【文档说明】《历年高考数学真题试卷》2008年北京高考理科数学试题及答案.docx，共(11)页，609.995 KB，由envi的店铺上传

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共

40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一

、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合|23Axx=−≤≤，|14Bxxx=−或，那么集合()UABð等于（）A．|24xx−≤B．|34xxx或≤≥C．|2

1xx−−≤D．|13xx−≤≤2．若0.52a=，πlog3b=，22πlogsin5c=，则（）A．abcB．bacC．cabD．bca3．“函数()()fxxR存在反函数”是“函数()fx在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件4．若点P到直线1x=−的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．若实数xy，满足1000xyxyx−++，，，≥≥≤则23xyz+=的最小值是（）A．0B．1C．3D．96．

已知数列na对任意的*pqN，满足pqpqaaa+=+，且26a=−，那么10a等于（）A．165−B．33−C．30−D．21−7．过直线yx=上的一点作圆22(5)(1)2xy−+−=的两条切线12ll，，当直线12ll，关于yx=对称

时，它们之间的夹角为（）A．30B．45C．60D．908．如图，动点P在正方体1111ABCDABCD−的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx=，MNy=，则函数()yfx=的图象大致是（）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农

医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知2()2aii−=，其中i是虚数单位，那么实数

a=．10．已知向量a与b的夹角为120，且4==ab，那么(2)+bab的值为．11．若231nxx+展开式的各项系数之和为32，则n=，其展开式中的常数项为．（用数字作答）12．如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别

为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff=；0(1)(1)limxfxfx→+−=．（用数字作答）AA1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O2BCAyx1O3456123413．已知函数2()cosfxxx=−，对于ππ22

−，上的任意12xx，，有如下条件：①12xx；②2212xx；③12xx．其中能使12()()fxfx恒成立的条件序号是．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkPxy，

处，其中11x=，11y=，当2k≥时，111215551255kkkkkkxxTTkkyyTT−−−−=+−−−−=+−，．()Ta

表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T=，(0.2)0T=．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题

共13分）已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx=++（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P

ABC−中，2ACBC==，90ACB=，APBPAB==，PCAC⊥．（Ⅰ）求证：PCAB⊥；（Ⅱ）求二面角BAPC−−的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．ACBP17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD，，，四

个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．18

．（本小题共13分）已知函数22()(1)xbfxx−=−，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．19．（本小题共14分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy+=上，对角线BD所在直线的斜率为1

．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC=时，求菱形ABCD面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12nAaaa：，，，，定义变换1T，1T将数列A变换成数列1()TA：12111nnaaa−−−，，，，．对于每项均是非负

整数的数列12mBbbb：，，，，定义变换2T，2T将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()TB；又定义2221212()2(2)mmSBbbmbbbb=+++++++．设0A是每项均为正整

数的有穷数列，令121(())(012)kkATTAk+==，，，．（Ⅰ）如果数列0A为5，3，2，写出数列12AA，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明1(())()STASA=；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A，存在正整数K，当

kK≥时，1()()kkSASA+=．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．B二、填空题

（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．1−10．011．51012．22−13．②14．(12)，(3402)，三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx−=+311sin2cos2222xx=−

+π1sin262x=−+．因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2=，解得1=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx=−+．因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x−−≤≤，所以1πsin21

26x−−≤≤，因此π130sin2622x−+≤≤，即()fx的取值范围为302，．16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PDCD，．APBP=，PDAB⊥．ACBC=，CDAB⊥．ACBDPPDCDD=，AB

⊥平面PCD．PC平面PCD，PCAB⊥．（Ⅱ）ACBC=，APBP=，APCBPC△≌△．又PCAC⊥，PCBC⊥．又90ACB=，即ACBC⊥，且ACPCC=，BC⊥平面PAC．取AP中点E．连结BECE，．ABBP=，BEAP⊥．

EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP⊥．BEC是二面角BAPC−−的平面角．在BCE△中，90BCE=，2BC=，362BEAB==，6sin3BCBECBE==．二面角BAPC−−的大小为6arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，平面APB⊥平面PCD．过C作

CHPD⊥，垂足为H．平面APB平面PCDPD=，CH⊥平面APB．CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PCAB⊥，又PCAC⊥，且ABACA=，PC⊥平面ABC．CD平面ABC，PCCD⊥．在Rt

PCD△中，122CDAB==，362PDPB==，222PCPDCD=−=．233PCCDCHPD==．ACBEPACBDPH点C到平面APB的距离为233．解法二：（Ⅰ）ACBC=，APBP=，APCBPC△≌△．又

PCAC⊥，PCBC⊥．ACBCC=，PC⊥平面ABC．AB平面ABC，PCAB⊥．（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz−．则(000)(020)(200)CAB，，，，，，，，．设(00)Pt，

，．22PBAB==，2t=，(002)P，，．取AP中点E，连结BECE，．ACPC=，ABBP=，CEAP⊥，BEAP⊥．BEC是二面角BAPC−−的平面角．(011)E，，，(011)EC=−−，，，(211)EB=−−，，，23cos326ECEBB

ECECEB===．二面角BAPC−−的大小为3arccos3．（Ⅲ）ACBCPC==，C在平面APB内的射影为正APB△的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系Cxyz−．2BHHE=，点H的坐标为222333，，．ACBP

zxyHE233CH=．点C到平面APB的距离为233．17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE，那么3324541()40AAPECA==，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同

一岗位服务为事件E，那么4424541()10APECA==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10PEPE=−=．（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“2=”是指有两人同时参加A岗位服务，则235334541(2)4CAPCA===．所以3(1)1(2)4

PP==−==，的分布列是13P341418．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx−−−−=−3222(1)xbx−+−=−32[(1)](1)xbx−−=−−．令(

)0fx=，得1xb=−．当11b−，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)b−−，1b−(11)b−，(1)+，()fx−0+−当11b−，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)−，(11)b−，

1b−(1)b−+，()fx−+0−所以，当2b时，函数()fx在(1)b−−，上单调递减，在(11)b−，上单调递增，在(1)+，上单调递减．当2b时，函数()fx在(1)−，上单调递减，在(11)b−，上单调递增，在(1)b−+，上单调递减．当11b−=，即2

b=时，2()1fxx=−，所以函数()fx在(1)−，上单调递减，在(1)+，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx=+．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥．于是可设直线AC的方程为yxn=−+．由2234xyy

xn+==−+，得2246340xnxn−+−=．因为AC，在椭圆上，所以212640n=−+，解得434333n−．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232nxx+=，212344nxx−=，11yxn=−+，22yxn=

−+．所以122nyy+=．所以AC的中点坐标为344nn，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx=+上，所以3144nn=+，解得2n=−．所以直线AC的方程为2yx=−−，即20xy++=．（Ⅱ）

因为四边形ABCD为菱形，且60ABC=，所以ABBCCA==．所以菱形ABCD的面积232SAC=．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy−+=−+−=，所以234343(316)433Snn

=−+−．所以当0n=时，菱形ABCD的面积取得最大值43．20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A：，，，10()3421TA：，，，，1210(())4321ATTA=：，，，；11()43210TA：，，，，，2211(())4321ATTA=：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均

是正整数的有穷数列A为12naaa，，，，则1()TA为n，11a−，21a−，，1na−，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]nSTAnaana=+−+−+++−222212(1)(1)(1)nnaaa++−+−++−．又2221212()2(2)

nnSAaanaaaa=+++++++，所以1(())()STASA−122[23(1)]2()nnnaaa=−−−−+++++2122()nnaaan+−++++2(1)0nnnn=−+++=，故1(())()S

TASA=．（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列12naaa，，，．当存在1ijn≤≤，使得ijaa≤时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则()()2()jiijSBSAiajaiaja−=+−−2()()0jiijaa=−−≤．当存在1mn≤，使得120mmnaaa++====时，

若记数列12maaa，，，为C，则()()SCSA=．所以2(())()STASA≤．从而对于任意给定的数列0A，由121(())(012)kkATTAk+==，，，可知11()(())kkSASTA+≤．又由（Ⅱ）可知1(

())()kkSTASA=，所以1()()kkSASA+≤．即对于kN，要么有1()()kkSASA+=，要么有1()()1kkSASA+−≤．因为()kSA是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()kkkSASASA++===．

即存在正整数K，当kK≥时，1()()kkSASA+=．