【文档说明】《天津中考真题数学》2022年天津市中考数学真题（解析版）.docx，共(29)页，918.849 KB，由envi的店铺上传

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2022年天津市初中学业水平考试试卷数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”

上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案标号的信息点．2．本卷共12题，共36分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算(3)(2)−+−的结果等于（）A.5−B.1−C.5D.1【答案】A【解析】【分析】直接计算得到答案．【详解】(3)

(2)−+−=32−−=5−故选：A．【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算知识．2.tan45的值等于（）A.2B.1C.22D.33【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．【详

解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义，tan1BCAAC==，∵∠A=45°，∴tan451=，故选B．【点睛】

本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．3.将290000用科学记数法表示应为（）A.60.2910B.52.910C.42910D.329010【答案】B【解析】【分析】利用科学记数法的表示方式表示即可．【详解】解：5290000=2.910．故选：B【点睛】此题考查

科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n与小数点移动的位数相同．解题关键要正确确定a的值以及n的值．4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下

面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查

轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．5.下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．【详解】解：几何体的主视图为：故

选：A【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．6.估计29的值在（）A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间【答案】C【解析】【分析】根据2

25296得到5296，问题得解．【详解】解：225296，5296，即在5和6之间．故选：C．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定29的整数部分是解本题的关键．7.计算1122aaa++++的结果是（）

A.1B.22a+C.2a+D.2aa+【答案】A【解析】【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．【详解】解：1121222aaaaa+++==+++．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法

则．8.若点()()()123,2,,1,,4AxBxCx−都在反比例函数8yx=的图像上，则123,,xxx的大小关系是（）A.123xxxB.231xxxC.132xxxD.213xxx【答案】B【解析】【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出2

13xxx、、，然后进行比较即可．【详解】将三点坐标分别代入函数解析式8yx=，得：182x=，解得1=4x；28-1x=，解得2=-8x；384x=，解得3=2x；∵-8<2<4，∴231xxx，

故选：B．【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．9.方程2430xx++=的两个根为（）A.121,3xx==B.121,3xx=−=C.121,3xx==−D.121,3xx=−=−【答案】D【解析】【分析】将243xx++进行因式分解，243=(1)

(3)xxxx++++，计算出答案．【详解】∵243=(1)(3)xxxx++++∴(1)(3)=0xx++∴1213xx=−=−，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．10.如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分

别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（）A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)【答案】D【解析】【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，

即可求解．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=12AB=3，∵OA=5，∴OC=2253−=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，全

等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11.如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A.ABAN=

B.ABNC∥C.AMNACN=D.MNAC⊥【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于

AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=

∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．【点

睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．12.已知抛物线2yaxbxc=++（a，b，c是常数，0ac）经过点(1,0)，有下列结论：①20ab+；②当1x时，y随x的增大而增大；③关于x的方程2()0ax

bxbc+++=有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【详解】由题意可知：0abc++=，()bac=−+，bca+=−，0ac，2aca+，即()2baca=−+−，得出20ba+，故①正确

；20ba+，对称轴012bxa=−，0a，01xx时，y随x的增大而减小，0xx时，y随x的增大而增大，故②不正确；22224()4()40babcbaaba−+=−−=+，关于x的方程2()0axbxbc+++=有两个不相等的实数根，故③正确．故选：C．【点

睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.计算7mm的结果等于_______

____．【答案】8m【解析】【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．【详解】解：7178mmmm+==，故答案为：8m．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．14.计算(191)(191)+−的结果等于_______

____．【答案】18【解析】【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：22(191)(191)(19)119118+−=−=−=，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．15.不

透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．【答案】79【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其

发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，∴摸出一个球是绿球的概率是79，故答案为：79．【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．16.若一次函数

yxb=+（b是常数）图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个．．即可）．【答案】1（答案不唯一，满足0b即可）【解析】【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得0b，进而即可求解．【详解】解：∵一次函数yxb=+（b是常数

）的图象经过第一、二、三象限，∴0b故答案为：1答案不唯一，满足0b即可）【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．17.如图，已知菱形ABCD的边长为

2，60DAB=，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于___________．【答案】194【解析】【分析】连接FB，作CGAB⊥交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出60CBGDAB==，2ADABBCCD====，解直角BGC求出3CG=

，1BG=，推出FB为ECG的中位线，进而求出的FB，利用勾股定理求出AF，再证明AEGABF，得出12AGGFAF==．【详解】解：如图，连接FB，作CGAB⊥交AB的延长线于点G．∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∴//ADBC，2ADABBCCD====，∵60DAB

=，∴60CBGDAB==，∴3sin232CGBCCBG===，1cos212BGBCCBG===，∵E为AB的中点，∴1AEEB==，∴BEBG=，即点B为线段EG的中点，又∵F为CE的中点，∴FB为ECG的中位线，∴//FBCG，1322

FBCG==，∴FBAB⊥，即ABF是直角三角形，∴2222319222AFABBF=+=+=．在AED和BGC中，ADBCDAECBGAEBG===，‘∴AEDBGC，∴90AEDBGC==，∴90AEGABF==，又∵GA

EFAB=，∴AEGABF，∴12AGAEAFAB==，∴11924AGAF==，∴194GFAFAG=−=．故答案为：194．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似

三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角BGC是解题的关键．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF长等于____

_______；（Ⅱ）若点M，N分别在射线,PDPF上，满足90MBN=且BMBN=．请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】①.10②.见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找

出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；（Ⅱ）由图可找到点Q，10EQBQEFBF====，即四边形EFBQ是正方形，因为90BMBNMBN==，，所以BQMBFN，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所的以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H

，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N．【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，所以223110EF=+=，故答案为：10；（Ⅱ）连接AC，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向

上3格），连接EQ与射线PD相交于点M；连接MB与O相交于点G；连接GO并延长，与O相交于点H；连接BH并延长，与射线PF相交于点N，则点M，N即为所求，理由如下：连接,BQBF由勾股定理算出221310BQ

QEEFBF====+=，由题意得90MQBQEFBFEQBF====，四边形BQEF为正方形，在RtBQM和RtBFN中，BQBF=，1tantan3QBAFBC==，QBAFBC=，AOGCOH=，AGCH

=，ABGHBC=，MBQNBF=()RtBQMRtBFNASA≌BMBN=，90QBMMBFMBFFBN+=+=90MBN=，从而确定了点,MN的位置．【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，

三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解不等式组2113.xxx−+，①②请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得__

_________；（2）解不等式②，得___________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为___________．【答案】（1）1x−（2）2x（3）见解析（4）12x−【解析】【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果；（2）通过移项直接求

出结果；（3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可；（4）根据数轴得出原不等式组的解集．【小问1详解】解：移项得：21xx−−解得：1x−故答案为：1x−；【小问2详解】移项得：31x−，解得：2x，故答案为：2x；【

小问3详解】把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：【小问4详解】所以原不等式组的解集为：12x−，故答案为：12x−．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．20.在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参

加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________；（2）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．【答案】（1）40，10（2）平均数是2，众数是2

，中位数是2【解析】【分析】（1）根据参加2项的人数和所占百分比即可求得总人数，再利用频数总数×100%=百分比，即可求解．（2）根据平均数、众数及中位数的含义即可求解．【小问1详解】解：由图可得，参加2项的人数有

18人，占总体的45%，参加4项的有4人，则184045%=（人），4100%10%40=，故答案为：40；10．【小问2详解】平均数：1132183544240+++=，∵在这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中

处于中间的两个数都是2，有2222+=，∴这组数据的中位数是2．则平均数是2，众数是2，中位数是2．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、众数和中位数的求法，理解两个统计图中的数量关系是解题的关键．21.已知AB为O的直

径，6AB=，C为O上一点，连接,CACB．（1）如图①，若C为AB的中点，求CAB的大小和AC的长；（2）如图②，若2,ACOD=为O的半径，且ODCB⊥，垂足为E，过点D作O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．【

答案】（1）45CAB=，32AC=（2）22FD=【解析】【分析】（1）由圆周角定理得90ACB=，由C为AB的中点，得ACBC=，从而ACBC=，即可求得CAB的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；（2）证明四边形ECFD为矩形

，FD=CE=12CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．【小问1详解】∵AB为O的直径，∴90ACB=，由C为AB的中点，得ACBC=，∴ACBC=，得ABCCAB=，在RtABC中，90ABCCAB+=，∴45CAB=；根据勾股定理，有222ACBCAB+=，又

6AB=，得2236AC=，∴32AC=；【小问2详解】∵FD是O的切线，∴ODFD⊥，即90ODF=，∵ODCB⊥，垂足为E，∴190,2CEDCECB==，同（1）可得90ACB=，有90FCE=，∴90FCECEDODF

===，∴四边形ECFD为矩形，∴FDCE=，于是12FDCB=，在RtABC中，由6,2ABAC==，得2242CBABAC=−=，∴22FD=．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角

形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．22.如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42，测得塔底

B的仰角为35．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan350.70tan420.90，．【答案】这座山AB的高度约为112m【解析】【分析】在RtPAB中，·tanABPAAPB=∠，在RtPAC△

中，·tanACPAAPC=，利用ACABBC=+，即可列出等式求解．【详解】解：如图，根据题意，324235BCAPCAPB===，，．在RtPAC△中，tanACAPCPA=，∴tanACPA

APC=．在RtPAB中，tanABAPBPA=，∴tanABPAAPB=．∵ACABBC=+，∴tantanABBCABAPCAPB+=．∴()tan32tan35320.70112mtantantan42

tan350.900.70BCAPBABAPCAPB===−−−．答：这座山AB的高度约为112m．【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．23.在“看图说故事”活动中，某

学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km，小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓

．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离kmy与离开学生公寓的时间minx之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：离开学生公寓的时间/min585087112离学生公寓的距离/km0.51.6（2）填空：①阅览室到超市的距离为_________

__km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为___________min．（3）当092x时，请直接写出y关于x的函数解析式．【答案】（1）0.8，1.2，2（

2）①0.8；②0.25；③10或116（3）当012x时，0.1yx=；当1282x时，1.2y=；当8292x时，0.085.36yx=−【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；（2）根据函数图象中的数据

，可以将各个小题中的空补充完整；（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当092x时，y关于x的函数解析式．【小问1详解】由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.

8；在1282x时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km故当x=50时，距离不变，都1.2km；在92112x时，离学生公寓的距离不变，都是2km，所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km故填表为：离

开学生公寓时间/min585087112离学生公寓的距离/km0.50.81.21.62【小问2详解】①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为：2÷（120-112）=0.25km/mi

n；③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为：1÷0.1=10min；当小琪返回与学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为：112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min；故答案为：①0.8

；②0.25；③10或116【小问3详解】当012x时，设直线解析式为y=kx，把（12，1.2）代入得，12k=1.2,解得，k=0.1∴0.1yx=；当1282x时，1.2y=；当8292x时，设直线解析式为ymxn=+，是的把（82，1.2），（92，2）代入得

，821.2922mnmn+=+=解得，0.085.36mn==−∴0.085.36yx=−，由上可得，当092x时，y关于x的函数解析式为()0.10121.2(1282)0.085.36(8292)yxxyxyxx===−．【点睛】本题考查一次函数的应用，

解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24.将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O，点(3,0)A，点(0,6)C，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且30OPQ=，点O的对应点O落在第

一象限．设OQt=．（1）如图①，当1t=时，求OQA的大小和点O的坐标；（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，,OQOP分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示OE的长，并直接写出t的取值范围；（3）若折叠后重合部分的面

积为33，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同．．．．的值即可）．【答案】（1）60OQA=，点O的坐标为33,22（2）36OEt=−，其中t的取值范围是23t（3）3，103．（答案不唯一，满足323t即可）

【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质得60OQA=，即可得出30=QOH，作OHOA⊥，然后求出OH和OH，可得答案；（2）根据题意先表示3=−QAt，再根据12QAQE=，表示QE，然后根据OEOQQE=−表示即可，再求出取值范围；（3）求出t

=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是33，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解．【小问1详解】在RtPOQ△中，由30OPQ=，得9060OQPOPQ=−=．根据折叠，知POQPOQ

△≌△，∴OQOQ=，60==OQPOQP．∵180OQAOQPOQP=−−，∴60OQA=．如图，过点O′作OHOA⊥，垂足为H，则90OHQ=．∴在RtOHQ中，得9030QO

HOQA=−=．由1t=，得1OQ=，则1OQ=．由1122==QHOQ，222+=OHQHOQ得32=+=OHOQQH，2232=−=OHOQQH．∴点O的坐标为33,22．【小问2详解】∵点(3,0)A，∴3OA=．又OQt=，

∴3QAOAOQt=−=−．同（1）知，=OQt，60OQA=．∵四边形OABC是矩形，∴90OAB=．在RtEAQ△中，9030QEAEQA=−=，得12QAQE=．∴22(3)62QEQAtt==−=−．又OEOQQE=−，∴36OEt=−.如

图，当点O′与AB重合时，OQOQt==，60AQO=，则30AOQ=，∴12AQt=，∴132tt+=，解得t=2，∴t的取值范围是23t；小问3详解】3，103．（答案不唯一，满足323t即可）当点Q与点A重合时，3AO=，30DAO=，

∴23cos30AOAD==，则1233332ADPS==V.∴t=3时，重合部分的面积是33，从t=3之后重合部分的面积始终是33，当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝23，由于P不能与C重合，故23t，所以323t都符合题意．【

点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，【矩形的性质，解直角三角形等．25.已知抛物线2yaxbxc=++（a，b，c是常数，0a）的顶点为P，与x轴相交于点(1,0)A−和点B．（1）若2,3bc=−=−，①求点P的坐标；②直线xm=（

m是常数，13m）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（2）若32bc=，直线2x=与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PFFEEN++的最小

值为5时，求点E，F的坐标．【答案】（1）①(1,4)−；②点M的坐标为(2,3)−，点G的坐标为(2,2)−；（2）点5,07E和点200,21F−；【解析】【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代

入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为()2,23mmm−−，则点G的坐标为(,26)mm−，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据32

bc=，解析式经过A点，可得到解析式：223yaxaxa=−−，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，再把P和N的坐标表示出来，由题意可知，当PFFEEN++取得最小值，此时5PFFEENPN+=+=，将字母代入可得：2

22294925PNPHHNa=++==，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【小问1详解】①∵抛物线2yaxbxc=++与x轴相交于点(1,0)A−，∴0abc−+=．又2,3bc=−=−，得1a=．∴抛物线的解析式为223yxx=−−．∵222

3(1)4yxxx=−−=−−，∴点P的坐标为(1,4)−．②当0y=时，由2230xx−−=，解得1213xx=−=，．∴点B的坐标为(30)，．设经过B，P两点的直线的解析式为ykxn=+，有30,4.knkn+=+=−解

得2,6.kn==−∴直线BP的解析式为26yx=−．∵直线xm=（m是常数，13m）与抛物线223yxx=−−相交于点M，与BP相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为()2,23mmm−−，点G的坐标为(,26)mm−．∴()222(2

6)2343(2)1MGmmmmmm=−−−−=−+−=−−+．∴当2m=时，MG有最大值1．此时，点M的坐标为(2,3)−，点G的坐标为(2,2)−．【小问2详解】由（Ⅰ）知0abc−+=，又32bc=，∴2,3baca=−=−．(0)a∴抛物线的

解析式为223yaxaxa=−−．∵2223(1)4yaxaxaaxa=−−=−−，∴顶点P的坐标为(1,4)a−．∵直线2x=与抛物线223yaxaxa=−−相交于点N，∴点N的坐标为(2,3)a−．作点P关于y轴

的对称点P，作点N关于x轴的对称点N，如图所示：得点P的坐标为(1,4)a−−，点N的坐标为(2,3)a．当满足条件的点E，F落在直线PN上时，PFFEEN++取得最小值，此时，5PFFEENPN+=+=．延长PP与直线2x=相交于点H，则PHNH⊥．在Rt

PHN△中，3,3(4)7PHHNaaa==−−=．∴222294925PNPHHNa=++==．解得1244,77aa==−（舍）．∴点P的坐标为161,7−−，点N的坐

标为122,7．则直线PN的解析式为420321yx=−．∴点5,07E和点200,21F−．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．获得更多资

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