【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点9 分段函数模型含解析.docx，共(15)页，118.906 KB，由envi的店铺上传

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1易错点9分段函数模型一、单选题1.已知𝑓(𝑥)=5−2|𝑥|，𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥，𝐹(𝑥)={𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)𝑔(𝑥),𝑓(𝑥)⩾𝑔(𝑥)，则𝐹(𝑥)的最值是（）A.最大值为3，最小值5−

2√2B.最大值为5−2√2，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值2.已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+4𝑥,,𝑥≥0−𝑥2−4𝑥,𝑥<0，则满足𝑓[𝑓(𝑎)]=3的实数a的

个数为（）A.4B.8C.12D.16二、单空题3.已知函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎,𝑥<1,1+log2𝑥,𝑥≥1,若𝑓(𝑥)的值域为R，则实数a的取值范围是___________

_．4.已知𝑓(𝑥)={1+√𝑥,𝑥≥04𝑥,𝑥<0，则𝑓(𝑓(−1))=______．5.已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥−1−2,𝑥≤1−log2(𝑥+1),𝑥>1，则𝑓(−1)=__________．三、解答题6.某蔬菜销售店每天销售某种新鲜蔬菜，已知销售利润为5元/千

克．店铺规定：当天凌晨从蔬菜基地进货，如果当天上午未卖出去，那么中午全部降价处理完毕，亏损为2元/千克．由市场调查的历史记录，制作出下图所示的频率分布直方图，其中每日市场需求量的分组区间分别为[100,300)，[300,500)，[500,700)，[700,900

)，[900,1100]．(1)假设以频率分布直方图中各组区间的中点值代表该组的需求量，请估计未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值；(2)已知店铺的采购员某日购进600千克该种蔬菜，设日需求量为𝑥(0≤𝑥≤1

000)千克，2该店铺的日销售利润为y元，求y关于x的函数关系式；(3)假设以需求量的频率代替其概率，若利润不低于900元就能维持店铺当天的正常开销，试在(2)的条件下求该日店铺能维持正常开销的概率．7.某商场对A

商品近30天的日销售量𝑦(件)与时间𝑡(天)的销售情况进行整理，得到如下数据时间(𝑡)246810日销售量(𝑦)3837323330经统计分析，日销售量𝑦(件)与时间𝑡(天)之间具有线性相关关系．(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回

归方程𝑦ˆ=𝑏+𝑎；38.园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投

放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入𝐺(𝑥)(万元)与年产量𝑥(万台)满足如下关系式：𝐺(𝑥)={180−2𝑥,0<𝑥≤

2070+2000𝑥−9000𝑥(𝑥+1),𝑥>20．(Ⅰ)写出年利润𝑊(𝑥)(万元)关于年产量𝑥(万台)的函数解析式；(利润=销售收入−成本)(Ⅱ)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．49.每

年的12月31日晚上，数以万计的人涌向重庆解放碑，去听来年的第一声钟声，当天晚上的气球销量也是屡创新高．小明准备在今年12月31日晚上购进一批气球去解放碑商圈售卖，进价为每个5元，然后以每个10元的价格卖出，如果当天卖不完，剩下的气球则以每个3元退回批发商．(1)若小明购进100个气球，求本次

售卖利润𝑦(单位：元)关于当天市场需求两𝑛(单位：个，𝑛∈𝑁)的函数解析式；(2)为了使利润最大化、减少亏损，小明调查了最近10年的12月31日晚上解放碑商圈的气球需求量(单位：个)的数据，整理得下表：假设小明考虑购进100个气球或110个

气球，分别计算这两种购进方案下最近10年的利润平均数，以此作为决策依据，他应该购进100个还是110个？10.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示

．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．5(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；(2)将表示为的函数；(3)根据直方图估计利润不少于元的概率．11.面积为100𝑑

𝑚2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线𝑙1，𝑙2裁剪成A，B，C三个矩形(𝐵,C全6等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以𝑙1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为

圆柱的两个底面；方案②：以𝑙1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与𝑙1或𝑙2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设𝑙1的长为𝑥𝑑𝑚，则当x为多少

时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大一、单选题1.已知𝑓(𝑥)=5−2|𝑥|，𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥，𝐹(𝑥)={𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)𝑔(𝑥),𝑓(𝑥)⩾𝑔(𝑥

)，则𝐹(𝑥)的最值是（）A.最大值为3，最小值5−2√2B.最大值为5−2√2，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值【答案】C【解析】解：由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)得5−2|𝑥|=𝑥2−2𝑥，若𝑥≥0时，5−2|𝑥|=𝑥2

−2𝑥等价为5−2𝑥=𝑥2−2𝑥，即𝑥2=5，解得𝑥=√5．若𝑥<0时，5−2|𝑥|=𝑥2−2𝑥等价为5+2𝑥=𝑥2−2𝑥，即𝑥2−4𝑥−5=0，解得𝑥=−1或𝑥=5(舍去).即当𝑥≤−1时，𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)=5+2

𝑥，当−1<𝑥<√5时，𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥，当𝑥≥√5时，𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)=5−2𝑥，7则由图象可知当𝑥=−1时，𝐹(𝑥)取得最大值𝐹(−1)=𝑓(−1)=5−2=3，无最小值．故选C．2.已知函数𝑓

(𝑥)={−𝑥2+4𝑥,,𝑥≥0−𝑥2−4𝑥,𝑥<0，则满足𝑓[𝑓(𝑎)]=3的实数a的个数为（）A.4B.8C.12D.16【答案】C【解析】解：易知𝑓(𝑥)=−𝑥2+4|𝑥|为偶函数，令𝑓(𝑎)=𝑡，则𝑓[𝑓(�

�)]=3变形为𝑓(𝑡)=3，𝑡≥0时，𝑓(𝑡)=−𝑡2+4𝑡=3，解得𝑡=1，或3；∵𝑓(𝑡)是偶函数；∴𝑡<0时，𝑓(𝑡)=3的解为，𝑡=−1或−3；综上得，𝑓(𝑎)=±1，±3；当𝑎≥0时，−𝑎2+4𝑎=1，方程有2解；−𝑎2+4𝑎=−1，方程有

1解；−𝑎2+4𝑎=3，方程有2解；−𝑎2+4𝑎=−3，方程有1解．∴当𝑎≥0时，方程𝑓(𝑎)=𝑡有6解；∵𝑓(𝑥)是偶函数，∴𝑎<0时，𝑓(𝑎)=𝑡也有6解；综上所述，满足𝑓[𝑓(𝑎)]=3的实数a

的个数为12．故选C．二、单空题3.已知函数𝑓(𝑥)={(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎,𝑥<1,1+log2𝑥,𝑥≥1,若𝑓(𝑥)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．【答案】(1,2]8【解析】解：𝑥≥1时，𝑓(𝑥)=1+log2𝑥单调递增，故有𝑓(

𝑥)≥𝑓(1)=1，又𝑓(𝑥)值域为R，𝑥<1时，𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥+4−2𝑎，故有{𝑎−1>0𝑎−1+4−2𝑎≥1解得1<𝑎≤2，故a的取值范围是(1,2]．4.已知𝑓(𝑥)=

{1+√𝑥,𝑥≥04𝑥,𝑥<0，则𝑓(𝑓(−1))=______．【答案】32【解析】解：∵𝑓(𝑥)={1+√𝑥,𝑥≥04𝑥,𝑥<0，∴𝑓(−1)=4−1=14，𝑓(𝑓(−1))=𝑓(14)=1+√14=32．故答案为：32．推导出𝑓(−1)=4−1=

14，从而𝑓(𝑓(−1))=𝑓(14)，由此能求出结果．5.已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥−1−2,𝑥≤1−log2(𝑥+1),𝑥>1，则𝑓(−1)=__________．【答案】−74【解析】解：𝑓(−1)=

2−2−2=−74，故答案为−74．三、解答题6.某蔬菜销售店每天销售某种新鲜蔬菜，已知销售利润为5元/千克．店铺规定：当天凌晨从蔬菜基地进货，如果当天上午未卖出去，那么中午全部降价处理完毕，亏损为2元/千克．由市场调查的历史记录，制作出下图所示的频

率分布直方图，其中每日市场需求量的分组区间分别为[100,300)，[300,500)，[500,700)，[700,900)，[900,1100]．9(1)假设以频率分布直方图中各组区间的中点值代表该组的需求量，请估计未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值

；(2)已知店铺的采购员某日购进600千克该种蔬菜，设日需求量为𝑥(0≤𝑥≤1000)千克，该店铺的日销售利润为y元，求y关于x的函数关系式；(3)假设以需求量的频率代替其概率，若利润不低于900元就能维持店铺当天的正常开销，试在(2)的条件下求该日店铺能维持正常开销的概率．【

答案】解：(1)由频率分布直方图可知，未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值𝑥=200×0.1+400×0.2+600×0.4+800×0.2+1000×0.1=600千克．(2)当日需求量x小于600千克时，𝑦=5𝑥−2×(600−𝑥)=7�

�−1200元；当日需求量x大于或等于600千克时，𝑦=5×600=3000元，故𝑦={7𝑥−1200,0≤𝑥<600,3000,600≤𝑥≤1000.(3)由(2)知，当0≤𝑥<600时，由𝑦=7𝑥−1200≥900，得𝑥≥300；当600≤𝑥≤1000

时，𝑦=3000>900．所以300≤𝑥≤1000，其概率为0.2+0.4+0.2+0.1=0.9107.某商场对A商品近30天的日销售量𝑦(件)与时间𝑡(天)的销售情况进行整理，得到如下数据时间(𝑡)246810日销售量(𝑦)383732333

0经统计分析，日销售量𝑦(件)与时间𝑡(天)之间具有线性相关关系．(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回归方程𝑦ˆ=𝑏+𝑎；(2)已知A商品近30天内的销售价格𝑍(元)与时间𝑡(天)的关系为：𝑧={𝑡+20,(0<𝑡<20,𝑡∈

𝑁)−𝑡+100,(200≤𝑡≤30,𝑡∈𝑁)根据(1)中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大．(参考公式：𝑏̂=∑𝑡𝑖𝑦𝑖−𝑛⋅𝑡⋅𝑦𝑛𝑖=1∑𝑡𝑖2−𝑛⋅𝑡2𝑛𝑖=1,𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑡)【答案】解：(1)�

�=15(2+4+6+8+10)=6，𝑦=15(38+37+32+33+30)=34，∑𝑡𝑖5𝑖=1𝑦𝑖=2×38+4×37+6×32+8×33+10×30=980∑𝑡𝑖25𝑖=1=22

+42+62+82+102=220𝑏^=∑𝑡𝑖5𝑖=1𝑦𝑖−5×𝑡·𝑦∑𝑡𝑖25𝑖=1−5·𝑡2=980−1020220−5×62=−1𝑎^=𝑦−𝑏^𝑡=34−(−1)×6=40所以y关于t的线性回归方程𝑦^=−𝑡+40(2)由题意日销售额𝐿={(�

�+20)(−𝑡+40),0<𝑡<20,𝑡∈𝑁(−𝑡+100)(−𝑡+40),20⩽𝑡⩽30,𝑡∈𝑁当0<𝑡<20，𝑡∈𝑁，𝐿=(𝑡+20)(−𝑡+40)=−𝑡2+20𝑡+800=−(𝑡−10)2+900所以当�

�=10时，𝐿𝑚𝑎𝑥=900(元)11当20≤𝑡≤30，𝑡∈𝑁，𝐿=(−𝑡+100)(−𝑡+40)=𝑡2−140𝑡+4000=(𝑡−70)2−900所以当𝑡=20时，𝐿𝑚𝑎𝑥=160

0(元)综上所述，估计当𝑡=20天时，A商品日销售额最大值为1600元．8.园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经

济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入𝐺(𝑥)(万元)与年产量𝑥(万台)满足如下关系式

：𝐺(𝑥)={180−2𝑥,0<𝑥≤2070+2000𝑥−9000𝑥(𝑥+1),𝑥>20．(Ⅰ)写出年利润𝑊(𝑥)(万元)关于年产量𝑥(万台)的函数解析式；(利润=销售收入−成本)(Ⅱ)当年产量为多少万台时，该

公司获得的年利润最大？并求最大利润．【答案】解：(1)当0<𝑥≤20时，𝑊(𝑥)=𝑥𝐺(𝑥)−(80𝑥+50)=−2𝑥2+100𝑥−50；当𝑥>20时，𝑊(𝑥)=𝑥𝐺(𝑥)−(80𝑥+50)=−10𝑥−9000𝑥+

1+1950，故函数解析式为𝑊(𝑥)={−2𝑥2+100𝑥−50,0<𝑥⩽20−10𝑥−9000𝑥+1+1950,𝑥>20；(2)0<𝑥≤20时，𝑊(𝑥)=−2𝑥2+100𝑥−50=−2(𝑥−25)2+1200，𝑊(𝑥)𝑚

𝑎𝑥=𝑊(20)=1150，𝑥>20时，𝑊(𝑥)=−10(𝑥+1+900𝑥+1)+1960≤−10×2√(𝑥+1)×900𝑥+1+1960=1360，当且仅当𝑥+1=900𝑥+1即𝑥=29时等号成立，12𝑊(𝑥)�

�𝑎𝑥=𝑊(29)=1360，因为1360>1150∴当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为1360万元．9.每年的12月31日晚上，数以万计的人涌向重庆解放碑，去听来年的第一声钟

声，当天晚上的气球销量也是屡创新高．小明准备在今年12月31日晚上购进一批气球去解放碑商圈售卖，进价为每个5元，然后以每个10元的价格卖出，如果当天卖不完，剩下的气球则以每个3元退回批发商．(1)若小明购进100个气球，求本次售卖利润𝑦

(单位：元)关于当天市场需求两𝑛(单位：个，𝑛∈𝑁)的函数解析式；(2)为了使利润最大化、减少亏损，小明调查了最近10年的12月31日晚上解放碑商圈的气球需求量(单位：个)的数据，整理得下表：假设小明考虑购进100个气球或110个气球，分别

计算这两种购进方案下最近10年的利润平均数，以此作为决策依据，他应该购进100个还是110个？【答案】解：(1)由题意，𝑛<100时，𝑦=(10−5)𝑛−(5−3)(100−𝑛)=7𝑛−200;𝑛≥100时，𝑦=5×100=500，所以本次售卖利润𝑦(单位：元)关于当天市场需求

量𝑛(单位：个，𝑛∈𝑁)的函数解析式为𝑦={7𝑛−200,𝑛<100500,𝑛≥100；(2)当购进100个时，利润均数为360×0.1+430×0.2+500×0.7=472；当购进110个时，由𝑦={7𝑛−

220,𝑛<110550,𝑛≥110，得到利润均数为340×0.1+410×0.2+480×0.2++550×0.4+550×0.1=487，所以购进110个利润较大．10.某大学生在开学季准备销售一种

文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学13季内经销该产品的利润．(1)根据

直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；(2)将表示为的函数；(3)根据直方图估计利润不少于元的概率．【答案】.解：(1)由频率直方图得：需求量在140～160频率最大，故估计这个开学季内市场需求量众数为140+1602=150，需求量为[100,12

0)的频率=0.005×20=0.1，需求量为[120,140)的频率=0.01×20=0.2，需求量为[140,160)的频率=0.015×20=0.3，需求量为[160,180)的频率=0.0125×20=0.25，

需求量为[180,200)的频率=0.0075×20=0.15．则平均数𝑥=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153；(2)因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的

产品，每盒亏损10元，所以当100≤𝑥≤160时，𝑦=30𝑥−10×(160−𝑥)=40𝑥−1600，当160<𝑥≤200时，𝑦=160×30=4800，14所以𝑦={40𝑥−1600,100≤𝑥≤1604800,160<𝑥≤200．(3)因

为利润不少于1200元，所以40𝑥−1600≥4000，解得𝑥≥140．所以由(1)知利润不少于4000元的概率𝑝=1−0.3=0.7．11.面积为100𝑑𝑚2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线𝑙1，𝑙2裁剪成A，B，C三个矩形(𝐵,C全等)，用来制成一个柱体．现有两种

方案：方案①：以𝑙1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以𝑙1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与𝑙1或𝑙

2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设𝑙1的长为𝑥𝑑𝑚，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】解：(1)设所得圆柱的半径为𝑟𝑑𝑚，则(2𝜋𝑟+2�

�)×4𝑟=100，解得𝑟=5√2(𝜋+1)2(𝜋+1)．答：圆柱的底面半径为5√2(𝜋+1)2(𝜋+1)dm．15(2)设所得正四棱柱的底面边长为𝑎𝑑𝑚，则{𝑎≤𝑥2,𝑎≤100

𝑥−4𝑎,即{𝑎≤𝑥2,𝑎≤20𝑥.方法一：由题意知所得正四棱柱的体积𝑉=𝑎2𝑥≤{𝑥34,0<𝑥≤2√10,400𝑥,𝑥>2√10.记函数𝑝(𝑥)={𝑥34,0<𝑥≤2√10,400𝑥,𝑥>2√10.则𝑝(𝑥)在(0,2

√10]上单调递增，在[2√10,+∞)上单调递减，所以当𝑥=2√10时，𝑝(𝑥)𝑚𝑎𝑥=20√10．所以当𝑥=2√10，𝑎=√10时，𝑉𝑚𝑎𝑥=20√10𝑑𝑚3．方法二：2𝑎≤𝑥≤20𝑎，

从而𝑎≤√10．所得正四棱柱的体积𝑉=𝑎2𝑥≤𝑎2(20𝑎)=20𝑎≤20√10．所以当𝑎=√10，𝑥=2√10时，𝑉𝑚𝑎𝑥=20√10𝑑𝑚3．答：当x为2√10时，能使按方案②制成的正四棱柱的

体积最大