低谷期时段范围第一天

800：－2100：2100：－第二天800：电价0.55元/度0.30元/度某日小强观察了一下自家的电能表，并分别记录了第一天早800：，晚2100：和第二天早800：这三个时刻的读数分别是135813681373、、（单位：度）．（1

）求小强家这一天应付电费多少元？（2）为节省开支，小强建议他爸不要在“高峰期”给电动车充电，改在“低谷期”充电，结果该天小强家应付电费为6.25元，假定小强家每天电动车充电和其它用电的电量不变，求小强他爸的电动车充电用

电多少度？【答案】（1）7元；（2）3度【分析】（1）分别计算出高峰期和低谷期小强家的用电度数，然后根据各自的单价求解电费即可；（2）设小强他爸的电动车充电用电x多少度，则小强家“高峰期”用电10－x（度），“低谷期”用电5＋x（度），然后根据题意列出方程

求解即可得到答案.【详解】解：（1）小强家“高峰期”用电1368－1358＝10（度），“低谷期”用电1373－1368＝5（度），故应付电费10×0.55＋5×0.30＝7（元），答：小强家这一天应付电费7元；（2）设小强他爸的电动车充电用电x多少度，则小强家“高

峰期”用电10－x（度），“低谷期”用电5＋x（度）应付电费（10－x）×0.55＋（5＋x）×0.30＝6.25解得3x=，答：小强他爸的电动车充电用电3度．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.【变式4-2】（202

1·辽宁大连·七年级期末）下表是中国移动两种“4G套餐”计费方式（月租费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）月租费（元）主叫通话（分钟）上网流量（G）接听主叫超时

部分（元/分钟）超出流量部分（元/G）方式一382003免费0.1510方式二603005免费0.108（1）若某月小张主叫通话时间为260分钟，上网流量为4G，则他按方式一计费需________元，按方

式二计费需_______元；（2）若某月小张按方式二计费需78元，主叫通话时间为320分钟，则小张该月上网流量为多少G？（3）若某月小张上网流量为4G，是否存在某主叫通话时间t（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在

，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）57；60；（2）7G；（3）存在，280t=【分析】（1）根据表中数据分别计算两种计费方式，求解即可；（2）由题意可知上网流量超过5G，设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：

()()60013203008578x+−+−=.，解出即可；（3）分三种情况：当0200t时，()3843104860+−=；当200300t时，可得()()38431001520060t+−+−=．，当300t时，可得()

()()3843100152006001300tt+−+−=+−..，解出判断即可．【详解】.解：（1）方式一：38+0.15（260﹣200）+10（4﹣3）＝38+0.15×60+10×1＝38+9+

10=57．方式二：∵没有超出套餐∴方式二：60故答案为：57；60．（2）∵()60013203006278+−=.，∴该月上网流量超过5G．设小张该月上网流量为xG，根据题意列方程得：()()60013203008578x+−+−=.解得：7x=答：小张该

月上网流量为7G．（3）当0200t时，()3843104860+−=，∴不存在；当200300t时，()()3843100.1520060t+−+−=，解得：280t=；当300t时，()()()3843100152006001300tt+−+−=+−..解得：2403

00t=，舍．综上所述，当上网流量为4G，主叫通话时间为280分钟时，两种计费方式相同．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．本题难度中等偏大．【变式4-3】（2021·广东

）根据电力部门统计，每天8：00至21：00是用电的高峰期，简称“峰时”，21：00至次日8：00是用电的低谷时期，简称“谷时”．为了缓解供电需求紧张的矛盾，某市电力部门于2020年10月统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分

时电价”新政策，具体见表：时间换表前换表后电价每度0.52元峰时（8：00～21：00）谷时（21：00～次日8：00）每度0.55元每度0.30元（1）若小王家9月份（换表前）的用电量为80度，则该月电费为元；（2）小张家11月份“峰时”用电5

0度，“谷时”用电20度，问小张家11月份的电费是多少元？（3）小李家12月份用电95度，经测算比换表前使用95度电节省了5.9元，问小李家12月份使用“峰时电”和“谷时电”分别是多少度？【答案】（1）41

.6；（2）33.5元；（3）小李家12月使用“峰时”用电60度，“谷时”用电35度【分析】（1）用电度数乘以换表前每度的价钱即可；（2）根据11月份电费＝“峰时”用电量ד峰时”单价+“谷时”用电量ד谷时”单价列式计算即可；（3）可设小张家这个月使用“峰时”电是x度，则“谷时”电

是（95﹣x）度，根据题意列出方程解答即可．【详解】解：（1）小王家9月份（换表前）的用电量为80度，则该月电费为80×0.52＝41.6（元），故答案为：41.6；（2）小张家11月份的电费是50×0.55+20×0.30＝33.5（元

）；（3）设小李家12月使用“峰时”电是x度，则“谷时”电是（95﹣x）度，根据题意得0.55x+0.30（95﹣x）＝0.52×95﹣5.9，解得x＝60，95﹣x＝95﹣60＝35．答：小李家12月使用“峰时”用电60度，谷时用电35度．【点睛】本

题考查了统计表、一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．题型五：分配问题【例题5】（2021·湖南七年级期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款2

16万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方

程求解即可；【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得，3x+4x+5x=216，解得，x=18．所以3x=54，4x=72，5x=90；答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程

的应用，准确计算是解题的关键．变式训练【变式5-1】（2021·江苏徐州·）某班学生分两组参加植树活动，甲组有17人，乙组有25人，若从甲组抽调部分学生去乙组，使乙组人数为甲组人数的2倍，需抽调多少名学生？【答案】需抽调3名学生．【分析】设从甲组抽调了x名学生去乙

组，用x表示出抽调后．．．甲乙两组的学生数,据抽调后．．．“乙组人数为甲组人数的2倍”列方程求解．【详解】解：设从甲组抽调了x名学生去乙组，则：25+x＝2（17﹣x），解得：x＝3．答：需抽调3名学生．【点睛】考查一元一次方程的实际应用，理解题意抽象出相等关系是关键．【变式5-2】

（2018·辽宁七年级期末）某中学七年一班、二班共有90名学生，如果从一班转出4名同学到二班，那么一班的学生人数是二班的80%，问两班原来各有多少名学生？【答案】一班原来有44名学生，二班原来有46名学生．

【分析】设一班原来有x名学生,则二班原来有(90-x)名学生,由从一班转出4名同学到二班则一班的学生人数是二班的80%,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.【详解】设一班原来有x名学生，则二班原来有（90﹣x）名学生，根据题意得：x﹣4=（90﹣x+4）×80%，

解得：x=44，∴90﹣x=46．答：一班原来有44名学生，二班原来有46名学生．【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，需正确根据已知条件列方程.【变式5-3】（2021·上海市进才中学北校期中）甲、乙、丙三人年龄之比是2：3：4，年龄之和为45岁，则最大年龄是几岁?【答案】20【分

析】设甲的年龄为2x，则乙的年龄为3x，丙的年龄为4x，根据题意列方程即可．【详解】解：设甲的年龄为2x，则乙的年龄为3x，丙的年龄为4x，年龄之和为45，则23445xxx++=，解得5x=所以最大年龄是420x=岁．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是

根据题意找到等量关系列出方程．题型六：日历问题【例题6】（2019·江西七年级期中）如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若1

7x=，则abcd+++=______．（2）直接写出a，b，c，d，的和与x之间的一个等量关系：______．（3）设Mabcdx=++++，判断M的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．【答案】（1）68；（2）4abcdx+++=；（

3）不能等于2035，详见解析【分析】（1）由x=17可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论；（2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论；（3）根据M=5

x，代入2010求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2010．【详解】（1）∵17x=∴17125a=−=，17215b=−=，17219c=+=，171229d=+=∴515192968abcd+++=+++=；（2）∵观察图片可知，a比x

小12，b比x小2，c比x大2，d比x大12∴12ax=−，2bx=−，2cx=+，12dx=+；∴()()()()1222124abcdxxxxx+++=−+−++++=∴4abcdx+++=；（3）不能

等于2035，理由如下：∵4abcdx+++=，∴5Mabcdxx=++++=，当52035x=时，407x=，∵407为奇数，()40712634+=，所以2035在第34行第6列∴M的值不能等于2035【点睛】本题考

查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键．变式训练【变式6-1】（2018·全国七年级单元测试）图中的数阵是由全体正奇数排成的.(1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系?(2)在

图中任意作一个类似(1)中的平行四边形框,这九个数之和还有这种规律吗?请说出理由.这九个数之和能等于2016吗?2015,2025呢?若能,请写出这九个数中最小的一个;若不能,请说出理由.【答案】（1）平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍.（2）这九个数之和不能为2016；这九个数之和也

不能为2015；这九个数之和能为2025,中间数为225,最小的数为207.【分析】（1）、求出各数与中间数的差值，观察发现该值成对出现，此时不难得到这九个数之和与中间数的关系了；（2）、不妨设框中间的数

为n，根据（1）中各数与中间数的关系，可用n表示出各数，从而得到9个数之和与中间数的关系；由上面的结果不难得到任意作一个类似（1）的平行四边形框，框中的九个数之和都是中间的数的9倍，从而判断出2015、2016、2025中可能是这九个数之和的数.注意：数阵是由全体奇数排成！最后，根据

框中的最小的数比中间的数小18，即可得到九个数中最小的一个.【详解】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍.(2)任意作一个类似(1)中的平行四边形框,规律仍然成立.不妨设平行四边形框中间的数为n,则

这九个数按从小到大的顺序排列依次为(n-18),(n-16),(n-14),(n-2),n,(n+2),(n+14),(n+16),(n+18).显然,其和为9n,是n的9倍.这九个数之和不能为2016.若和为2016

,则9n=2016,n=224,是偶数,显然不在数阵中.这九个数之和也不能为2015.因为2015不能被9整除.这九个数之和能为2025,中间数为225,最小的数为225-18=207【点睛】本题考查的知识点是找到日历中的数字规律.【变式6-2】（2020·全国七年级单元

测试）将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）

十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；（4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．【答案】（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍；（2）十字框中五个数的和是正中心数的5倍，理由见解析；（3）不能

，理由见解析；（4）这五个数是404，403，405，397，411.【分析】（1）把框住的数相加即可求解；（2）设中心的数为a，则其余4个数分别为1a−，1a+，7a−，7a+，相加即可得到规律；（3）由（2）得五个数的和为5a，令5a=180,根据解得情况即可求

解；（4）由（2）得五个数的和为5a，令5a=2020,根据解得情况即可求解；【详解】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍.∵十字框中五个数的和41011121855511=++++==，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律.设中心的数为a

，则其余4个数分别为1a−，1a+，7a−，7a+.11775aaaaaa+−+++−++=，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（3）十字框中五个数的和不能等于180.∵当5180a=时，解得36a=，36751=，36在

数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020.∵当52020a=时，解得404a=，4047575=，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框

中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是设中心的数为a，求出十字框中五个数的和为5a.【变式6-3】（2017·全国七年级课

时练习）有人问小明的生日是几号，小明说：“在日历表上，我的生日连同上、下、左、右5个日期之和是21．”小明撒谎了吗？为什么？【答案】小明撒谎了.理由见解析.【详解】试题分析：由于题目中提到的5个日期之和为21，所以小明的生日应该在日历表上某个月中间的某一个位置上.根据日历表上日期数字的排列特点

可知，若设小明的生日为x号，则其生日正上方一行的相应日期应该表示为(x-7)，其生日正下方一行的相应日期可以表示为(x+7)，其生日左侧一列的相应日期应该表示为(x-1)，其生日右侧一列的相应日期应该表示为(x+1).因此，根据上述这些日期与小明生日日期之和是21的条件可以列出方程并求解.解得

的x值应该是一个合理的日期，若不然就说明小明撒谎了.试题解析：答：小明撒谎了.理由如下.设小明的生日为x号.根据题意，得(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=21移项，得x+x+x+x+x=21+7+1-1-7合并同类项，得5x=21系数化为1，

得215x=.由于x是小明生日的日期，所以x的值一定是正整数.然而，计算得到的x的值不是正整数，故断定小明撒谎了.点睛：解决本题需要熟悉日历表中日期数字的排列特点并能利用代数的思想将这些规律和特点表示成代数式，这是本题的一个难点.一般情况下，日历表是以一周为一行进行排列的，故对于在日

历表每月中间位置上的某个日期而言，正上方或正下方一行的相应日期与该日期之间相差7；又因为日期是连续的，故左侧或右侧的日期与该日期之间相差1.体验真题，中考夺冠【真题1】（2012·江西中考真题）如图1，是某单位的透空护栏，如图2是它的示

意图，它是用外径为3cm的圆钢管与外圆直径为15cm的圆圈焊接而成的（圆圈由扁钢筋做成，两圆钢管之间夹一个圆圈），若要做高度统一为2m，长为7.41m的护栏.试问：需要圆钢管和展直扁钢筋的总长度各是多少m？【答案】.解：设圆圈x个.由题意得：15x+（x+1）×3=741，∴x=41（个）圆钢管

总长度：（x+1）×2=42×2=84（米）扁钢筋的展直总长度:41×0.15=6.15（米）.答：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各是6.15、84米.【详解】分析：由题意，设圆圈x个，则圆钢管为()1x+个，根据已知圆钢管的外直径为3cm，圆圈的外直径为15cm，得出相等关系

为，()1531741xx++=．求出x，再求出需要圆钢管和展直扁钢筋的总长度．详解：设圆圈x个,由题意得：15x+3(x+1)=741，∴x=41(个)圆钢管总长度：(x+1)×2=42×2=84(米)扁钢筋的展直总长度：41×0.15π=6.15π(米).答：需要展直扁钢筋和圆钢管的总长度各

是6.15π、84米.点睛：考查一元一次方程的应用，解题的关键是设圆圈的个数为x，则钢管的个数为()1x+，列出方程，求解即可.【真题2】（2020·四川中考真题）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每链接中考组8人，

这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？【答案】48人【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．【详解】解：设这些学生共有x人，根据题意，得268xx−=解得x=48．答：这些学生共有48人．【点睛】此题考查的知识点是一元

一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般．【真题3】（2015·广东中考真题）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．用水量单价x≤22a剩余部分a+1.1（1）某用户用水10立方米，共

交水费23元，求a的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？【答案】（1）2.3；（2）该用户用水28立方米【分析】（1）直接利用10a=23进而求出即可；（2）首先判断得出x>22，进而表示出总水费进而得出即可．【详解】(1)由题意可得：10

a=23，解得：a=2.3，答：a的值为2.3；(2)设用户水量为x立方米，∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6<71，∴x>22，∴22×2.3+(x−22)×(2.3+1.1)=71，解得：x=28，答：该用户用水28立方米.能力提升，突破自我【拓展1】（201

9·兴化市西鲍中心校七年级月考）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如表所示：月用水量不超过24立方米超过24立方米计费单价按3元/立方米计费其中的24立方米仍按3元/立方米收费，超过部分按5元/立方米计费（1）设每户家庭月用水量为

x立方米，用代数式表示（所填结果需化简）：①当x不超过24立方米时，应收水费为多少元；②当x超过24立方米时，应收水费为多少元；（2）小明家五月份用水23立方米，六月份用水36立方米，请帮小明计算一下他家这两个

月共应交多少元水费？（3）小明家七、八月份共用水64立方米，共交水费232元用水，已知七月份用水不超过24立方米，请帮小明计算一下他家这两个月各用多少立方米的水？【答案】（1）①当x不超过24立方米时

，应收水费为3x元；②当x超过24立方米时，应收水费为5x﹣48元；（2）小明家这两个月共应交201元水费；（3）小明家七月份用水20立方米，八月份用水44立方米．【分析】（1）根据分段计费的收费标准，可用含x的代数式表示出当x不超过24立方米时及

当x超过24立方米时的应收水费；（2）将x的值代入（1）中的代数式中求值即可；（3）设七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，由（1）的结论结合小明家七、八月份共交水费232元，即可得出关于m的一元一次方

程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）①当x不超过24立方米时，应收水费＝3x元；②当x超过24立方米时，应收水费＝24×3+5（x﹣24）＝5x﹣48元．故答案为①3x；②（5x﹣48）．（2）当x＝23时，3x＝69；当x＝36时，5

x﹣48＝132．满分冲刺∴69+132＝201（元）．答：小明家这两个月共应交201元水费．（3）设小明家七月份用水m立方米（0＜m≤24），则八月份用水（64﹣m）立方米，依题意，得：3m+5×（64﹣m）﹣48＝232，解得：m＝20，∴64﹣m＝44．答：小明家七月份用水20立方米，八月份

用水44立方米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、代数式求值以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据收费标准，用含x的代数式表示出应收水费；（2）代入x的值求出应收水费；（3）找准等量

关系，正确列出一元一次方程．【拓展2】（2020·全国七年级课时练习）某公司门口有一个长为900cm的长方形电子显示屏，如图所示，公司的有关活动都会在电子显示屏播出，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的员工对有关数据作出了如下规定:边空宽:字宽:

字距3:4:1=，请用列方程的方法解决下列问题:某次活动的字数为17个，求字距是多少？【答案】字数为17个，字距是10cm【分析】根据总长度=16个字距宽+2个边距宽+17个字宽,由边空宽:字宽:字距3:4

:1=，列方程求解.【详解】解:设字距为xcm，则边空宽为3xcm，字宽为4xcm，根据题意得()17123174900xxx−++=，解得10x=.经检验，10x=符合题意.答:这次活动的字数为17个，字距是10cm.【点睛】本题

考查一元一次方程的实际应用，图形长度问题，找到长度和边空宽、字宽和字距之间的关系，即等量关系是列方程的关键.【拓展3】（2019·河南七年级期中）（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数

式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上）（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数．①图中框出的这16个数的和是__________；②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于20

16，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．【答案】（1）7a−，a，7a+；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，

最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7；（2）①可以把这16个数直接加起来即可，②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是4m+

6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令其结果等于2016或21

68，看计算出的m的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就说明不存在．【详解】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7，故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7；（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11

+12+13=46，第二行的四个数之和是：46+4×7=74，第三行的四个数之和是：74+4×7=102，第四行的四个数之和是：102+4×7=130．于是16个数之和=46+74+102+130=352．故图中框出的这16个数之和是352；②设这1

6个数中最小的数为m，则这16个数分别为m，1m+，2m+，3m+，7m+，8m+，9m+，10m+，14m+，15m+，16m+，17m+，21m+，22m+，23m+，24m+，它们的和为16192m+（m为正整

数），所以它们的和可以等于2016，理由：161922016m+=，解得114m=，所以24138m+=，因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138，它们的和不可能等于2168，理由：1619

22168m+=，解得123.5m=，而m应为整数，所以16个数的和不可能等于2168．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．